Абсолютная сходимость

редактировать

В математике считается, что бесконечный ряд чисел сходится абсолютно(или быть абсолютно сходящимся), если сумма абсолютных значений слагаемых конечна. Точнее, вещественный или сложный ряд $∑ n = 0 ∞ an {\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n }}$ $\ textstyle \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n$ называется абсолютно сходящимся, если $∑ n = 0 ∞ | а п | = L {\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left | a_ {n} \ right | = L}$ $\ textstyle \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ left | a_n \ right | = L$ для некоторого действительного числа $L {\ displaystyle \ textstyle L}$ $\ textstyle L$ . Аналогичным образом несобственный интеграл функции , $∫ 0 ∞ f (x) dx {\ displaystyle \ textstyle \ int _ {0} ^ {\ infty} f ( x) \, dx}$ $\ textstyle \ int_0 ^ \ infty f (x) \, dx$ , говорят, что она сходится абсолютно, если интеграл от модуля подынтегральной функции конечен, то есть если $∫ 0 ∞ | f (x) | d x = L. {\ displaystyle \ textstyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left | f (x) \ right | dx = L.}$ $\ textstyle \ int_0 ^ \ infty \ left | f (x) \ right | dx = L.$

Абсолютная сходимость важна для изучения бесконечных рядов, поскольку ее определение достаточно строго обладать свойствами конечных сумм, которыми обладают не все сходящиеся ряды, но достаточно широкими, чтобы встречаться обычно. (Сходящийся ряд, который не является абсолютно сходящимся, называется условно сходящимся.) Абсолютно сходящийся ряд ведет себя "красиво". Например, перестановки не меняют значения суммы. Это неверно для условно сходящихся рядов: чередующийся гармонический ряд $1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - 1 6 + ⋯ {\ textstyle 1 - {\ frac {1 } {2}} + {\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {6}} + \ cdots}$ ${\ textstyle 1 - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1 } {6}} + \ cdots}$ сходится к $ln ⁡ 2 {\ displaystyle \ ln 2}$ $\ ln 2$ , а его перестановка $1 + 1 3 - 1 2 + 1 5 + 1 7 - 1 4 + ⋯ {\ textstyle 1 + {\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} { 7}} - {\ frac {1} {4}} + \ cdots}$ ${\ textstyle 1 + {\ frac {1 } {3}} - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {7}} - {\ frac {1} {4}} + \ cdots}$ (в котором повторяющийся шаблон знаков - это два положительных члена, за которыми следует один отрицательный член) сходится к $3 2 ln ⁡ 2 {\ textstyle {\ frac {3} {2}} \ ln 2}$ ${\ textstyle {\ frac {3} {2} } \ ln 2}$ .

Содержание

1 Предпосылки
- 1.1 В топологических векторных пространствах
2 Связь с конвергенцией
- 2.1 Доказательство того, что любое абсолютно сходящийся ряд комплексных чисел сходится
  - 2.1.1 Альтернативное доказательство с использованием критерия Коши и неравенства треугольника
- 2.2 Доказательство того, что любой абсолютно сходящийся ряд в банаховом пространстве сходится
3 Перестановки a и безусловная сходимость
- 3.1 Доказательство теоремы
4 Произведения ряда
5 Абсолютная сходимость интегралов
6 См. также
7 Ссылки
- 7.1 Цитированные работы
- 7.2 Общие ссылки

Предпосылки

Можно изучить сходимость ряда $∑ n = 0 ∞ an {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}}$ $\ sum_ { n = 0} ^ {\ infty} a_n$ , члены которой a n являются элементами произвольной абелевой топологической группы. Понятие абсолютной сходимости требует большей структуры, а именно нормы, которая является положительной вещественной функцией $‖ ⋅ ‖: G → R + {\ displaystyle \ | \ cdot \ |: G \ to \ mathbb {R _ {+}}}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |: G \ to \ mathbb {R _ {+}}}$ на абелевой группе G (записывается аддитивно, с тождественным элементом 0) такая, что:

норма тождественного элемента группы G равно нулю: $‖ 0 ‖ = 0. {\ displaystyle \ | 0 \ | = 0.}$ $\ | 0 \ | = 0.$
Для каждого x в G, $‖ x ‖ = 0 {\ displaystyle \ | x \ | = 0}$ $\ | x \ | Знак равно 0$ подразумевает $x = 0. {\ displaystyle x = 0.}$ $x = 0.$
Для каждого x в G $‖ - x ‖ = ‖ x ‖. {\ displaystyle \ | \! - x \ | = \ | x \ |.}$ ${\ displaystyle \ | \! - х \ | = \ | х \ |.}$
Для каждого x, y в G, $‖ x + y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖. {\ displaystyle \ | x + y \ | \ leq \ | x \ | + \ | y \ |.}$ $\ | x + y \ | \ leq \ | x \ | + \ | y \ |.$

В этом случае функция $d (x, y) = ‖ x - y ‖ { \ displaystyle d (x, y) = \ | xy \ |}$ $d (x, y) = \ | xy \ |$ индуцирует структуру метрического пространства (тип топологии ) на G. Мы поэтому можно рассматривать G-значные ряды и определять такие ряды как абсолютно сходящиеся, если $∑ n = 0 ∞ ‖ an ‖ < ∞. {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\|a_{n}\|<\infty.}$ $\ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ | a_n \ | <\ infty.$

В частности, эти утверждения применяются с использованием нормы | x | (абсолютное значение ) в пространстве действительных или комплексных чисел.

В топологических векторных пространствах

Если X является топологическим векторным пространством (TVS) и $(x α) α ∈ A {\ displaystyle \ left (x_ {\ alpha} \ right) _ {\ alpha \ in A}}$ ${\ displaystyle \ влево (х _ {\ альфа} \ справа) _ {\ альфа \ в A}}$ - это (возможно, несчетное ) семейство в X, тогда это семейство абсолютно суммируемоеif

$( x α) α ∈ A {\ displaystyle \ left (x _ {\ alpha} \ right) _ {\ alpha \ in A}}$ ${\ displaystyle \ влево (х _ {\ альфа} \ справа) _ {\ альфа \ в A}}$ является суммируемымв X (то есть, если предел $lim H ∈ F (A) x H {\ displaystyle \ lim _ {H \ in {\ mathcal {F}} (A)} x_ {H}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {H \ in {\ mathcal {F}} (A)} x_ {H}}$ из чистая $(Икс Н) H ∈ F (A) {\ Displaystyle \ left (x_ {H} \ right) _ {H \ in {\ mathcal {F}} (A)}}$ ${\ displaystyle \ left (x_ {H} \ right) _ {H \ in {\ mathcal {F}} (A)}}$ сходится в X, где $F (A) {\ displaystyle {\ mathcal {F}} (A)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (A)}$ - направленное множество всех конечных подмножеств из A, направленного включением $⊆ {\ displaystyle \ substeq}$ $\ substeq$ и $x H: = ∑ i ∈ H xi {\ displaystyle x_ {H}: = \ sum _ {i \ in H} x_ {i}}$ ${\ displaystyle x_ {H} : = \ sum _ {я \ in H} x_ {i}}$ ) и
для любой непрерывной полунормы p на X семейство $(p (x α)) α ∈ A {\ displayst yle \ left (p \ left (x _ {\ alpha} \ right) \ right) _ {\ alpha \ in A}}$ ${\ displaystyle \ left (p \ left (x _ {\ alpha} \ right) \ right) _ {\ alpha \ в A}}$ суммируется в $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ .

Если X - нормируемое пространство и если $(x α) α ∈ A {\ displaystyle \ left (x _ {\ alpha} \ right) _ {\ alpha \ in A}}$ ${\ displaystyle \ влево (х _ {\ альфа} \ справа) _ {\ альфа \ в A}}$ является абсолютно суммируемым семейством в X, тогда обязательно все, кроме счетного набора $x α {\ displaystyle x _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle x _ {\ alpha}}$ , равны 0.

Абсолютно суммируемые семейства играют важную роль в теории ядерных пространств.

Отношение к сходимости

Если G полна относительно метрики d, то каждый абсолютно сходящийся ряд сходится. Доказательство такое же, как и для комплекснозначных рядов: используйте полноту для вывода критерия сходимости Коши - ряд сходится тогда и только тогда, когда его хвосты можно сделать сколь угодно малыми по норме - и примените неравенство треугольника.

В частности, для рядов со значениями в любом банаховом пространстве абсолютная сходимость подразумевает сходимость. Верно и обратное: если абсолютная сходимость влечет сходимость в нормированном пространстве, то это пространство является банаховым.

Если ряд сходится, но не абсолютно сходится, он называется условно сходящимся. Примером условно сходящегося ряда является чередующийся гармонический ряд . Многие стандартные тесты на расхождение и конвергенцию, в первую очередь, включая тест отношения и тест корня , демонстрируют абсолютную конвергенцию. Причина в том, что степенной ряд абсолютно сходится внутри своего диска сходимости.

Доказательство того, что любой абсолютно сходящийся ряд комплексных чисел сходится

Предположим, что $∑ | а к | , a k ∈ C {\ textstyle \ sum | a_ {k} |, a_ {k} \ in \ mathbb {C}}$ ${\ textstyle \ sum | a_ {k} |, a_ {k} \ in \ mathbb {C}}$ сходится. Тогда эквивалентно, $∑ [R e (ak) 2 + I m (ak) 2] 1/2 {\ textstyle \ sum [\ mathrm {Re} (a_ {k}) ^ {2} + \ mathrm { Im} (a_ {k}) ^ {2}] ^ {1/2}}$ ${\ textstyle \ sum [\ mathrm {Re} (a_ {k}) ^ {2} + \ mathrm {Im} (a_ {k}) ^ {2}] ^ {1/2}}$ сходится, что означает, что $∑ | R e (a k) | {\ textstyle \ sum | \ mathrm {Re} (a_ {k}) |}$ ${\ textstyle \ sum | \ mathrm {Re} (a_ {k}) |}$ и $∑ | Я м (а к) | {\ textstyle \ sum | \ mathrm {Im} (a_ {k}) |}$ ${\ textstyle \ sum | \ mathrm {Im} (a_ {k}) |}$ сходятся путем почленного сравнения неотрицательных членов. Достаточно показать, что из сходимости этих рядов следует сходимость $∑ R e (ak) {\ textstyle \ sum \ mathrm {Re} (a_ {k})}$ ${\ textstyle \ sum \ mathrm {Re} (a_ {k})}$ и $∑ I m (ak) {\ textstyle \ sum \ mathrm {Im} (a_ {k})}$ ${\ textstyle \ sum \ mathrm {Im} (a_ {k})}$ , тогда сходимость $∑ ak = ∑ R e (ak) + i ∑ я м (ак) {\ textstyle \ сумма а_ {к} = \ сумма \ mathrm {Re} (а_ {к}) + я \ сумма \ mathrm {Im} (а_ {к})}$ ${\ textstyle \ sum a_ {k} = \ sum \ mathrm {Re} (a_ {k}) + i \ sum \ mathrm {Im} (a_ {k})}$ следовало бы, по определению сходимости комплекснозначных рядов.

Предыдущее обсуждение показывает, что нам нужно только доказать, что сходимость $∑ | а к | , ak ∈ R {\ textstyle \ sum | a_ {k} |, a_ {k} \ in \ mathbb {R}}$ ${\ textstyle \ sum | a_ {k} |, a_ {k} \ in \ mathbb {R}}$ подразумевает сходимость $∑ ak {\ textstyle \ sum a_ { k}}$ ${\ textstyle \ sum a_ {k}}$ .

Пусть $∑ | а к | , a k ∈ R {\ textstyle \ sum | a_ {k} |, a_ {k} \ in \ mathbb {R}}$ ${\ textstyle \ sum | a_ {k} |, a_ {k} \ in \ mathbb {R}}$ сходиться. Поскольку $0 ≤ a k + | а к | ≤ 2 | а к | {\ displaystyle 0 \ leq a_ {k} + | a_ {k} | \ leq 2 | a_ {k} |}$ ${\ displaystyle 0 \ leq a_ { k} + | a_ {k} | \ leq 2 | a_ {k} |}$ , мы имеем

0 ≤ ∑ k = 1 n (ak + | ak |) ≤ ∑ k = 1 n 2 | а к | {\ displaystyle 0 \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {n} (a_ {k} + | a_ {k} |) \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {n} 2 | a_ {k } |}

{\ displaystyle 0 \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {n} (a_ {k} + | a_ {k } |) \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {n} 2 | a_ {k} |}

Поскольку $∑ 2 | а к | {\ textstyle \ sum 2 | a_ {k} |}$ ${\ textstyle \ sum 2 | a_ {k} |}$ сходится, $sn = ∑ k = 1 n (ak + | ak |) {\ textstyle s_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} (a_ {k} + | a_ {k} |)}$ ${\ textstyle s_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} (a_ {k} + | a_ {k} |)}$ - ограниченная монотонная последовательность частичных сумм и $∑ (ak + | ak |) {\ textstyle \ sum (a_ {k} + | a_ {k} |)}$ ${\ textstyle \ sum (a_ {k} + | a_ {k} |)}$ также должны сходиться. Отметив, что $∑ a k = ∑ (a k + | a k |) - ∑ | а к | {\ textstyle \ sum a_ {k} = \ sum (a_ {k} + | a_ {k} |) - \ sum | a_ {k} |}$ ${\ textstyle \ sum a_ {k} = \ sum (a_ {k} + | a_ {k} |) - \ sum | a_ {k} | }$ - разность сходящихся рядов, мы заключаем что это тоже сходящийся ряд, как и хотелось бы.

Альтернативное доказательство с использованием критерия Коши и неравенства треугольника

Применяя критерий Коши для сходимости сложного ряда, мы также можем доказать этот факт как простое следствие треугольника неравенство. По критерию Коши, $∑ | а я | {\ textstyle \ sum | a_ {i} |}$ ${\ textstyle \ sum | a_ {i} |}$ сходится тогда и только тогда, когда для любого $ϵ>0 {\ displaystyle \ epsilon>0}$ $\epsilon >0$ , существует $N {\ displaystyle N}$ $N$ такое, что $| ∑ i = mn | ai | | = ∑ i = mn | ai | < ϵ {\textstyle {\big |}\sum _{i=m}^{n}|a_{i}|{\big |}=\sum _{i=m}^{n}|a_{i}|<\epsilon }$ ${\ textstyle {\ big |} \ sum _ {i = m} ^ {n} | a_ {i} | {\ big |} = \ sum _ {i = m} ^ {n} | a_ {i} | <\ epsilon}$ для любого $n>m ≥ N {\ displaystyle n>m \ geq N}$ $n>m \ geq N$ . Но из неравенства треугольника следует, что $| ∑ я = м н а я | ≤ ∑ i = m n | а я | {\ textstyle {\ big |} \ sum _ {i = m} ^ {n} a_ {i} {\ big |} \ leq \ sum _ {i = m} ^ {n} | a_ {i} |}$ ${\ textstyle {\ big |} \ sum _ {i = m} ^ {n} a_ {i} {\ big |} \ leq \ sum _ {i = m} ^ {n} | a_ {i} |}$ , так что $| ∑ я = м н а я | < ϵ {\textstyle {\big |}\sum _{i=m}^{n}a_{i}{\big |}<\epsilon }$ ${\ textstyle {\ big |} \ sum _ {i = m} ^ {n} a_ {i} {\ big |} <\ epsilon}$ для любого $n>m ≥ N {\ displaystyle n>m \ geq N}$ $n>m \ geq N$ , что в точности соответствует критерию Коши для $∑ ai {\ i {\ textstyle} \ sum a_ {\ textstyle} \ sum a_ }$ ${\ textstyle \ sum a_ {i}}$ .

Доказательство того, что любой абсолютно сходящийся ряд в банаховом пространстве сходится

Приведенный выше результат легко обобщается на любое банахово пространство (X, ǁ⋅ǁ). Пусть ∑x n быть абсолютно сходящимся рядом в X. Поскольку $∑ k = 1 n ‖ xk ‖ {\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ | x_ {k} \ |}$ $\ scriptstyle \ sum_ {k = 1} ^ n \ | x_k \ |$ - это последовательность Коши действительных чисел, для любого ε>0 и достаточно больших натуральных чисел m>n она содержит:

| ∑ k = 1 m ‖ xk ‖ - ∑ k = 1 n ‖ xk ‖ | = ∑ k = n + 1 m ‖ xk ‖ < ε. {\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{m}\|x_{k}\|-\sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|\right|=\sum _{k=n+1}^{m}\|x_{k}\|<\varepsilon.}

\ left | \ sum_ {k = 1} ^ m \ | x_k \ | - \ sum_ {k = 1} ^ n \ | x_k \ | \ right | = \ sum_ {k = n + 1} ^ m \ | x_k \ | <\ varepsilon.

По неравенству треугольника для нормы ǁ⋅ǁ сразу получаем:

‖ ∑ k = 1 mxk - ∑ k = 1 nxk ‖ = ‖ ∑ k = n + 1 mxk ‖ ≤ ∑ k = n + 1 m ‖ xk ‖ < ε , {\displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{m}x_{k}-\sum _{k=1}^{n}x_{k}\right\|=\left\|\sum _{k=n+1}^{m}x_{k}\right\|\leq \sum _{k=n+1}^{m}\|x_{k}\|<\varepsilon ,}

\ left \ | \ sum_ {k = 1} ^ m x_k- \ sum_ {k = 1} ^ nx_k \ right \ | = \ left \ | \ sum_ {k = n + 1} ^ m x_k \ right \ | \ le \ sum_ {k = n + 1} ^ m \ | x_k \ | <\ varepsilon,

, что означает, что $∑ k = 1 nxk {\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} x_ {k}}$ $\ scriptstyle \ sum_ {k = 1} ^ nx_k$ - последовательность Коши в X, следовательно, ряд сходится в X.

Перегруппировки и безусловная сходимость

В общем контексте G-значного ряда проводится различие между абсолютной и безусловной сходимостью, и утверждение, что действительный или комплексный ряд, который не является абсолютно сходящимся, обязательно условно сходящийся (то есть не безусловно сходящийся) тогда является теоремой, а не определением. Это обсуждается более подробно ниже.

Дан ряд $∑ n = 0 ∞ an {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}}$ $\ sum _ {п = 0} ^ {\ infty} a_ {n}$ со значениями в нормированном абелева группа G и перестановка σ натуральных чисел, строится новый ряд $∑ n = 0 ∞ a σ (n) {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a _ {\ sigma (n)}}$ $\ sum_ {n = 0} ^ \ infty a _ {\ sigma (n)}$ , как говорят, перегруппировка исходной серии. Ряд называется безусловно сходящимся, если все перестановки ряда сходятся к одному и тому же значению.

Когда G полна, абсолютная сходимость влечет безусловную сходимость:

Теорема.Пусть

∑ i = 1 ∞ ai = A ∈ G, ∑ i = 1 ∞ ‖ ai ‖ < ∞ {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=A\in G,\quad \sum _{i=1}^{\infty }\|a_{i}\|<\infty }

\ sum _ {{i = 1}} ^ {\ infty} a_ {i} = A \ in G, \ quad \ sum _ {{i = 1}} ^ {\ infty} \ | a_ {i} \ | <\ infty

и пусть σ: N→ N- перестановка. Тогда:

∑ i = 1 ∞ a σ (i) = A. {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} a _ {\ sigma (i)} = A.}

\ sum _ {{i = 1}} ^ {\ infty} a _ {{\ sigma (i) }} = A.

Обратный вопрос интересен. Для вещественных рядов из теоремы Римана о перестановке следует, что безусловная сходимость влечет абсолютную сходимость. Поскольку ряд со значениями в конечномерном нормированном пространстве абсолютно сходится, если каждая из его одномерных проекций абсолютно сходится, отсюда следует, что абсолютная и безусловная сходимости совпадают для R-значного ряда.

Но есть безусловно и неабсолютно сходящиеся ряды со значениями в банаховом пространстве ℓ, например:

an = 1 nen, {\ displaystyle a_ {n} = {\ tfrac {1} {n}} e_ {n},}

a_ {n} = {\ tfrac {1} {n}} e_ {n},

где ${en} n = 1 ∞ {\ displaystyle \ {e_ {n} \} _ {n = 1} ^ {\ infty} }$ $\ {e_ {n} \} _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}}$ - ортонормированный базис. Теорема А. Дворецкий и К. А. Роджерс утверждает, что любое бесконечномерное банахово пространство допускает безусловно сходящийся ряд, который не является абсолютно сходящимся.

Доказательство теоремы

Для любого ε>0 мы можем выбрать некоторые $κ ε, λ ε ∈ N {\ displaystyle \ kappa _ {\ varepsilon}, \ lambda _ {\ varepsilon} \ in \ mathbb {N}}$ $\ kappa_ \ varepsilon , \ lambda_ \ varepsilon \ in \ mathbb {N}$ , такие, что:

∀ N>κ ε ∑ n = N ∞ ‖ an ‖ < ε 2 ∀ N >λ ε ‖ ∑ n = 1 N an - A ‖ < ε 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\forall N>\ kappa _ {\ varepsilon} & \ quad \ sum _ {n = N} ^ {\ infty} \ | a_ {n} \ | <{\tfrac {\varepsilon }{2}}\\\forall N>\ lambda _ {\ varepsilon} & \ quad \ left \ | \ sum _ {n = 1} ^ {N} a_ {n} -A \ right \ | <{\tfrac {\varepsilon }{2}}\end{aligned}}}

{\begin{aligned}\forall N>\ kappa _ {\ varepsilon} & \ quad \ sum _ {{n = N}} ^ {\ infty} \ | a_ {n} \ | <{\tfrac {\varepsilon }{2}}\\\forall N>\ lambda _ {\ varepsilon} & \ quad \ left \ | \ sum _ {{n = 1}} ^ {N} a_ {n} -A \ right \ | <{\tfrac {\varepsilon }{2}}\end{aligned}}

Пусть

N ε = max {κ ε, λ ε} M σ, ε знак равно макс {σ - 1 ({1,…, N ε})} {\ displaystyle {\ begin {align} N _ {\ varepsilon} & = \ max \ left \ {\ kappa _ {\ varepsilon}, \ lambda _ {\ varepsilon} \ right \} \\ M _ {\ sigma, \ varepsilon} & = \ max \ left \ {\ sigma ^ {- 1} \ left (\ left \ {1, \ dots, N_ { \ varepsilon} \ right \} \ right) \ right \} \ end {a ligned}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} N _ {\ varepsilon} & = \ max \ left \ {\ kappa _ {\ varepsilon}, \ lambda _ {\ varepsilon} \ right \} \\ M _ {\ sigma, \ varepsilon} & = \ max \ left \ {\ sigma ^ {- 1} \ left (\ left \ {1, \ dots, N _ {\ varepsilon} \ right \} \ right) \ right \} \ end {align}}}

Наконец, для любого целого $N>M σ, ε {\ displaystyle N>M _ {\ sigma, \ varepsilon}}$ $N>M _ {{\ sigma, \ varepsilon}}$ let I σ, ε = {1,…, N} ∖ σ - 1 ({1,…, N ε}) S σ, ε = min {σ (k): k ∈ I σ, ε} L σ, ε знак равно макс {σ (к): к ∈ я σ, ε} {\ displaystyle {\ begin {выровнено} I _ {\ sigma, \ varepsilon} & = \ left \ {1, \ ldots, N \ right \} \ setminus \ sigma ^ {- 1} \ left (\ left \ {1, \ dots, N _ {\ varepsilon} \ right \} \ right) \\ S _ {\ sigma, \ varepsilon} & = \ min \ left \ {\ sigma (k) \: \ k \ in I _ {\ sigma, \ varepsilon} \ right \} \\ L _ {\ sigma, \ varepsilon} & = \ max \ left \ {\ sigma (k) \: \ k \ в I _ {\ sigma, \ varepsilon} \ right \} \ end {align}}} ${\ displaystyle {\ begin {align} I _ {\ sigma, \ varepsilon} & = \ left \ {1, \ ldots , N \ right \} \ setminus \ sigma ^ {- 1} \ left (\ left \ {1, \ dots, N _ {\ varepsilon} \ right \} \ right) \\ S _ {\ sigma, \ varepsilon} & = \ min \ left \ {\ sigma (k) \: \ k \ in I _ {\ sigma, \ varepsilon} \ right \} \\ L _ {\ sigma, \ varep silon} & = \ max \ left \ {\ sigma (k) \: \ k \ in I _ {\ sigma, \ varepsilon} \ right \} \ end {align}}}$

Тогда

‖ ∑ i = 1 N a σ (i) - A ‖ = ‖ ∑ i ∈ σ - 1 ( {1,…, N ε}) a σ (i) - A + ∑ i ∈ I σ, ε a σ (i) ‖ ≤ ‖ ∑ j = 1 N ε aj - A ‖ + ‖ ∑ i ∈ I σ, ε a σ (i) ‖ ≤ ‖ ∑ j = 1 N ε aj - A ‖ + ∑ i ∈ I σ, ε ‖ a σ (i) ‖ ≤ ‖ ∑ j = 1 N ε aj - A ‖ + ∑ j = S σ, ε L σ, ε ‖ aj ‖ ≤ ‖ ∑ j = 1 N ε aj - A ‖ + ∑ j = N ε + 1 ∞ ‖ aj ‖ S σ, ε ≥ N ε + 1 < ε {\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|&=\left\|\sum _{i\in \sigma ^{-1}\left(\{1,\dots ,N_{\varepsilon }\}\right)}a_{\sigma (i)}-A+\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\left\|\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\sum _{j=S_{\sigma ,\varepsilon }}^{L_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{j}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\sum _{j=N_{\varepsilon }+1}^{\infty }\left\|a_{j}\right\|&&S_{\sigma ,\varepsilon }\geq N_{\varepsilon }+1\\&<\varepsilon \end{aligned}}}

{\ begin {align} \ left \ | \ sum _ {{i = 1}} ^ {N} a _ {{\ sigma (i)}} - A \ right \ | & = \ left \ | \ sum _ {{i \ in \ sigma ^ {{- 1}} \ left (\ {1, \ dots, N _ {\ varepsilon} \} \ right)}} a _ {{\ sigma (i)}} - A + \ sum _ {{i \ in I _ {{\ sigma, \ varepsilon}}}} a _ {{\ sigma (i)}} \ right \ | \\ & \ leq \ left \ | \ sum _ {{j = 1}} ^ {{N _ {\ varepsilon}}} a_ {j} -A \ right \ | + \ left \ | \ sum _ {{i \ in I _ {{\ sigma, \ varepsilon}}}} a _ {{\ sigma (i)}} \ right \ | \\ & \ leq \ left \ | \ sum _ {{j = 1}} ^ {{N _ {\ varepsilon}}} a_ { j} -A \ right \ | + \ sum _ {{i \ in I _ {{\ sigma, \ varepsilon}}}} \ left \ | a _ {{\ sigma (i)}} \ right \ | \\ & \ leq \ left \ | \ sum _ {{j = 1}} ^ {{N _ {\ varepsilon}}} a_ {j} -A \ right \ | + \ sum _ {{j = S _ {{\ sigma, \ varepsilon}}}} ^ {{L _ {{\ sigma, \ varepsilon}}}} \ left \ | a_ {j} \ right \ | \\ & \ leq \ left \ | \ sum _ {{j = 1 }} ^ {{N _ {\ varepsilon}}} a_ {j} -A \ right \ | + \ sum _ {{j = N _ {\ varepsilon} +1}} ^ {{\ infty}} \ left \ | a_ {j} \ right \ | && S _ {{\ sigma, \ varepsilon}} \ geq N _ {{\ varepsilon}} + 1 \\ & <\ varepsilon \ end {align}}

Это показывает, что

∀ ε>0, ∃ M σ, ε, ∀ N>M σ, ε ‖ ∑ i = 1 N a σ (i) - A ‖ < ε , {\displaystyle \forall \varepsilon >0, \ существует M _ {\ sigma, \ varepsilon}, \ forall N>M _ {\ sigma, \ varepsilon} \ quad \ left \ | \ sum _ {i = 1} ^ {N} a _ {\ sigma (i)} - A \ right \ | <\varepsilon ,}

\forall \varepsilon >0, \ exists M _ {{\ sigma, \ varepsilon}}, \ forall N>M _ {{\ sigma, \ varepsilon}} \ quad \ left \ | \ sum _ {{i = 1}} ^ {N} a _ {{\ sigma (i)}} - A \ right \ | <\varepsilon ,

то есть:

∑ я знак равно 1 ∞ a σ (я) = A {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} a _ {\ sigma (i)} = A}

\ sum _ {{i = 1}} ^ {\ infty} a _ {{\ sigma (i)}} = A

QED

Продукты ряда

произведение Коши двух рядов сходится к произведению сумм, если хотя бы один из рядов сходится абсолютно. То есть предположим, что

∑ n = 0 ∞ an = A {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} = A}

\ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n = A

∑ n = 0 ∞ bn = B {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {n} = B}

\ sum_ {n = 0} ^ \ infty b_n = B

Произведение Коши определяется как сумма членов c n где:

cn = ∑ k = 0 nakbn - k. {\ displaystyle c_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} b_ {nk}.}

c_n = \ sum_ {k = 0} ^ n a_k b_ {nk}.

Тогда, если a n или b n сумма абсолютно сходится, тогда

∑ n = 0 ∞ cn = AB. {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} = AB.}

\ sum_ {n = 0} ^ \ infty c_n = AB.

Абсолютная сходимость интегралов

интеграл $∫ A f (x) dx {\ displaystyle \ int _ {A} f (x) \, dx}$ $\ int_A f (x) \, dx$ вещественной или комплексной функции называется абсолютно сходящейся, если $∫ A | f (x) | d x < ∞. {\displaystyle \int _{A}\left|f(x)\right|\,dx<\infty.}$ $\ int_A \ слева | е (х) \ справа | \, dx <\ infty.$ Также говорят, что $f {\ displaystyle f}$ $f$ является абсолютно интегрируемым. Проблема абсолютной интегрируемости сложна и зависит от того, рассматривается ли интеграл Римана, Лебега или Курцвейла-Хенстока (калибровочный); для интеграла Римана это также зависит от того, рассматриваем ли мы только интегрируемость в собственном смысле ( $f {\ displaystyle f}$ $f$ и $A {\ displaystyle A}$ $A$ оба ограничены ) или допускают более общий случай несобственных интегралов.

В качестве стандартного свойства интеграла Римана, когда $A = [a, b] {\ displaystyle A = [a, b]}$ ${\ displaystyle A = [a, b]}$ является ограниченным интервалом, каждая непрерывная функция ограничена и (по Риману) интегрируема, и, поскольку $f {\ displaystyle f}$ $f$ непрерывный, подразумевает $| f | {\ displaystyle | f |}$ $| f |$ непрерывный, каждая непрерывная функция абсолютно интегрируема. Фактически, поскольку $g ∘ f {\ displaystyle g \ circ f}$ $g \ circ е$ интегрируется по Риману на $[a, b] {\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ если $f {\ displaystyle f}$ $f$ (правильно) интегрируемый и $g {\ displaystyle g}$ $g$ непрерывный, из этого следует, что $| f | = | ⋅ | ∘ f {\ displaystyle | f | = | \ cdot | \ circ f}$ ${\ displaystyle | f | = | \ cdot | \ circ f}$ правильно интегрируем по Риману, если $f {\ displaystyle f}$ $f$ . Однако это утверждение неверно в случае несобственных интегралов. Например, функция $f: [1, ∞) → R, x ↦ x - 1 sin ⁡ x {\ displaystyle f: [1, \ infty) \ to \ mathbb {R}, \ \ x \ mapsto. x ^ {- 1} \ sin x}$ ${\ displaystyle f: [1, \ infty) \ to \ mathbb {R }, \ \ x \ mapsto x ^ {- 1} \ sin x}$ неправильно интегрируем по Риману на своей неограниченной области, но не абсолютно интегрируем:

$∫ 1 ∞ sin ⁡ xxdx = 1 2 [π - 2 S i (1)] ≈ 0,62, {\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} \, dx = {\ frac {1} {2}} {\ big [} \ pi -2 \, \ mathrm {Si} (1) {\ big]} \ приблизительно 0,62,}$ ${\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} \, dx = {\ frac {1} {2}} {\ big [} \ pi -2 \, \ mathrm {Si} (1) {\ big]} \ приблизительно 0,62 ,}$ , но $∫ 1 ∞ | грех ⁡ х х | dx = ∞ {\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ Big |} {\ frac {\ sin x} {x}} {\ Big |} \, dx = \ infty}$ ${\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ Big | } {\ frac {\ sin x} {x}} {\ Big |} \, dx = \ infty}$ .

Действительно в более общем плане, для любой серии $∑ n = 0 ∞ an {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}}$ $\ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n$ можно рассматривать связанные пошаговая функция $fa: [0, ∞) → R {\ displaystyle f_ {a}: [0, \ infty) \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f_ {a}: [0, \ infty) \ rightarrow \ mathbb {R}}$ определяется как $fa ([n, n + 1)) = an {\ displaystyle f_ {a} ([n, n + 1)) = a_ {n}}$ $f_a ([n , n + 1)) = a_n$ . Тогда $∫ 0 ∞ fadx {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} f_ {a} \, dx}$ $\ int_0 ^ \ infty f_a \, dx$ сходится абсолютно, сходится условно или расходится согласно соответствующему поведению $∑ n = 0 ∞ an. {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}.}$ $\ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n.$

Иная ситуация для интеграла Лебега, который не обрабатывает ограниченные и неограниченные области интегрирования отдельно (см. ниже). Дело в том, что интеграл от $| f | {\ displaystyle | f |}$ $| f |$ неограничен в приведенных выше примерах означает, что $f {\ displaystyle f}$ $f$ также не интегрируется в смысле Лебега. Фактически, в теории интеграции Лебега, учитывая, что $f {\ displaystyle f}$ $f$ измеримо, $f {\ displaystyle f}$ $f$ интегрируемо (по Лебегу) тогда и только тогда, когда $| f | {\ displaystyle | f |}$ $| f |$ является интегрируемым (по Лебегу). Однако гипотеза о том, что $f {\ displaystyle f}$ $f$ измеримо, имеет решающее значение; в целом неверно, что абсолютно интегрируемые функции на $[a, b] {\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ интегрируемы (просто потому, что их нельзя измерить): let $S ⊂ [a, b] {\ displaystyle S \ subset [a, b]}$ $S \ subset [a, b]$ быть неизмеримым подмножеством и рассматривать $f = χ S - 1/2, { \ displaystyle f = \ chi _ {S} -1/2,}$ $f = \ chi_S - 1/2,$ где $χ S {\ displaystyle \ chi _ {S}}$ $\ chi_S$ - характеристика функция из $S {\ displaystyle S}$ $S$ . Тогда $f {\ displaystyle f}$ $f$ не измеримо по Лебегу и, следовательно, не интегрируемо, но $| f | ≡ 1/2 {\ displaystyle | f | \ Equiv 1/2}$ ${\ displaystyle | f | \ эквив 1/2}$ - постоянная функция, очевидно, интегрируемая.

С другой стороны, функция $f {\ displaystyle f}$ $f$ может быть интегрируемой по Курцвейлу-Хенстоку (калибровочно-интегрируемой), в то время как $| f | {\ displaystyle | f |}$ $| f |$ - нет. Это включает случай неправильно интегрируемых по Риману функций.

В общем смысле на любом пространстве мер $A {\ displaystyle A}$ $A$ интеграл Лебега вещественнозначной функции определяется в терминах положительных и отрицательных частей, поэтому факты:

интегрируемость f влечет | f | интегрируемая
f измерима, | f | интегрируемые влечет f интегрируемые

, по сути, встроены в определение интеграла Лебега. В частности, применяя теорию к счетной мере на множестве S, можно восстановить понятие неупорядоченного суммирования рядов, разработанное Муром – Смитом с использованием (так называемых сейчас) сетей. Когда S = N- множество натуральных чисел, интегрируемость по Лебегу, неупорядоченная суммируемость и абсолютная сходимость совпадают.

Наконец, все вышесказанное верно для интегралов со значениями в банаховом пространстве. Определение банаховозначного интеграла Римана является очевидной модификацией обычного. Для интеграла Лебега нужно обойти разложение на положительные и отрицательные части с помощью более функционально-аналитического подхода Даниэля, получив интеграл Бохнера.

См. Также

Ссылки

^Schaefer & Wolff 1999 , стр. 179-180.
^Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 71–72. ISBN 0-07-054235-X.
^Меггинсон, Роберт Э. (1998), Введение в теорию пространства Банаха, Тексты для выпускников по математике, 183, Нью-Йорк: Springer-Verlag, p. 20, ISBN 0-387-98431-3 (теорема 1.3.9)
^Дворецкий, А.; Роджерс, К. А. (1950), "Абсолютная и безусловная сходимость в линейных нормированных пространствах", Proc. Natl. Акад. Sci. США 36: 192–197.

Цитированные работы

Шефер, Хельмут Х. ; (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8(Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.

Общие ссылки

; (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Вальтер Рудин, Принципы математического анализа (McGraw-Hill: New York, 1964).
Питч, Альбрехт (1972). Ядерные локально выпуклые пространства. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0. OCLC 539541.
Робертсон, А. П. (1973). Топологические векторные пространства. Кембридж, Англия: Издательство университета. ISBN 0-521-29882-2. OCLC 589250.
Райан, Раймонд (2002). Введение в тензорные произведения банаховых пространств. Лондон Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 1-85233-437-1. OCLC 48092184.
Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
Вонг (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC 5126158.