Матрица Ханкеля

В линейной алгебре, матрица Ханкеля (или каталектикант матрица ), названная в честь Германа Ганкеля, представляет собой квадратную матрицу , в которой каждая восходящая косо-диагональ слева направо является постоянной, например:

$[abcdebcdefcdefgdefghe\; fghi].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; a\; b\; c\; d\; e\; \backslash \backslash \; b\; c\; d\; e\; f\; \backslash \backslash \; c\; d\; e\; f\; g\; \backslash \backslash \; d\; e\; f\; g\; h\; \backslash \backslash \; e\; f\; g\; h\; i\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

В более общем смысле, a матрица Ганкеля любая 57>n × n {\ displaystyle n \ times n}матрица $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$формы

$A\; =\; [a\; 0\; a\; 1\; a\; 2\; \dots \dots \; An\; -\; 1\; a\; 1\; a\; 2\; ⋮\; a\; 2\; ⋮\; ⋮\; a\; 2\; n\; -\; 4\; ⋮\; a\; 2\; n\; -\; 4\; a\; 2\; n\; -\; 3\; an\; -\; 1\dots \dots \; a\; 2\; n\; -\; 4\; a\; 2\; n\; -\; 3\; a\; 2\; n\; -\; 2\; ].\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; a\_\; \{0\}\; a\_\; \{1\}\; a\_\; \{2\}\; \backslash \; ldots\; \backslash \; ldots\; a\_\; \{n-1\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{1\}\; a\_\; \{2\}\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; a\_\; \{2\}\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; a\_\; \{2n-4\}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; a\_\; \{2n-4\}\; a\_\; \{2n-3\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{n-1\}\; \backslash \; ldots\; \backslash \; ldots\; a\_\; \{2n\; -4\}\; a\_\; \{2n-3\}\; a\_\; \{2n-2\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

С точки зрения компонентов, если $i,\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; i,\; j\}$элемент $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$обозначается с помощью $A\; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{ij\}\}$, и предполагается, что $i\; \le \; j\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; leq\; j\}$, тогда у нас есть $A\; i,\; j\; =\; A\; i\; +\; k,\; j\; -\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{i,\; j\}\; =\; A\_\; \{i\; +\; k,\; jk\}\}$для всех $k\; =\; 0,...,\; j\; -\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; 0,...,\; ji\}$.

• 1 Некоторые свойства и факты
• 2 Оператор Ганкеля
• 3 Преобразование Ханкеля
• 4 Применение матриц Ганкеля
  • 4.1 Метод моментов для полиномиальных распределений
  • 4.2 Положительные матрицы Ганкеля и проблемы моментов Гамбургера
• 5 См. Также
• 6 Примечания
• 7 Ссылки

• Матрица Ганкеля симметричная матрица.
• . Пусть $J\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{n\}\}$будет матрицей обмена порядка $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \}$. Если $H\; (m,\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (m,\; n)\}$- это $m\; \times \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; times\; n\}$матрица Ганкеля, то $H\; (m,\; n)\; =\; T\; (m,\; n)\; J\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (m,\; n)\; =\; T\; (m,\; n)\; \backslash ,\; J\_\; \{n\}\}$, где $T\; (m,\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (m,\; n)\}$- это a $m\; \times \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; times\; n\}$матрица Теплица.
  • Если $T\; (n,\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (n,\; n)\}$вещественно симметрично, то $H\; (n,\; n)\; =\; T\; (n,\; n)\; J\; n\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; H\; (n,\; n)\; =\; T\; (n,\; n)\; \backslash ,\; J\_\; \{n\}\}$будет иметь те же собственные значения, что и $T\; (n,\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (n,\; n)\}$до знака.

• Матрица Гильберта является примером матрицы Ганкеля.

Оператор Ганкеля в гильбертовом пространстве - это пространство, матрица которого является (возможно, бесконечной) матрицей Ганкеля относительно ортонормированного базиса . Как указано выше, матрица Ганкеля - это матрица с постоянными значениями вдоль ее антидиагоналей, что означает, что матрица Ганкеля $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$должна удовлетворять для всех строк $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$и столбцы $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$, $(A\; i,\; j)\; i,\; j\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; (A\_\; \{i,\; j\})\; \_\; \{i,\; j\; \backslash \; geq\; 1\}\}$. Обратите внимание, что каждая запись $A\; i,\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{i,\; j\}\}$зависит только от $i\; +\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; +\; j\}$.

Пусть соответствующий Оператор Ганкеля be $H\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\}$. Для матрицы Ганкеля $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$соответствующий оператор Ганкеля определяется как $H\; \alpha \; (u)\; =\; A\; u\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; (u)\; =\; Au\}$.

Нас часто интересуют операторы Ганкеля $H\; \alpha :\; \ell \; 2\; (Z\; +\; \cup \; \{0\})\; \to \; \ell \; 2\; (Z\; +\; \cup \; \{0\})\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; alpha\}:\; \backslash \; ell\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (Z\; ^\; \{+\}\; \backslash \; cup\; \backslash \; \{0\; \backslash \}\; \backslash \; right)\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; ell\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{+\}\; \backslash \; cup\; \backslash \; \{0\; \backslash \}\; \backslash \; right)\}$над гильбертовым пространством $\ell \; 2\; (Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbf\; \{Z\})\}$, пространство квадрата интегрируемые двусторонние сложные последовательности. Для любого $u\; \in \; \ell \; 2\; (Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \backslash \; in\; \backslash \; ell\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbf\; \{Z\})\}$имеем

$\Vert \; u\; \Vert \; \ell \; 2\; (\; z)\; 2\; =\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; |\; u\; n\; |\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; u\; \backslash \; |\; \_\; \{\backslash \; ell\; ^\; \{2\}\; (z)\}\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; |\; u\_\; \{n\}\; \backslash \; right\; |\; ^\; \{2\}\}$

Нас часто интересуют приближения операторов Ганкеля, возможно, операторами низкого порядка. Чтобы аппроксимировать выходные данные оператора, мы можем использовать спектральную норму (оператор 2-норма), чтобы измерить ошибку нашего приближения. Это предполагает разложение по сингулярным числам как возможный метод для приблизительного описания действия оператора.

Обратите внимание, что матрица $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$не обязательно должна быть конечной. Если оно бесконечно, традиционные методы вычисления отдельных сингулярных векторов не будут работать напрямую. Мы также требуем, чтобы аппроксимация была матрицей Ганкеля, что может быть показано с помощью теории AAK.

Детерминант матрицы Ганкеля называется каталектикант.

Преобразование Ханкеля - это имя, которое иногда называют преобразованию последовательность, где преобразованная последовательность соответствует определителю матрицы Ганкеля. То есть последовательность $\{hn\}\; n\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{h\_\; \{n\}\; \backslash \}\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\}$является преобразованием Ханкеля последовательности $\{\; bn\}\; n\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{b\_\; \{n\}\; \backslash \}\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\}$, когда

$hn\; =\; det\; (bi\; +\; j\; -\; 2)\; 1\; \le \; i,\; j\; \le \; п\; +\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; det\; (b\_\; \{i\; +\; j-2\})\; \_\; \{1\; \backslash \; leq\; i,\; j\; \backslash \; leq\; n\; +\; 1\}.\}$

Здесь $ai,\; j\; =\; bi\; +\; j\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i,\; j\}\; =\; b\_\; \{i\; +\; j-2\}\}$- матрица Ганкеля последовательности $\{bn\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{b\_\; \{n\}\; \backslash \}\}$. Преобразование Ханкеля инвариантно относительно биномиального преобразования последовательности. То есть, если написать

$cn\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (nk)\; bk\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{n\; \backslash \; choose\; k\}\; b\_\; \{k\}\; \}$

в качестве биномиального преобразования последовательности $\{bn\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{b\_\; \{n\}\; \backslash \}\}$, тогда получается

$det\; (bi\; +\; j\; -\; 2)\; 1\; \le \; i,\; j\; \le \; n\; +\; 1\; =\; det\; (ci\; +\; j\; -\; 2)\; 1\; \le \; i,\; j\; \le \; n\; +\; 1.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Det\; (B\_\; \{я\; +\; J-2\})\; \_\; \{1\; \backslash \; Leq\; я,\; J\; \backslash \; Leq\; N\; +\; 1\}\; =\; \backslash \; Det\; (c\_\; \{я\; +\; J-2\})\; \_\; \{1\; \backslash \; Leq\; я,\; j\; \backslash \; leq\; n\; +\; 1\}.\}$

Матрицы Ганкеля формируются, когда при заданной последовательности выходных данных реализуется базовое пространство состояний или скрытая марковская модель желательно. Разложение по сингулярным значениям матрицы Ганкеля обеспечивает средства вычисления матриц A, B и C, которые определяют реализацию в пространстве состояний. Матрица Ганкеля, сформированная из сигнала, оказалась полезной для разложения нестационарных сигналов и частотно-временного представления.

Метод моментов для полиномиальных распределений

Метод моментов, примененный к полиномиальным распределениям, приводит к матрице Ганкеля, которую необходимо инвертировать, чтобы получить весовые параметры приближение полиномиального распределения.

Положительные матрицы Ганкеля и проблемы моментов Гамбургера

• Матрица Коши
• Матрица Вандермонда

• Brent RP (1999), «Устойчивость быстрых алгоритмов для структурированных линейных систем», Быстрые надежные алгоритмы для матриц со структурой (редакторы - Т. Кайлат, А. Х. Сайед), глава 4 (SIAM ).
• Виктор Ю. Пан (2001). Структурированные матрицы и полиномы: унифицированные сверхбыстрые алгоритмы. Birkhäuser. ISBN 0817642404.
• JR Partington (1988). Введение в Hankel Тексты студентов LMS. 13. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36791-3.
• П. Джайн и Р. Б. Пачори, Итеративный подход для разложение многокомпонентных нестационарных сигналов на основе разложения по собственным значениям матрицы Ганкеля, Журнал Института Франклина, том 352, выпуск 10, стр. 4017-4044, октябрь 2015 г.
• П. Джайн и Р. Б. Пачори, Событийный метод мгновенного фундаментального оценка частоты из вокализованной речи на основе разложения по собственным значениям матрицы Ханкеля, Транзакции IEEE / ACM по обработке звука, речи и языка, т. 22. выпуск 10, стр. 1467-1482, октябрь 2014 г.
• R.R. Шарма и Р. Б. Пачори, Частотно-временное представление с использованием IEVDHM-HT с применением к классификации эпилептических сигналов ЭЭГ, IET Science, Measurement Technology, vol. 12, issue 01, pp. 72-82, январь 2018 г.