Форма эшелона строк

редактировать

Возможная форма матрицы

В линейной алгебре матрица находится в эшелонированной форме, если он имеет форму, полученную в результате исключения Гаусса.

Матрица, находящаяся в эшелонированной форме, означает, что устранение Гаусса действовало на строки, а форма эшелона столбца означает, что для столбцов выполнено удаление по Гауссу. Другими словами, матрица находится в форме эшелона столбцов, если ее транспонирование находится в форме эшелона строк. Таким образом, в оставшейся части статьи рассматриваются только строчные формы. Подобные свойства формы эшелона столбцов легко выводятся путем транспонирования всех матриц. В частности, матрица находится в эшелоне строки формы, если

все строки, состоящие только из нулей, находятся внизу.
ведущий коэффициент (также называемый pivot ) ненулевой строки всегда находится строго справа от ведущего коэффициента строки над ней.

Некоторые тексты добавляют условие, что ведущий коэффициент должен быть 1.

Эти два условия подразумевают, что все записи в столбце под ведущим коэффициентом являются нулями.

Ниже приведен пример матрицы 3 × 5 в форме эшелона строк, которая не находится в форме сокращенного эшелона строк (см. ниже) :

[1 a 0 a 1 a 2 a 3 0 0 2 a 4 a 5 0 0 0 1 a 6] {\ displaystyle \ left [{\ begin {array} {ccccc} 1 a_ {0} a_ {1 } a_ {2} a_ {3} \\ 0 0 2 a_ {4} a_ {5} \\ 0 0 0 1 a_ {6} \ end {array}} \ right]}

\ left [\ begin {array} {ccccc} 1 a_0 a_1 a_2 a_3 \\ 0 0 2 a_4 a_5 \\ 0 0 0 1 a_6 \ end {array} \ right]

Многие свойства матриц могут быть легко выведены из их ряда строк форма, такая как ранг и ядро .

Содержание

1 Уменьшенная форма эшелона строки
2 Преобразование в форму эшелона строки
3 Системы линейных уравнений ion
4 Псевдокод для формы сокращенного эшелона строк
5 Примечания
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Форма сокращенного эшелона строк

Матрица находится в сокращенном эшелоне строк форма (также называемая канонической формой строки ), если она удовлетворяет следующим условиям:

Она находится в форме эшелона строки.
Начальная запись в каждой ненулевой строке - 1 (называется ведущей единицей).
Каждый столбец, содержащий ведущую единицу, имеет нули во всех остальных элементах.

Уменьшенная форма эшелона строки матрицы может быть вычислена с помощью исключения Гаусса – Жордана. В отличие от формы эшелона строк, приведенная форма эшелона строк матрицы уникальна и не зависит от алгоритма, используемого для ее вычисления. Для данной матрицы, несмотря на то, что форма эшелона строк не уникальна, все формы эшелона строк и форма сокращенного эшелона строк имеют одинаковое количество нулевых строк, а сводные точки расположены в одних и тех же индексах.

Это пример матрицы в виде уменьшенного ряда строк, который показывает, что левая часть матрицы не всегда является единичной матрицей :

[1 0 a 1 0 b 1 0 1 a 2 0 b 2 0 0 0 1 b 3] {\ displaystyle \ left [{\ begin {array} {ccccc} 1 0 a_ {1} 0 b_ {1} \\ 0 1 a_ {2} 0 b_ {2} \\ 0 0 0 0 1 b_ {3} \ end {array}} \ right ]}

{\ displaystyle \ left [{\ begin {array} {ccccc} 1 0 a_ {1} 0 b_ {1} \\ 0 1 a_ {2} 0 b_ {2} \\ 0 0 0 0 1 b_ {3} \ end {array} } \ right]}

Для матриц с целочисленными коэффициентами, нормальная форма Эрмита представляет собой эшелонированную форму строки, которая может быть вычислена с использованием евклидова деления и без введения каких-либо рациональное число или знаменатель. С другой стороны, приведенная эшелонированная форма матрицы с целыми коэффициентами обычно содержит нецелочисленные коэффициенты.

Преобразование в форму эшелона строк

С помощью конечной последовательности операций с элементарной строкой, называемой исключением Гаусса, любую матрицу можно преобразовать в строчная форма эшелона. Поскольку элементарные операции со строками сохраняют пространство строк матрицы, пространство строк формы эшелона строк такое же, как и у исходной матрицы.

Полученная форма эшелона не уникальна; любую матрицу в эшелонированной форме можно поместить в (эквивалент ) эшелонную форму, добавив скалярное кратное строки к одной из вышеперечисленных строк, например:

[1 3 - 1 0 1 7] → добавить строку 2 к строке 1 [1 4 6 0 1 7]. {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 3 -1 \\ 0 1 7 \\\ end {bmatrix}} {\ xrightarrow {\ text {добавить строку 2 к строке 1}}} {\ begin {bmatrix} 1 4 6 \\ 0 1 7 \ \\ end {bmatrix}}.}

\ begin {bmatrix} 1 3 -1 \\ 0 1 7 \\ \ end {bmatrix} \ xrightarrow {\ text {добавить строку 2 к строке 1}} \ begin {bmatrix} 1 4 6 \\ 0 1 7 \\ \ end {bmatrix}.

Однако каждая матрица имеет уникальную приведенную форму эшелона строк. В приведенном выше примере сокращенная форма эшелона строк может быть найдена как

[1 3 - 1 0 1 7] → вычесть 3 × (строка 2) из ​​строки 1 [1 0 - 22 0 1 7]. {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 3 -1 \\ 0 1 7 \\\ end {bmatrix}} {\ xrightarrow {\ text {вычесть 3 × (строка 2) из ​​строки 1}}} {\ begin {bmatrix} 1 0 -22 \\ 0 1 7 \\\ end {bmatrix}}.}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 3 -1 \\ 0 1 7 \\\ end {bmatrix}} {\ xrightarrow {\ text {вычесть 3 × (строка 2) из ​​строки 1}}} {\ begin {bmatrix} 1 0 -22 \\ 0 1 7 \\\ end {bmatrix}}.}

Это означает, что ненулевые строки сокращенной формы эшелона строк являются уникальным порождающим набором сокращенного эшелона строк для пространства строк исходной матрицы.

Системы линейных уравнений

A Система линейных уравнений называется эшелонированной, если ее расширенная матрица находится в форме эшелона строк. Точно так же система уравнений называется сокращенной эшелонированной строкой или канонической формой, если ее расширенная матрица находится в форме сокращенного эшелона строк.

Каноническую форму можно рассматривать как явное решение линейной системы. Фактически, система несовместна тогда и только тогда, когда одно из уравнений канонической формы сводится к 0 = 1. В противном случае, перегруппируя в правой части все члены уравнений, кроме главных, выражает переменные, соответствующие поворотным точкам, как константы или линейные функции других переменных, если таковые имеются.

Псевдокод для формы сокращенного эшелона строк

Следующий псевдокод преобразует матрицу в форму сокращенного эшелона строк:

функция ToReducedRowEchelonForm (Matrix M) равно lead: = 0 rowCount: = количество строк в M columnCount: = количество столбцов в M для 0 ≤ r < rowCount doifcolumnCount ≤ lead затем остановить функцию завершить, если i = r в то время как M [i, lead] = 0 do i = i + 1 если rowCount = i, то i = r lead = lead + 1, если columnCount = lead, тофункция остановки end if end if end while ifi ≠ r then Поменять местами строки i и r. Разделить строку r на M [r, lead] для 0 ≤ i < rowCount doifi ≠ r do Вычтите M [i, отведение], умноженное на строку r, из строки i end if end для отведения = lead + 1 end for end function

Следующий псевдокод преобразует матрицу в форму эшелона строк (без сокращения):

function ToRowEchelonForm (Матрица M) равно nr: = количество строк в M nc: = количество столбцов в M для 0 ≤ r < nr doallZeros: = true для 0 ≤ c < nc doifM [r, c]! = 0 затем allZeros: = false выход для конец, если конец для ifallZeros = true затем В M замените строку r на row nr nr: = nr - 1 конец, если конец для p: = 0 while p < nr and p < nc dolabel nextPivot: r: = 1 while M [p, p] = 0 doif(p + r) <= nr, затем p: = p + 1 goto nextPivot end if В M поменяйте местами строку p со строкой (p + r) r: = r + 1 end while для 1 ≤ r < (nr - p) doifM [p + r, p]! = 0, то x: = - M [p + r, p] / M [p, p] для p ≤ c < nc do M [p + r, c]: = M [p, c] * x + M [p + r, c] end for end if end for p: = p + 1 end while end function

Примечания

Ссылки

Леон, Стив (2009), Линейная алгебра с приложениями (8-е изд.), Пирсон, ISBN 978-0136009290.
Мейер, Карл Д. (2000), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра, SIAM, ISBN 978-0-89871-454-8.

Внешняя ссылка s

В Викибуке Линейная алгебра есть страница по теме: Формы сокращения строк и эшелона

Интерактивная форма эшелона строк с рациональным выводом