Элементарная матрица

редактировать

В математике элементарная матрица - это матрица, которая отличается от единичной матрицы на единицу. однострочная операция. Элементарные матрицы образуют общую линейную группу GLn(R), когда R является полем. Умножение слева (предварительное умножение) на элементарную матрицу представляет операции с элементарной строкой, а умножение справа (после умножения) представляет операции с элементарным столбцом .

Операции с элементарной строкой используются в гауссовском исключение, чтобы уменьшить матрицу до эшелона строки формы. Они также используются в исключении Гаусса-Жордана для дальнейшего уменьшения матрицы до уменьшенной формы эшелона строк.

Содержание

1 Операции с элементарными строками
- 1.1 Преобразования с переключением строк
  - 1.1.1 Свойства
- 1.2 Преобразования с умножением строк
  - 1.2.1 Свойства
- 1.3 Преобразования с добавлением строк
  - 1.3.1 Свойства
2 См. Также
3 Ссылки

Элементарная строка операции

Существует три типа элементарных матриц, которые соответствуют трем типам операций со строками (соответственно, операций со столбцами):

Переключение строк: Строку в матрице можно переключать с помощью другая строка.; $R i ↔ R j {\ displaystyle R_ {i} \ leftrightarrow R_ {j}}$ $R_i \ leftrightarrow R_j$

Умножение строк: Каждый элемент в строке можно умножить на ненулевую константу.; $k R i → R i, где k ≠ 0 {\ displaystyle kR_ {i} \ rightarrow R_ {i}, \ {\ t_dv {where}} k \ neq 0}$ $kR_i \ rightarrow R_i, \ \ t_dv {где} k \ neq 0$

сложение строк: Строку можно заменить суммой этой строки и кратным числом другой строки.; $R i + k R j → R i, если ei ≠ j {\ displaystyle R_ {i} + kR_ {j} \ rightarrow R_ {i}, {\ t_dv {where}} i \ neq j}$ $R_i + kR_j \ rightarrow R_i, \ t_dv {где} i \ neq j$

Если E - элементарная матрица, как описано ниже, применить при операции с элементарной строкой в матрицу A умножают A на элементарную матрицу слева, EA. Элементарная матрица для любой строковой операции получается путем выполнения операции с единичной матрицей . Этот факт можно рассматривать как пример применения леммы Йонеды к категории матриц.

Преобразования переключения строк

Первый тип операции со строкой в матрице A переключает все элементы матрицы в строке i на их аналоги в строке j. Соответствующая элементарная матрица получается заменой строки i и строки j в единичной матрице.

T i, j = [1 ⋱ 0 1 ⋱ 1 0 ⋱ 1] {\ displaystyle T_ {i, j} = { \ begin {bmatrix} 1 \\ \ ddots \\ 0 1 \\ \ ddots \\ 1 0 \\ \ ddots \\ 1 \ end {bmatrix}}}

T_{i,j}={\begin{bmatrix}1\\\ddots \\01\\\ddots \\10\\\ddots \\1\end{bmatrix}}

93>A - это матрица, полученная путем обмена строкой i и строкой j матрицы A.

Свойства

Инверсией этой матрицы является сама: T ij = T ij.
Поскольку определитель единичной матрицы равен единице, det (T ij) = -1. Отсюда следует, что для любой квадратной матрицы A (правильного размера) мы имеем det (T ij A) = −det (A).

Преобразования умножения строк

Следующий тип строковой операции в матрице A умножает все элементы в строке i на m, где m - ненулевой скаляр (обычно действительное число). Соответствующая элементарная матрица представляет собой диагональную матрицу с диагональными элементами 1 везде, кроме i-й позиции, где это m.

D i (m) = [1 ⋱ 1 m 1 ⋱ 1] {\ displaystyle D_ {i} (m) = {\ begin {bmatrix} 1 \\ \ ddots \\ 1 \\ m \\ 1 \\ \ ddots \\ 1 \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle D_ {i} (m) = {\ begin {bmatrix} 1 \\ \ ddots \\ 1 \\ m \\ 1 \\ \ ddots \\ bmatrix 1 \ end { }}}

Итак, D i (m) A - это матрица, полученная из A путем умножения строки i на m.

Свойства

Инверсия этой матрицы задается как D i (m) = D i (1 / m).
Матрица и обратная ей матрица - это диагональные матрицы.
det (D i (m)) = m. Следовательно, для квадратной матрицы A (правильного размера) мы имеем det (D i (m) A) = m det (A).

Преобразования сложения строк

Последний тип операции со строками в матрице A добавляет строку i, умноженную на скаляр m, к строке j. Соответствующая элементарная матрица является единичной матрицей, но с m в позиции (j, i).

L ij (m) = [1 ⋱ 1 ⋱ m 1 ⋱ 1] {\ displaystyle L_ {ij} (m) = {\ begin {bmatrix} 1 \\ \ ddots \\ 1 \\ \ ddots \\ m 1 \\ \ ddots \\ 1 \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle L_ {ij} (m) = {\ begin {bmatrix} 1 \\ \ ddots \\ 1 \\ \ ddots \\ m 1 \\ \ ddots \\ 1 \ end {bmatrix}}}

Итак, L ij (m) A - это матрица, полученная из A путем добавления m раз строки i к строка j. И A L ij (m) - это матрица, полученная из A путем добавления m раз столбца j к столбцу i.

Свойства

Эти преобразования представляют собой своего рода отображение сдвига, также известное как трансвекции.
Инверсия этой матрицы задается как L ij (m) = L ij (−m).
Матрица и обратная ей матрица являются треугольными матрицами.
det (L ij (m)) = 1. Следовательно, для квадратной матрицы A (правильного размера) мы имеем det (L ij (m) A) = det (A).
Row -добавочные преобразования удовлетворяют соотношениям Стейнберга.

См. также

Ссылки

Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Done Right (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
Lay, Дэвид К. (22 августа 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Эддисон Уэсли, ISBN 978-0-321-28713-7
Мейер, Карл Д.. (15 февраля 2001 г.), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра, Общество промышленной и прикладной математики. hematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, заархивировано с исходного 31.10.2009
Пул, Дэвид (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2 ed.), Brooks / Cole, ISBN 0-534-99845-3
Антон, Ховард (2005), Элементарная линейная алгебра (Версия приложений) (9-е изд.), Wiley International
Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Пирсон Прентис Холл