Матрица Вандермонда

редактировать

В линейной алгебре, матрица Вандермонда, названная в честь Александра- Теофил Вандермонд, представляет собой матрицу с элементами геометрической прогрессии в каждой строке, т. Е. Матрица m × n

V = [1 α 1 α 1 2… α 1 n - 1 1 α 2 α 2 2… α 2 n - 1 1 α 3 α 3 2… α 3 n - 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 α m α m 2… α mn - 1], { \ Displaystyle V = {\ begin {bmatrix} 1 \ alpha _ {1} \ alpha _ {1} ^ {2} \ dots \ alpha _ {1} ^ {n-1} \\ 1 \ alpha _ {2} \ alpha _ {2} ^ {2} \ dots \ alpha _ {2} ^ {n-1} \\ 1 \ alpha _ {3} \ alpha _ {3} ^ {2} \ dots \ alpha _ {3} ^ {n-1} \\\ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ 1 \ alpha _ {m} \ alpha _ {m} ^ { 2} \ точки \ альфа _ {m} ^ {n-1} \ end {bmatrix}},}

{\ displaystyle V = {\ begin {bmatrix} 1 \ alpha _ {1} \ alpha _ {1} ^ {2} \ dots \ alpha _ {1} ^ {n-1} \\ 1 \ alpha _ {2} \ alpha _ {2} ^ {2} \ dots \ alpha _ {2} ^ {n-1} \\ 1 \ alpha _ {3} \ alpha _ {3} ^ { 2} \ точки \ alpha _ {3} ^ {n-1} \\\ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ 1 \ alpha _ {m} \ alpha _ {m} ^ {2} \ dots \ alpha _ {m} ^ {n-1} \ end {bmatrix}},}

или

V i, j = α ij - 1 {\ displaystyle V_ {i, j } = \ alpha _ {i} ^ {j-1} \,}

V_ {i, j} = \ alpha_i ^ {j-1} \,

для всех индексов i и j. Идентичный термин «матрица Вандермонда» был использован для транспонирования вышеуказанной матрицы Macon и Spitzbart (1958). Матрица Вандермонда, используемая для матрицы дискретного преобразования Фурье, удовлетворяет обоим определениям.

Определитель квадратной матрицы Вандермонда (где m = n) может быть выражен как

det (V) = ∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( α j − α i). {\displaystyle \det(V)=\prod _{1\leq i

{\ displaystyle \ det (V) = \ prod _ {1 \ leq i <j \ leq n} (\ alpha _ {j} - \ alpha _ {i}).}

Это называется Определитель Вандермонда или Многочлен Вандермонда. Он не равен нулю тогда и только тогда, когда все $α i {\ displaystyle \ alpha _ {i}}$ $\ alpha _ {i}$ различны.

Детерминант Вандермонда иногда называют дискриминантом, хотя в настоящее время дискриминант полинома является квадратом определителя Вандермонда корней полинома. Определитель Вандермонда представляет собой переменную форму в $α i {\ displaystyle \ alpha _ {i}}$ $\ alpha _ {i}$ , что означает обмен двумя $α i {\ displaystyle \ alpha _ {i}}$ $\ alpha _ {i}$ меняет знак, заменяя $α i {\ displaystyle \ alpha _ {i}}$ $\ alpha _ {i}$ на четную перестановку не меняет значения определителя. Таким образом, он зависит от выбора порядка для $α i {\ displaystyle \ alpha _ {i}}$ $\ alpha _ {i}$ , в то время как его квадрат, дискриминант, не зависит от какого-либо порядка, и это подразумевает, согласно теории Галуа, дискриминант является полиномиальной функцией коэффициентов полинома, который имеет $α i {\ displaystyle \ alpha _ {i}}$ $\ alpha _ {i}$ как корни.

Содержание

1 Доказательства
- 1.1 Использование свойств полинома
- 1.2 Использование линейных карт
- 1.3 Операции со строками и столбцами
- 1.4 Результирующие свойства
2 Приложения
3 Конфлюентные матрицы Вандермонда
4 См. Также
5 Ссылки
6 Дополнительная литература
7 Внешние ссылки

Доказательства

Основное свойство квадратной матрицы Вандермонда

V = [1 x 1 x 1 2… x 1 n - 1 1 x 2 x 2 2… x 2 n - 1 1 x 3 x 3 2… x 3 n - 1… ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 xnxn 2… xnn - 1] {\ displaystyle V = {\ begin {bmatrix} 1 x_ {1} x_ {1} ^ {2} \ dots x_ {1} ^ {n-1} \\ 1 x_ {2} x_ {2} ^ {2} \ dots x_ {2} ^ {n-1} \\ 1 x_ {3} x_ {3} ^ {2} \ dots x_ {3} ^ {n-1} \\\ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ 1 x_ {n} x_ {n} ^ {2} \ dots x_ {n} ^ {n-1} \ end {bmatrix}}}

{ \ Displaystyle V = {\ begin {bmatrix} 1 x_ {1} x_ {1} ^ {2} \ dots x_ {1} ^ {n-1} \\ 1 x_ {2} x_ {2} ^ {2} \ dots x_ {2} ^ {n-1} \\ 1 x_ {3} x_ {3} ^ {2} \ dots x_ {3} ^ {n-1} \\\ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ 1 x_ {n} x_ {n} ^ {2} \ dots x_ {n} ^ {n-1} \ end {bmatrix}}}

в том, что его определитель имеет простую форму

det (V) = ∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( x j − x i). {\displaystyle \det(V)=\prod _{1\leq i

{\ displaystyle \ det (V) = \ prod _ {1 \ Leq i <j \ Leq n} (x_ {j} -x_ {i}).}

Ниже приведены три доказательства этого равенства. Первый использует полиномиальные свойства, особенно свойство уникальной факторизации для многомерных полиномов. Хотя концептуально он прост, он включает в себя неэлементарные концепции абстрактной алгебры. Второе доказательство не требует каких-либо явных вычислений, но включает концепции определителя линейного отображения и изменения базиса. Он также предоставляет структуру LU-разложения матрицы Вандермонда. Третий вариант более элементарный и более сложный, он использует только элементарные операции со строками и столбцами.

Использование свойств полинома

Согласно формуле Лейбница det (V) является полиномом в $xi, {\ displaystyle x_ {i},}$ ${\ displaystyle x_ {i},}$ с целочисленными коэффициентами. Все элементы i-го столбца имеют общую степень i - 1. Таким образом, снова по формуле Лейбница, все члены определителя имеют общую степень

0 + 1 + 2 + ⋯ + (n - 1) = п (п - 1) 2; {\ displaystyle 0 + 1 + 2 + \ cdots + (n-1) = {\ frac {n (n-1)} {2}};}

{\ displaystyle 0 + 1 + 2 + \ cdots + (n-1) = {\ frac {n (n-1)} {2}};}

(то есть определитель является однородным многочленом этой степени).

Если вместо i ≠ j заменить $xi {\ displaystyle x_ {i}}$ $x_ {i}$ на $xj {\ displaystyle x_ {j}}$ $x_ {j}$ , получается матрица с двумя равными строками, которая, таким образом, имеет нулевой определитель. Таким образом, по теореме о множителях , $x j - x i {\ displaystyle x_ {j} -x_ {i}}$ ${\ displaystyle x_ {j} -x_ {i}}$ является делителем det (V). По уникальному свойству факторизации многомерных многочленов, произведение всех $xj - xi {\ displaystyle x_ {j} -x_ {i}}$ ${\ displaystyle x_ {j} -x_ {i}}$ делит det (V), то есть

det (V) = Q ∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( x j − x i), {\displaystyle \det(V)=Q\prod _{1\leq i

{\ displaystyle \ det (V) = Q \ prod _ { 1 \ Leq я <J \ Leq N} (x_ {j} -x_ {i}),}

, где Q - многочлен. Поскольку произведение всех $xj - xi {\ displaystyle x_ {j} -x_ {i}}$ ${\ displaystyle x_ {j} -x_ {i}}$ и det (V) имеет одинаковую степень $n (n - 1) / 2, {\ displaystyle n (n-1) / 2,}$ ${\ displaystyle n (n-1) / 2,}$ многочлен Q на самом деле является константой. Эта константа равна единице, потому что произведение диагональных элементов V равно $x 2 x 3 2 ⋯ xnn - 1, {\ displaystyle x_ {2} x_ {3} ^ {2} \ cdots x_ {n} ^ {n-1},}$ ${\ displaystyle x_ {2} x_ {3} ^ {2} \ cdots x_ {n} ^ { n-1},}$ , который также является мономом, который получается взятием первого члена всех множителей в $∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( x j − x i). {\displaystyle \textstyle \prod _{1\leq i$ ${\ displaystyle \ textstyle \ prod _ {1 \ leq i <j \ leq n} (x_ {j} -x_ {i}).}$ Это доказывает, что

det (V) = ∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( x j − x i). {\displaystyle \det(V)=\prod _{1\leq i

{\ displaystyle \ det (V) = \ prod _ {1 \ Leq i <j \ Leq n} (x_ {j} -x_ {i}).}

Использование линейных карт

Пусть F будет полем, содержащим все $xi, {\ displaystyle x_ {i},}$ ${\ displaystyle x_ {i},}$ и $P n {\ displaystyle P_ {n}}$ $P_ {n}$ векторное пространство F полиномов степени меньше n с коэффициентами в F. Пусть

φ: P n → F n {\ displaystyle \ varphi: P_ {n} \ to F ^ {n}}

{\ displaystyle \ varphi: P_ {n} \ to F ^ {n}}

быть линейной картой, определяемой

p (x) ↦ (p (x 1),…, p (xn)). {\ displaystyle p (x) \ mapsto (p (x_ {1}), \ ldots, p (x_ {n})).}

{\ displaystyle p (x) \ mapsto (p (x_ {1}), \ ldots, p (x_ {n})).}

Матрица Вандермонда - это матрица $φ {\ displaystyle \ varphi }$ $\ varphi$ относительно канонических основ для $P n {\ displaystyle P_ {n}}$ $P_ {n}$ и $F n. {\ displaystyle F ^ {n}.}$ ${\ displaystyle F ^ {n}.}$

Изменение основы для $P n {\ displaystyle P_ {n}}$ $P_ {n}$ сводится к умножению матрицы Вандермонда на замену -базисная матрица M (справа). Это не меняет определителя, если определитель M равен 1.

Многочлены $1, x - x 1, (x - x 1) (x - x 2),…, (x - Икс 1) (Икс - Икс 2) ⋯ (Икс - Хn - 1) {\ Displaystyle 1, х-х_ {1}, (х-х_ {1}) (х-х_ {2}), \ ldots, (x-x_ {1}) (x-x_ {2}) \ cdots (x-x_ {n-1})}$ ${\ displaystyle 1, x-x_ {1}, (x-x_ {1}) (x-x_ {2}), \ ldots, (x-x_ {1}) (x-x_ {2 }) \ cdots (x -x_ {n-1})}$ - это monic соответствующих степеней 0, 1,..., n - 1. Их матрица на мономиальном базисе является верхнетреугольной матрицей U (если мономы упорядочены в возрастающей степени), со всеми диагональными элементами, равными один. Таким образом, эта матрица представляет собой матрицу замены детерминантной матрицы. Матрица $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ на этом новом основании имеет вид

L = [1 0 0… 0 1 x 2 - x 1 0… 0 1 x 3 - x 1 (x 3 - x 1) (x 3 - x 2)… 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 xn - x 1 (xn - x 1) (xn - x 2)… (xn - x 1) (xn - x 2) ⋯ (xn - xn - 1)]. {\ displaystyle L = {\ begin {bmatrix} 1 0 0 \ ldots 0 \\ 1 x_ {2} -x_ {1} 0 \ ldots 0 \\ 1 x_ {3} -x_ {1} (x_ {3} -x_ { 1}) (x_ {3} -x_ {2}) \ ldots 0 \\\ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ 1 x_ {n} -x_ {1} (x_ {n } -x_ {1}) (x_ {n} -x_ {2}) \ ldots (x_ {n} -x_ {1}) (x_ {n} -x_ {2}) \ cdots (x_ {n } -x_ {n-1}) \ end {bmatrix}}.}

{\ displaystyle L = {\ begin {bmatrix} 1 0 0 \ ldots 0 \\ 1 x_ {2} -x_ {1} 0 \ ldots 0 \\ 1 x_ {3} -x_ {1} (x_ {3} -x_ {1}) (x_ {3} -x_ {2}) \ ldots 0 \\\ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ 1 x_ {n} -x_ {1} (x_ {n} -x_ {1}) (x_ {n} -x_ {2}) \ ldots (x_ {n} -x_ {1}) (x_ {n} -x_ {2}) \ cdots (x_ {n} -x_ {n-1}) \ end {bmatrix} }.}

Таким образом, определитель Вандермонда равен определителю этой матрицы, который является произведением ее диагональных элементов.

Это доказывает желаемое равенство. Кроме того, можно получить разложение LU V как

V = L U - 1. {\ displaystyle V = LU ^ {- 1}.}

{\ displaystyle V = LU ^ {- 1}.}

Операциями со строками и столбцами

Это второе доказательство основано на том факте, что если добавить к строке (или столбцу) матрица произведение скаляром другой строки (или столбца), определитель остается неизменным.

Если вычесть первую строку V из всех остальных строк, определитель не изменится, и новая матрица будет иметь вид

[1 L 0 A], {\ displaystyle {\ begin { bmatrix} 1 \ mathbf {L} \\\ mathbf {0} A \ end {bmatrix}},}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 \ mathbf {L} \\\ mathbf {0} A \ end {bmatrix}},}

где $L {\ displaystyle \ mathbf {L}}$ $\ mathbf { L}$ - строка матрица, $0 {\ displaystyle \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {0}}$ - столбец с нулями, а A - квадратная матрица, так что

det (A) = det (V). {\ displaystyle \ det (A) = \ det (V).}

{ \ Displaystyle \ Det (A) = \ Det (V).}

Запись (i - 1) -й строки и (j - 1) -го столбца A (то есть i-й строки и j-го столбец всей матрицы) равен

xij - 1 - x 1 j - 1 = (xi - x 1) ∑ k = 0 j - 2 xikx 1 j - 2 - k. {\ displaystyle x_ {i} ^ {j-1} -x_ {1} ^ {j-1} = (x_ {i} -x_ {1}) \ sum _ {k = 0} ^ {j-2} x_ {i} ^ {k} x_ {1} ^ {j-2-k}.}

{\ displaystyle x_ {i} ^ {j-1} -x_ {1} ^ {j- 1} = (x_ {i} -x_ {1}) \ sum _ {k = 0} ^ {j-2} x_ {i} ^ {k} x_ {1} ^ {j-2-k}.}

Деление на $xi - x 1 {\ displaystyle x_ {i} -x_ {1}}$ ${\ displaystyle x_ {i} -x_ {1 }}$ из (i - 1) -й строки A, для i = 2,..., n, получается матрица B такая, что

det (V) = det (A) = det (B) ∏ я знак равно 2 n (xi - x 1). {\ displaystyle \ det (V) = \ det (A) = \ det (B) \ prod _ {i = 2} ^ {n} (x_ {i} -x_ {1}).}

{\ Displaystyle \ Det (V) = \ Det (A) = \ Det (B) \ prod _ {i = 2} ^ {n} (x_ {i} -x_ {1}).}

Коэффициент (i - 1) -й строки и (j - 1) -го столбца B - это

bi, j = ∑ k = 0 j - 2 xikx 1 j - 2 - k = xij - 2 + x 1 bi, j - 1, {\ displaystyle b_ {i, j} = \ sum _ {k = 0} ^ {j-2} x_ {i} ^ {k} x_ {1} ^ {j-2-k} = x_ {i} ^ {j-2} + x_ {1} b_ {i, j-1},}

{\ displaystyle b_ {i, j} = \ sum _ {k = 0} ^ {j-2} x_ {i} ^ {k} x_ {1} ^ {j-2-k} = x_ {i} ^ {j-2} + x_ {1} b_ {i, j-1},}

для i = 2,..., n и установка $bi, 1 = 1. {\ displaystyle b_ {i, 1} = 1.}$ ${\ displaystyle b_ {i, 1} = 1.}$

Таким образом, вычитая для j от n до 2 (j - 2) -й столбец B, умноженный на $x 1 {\ displaystyle x_ {1}}$ $x_ {1}$ из (j - 1) -го столбца получается матрица Вандермонда (n - 1) × (n - 1) в $x 2,…, xn, {\ displaystyle x_ {2}, \ ldots, x_ {n},}$ ${\ displaystyle x_ {2}, \ ldots, x_ {n},}$ , который имеет тот же определитель, что и B. Итерируя этот процесс на этой меньшей матрице Вандермонда, можно в конечном итоге получить желаемое выражение det (V) как произведение $xj - xi. {\ displaystyle x_ {j} -x_ {i}.}$ ${\ displaystyle x_ {j} -x_ {i}. }$

Результирующие свойства

Прямоугольная матрица Вандермонда размером m × n такая, что m ≤ n имеет максимальный ранг m тогда и только тогда, когда все x i различны.

Прямоугольная матрица Вандермонда размера m × n такая, что m ≥ n имеет максимальный ранг n тогда и только тогда, когда существует n из x i, которые различны.

Квадратная матрица Вандермонда обратима тогда и только тогда, когда x i различны. Известна явная формула для обратного.

Приложения

Матрица Вандермонда вычисляет многочлен в наборе точек; формально это матрица линейного отображения , которая отображает вектор коэффициентов полинома в вектор значений полинома в значениях, появляющихся в матрице Вандермонда. Необнуление определителя Вандермонда для различных точек $α i {\ displaystyle \ alpha _ {i}}$ $\ alpha _ {i}$ показывает, что для различных точек отображение коэффициентов на значения в этих точках является взаимно однозначное соответствие, и, таким образом, проблема полиномиальной интерполяции разрешима с единственным решением; этот результат называется теоремой о неразрывности и является частным случаем китайской теоремы об остатках для многочленов.

. Это может быть полезно в полиномиальной интерполяции, поскольку инвертирует Матрица позволяет выразить коэффициенты многочлена через $α i {\ displaystyle \ alpha _ {i}}$ $\ alpha _ {i}$ и значения многочлена в $α i {\ displaystyle \ альфа _ {i}}$ $\ alpha _ {i}$ . Однако интерполяционный полином, как правило, легче вычислить с помощью формулы интерполяции Лагранжа, которая может использоваться для вывода формулы для обратной матрицы Вандермонда.

Определитель Вандермонда используется в теория представлений симметрической группы.

Когда значения $α k {\ displaystyle \ alpha _ {k}}$ $\ альфа _ {k}$ принадлежат конечному полю, тогда определитель Вандермонда также называется определителем Мура и имеет определенные свойства, которые используются, например, в теории кода BCH и исправления ошибок Рида – Соломона коды.

Дискретное преобразование Фурье определяется конкретной матрицей Вандермонда, матрицей ДПФ, где числа α i выбираются как корни из единицы.

Волновая функция Лафлина с фактором заполнения один (появляется в квантовом эффекте Холла ) по формуле для определителя Вандермонда может рассматриваться как Определитель Слейтера. Это больше не верно для факторов заполнения, отличных от единицы, то есть в дробном квантовом эффекте Холла.

Это матрица плана полиномиальной регрессии.

Конфлюэнтные матрицы Вандермонда

Как описано ранее, матрица Вандермонда описывает задачу интерполяции линейной алгебры поиска коэффициентов многочлена $p (x) {\ displaystyle p (x)}$ $p ( х)$ степени $n - 1 {\ displaystyle n-1}$ $n-1$ на основе значений $p (α 1),..., п (α N) {\ Displaystyle p (\ alpha _ {1}),..., p (\ alpha _ {n})}$ ${\ displaystyle p (\ alpha _ {1}),..., p (\ alpha _ {n})}$ , где $α 1,..., α n {\ displaystyle \ alpha _ {1},..., \ alpha _ {n}}$ $\ alpha_1,..., \ alpha_n$ - разные точки. Если $α i {\ displaystyle \ alpha _ {i}}$ $\ alpha _ {i}$ неотличимы, то у этой задачи нет единственного решения (что отражается в том факте, что соответствующая матрица Вандермонда сингулярна). Однако, если мы дадим значения производных в повторяющихся точках, то проблема может иметь единственное решение. Например, задача

{p (0) = ap ′ (0) = bp (1) = c {\ displaystyle {\ begin {cases} p (0) = a \\ p '(0) = b \\ p (1) = c \ end {cases}}}

{\begin{cases}p(0)=a\\p'(0)=b\\p(1)=c\end{cases}}

где $p {\ displaystyle p}$ $p$ - многочлен степени $≤ 2 {\ displaystyle \ leq 2 }$ ${\ displaystyle \ leq 2}$ , имеет уникальное решение для всех $a, b, c {\ displaystyle a, b, c}$ $a,b,c$ . В общем, предположим, что $α 1, α 2,..., α n {\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ alpha _ {2},..., \ alpha _ {n}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ alpha _ {2},..., \ alpha _ {п}}$ являются числами (не обязательно разными), и предположим для простоты обозначение, что одинаковые значения входят в список в непрерывной последовательности. То есть

α 1 = ⋯ = α m 1, α m 1 + 1 = ⋯ = α m 2,…, α mk - 1 + 1 = ⋯ = α mk {\ displaystyle \ alpha _ {1} = \ cdots = \ alpha _ {m_ {1}}, \ alpha _ {m_ {1} +1} = \ cdots = \ alpha _ {m_ {2}}, \ ldots, \ alpha _ {m_ {k-1} +1} = \ cdots = \ alpha _ {m_ {k}}}

{\ displaystyle \ alpha _ {1} = \ cdots = \ alpha _ {m_ {1}}, \ alpha _ {m_ {1} +1} = \ cdots = \ alpha _ {m_ {2}}, \ ldots, \ alpha _ {m_ {k-1} +1} = \ cdots = \ alpha _ {m_ {k}}}

где $mk = n, {\ displaystyle m_ {k} = n,}$ ${\ displaystyle m_ {k} = n,}$ $m 1 < m 2 < ⋯ < m k, {\displaystyle m_{1}$ ${\ displaystyle m_ {1} <m_ {2} <\ cdots <m_ {k},}$ и $α m 1,…, α mk {\ displaystyle \ alpha _ {m_ {1}}, \ ldots, \ alpha _ {m_ {k}}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {м_ {1}}, \ ldots, \ альфа _ {м_ {к}}}$ различны. Тогда соответствующая задача интерполяции имеет вид

{p (α 1) = β 1, p ′ (α 1) = β 2,…, p (m 1 - 1) (α 1) = β m 1 p (α m 1 + 1) = β m 1 + 1, p ′ (α m 1 + 1) = β m 1 + 2,…, p (m 2 - m 1 - 1) (α m 2) = β m 2 ⋮ p (α mk - 1 + 1) = β mk - 1 + 1, p ′ (α mk - 1 + 2) = β mk - 1 + 2,…, p (mk - mk - 1 - 1) (α mk) знак равно β мк {\ Displaystyle {\ begin {cases} p (\ alpha _ {1}) = \ beta _ {1}, p '(\ alpha _ {1}) = \ beta _ {2}, \ ldots, p ^ {(m_ {1} -1)} (\ alpha _ {1}) = \ beta _ {m_ {1}} \\ p (\ alpha _ {m_ {1} +1}) = \ beta _ {m_ {1} +1}, p '(\ alpha _ {m_ {1} +1}) = \ beta _ {m_ {1} +2}, \ ldots, p ^ {(m_ {2} -m_ {1} -1)} (\ alpha _ {m_ {2}}) = \ beta _ {m_ {2}} \\\ qquad \ vdots \\ p (\ alpha _ {m_ {k-1}) +1}) = \ beta _ {m_ {k-1} +1}, p '(\ alpha _ {m_ {k-1} +2}) = \ beta _ {m_ {k-1} +2}, \ ldots, p ^ {(m_ {k} -m_ {k-1} -1)} (\ alpha _ {m_ {k}}) = \ beta _ {m_ {k}} \ end {case} }}

{\begin{cases}p(\alpha _{1})=\beta _{1},p'(\alpha _{1})=\beta _{2},\ldots,p^{(m_{1}-1)}(\alpha _{1})=\beta _{m_{1}}\\p(\alpha _{m_{1}+1})=\beta _{m_{1}+1},p'(\alpha _{m_{1}+1})=\beta _{m_{1}+2},\ldots,p^{(m_{2}-m_{1}-1)}(\alpha _{m_{2}})=\beta _{m_{2}}\\\qquad \vdots \\p(\alpha _{m_{k-1}+1})=\beta _{m_{k-1}+1},p'(\alpha _{m_{k-1}+2})=\beta _{m_{k-1}+2},\ldots,p^{(m_{k}-m_{k-1}-1)}(\alpha _{m_{k}})=\beta _{m_{k}}\end{cases}}

И соответствующая матрица для этой задачи называется конфлюэнтными матрицами Вандермонда . В нашем случае (который является общим случаем, вплоть до перестановки строк матрицы) формула для него задается следующим образом: if $1 ≤ i, j ≤ n {\ displaystyle 1 \ leq i, j \ leq n}$ $1 \ leq i, j \ leq n$ , затем $m ℓ < i ≤ m ℓ + 1 {\displaystyle m_{\ell }$ ${\ displaystyle m _ {\ ell} <i \ leq m _ {\ ell +1}}$ для некоторого (уникального) $0 ≤ ℓ ≤ k - 1 {\ displaystyle 0 \ leq \ ell \ leq k-1}$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ ell \ leq k-1}$ (мы рассматриваем $m 0 = 0 {\ displaystyle m_ {0} = 0}$ ${\ displaystyle m_ {0} = 0}$ ). Тогда мы имеем

V i, j = {0, if j < i − m ℓ ; ( j − 1) ! ( j − ( i − m ℓ)) ! α i j − ( i − m ℓ), if j ≥ i − m ℓ. {\displaystyle V_{i,j}={\begin{cases}0,{\text{if }}j

{\ displaystyle V_ {i, j} = {\ begin {cases} 0, {\ текст {if}} j <i-m _ {\ ell}; \\ [6pt] {\ dfrac {(j-1)!} {(j- (i-m _ {\ ell}))!}} \ alpha _ {i} ^ {j- (i-m _ {\ ell})}, {\ text {if}} j \ geq i-m _ {\ ell}. \ end {cases}}}

Это обобщение матрицы Вандермонда делает ее невырожденной (такой, что существует единственное решение системы уравнений) при сохранении большинства свойств матрицы Вандермонда. Его строки являются производными (некоторого порядка) исходных строк Вандермонда.

Другой способ получить эту формулу - позволить некоторым из элементов $α i {\ displaystyle \ alpha _ {i}}$ $\ alpha _ {i}$ находиться произвольно близко друг к другу. Например, если $α 1 = α 2 {\ displaystyle \ alpha _ {1} = \ alpha _ {2}}$ $\ alpha _ {1} = \ alpha _ {2}$ , то если $α 2 → α 1 {\ displaystyle \ alpha _ {2} \ to \ alpha _ {1}}$ ${ \ displaystyle \ alpha _ {2} \ to \ alpha _ {1}}$ в исходной матрице Вандермонда, разница между первой и второй строками дает соответствующую строку в сливающейся матрице Вандермонда. Это позволяет нам связать обобщенную задачу интерполяции (заданное значение и производные в точке) с исходным случаем, когда все точки различны: задано $p (α), p ′ (α) {\ displaystyle p (\ alpha), p '(\ alpha)}$ $p(\alpha),p'(\alpha)$ аналогично заданному $p (α), p (α + ε) {\ displaystyle p (\ alpha), p (\ alpha + \ varepsilon)}$ ${\ displaystyle p (\ alpha), p (\ alpha + \ varepsilon)}$ , где $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ очень мало.

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

Икарт, Бернард (2013), «Случай математической эпонимии: определитель Вандермонда», Revue d'Histoire des Mathématiques, 13, arXiv : 1204.4716, Bibcode : 2012arXiv1204.4716Y.

Внешние ссылки

Матрица Вандермонда в ProofWiki