Лемма Йонеды

Теорема в теории категорий

В математике лемма Йонеды, возможно, самый важный результат в теории категорий. Это абстрактный результат о функторах морфизмов типов в фиксированный объект. Это обширное обобщение теоремы Кэли из теории групп (рассмотрение группы как миниатюрной категории с одним объектом и только изоморфизмами). Он позволяет встраивать любой категории в категорию функторов (контравариантных многозначных функторов), определенных в этой категории. Он также поясняет, как вложенная категория представимых функторов и их естественных преобразований связана с другими объектами в более крупной категории функторов. Это важный инструмент, лежащий в основе нескольких современных разработок в алгебраической геометрии и теории представлений. Он назван в честь Нобуо Йонеды.

• 1 Общие положения
• 2 Формальное утверждение
  • 2.1 Контравариантная версия
  • 2.2 Соглашения об именах
  • 2.3 Доказательство
  • 2.4 Встраивание Йонеды
  • 2.5 Представимый функтор
  • 2.6 В терминах (со) конечного исчисления
• 3 Преддитивные категории, кольца и модули
• 4 Связь с теоремой Кэли
• 5 История
• 6 См. Также
• 7 Примечания
• 8 Ссылки
• 9 Внешние ссылки

Лемма Йонеды предполагает, что вместо изучения категории (локально маленький ) $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$следует изучить категорию всех функторов $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$в $S\; et\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Set\}\}$(категория наборов с функциями как морфизмами ). $S\; et\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Set\}\}$- категория, которую, как мы думаем, мы хорошо понимаем, и функтор $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$в $S\; et\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Set\}\}$можно рассматривать как "представление" $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$с точки зрения известных структур. Исходная категория $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$содержится в этой категории функторов, но в категории функторов появляются новые объекты, которые отсутствовали и были «скрыты» в $С\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$. Отношение к этим новым объектам так же, как к старым, часто объединяет и упрощает теорию.

Этот подход сродни (и фактически обобщает) обычному методу изучения кольца путем исследования модулей над этим кольцом. Кольцо заменяет категорию $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$, а категория модулей над кольцом является категорией функторов, определенных на $C\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$.

Лемма Йонеды касается функторов из фиксированной категории $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$в категорию наборов, $S\; et\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Set\}\}$. Если $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$является локальной небольшой категорией (т. Е. hom-наборы являются фактическими наборами, а не соответствующие классы), то каждый объект $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$из $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$порождает естественный функтор to $С\; эт\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Set\}\}$называется hom-функтором. Этот функтор обозначается:

$h\; A\; =\; H\; om\; (A,\; -)\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; ^\; \{A\}\; =\; \backslash \; mathrm\; \{Hom\}\; (A,\; -)\}$.

(ковариант ) hom-функтор $h\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; ^\; \{A\}\}$отправляет $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$в набор морфизмов $H\; om\; (A,\; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Hom\}\; (A,\; X)\}$и отправляет морфизм $f:\; X\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; X\; \backslash \; to\; Y\}$к морфизму $f\; \circ \; -\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; circ\; -\}$(композиция с $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$слева), который отправляет морфизм $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$в $H\; om\; (A,\; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Hom\}\; (A,\; X)\}$к морфизму $f\; \circ \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; circ\; g\}$в $H\; om\; (A,\; Y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Hom\}\; (A,\; Y)\}$. То есть

$h\; A\; (f)\; =\; H\; om\; (A,\; f)\; или\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; ^\; \{A\}\; (f)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{Hom\}\; (A,\; f)\; \{\backslash \; t\_dv\; \{,\; или\}\; \}\}$

$час\; A\; (f)\; (g)\; =\; f\; \circ \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; ^\; \{A\}\; (f)\; (g)\; =\; f\; \backslash \; circ\; g\}$.

Пусть $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$быть произвольным функтором от $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$до $S\; et\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Set\}\}$. Тогда лемма Йонеды гласит:

Для каждого объекта $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$из $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$, естественные преобразования $N\; at\; (h\; A,\; F)\; \equiv \; H\; om\; (H\; om\; (A,\; -),\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Nat\}\; (h\; ^\; \{A\},\; F)\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; mathrm\; \{Hom\}\; (\backslash \; mathrm\; \{Hom\}\; (A,\; -),\; F)\}$из $h\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; ^\; \{A\}\}$to $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами $F\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (A)\}$. То есть

$ЧАС\; (ЧАС\; (А,\; -),\; F)\; \cong \; F\; (A)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Hom\}\; (\backslash \; mathrm\; \{Hom\}\; (A,\; -),\; F)\; \backslash \; cong\; F\; (\; A)\}$.

Более того, этот изоморфизм естественен в $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$, когда обе стороны рассматриваются как функторы от $C\; \times \; S\; et\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{Set\}\; ^\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$до $S\; et\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Set\}\}$.

Здесь запись $S\; et\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Set\}\; ^\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$обозначает категорию функторов из $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$в $S\; et\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Set\}\}$.

с учетом естественного преобразования $\Phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\}$от $h\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; ^\; \{A\}\}$до $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$, соответствующий элемент $F\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (A)\}$равно $u\; =\; \Phi \; A\; (id\; A)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; \backslash \; Phi\; \_\; \{A\}\; (\backslash \; mathrm\; \{id\}\; \_\; \{\; A\})\}$; и учитывая элемент $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$из $F\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (A)\}$, соответствующее естественное преобразование задается как $\Phi \; (f)\; =\; F\; (f)\; (u)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; (f)\; =\; F\; (f)\; (u)\}$.

Контравариантная версия

Существует контравариантная версия леммы Йонеды., который касается контравариантных функторов от $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$до $S\; et\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Set\}\}$. В этой версии используется контравариантный гом-функтор

$h\; A\; =\; H\; om\; (-,\; A),\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{A\}\; =\; \backslash \; mathrm\; \{Hom\}\; (-,\; A),\}$

, который отправляет $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$в набор hom $H\; om\; (X,\; A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Hom\}\; (X,\; A)\}$. Для произвольного контравариантного функтора $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$от $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$до $S\; et\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Set\}\}$, лемма Йонеды утверждает, что

$N\; at\; (h\; A,\; G)\; \cong \; G\; (A).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Nat\}\; (h\_\; \{A\},\; G)\; \backslash \; cong\; G\; (A).\}$

Соглашения об именах

Использование $h\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; ^\; \{A\; \}\}$для ковариантного гом-функтора и $h\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{A\}\}$для контравариантного гом-функтора не являются полностью стандартными. Во многих текстах и ​​статьях для этих двух функторов используются либо противоположные соглашения, либо совершенно не связанные символы. Однако большинство современных текстов по алгебраической геометрии, начиная с основополагающего EGA Александра Гротендика, используют это соглашение.

Мнемоника «падение во что-то» может помочь в запоминании что $h\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{A\}\}$является контравариантным гом-функтором. Когда буква $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$является падающей (то есть нижним индексом), $h\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{A\}\}$назначает объекту $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$морфизмы из $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$в$A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$.

Доказательство

Доказательство леммы Йонеды показано следующей коммутативной диаграммой :

Эта диаграмма показывает, что естественное преобразование $\Phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\}$является полностью определяется $\Phi \; A\; (id\; A)\; =\; u\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; \_\; \{A\}\; (\backslash \; mathrm\; \{id\}\; \_\; \{A\})\; =\; u\}$, поскольку для каждого морфизма $е:\; A\; \to \; Икс\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; \backslash \; двоеточие\; A\; \backslash \; к\; X\}$один имеет

$\Phi \; X\; (f)\; =\; (F\; f)\; u\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; \_\; \{X\}\; (f)\; =\; (Ff)\; u\}$.

Более того, любой элемент $u\; \in \; F\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \backslash \; in\; F\; (A)\}$таким образом определяет естественное преобразование. Доказательство в контравариантном случае полностью аналогично.

Вложение Йонеды

Важным частным случаем леммы Йонеды является случай, когда функтор $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$из $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$до $S\; et\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Set\}\}$- еще один гом-функтор $h\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; ^\; \{\; B\}\}$. В этом случае ковариантная версия леммы Йонеды утверждает, что

$N\; a\; t\; (h\; A,\; h\; B)\; \cong \; H\; o\; m\; (B,\; A).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Nat\}\; (h\; ^\; \{A\},\; h\; ^\; \{B\})\; \backslash \; cong\; \backslash \; mathrm\; \{Hom\}\; (B,\; A).\}$

То есть естественные преобразования между гом-функторами находятся в одном взаимно однозначное соответствие с морфизмами (в обратном направлении) между ассоциированными объектами. Для данного морфизма $f:\; B\; \to \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; B\; \backslash \; to\; A\}$соответствующее естественное преобразование обозначается $H\; om\; (f,\; -)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{\; Hom\}\; (f,\; -)\}$.

Отображение каждого объекта $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$в $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$к ассоциированному с ним гом-функтору $h\; A\; =\; H\; om\; (A,\; -)\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; ^\; \{A\}\; =\; \backslash \; mathrm\; \{Hom\}\; (A,\; -)\}$и каждому морфизму $е:\; B\; \to \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; B\; \backslash \; to\; A\}$к соответствующему естественному преобразованию $H\; om\; (f,\; -)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Hom\}\; (f,\; -)\}$определяет контравариантный функтор $h\; -\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; ^\; \{-\}\}$из $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$до $S\; et\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Set\}\; ^\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$, категория функторов всех (ковариантная) функторы от $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$до $S\; et\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Set\}\}$. $h\; -\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; ^\; \{-\}\}$можно интерпретировать как ковариантный функтор :

$h\; -:\; C\; op\; \to \; S\; e\; t\; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; ^\; \{-\}\; \backslash \; двоеточие\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; ^\; \{\backslash \; text\; \{op\}\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{Set\}\; ^\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}.\}$

Смысл леммы Йонеды в этом случае функтор $h\; -\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; ^\; \{-\}\}$является полностью верным и, следовательно, дает вложение $C\; op\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{op\}\}\}$в категории функторов для $S\; et\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Set\}\}$. Совокупность всех функторов $\{h\; A\; |\; A\; \in \; C\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{h\; ^\; \{A\}\; |\; A\; \backslash \; in\; C\; \backslash \}\}$является подкатегорией $S\; et\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Set\}\; ^\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$. Следовательно, вложение Йонеды подразумевает, что категория $C\; o\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{op\}\}\}$изоморфна категории $\{h\; A\; |\; A\; \in \; C\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{h\; ^\; \{A\}\; |\; A\; \backslash \; in\; C\; \backslash \}\}$.

Контравариантная версия леммы Йонеды утверждает, что

$N\; at\; (h\; A,\; h\; B)\; \cong \; H\; om\; (A,\; Б).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Nat\}\; (h\_\; \{A\},\; h\_\; \{B\})\; \backslash \; cong\; \backslash \; mathrm\; \{Hom\}\; (A,\; B).\}$

Следовательно, $h\; -\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; \_\; \{-\}\; \}$порождает ковариантный функтор из $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$в категорию контравариантных функторов на $S\; et\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Set\}\}$:

$h\; -:\; C\; \to \; S\; et\; C\; op.\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; \_\; \{-\}\; \backslash \; двоеточие\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{Set\}\; ^\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{op\}\}\}.\}$

В лемме Йонеды говорится что любая локально небольшая категория $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$может быть встроена в категорию контравариантных функторов из $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; \}$на $С\; эт\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Set\}\}$через $h\; -\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; \_\; \{-\}\}$. Это называется вложением Йонеды.

Вложение Йонеды иногда обозначается символом よ, Хирагана кана Yo.

Представимый функтор

Вложение Йонеды по существу утверждает, что для каждого (локально малого) категории, объекты в этой категории могут быть представлены с помощью предварительных пучков полным и точным образом. То есть

$N\; a\; t\; (h\; A,\; P)\; \cong \; P\; (A).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Nat\}\; (h\_\; \{A\},\; P)\; \backslash \; cong\; P\; (A).\}$

для предварительного пучка P. Многие общие категории фактически являются предварительными пучками, и при ближайшем рассмотрении оказывается, что быть связками, и, поскольку такие примеры обычно носят топологический характер, их можно рассматривать как topoi в целом. Лемма Йонеды дает точку, с помощью которой можно изучать и понимать топологическую структуру категории.

.

С точки зрения (со) конечного исчисления

Даны две категории $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\}$и $D\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\; D\}\}$с двумя функторами $F,\; G:\; C\; \to \; D\; \{\backslash \; displaystyle\; F,\; G:\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{D\}\}$, натуральный преобразования между ними можно записать следующим образом: конец.

$N\; at\; (F,\; G)\; =\; \int \; c\; \in \; CH\; om\; D\; (F\; c,\; G\; c)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Nat\}\; (F,\; G)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{c\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\}\; \backslash \; mathrm\; \{Hom\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{D\}\}\; (Fc,\; Gc)\}$

Для любых функторов $K:\; C\; op\; \to \; S\; ets\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; K\; \backslash \; двоеточие\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; ^\; \{op\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{Sets\}\}$и $H:\; C\; \to \; S\; ets\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \backslash \; двоеточие\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{Sets\}\}$следующие формулы являются формулировками леммы Йонеды.

$К\; \cong \; \int \; c\; \in \; CK\; c\; \times \; H\; om\; C\; (-,\; c),\; K\; \cong \; \int \; c\; \in \; C\; (K\; c)\; H\; om\; C\; (c,\; -),\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; \backslash \; cong\; \backslash \; int\; ^\; \{c\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\}\; Kc\; \backslash \; times\; \backslash \; mathrm\; \{Hom\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{C\}\}\; (-,\; c),\; \backslash \; qquad\; K\; \backslash \; cong\; \backslash \; int\; \_\; \{c\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\}\; (Kc)\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{Hom\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{C\}\}\; (c,\; -)\},\}$

$H\; \cong \; \int \; c\; \in \; CH\; c\; \times \; H\; om\; C\; (c,\; -),\; H\; \cong \; \int \; c\; \in \; C\; (H\; c)\; H\; om\; C\; (-,\; c).\; \{\backslash \; Displaystyle\; H\; \backslash \; cong\; \backslash \; int\; ^\; \{c\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\}\; Hc\; \backslash \; times\; \backslash \; mathrm\; \{Hom\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{C\}\}\; (c,\; -),\; \backslash \; qquad\; H\; \backslash \; cong\; \backslash \; int\; \_\; \{\; c\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\}\; (Hc)\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{Hom\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{C\}\}\; (-,\; c)\}.\}$

A предаддитивная категория - категория, в которой наборы морфизмов образуют абелевы группы, а композиция морфизмов билинейна ; примерами являются категории абелевых групп или модулей. В предаддитивной категории существует как «умножение», так и «сложение» морфизмов, поэтому предаддитивные категории рассматриваются как обобщения колец. Кольца - это предаддитивные категории с одним объектом.

Лемма Йонеды останется верной для предаддитивных категорий, если мы выберем в качестве нашего расширения категорию аддитивных контравариантных функторов из исходной категории в категорию абелевых групп; это функторы, которые совместимы с добавлением морфизмов, и их следует рассматривать как образующие модульную категорию над исходной категорией. Затем лемма Йонеды дает естественную процедуру расширения предаддитивной категории так, чтобы расширенная версия оставалась предаддитивной - фактически, расширенная версия является абелевой категорией, гораздо более мощным условием. В случае кольца $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$расширенная категория - это категория всех правильных модулей над $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$, и утверждение леммы Йонеды сводится к хорошо известному изоморфизму

$M\; \cong \; H\; om\; R\; (R,\; M)\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \backslash \; cong\; \backslash \; mathrm\; \{Hom\}\; \_\; \{R\}\; (R,\; M)\}$для всех правых модулей $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$на $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$.

Как указано выше, лемму Йонеды можно рассматривать как обширное обобщение теоремы Кэли из теории групп. Чтобы увидеть это, пусть $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$будет категорией с одним объектом $\ast \; \{\backslash \; displaystyle\; *\}$таким, что каждый морфизм является изоморфизмом (т. е. группоидом с одним объектом). Тогда $G\; =\; H\; om\; C\; (\ast ,\; \ast )\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; =\; \backslash \; mathrm\; \{Hom\}\; \_\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; (*,\; *)\}$образует группу при операции композиции, и таким образом любая группа может быть реализована как категория.

В этом контексте ковариантный функтор $C\; \to \; S\; et\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{Set\}\}$состоит из набора $Икс\; \{\backslash \; Displaystyle\; X\}$и групповой гомоморфизм $G\; \to \; P\; erm\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \backslash \; to\; \backslash \; mathrm\; \{Perm\}\; (X)\}$, где $P\; erm\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Perm\}\; (X)\}$- это группа перестановок из $X\; \{\backslash \; стиль\; отображения\; X\}$; другими словами, $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$- это G-набор. Естественное преобразование между такими функторами - это то же самое, что эквивариантное отображение между $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$-множествами: функция множества $\alpha :\; X\; \to \; Y\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; альфа\; \backslash \; двоеточие\; X\; \backslash \; в\; Y\}$со свойством, что $\alpha \; (g\; \cdot \; x)\; =\; g\; \cdot \; \alpha \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; (g\; \backslash \; cdot\; x)\; =\; g\; \backslash \; cdot\; \backslash \; alpha\; (x)\}$для всех $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$в $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$и $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$в $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$. (В левой части этого уравнения $\cdot \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cdot\}$обозначает действие $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, а справа действие на $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$.)

Теперь ковариантный гом-функтор $ЧАС\; С\; (*,\; -)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Hom\}\; \_\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; (*,\; -)\}$соответствует действию $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$на себя умножением слева (контравариантная версия соответствует умножению справа). Лемма Йонеды с $F\; =\; H\; om\; C\; (\ast ,\; -)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; =\; \backslash \; mathrm\; \{Hom\}\; \_\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; (*,\; -)\}$утверждает, что

$N\; в\; (ЧАС\; С\; (*,\; -),\; ЧАС-С\; (*,\; -))\; \cong \; ЧАС\; С\; (*,\; *)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Nat\}\; (\backslash \; mathrm\; \{Hom\}\; \_\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; (*,\; -),\; \backslash \; mathrm\; \{Hom\}\; \_\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; (*,\; -))\; \backslash \; cong\; \backslash \; mathrm\; \{Hom\}\; \_\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; (*,\; *)\}$,

, то есть эквивариантные отображения из этого $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$-набора в себя находятся во взаимно однозначном соответствии с $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$. Но легко увидеть, что (1) эти карты образуют группу по композиции, которая является подгруппой из $P\; erm\; (G)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Perm\}\; (G)\}$, и (2) функция, дающая биекцию, является гомоморфизмом групп. (В обратном направлении он связывает с каждым $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$в $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$эквивариантную карту правого умножения на $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$.) Таким образом, $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$изоморфен подгруппе $P\; erm\; (G)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Perm\}\; (G)\}$, что является утверждением теоремы Кэли.

Йошики Киношита заявил в 1996 году, что термин «лемма Йонеды» был придуман Сондерсом Мак Лейном после интервью, которое он дал Йонеде.>См. Также