Эллиптическая функция Вейерштрасса

«P-функция» перенаправляется сюда. Для функции фазового пространства, представляющей квантовое состояние, см. P-представление Глаубера – Сударшана.

В математике, в Вейерштрасса эллиптических функций являются эллиптическими функциями, которые принимают особенно простую форму. Они названы в честь Карла Вейерштрасса. Этот класс функций также называют ℘-функциями, и они обычно обозначаются символом ℘, уникально причудливым скриптом p. Они играют важную роль в теории эллиптических функций. ℘-функция вместе с ее производной может использоваться для параметризации эллиптических кривых, и они генерируют поле эллиптических функций относительно заданной решетки периодов.

Символ Вейерштрасса -функции ${\ displaystyle \ wp}$

Модель Вейерштрасса -функции${\ displaystyle \ wp}$

• 1 Определение
• 2 Мотивация
• 3 свойства
• 4 расширение Лорана
• 5 Дифференциальное уравнение
• 6 инвариантов
• 7 Модульный дискриминант
• 8 Константы e 1, e 2 и e 3
• 9 Связь с эллиптическими кривыми
• 10 теорем сложения
• 11 Связь с эллиптическими функциями Якоби
• 12 Типографика
• 13 См. Также
• 14 Сноски
• 15 Ссылки
• 16 Внешние ссылки

Визуализация -функции с инвариантами и в которой белый соответствует полюсу, черной к нулю.${\ displaystyle \ wp}$${\ displaystyle g_ {2} = 1 + i}$${\ displaystyle g_ {3} = 2-3i}$

Пусть будет два комплексных числа, которые линейно независимы над и пусть будет решетка, порожденная этими числами. Тогда -функция определяется следующим образом: ${\ displaystyle \ omega _ {1}, \ omega _ {2} \ in \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ Lambda: = \ mathbb {Z} \ omega _ {1} + \ mathbb {Z} \ omega _ {2}: = \ {m \ omega _ {1} + n \ omega _ {2}: м, п \ дюйм \ mathbb {Z} \}}$ ${\ displaystyle \ wp}$

${\ displaystyle \ wp (z, \ omega _ {1}, \ omega _ {2}): = \ wp (z, \ Lambda): = {\ frac {1} {z ^ {2}}} + \ сумма _ {\ lambda \ in \ Lambda \ smallsetminus \ {0 \}} \ left ({\ frac {1} {(z- \ lambda) ^ {2}}} - {\ frac {1} {\ lambda ^ {2}}} \ right).}$

Этот ряд сходится локально равномерно абсолютно в. Часто а не только пишется. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ smallsetminus \ Lambda}$${\ Displaystyle \ WP (г, \ омега _ {1}, \ омега _ {2})}$${\ Displaystyle \ WP (г)}$

Функция Вейерштрасса построена точно таким образом, что в каждой точке решетки имеет полюс второго порядка. ${\ displaystyle \ wp}$

Поскольку одна сумма не сходится, необходимо добавить член. ${\ textstyle \ sum _ {\ lambda \ in \ Lambda} (z- \ lambda) ^ {- 2}}$${\ textstyle - \ lambda ^ {- 2}}$

Принято использовать и в верхней полуплоскости в качестве образующих решетки. Деление на отображает решетку изоморфно на решетку с. Поскольку может быть заменено на, без потери общности мы можем предположить, а затем определить. ${\ displaystyle 1}$${\ Displaystyle \ тау}$ ${\ displaystyle {H}: = \ {z \ in \ mathbb {C}: \ operatorname {Im} (z)gt; 0 \}}$${\ textstyle \ omega _ {1}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} \ omega _ {1} + \ mathbb {Z} \ omega _ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} + \ mathbb {Z} \ tau}$${\ textstyle \ tau = {\ tfrac {\ omega _ {2}} {\ omega _ {1}}}}$${\ displaystyle - \ tau}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle \ tau \ in \ mathbb {H}}$${\ Displaystyle \ wp (z, \ тау): = \ wp (z, 1, \ тау)}$

Кубика вида, где - комплексные числа с, не может быть рационально параметризована. Тем не менее, все еще хочется найти способ параметризации. ${\ displaystyle C_ {g_ {2}, g_ {3}} ^ {\ mathbb {C}} = \ {(x, y) \ in \ mathbb {C} ^ {2}: y ^ {2} = 4x ^ {3} -g_ {2} x + g_ {3} \}}$${\ displaystyle g_ {2}, g_ {3} \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle g_ {2} ^ {3} -27g_ {3} ^ {2} \ neq 0}$

Для квадрики, единичного круга, существует (нерациональная) параметризация с использованием функции синуса и ее производной функции косинуса: ${\ displaystyle K = \ left \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2}: x ^ {2} + y ^ {2} = 1 \ right \}}$

${\ displaystyle \ psi: \ mathbb {R} / 2 \ pi \ mathbb {Z} \ to K, \ quad t \ mapsto (\ sin t, \ cos t)}$.

Из-за периодичности синуса и косинуса в качестве домена выбрана функция, поэтому функция является биективной. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} / 2 \ pi \ mathbb {Z}}$

Аналогичным образом можно получить параметризацию с помощью двоякопериодической -функции (см. Раздел «Связь с эллиптическими кривыми»). Эта параметризация имеет область, топологически эквивалентную тору. ${\ displaystyle C_ {g_ {2}, g_ {3}} ^ {\ mathbb {C}}}$${\ displaystyle \ wp}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} / \ Lambda}$

Есть еще одна аналогия с тригонометрическими функциями. Рассмотрим интегральную функцию

${\ displaystyle a (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {dy} {\ sqrt {1-y ^ {2}}}}}$.

Его можно упростить, заменив и: ${\ Displaystyle у = \ грех т}$${\ displaystyle s = \ arcsin x}$

${\ Displaystyle а (х) = \ int _ {0} ^ {s} dt = s = \ arcsin x}$.

Это значит. Таким образом, синусоидальная функция является обратной функцией интегральной функции. ${\ Displaystyle а ^ {- 1} (х) = \ грех х}$

Эллиптические функции также являются функциями, обратными интегральным функциям, а именно эллиптическим интегралам. В частности, -функция получается следующим образом: ${\ displaystyle \ wp}$

Позволять

${\ displaystyle u (z) = - \ int _ {z} ^ {\ infty} {\ frac {ds} {\ sqrt {4s ^ {3} -g_ {2} s-g_ {3}}}}}$.

Затем его можно продолжить на комплексную плоскость, и это расширение будет равно -функции. ${\ displaystyle u ^ {- 1}}$${\ displaystyle \ wp}$

• ℘ - четная функция. Это означает для всех, что можно увидеть следующим образом:${\ Displaystyle \ WP (Z) = \ WP (-z)}$${\ Displaystyle г \ в \ mathbb {C} \ smallsetminus \ Lambda}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ wp (-z) amp; = {\ frac {1} {(- z) ^ {2}}} + \ sum _ {\ lambda \ in \ Lambda \ smallsetminus \ {0 \}} \ left ({\ frac {1} {(- z- \ lambda) ^ {2}}} - {\ frac {1} {\ lambda ^ {2}}} \ right) \\ [4pt] amp; = {\ frac {1} {z ^ {2}}} + \ sum _ {\ lambda \ in \ Lambda \ smallsetminus \ {0 \}} \ left ({\ frac {1} {(z + \ lambda) ^ {2}}} - {\ frac {1} {\ lambda ^ {2}}} \ right) \\ [4pt] amp; = {\ frac {1} {z ^ {2}}} + \ sum _ {\ lambda \ in \ Lambda \ smallsetminus \ {0 \}} \ left ({\ frac {1} {(z- \ lambda) ^ {2}}} - {\ frac {1} {\ lambda ^ {2 }}} \ right) = \ wp (z). \ end {align}}}$

Второе последнее равенство выполняется, потому что. Поскольку сумма абсолютно сходится, эта перестановка не меняет предела. ${\ displaystyle \ {- \ lambda: \ lambda \ in \ Lambda \} = \ Lambda}$

• ℘ мероморфен, и его производная

${\ displaystyle \ wp '(z) = - 2 \ sum _ {\ lambda \ in \ Lambda} {\ frac {1} {(z- \ lambda) ^ {3}}}.}$

• ${\ displaystyle \ wp}$и двоякопериодичны с периодами und. Это означает:${\ displaystyle \ wp '}$${\ displaystyle \ omega _ {1}}$${\ displaystyle \ omega _ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ wp (z + \ omega _ {1}) amp; = \ wp (z) = \ wp (z + \ omega _ {2}), \ {\ textrm {и}} \\ [3mu] \ wp '(z + \ omega _ {1}) amp; = \ wp' (z) = \ wp '(z + \ omega _ {2}). \ End {align}}}$

Отсюда следует и для всех. Функции, которые являются мероморфными и двоякопериодическими, также называются эллиптическими функциями. ${\ Displaystyle \ WP (Z + \ лямбда) = \ WP (Z)}$${\ Displaystyle \ wp '(z + \ лямбда) = \ wp' (z)}$${\ displaystyle \ lambda \ in \ Lambda}$

Пусть. Тогда для в -функции имеет следующее разложение в ряд Лорана ${\ displaystyle r: = \ min \ {{| \ lambda} |: 0 \ neq \ lambda \ in \ Lambda \}}$${\ Displaystyle 0 lt;| г | lt;г}$${\ displaystyle \ wp}$

${\ displaystyle \ wp (z) = {\ frac {1} {z ^ {2}}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (2n + 1) G_ {2n + 2} z ^ {2n}}$

куда

${\ Displaystyle G_ {п} = \ сумма _ {0 \ neq \ lambda \ in \ Lambda} \ lambda ^ {- n}}$ ибо это так называемые ряды Эйзенштейна. ${\ Displaystyle п \ geq 3}$

Установите и. Тогда -функция удовлетворяет дифференциальному уравнению ${\ displaystyle g_ {2} = 60 ГБ_ {4}}$${\ displaystyle g_ {3} = 140G_ {6}}$${\ displaystyle \ wp}$

${\ Displaystyle \ wp '^ {2} (z) = 4 \ wp ^ {3} (z) -g_ {2} \ wp (z) -g_ {3}}$.

Это соотношение может быть проверено путем формирования линейной комбинации степеней и исключения полюса в точке. Это дает целую эллиптическую функцию, которая должна быть постоянной по теореме Лиувилля. ${\ displaystyle \ wp}$${\ displaystyle \ wp '}$${\ displaystyle z = 0}$

Действительная часть инварианта g 3 как функция номера q на единичном круге. Мнимая часть инварианта g 3 как функция номера q на единичном круге.

Коэффициенты вышеуказанного дифференциального уравнения g 2 и g 3 известны как инварианты. Поскольку они зависят от решетки, их можно рассматривать как функции в и. ${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ omega _ {1}}$${\ displaystyle \ omega _ {2}}$

Разложение в ряд предполагает, что g 2 и g 3 являются однородными функциями степени −4 и −6. То есть

${\ displaystyle g_ {2} (\ lambda \ omega _ {1}, \ lambda \ omega _ {2}) = \ lambda ^ {- 4} g_ {2} (\ omega _ {1}, \ omega _ { 2})}$

${\ displaystyle g_ {3} (\ lambda \ omega _ {1}, \ lambda \ omega _ {2}) = \ lambda ^ {- 6} g_ {3} (\ omega _ {1}, \ omega _ { 2})}$для.${\ displaystyle \ lambda \ neq 0}$

Если и выбраны таким образом, что g 2 и g 3 можно интерпретировать как функции в верхней полуплоскости. ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$${\ displaystyle \ omega _ {2}}$${\ displaystyle \ operatorname {Im} \ left ({\ tfrac {\ omega _ {2}} {\ omega _ {1}}} \ right)gt; 0}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H}: = \ {z \ in \ mathbb {C}: \ operatorname {Im} (z)gt; 0 \}}$

Пусть. Надо: ${\ displaystyle \ tau = {\ tfrac {\ omega _ {2}} {\ omega _ {1}}}}$

${\ displaystyle g_ {2} (1, \ tau) = \ omega _ {1} ^ {4} g_ {2} (\ omega _ {1}, \ omega _ {2})}$,

${\ displaystyle g_ {3} (1, \ tau) = \ omega _ {1} ^ {6} g_ {3} (\ omega _ {1}, \ omega _ {2})}$.

Это означает, что g 2 и g 3 масштабируются только таким образом. Установленный

${\ displaystyle g_ {2} (\ tau): = g_ {2} (1, \ tau)}$,. ${\ displaystyle g_ {3} (\ tau): = g_ {3} (1, \ tau)}$

В качестве функций используются так называемые модульные формы. ${\ displaystyle \ tau \ in \ mathbb {H}}$ ${\ displaystyle g_ {2}, g_ {3}}$

Ряд Фурье для и приведены следующим образом: ${\ displaystyle g_ {2}}$${\ displaystyle g_ {3}}$

${\ displaystyle g_ {2} (\ tau) = {\ frac {4} {3}} \ pi ^ {4} \ left [1 + 240 \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ sigma _ {3} (k) q ^ {2k} \ right]}$

${\ displaystyle g_ {3} (\ tau) = {\ frac {8} {27}} \ pi ^ {6} \ left [1-504 \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ sigma _ {5} (k) q ^ {2k} \ right]}$

куда

${\ displaystyle \ sigma _ {a} (k): = \ sum _ {d \ mid {k}} d ^ {\ alpha}}$

- функция делителя и. ${\ Displaystyle д: = е ^ {я \ пи \ тау}}$

Действительная часть дискриминанта как функция номера q на единичном диске.

Модульное дискриминант Δ определяется как дискриминант многочлена в правой части приведенного выше дифференциального уравнения:

${\ displaystyle \ Delta = g_ {2} ^ {3} -27g_ {3} ^ {2}. \,}$

Дискриминант представляет собой модульную форму веса 12. То есть под действием модулярной группы он преобразуется как

${\ Displaystyle \ Delta \ left ({\ frac {a \ tau + b} {c \ tau + d}} \ right) = \ left (c \ tau + d \ right) ^ {12} \ Delta (\ tau)}$

где с ad  -  bc = 1. ${\ displaystyle a, b, d, c \ in \ mathbb {Z}}$

Обратите внимание, где находится эта функция Дедекинда. ${\ Displaystyle \ Delta = (2 \ pi) ^ {12} \ eta ^ {24}}$${\ displaystyle \ eta}$

Для коэффициентов Фурье см тау-функцию Рамануджана. ${\ displaystyle \ Delta}$

${\ displaystyle e_ {1}}$, и обычно используются для обозначения значений -функции на полупериодах. ${\ displaystyle e_ {2}}$${\ displaystyle e_ {3}}$${\ displaystyle \ wp}$

${\ Displaystyle е_ {1} \ Equiv \ wp \ left ({\ frac {\ omega _ {1}} {2}} \ right)}$

${\ Displaystyle е_ {2} \ Equiv \ WP \ left ({\ frac {\ omega _ {2}} {2}} \ right)}$

${\ Displaystyle е_ {3} \ Equiv \ WP \ left ({\ frac {\ omega _ {1} + \ omega _ {2}} {2}} \ right)}$

Они попарно различны и зависят только от решетки, а не от ее образующих. ${\ displaystyle \ Lambda}$

${\ displaystyle e_ {1}}$, и являются корнями кубического многочлена и связаны уравнением: ${\ displaystyle e_ {2}}$${\ displaystyle e_ {3}}$${\ Displaystyle 4 \ WP (г) ^ {3} -g_ {2} \ WP (г) -g_ {3}}$

${\ displaystyle e_ {1} + e_ {2} + e_ {3} = 0}$.

Поскольку эти корни различны, дискриминант не обращается в нуль в верхней полуплоскости. Теперь мы можем переписать дифференциальное уравнение: ${\ displaystyle \ Delta}$

${\ Displaystyle \ wp '^ {2} (z) = 4 (\ wp (z) -e_ {1}) (\ wp (z) -e_ {2}) (\ wp (z) -e_ {3})}$.

Это означает, что полупериоды равны нулю. ${\ displaystyle \ wp '}$

Инварианты и можно выразить через эти константы следующим образом: ${\ displaystyle g_ {2}}$${\ displaystyle g_ {3}}$

${\ displaystyle g_ {2} = - 4 (e_ {1} e_ {2} + e_ {1} e_ {3} + e_ {2} e_ {3})}$

${\ displaystyle g_ {3} = 4e_ {1} e_ {2} e_ {3}}$

Рассмотрим проективную кубическую кривую

${\ displaystyle {\ bar {C}} _ ​​{g_ {2}, g_ {3}} ^ {\ mathbb {C}} = \ {(x, y) \ in \ mathbb {C} ^ {2}: y ^ {2} = 4x ^ {3} -g_ {2} x + g_ {3} \} \ cup \ {\ infty \} \ subset \ mathbb {P} _ {\ mathbb {C}} ^ {2 }}$.

Для этой кубики, также называемой кубикой Вейерштрасса, не существует рациональной параметризации, если. В этом случае ее еще называют эллиптической кривой. Тем не менее, существует параметризация, в которой используется -функция и ее производная: ${\ displaystyle \ Delta \ neq 0}$${\ displaystyle \ wp}$${\ displaystyle \ wp '}$

${\ displaystyle \ varphi: \ mathbb {C} / \ Lambda \ to {\ bar {C}} _ ​​{g_ {2}, g_ {3}} ^ {\ mathbb {C}}, \ quad {\ bar { z}} \ mapsto {\ begin {cases} (\ wp (z), \ wp '(z), 1) amp; {\ bar {z}} \ neq 0 \\\ infty \ quad amp; {\ bar {z }} = 0 \ end {case}}}$

Теперь карта является биективен и параметризует эллиптической кривой. ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle {\ bar {C}} _ ​​{g_ {2}, g_ {3}} ^ {\ mathbb {C}}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {C} / \ Lambda}$является абелевой группой и топологическим пространством, наделенным фактор-топологией.

Можно показать, что каждая кубика Вейерштрасса задана таким образом. То есть для каждой пары с существует решетка такая, что ${\ displaystyle g_ {2}, g_ {3} \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ Delta = g_ {2} ^ {3} -27g_ {3} ^ {2} \ neq 0}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} \ omega _ {1} + \ mathbb {Z} \ omega _ {2}}$

${\ displaystyle g_ {2} = g_ {2} (\ omega _ {1}, \ omega _ {2})}$и. ${\ displaystyle g_ {3} = g_ {3} (\ omega _ {1}, \ omega _ {2})}$

Утверждение о том, что эллиптические кривые можно параметризовать, известно как теорема модульности. Это важная теорема теории чисел. Это было частью доказательства Эндрю Уайлса (1995) Великой теоремы Ферма. ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Давай, так что. Тогда есть: ${\ displaystyle z, w \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle z, w, z + w, zw \ notin \ Lambda}$

${\ displaystyle \ wp (z + w) = {\ frac {1} {4}} \ left [{\ frac {\ wp '(z) - \ wp' (w)} {\ wp (z) - \ wp (w)}} \ right] ^ {2} - \ wp (z) - \ wp (w)}$.

А также формула дублирования:

${\ displaystyle \ wp (2z) = {\ frac {1} {4}} \ left [{\ frac {\ wp '' (z)} {\ wp '(z)}} \ right] ^ {2} -2 \ wp (z)}$.

Эти формулы также имеют геометрическую интерпретацию, если посмотреть на эллиптическую кривую вместе с отображением, как в предыдущем разделе. ${\ displaystyle {\ bar {C}} _ ​​{g_ {2}, g_ {3}} ^ {\ mathbb {C}}}$${\ displaystyle {\ varphi}: \ mathbb {C} / \ Lambda \ to {\ bar {C}} _ ​​{g_ {2}, g_ {3}} ^ {\ mathbb {C}}}$

Групповая структура переводится в кривую и может быть там геометрически интерпретирована: ${\ Displaystyle (\ mathbb {C} / \ Lambda, +)}$${\ displaystyle {\ bar {C}} _ ​​{g_ {2}, g_ {3}} ^ {\ mathbb {C}}}$

Сумма трех попарно различных точек равна нулю тогда и только тогда, когда они лежат на одной прямой в. ${\ displaystyle a, b, c \ in {\ bar {C}} _ ​​{g_ {2}, g_ {3}} ^ {\ mathbb {C}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {\ mathbb {C}} ^ {2}}$

Это эквивалентно:

${\ displaystyle \ det \ left ({\ begin {array} {rrr} 1 amp; \ wp (u + v) amp; - \ wp '(u + v) \\ 1 amp; \ wp (v) amp; \ wp' (v) \\ 1 amp; \ wp (u) amp; \ wp '(u) \\\ end {array}} \ right) = 0}$,

где, и. ${\ Displaystyle \ WP (и) = а}$${\ Displaystyle \ WP (v) = Ь}$${\ displaystyle u, v \ notin \ Lambda}$

Для численной работы часто удобно вычислять эллиптическую функцию Вейерштрасса в терминах эллиптических функций Якоби.

Основные отношения:

${\ displaystyle \ wp (z) = e_ {3} + {\ frac {e_ {1} -e_ {3}} {\ operatorname {sn} ^ {2} w}} = e_ {2} + (e_ { 1} -e_ {3}) {\ frac {\ operatorname {dn} ^ {2} w} {\ operatorname {sn} ^ {2} w}} = e_ {1} + (e_ {1} -e_ { 3}) {\ frac {\ operatorname {cn} ^ {2} w} {\ operatorname {sn} ^ {2} w}}}$

где и - три корня, описанные выше, и где модуль k функций Якоби равен ${\ displaystyle e_ {1}, e_ {2}}$${\ displaystyle e_ {3}}$

${\ displaystyle k = {\ sqrt {\ frac {e_ {2} -e_ {3}} {e_ {1} -e_ {3}}}}}$

и их аргумент w равен

${\ displaystyle w = z {\ sqrt {e_ {1} -e_ {3}}}.}$

Эллиптическая функция Вейерштрасса обычно записывается довольно специальной строчной буквой ℘.

В вычислительной технике буква ℘ используется как \wpв TeX. В Unicode точка код U + 2118 ℘ SCRIPT КАПИТАЛ Р (HTML  amp;#8472;  amp;weierp;, amp;wp;), с более правильным псевдонимом Вейерштрасса эллиптической функции. В HTML это может быть экранировано как amp;weierp;.

Информация о персонаже

Предварительный просмотр	℘
Юникод имя	SCRIPT CAPITAL P / ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ WEIERSTRASS
Кодировки	десятичный	шестнадцатеричный
Юникод	8472	U + 2118
UTF-8	226 132 152	E2 84 98
Ссылка на числовые символы	amp; # 8472;	amp; # x2118;
Ссылка на именованный символ	amp; weierp ;, amp; wp;

• Функции Вейерштрасса

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 18». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 627. ISBN   978-0-486-61272-0. LCCN   64-60036. Руководство по ремонту   0167642. LCCN   65-12253.
• Н. И. Ахиезер, Элементы теории эллиптических функций, (1970) Москва, переведено на английский как AMS Переводы математических монографий Том 79 (1990) AMS, Род-Айленд ISBN   0-8218-4532-2
• Том М. Апостол, Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел, второе издание (1990), Springer, New York ISBN   0-387-97127-0 (см. Главу 1.)
• К. Чандрасекхаран, Эллиптические функции (1980), Springer-Verlag ISBN   0-387-15295-4
• Конрад Кнопп, Funktionentheorie II (1947), Dover Publications; Переиздано в английском переводе как Theory of Functions (1996), Dover Publications ISBN   0-486-69219-1
• Серж Лэнг, Эллиптические функции (1973), Аддисон-Уэсли, ISBN   0-201-04162-6
• Е. Т. Уиттакер и Г. Н. Уотсон, Курс современного анализа, Cambridge University Press, 1952, главы 20 и 21

• "Эллиптические функции Вейерштрасса", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Эллиптические функции Вейерштрасса на Mathworld.
• Глава 23, Эллиптические и модульные функции Вейерштрасса в DLMF ( Электронная библиотека математических функций ), написанная В.П. Рейнхардтом и П.Л. Уокером.