В теории групп, теорема Кэли, названная в честь Артура Кэли, утверждает, что каждая группа G является изоморфной к подгруппе из симметрической группы, действующей на G. Это может быть понято как пример действия группы из G на элементах G. Теорема может быть получена путем явного построения представления внутри представления симметрической группы матриц перестановок, которое иногда называют регулярным представлением.
Перестановка множества G любая биективен функция принимает G на G. Множество всех перестановок группы G образует группу относительно композиции функций, называемую симметрической группой на G и записываемой как Sym ( G).
Теорема Кэли ставит все группы на одну и ту же основу, рассматривая любую группу (включая бесконечные группы, такие как ( R, +)) как группу перестановок некоторого основного множества. Таким образом, теоремы, которые верны для подгрупп групп перестановок, верны и для групп в целом. Тем не менее, Alperin и Белл отмечает, что «в целом тот факт, что конечные группы вкладываются в симметричных группах не повлиял на методы, используемые для изучения конечных групп».
Регулярное действие используется в стандартном доказательстве теоремы Кэли не дает представление G в минимальной - порядка группы перестановок. Например, сама уже симметрична группа порядка 6, будет представлено регулярным действием в качестве подгруппы (группы порядка 720). Действительно, комплексное регулярное представление конечных групп фактически образовано прямой суммой всех неприводимых представлений с кратностью, равной их размерности. Проблема вложения группы в симметрическую группу минимального порядка довольно сложна.
Хотя это кажется достаточно элементарным, в то время современных определений не существовало, и когда Кэли представил то, что теперь называется группами, не сразу стало ясно, что это эквивалентно ранее известным группам, которые теперь называются группами перестановок. Теорема Кэли объединяет их.
Хотя Бернсайд приписывает теорему Джордану, Эрик Нуммела, тем не менее, утверждает, что стандартное название - «Теорема Кэли» - действительно уместно. Кэли в своей оригинальной статье 1854 года показал, что соответствие в теореме взаимно однозначно, но ему не удалось явно показать, что это гомоморфизм (и, следовательно, вложение). Тем не менее, Нуммела отмечает, что Кейли сделал этот результат известным математическому сообществу в то время, таким образом опередив Иорданию примерно на 16 лет.
Теорема была позже опубликована Вальтером Дайком в 1882 году и приписывается Дейку в первом издании книги Бернсайда.
Если г любой элемент из группы G с операцией *, рассмотрим функцию F г : G → G, определяется ф г ( х) = г * х. Наличие инверсий, эта функция имеет двусторонний обратную,. Таким образом, умножение на g действует как биективная функция. Таким образом, f g является перестановкой G, а значит, и членом Sym ( G).
Множество К = { е г : г ∈ G } является подгруппой Sym ( G), что изоморфна G. Быстрый способ установить это, чтобы рассмотреть функцию T : G → Sym ( G) с Т ( г) = е г для каждого г в G. T - гомоморфизм групп, потому что (используя для обозначения композиции в Sym ( G)):
для всех x в G и, следовательно,:
Гомоморфизм Т является инъективны, так как Т ( г) = Идентификатор G (единичный элемент Sym ( G)) следует, что г * х = х для всех х в G, и принимая х, чтобы быть единичный элемент е из G дает г = g ∗ e = e, т.е. ядро тривиально. С другой стороны, T также инъективен, поскольку g ∗ x = g ′ ∗ x влечет, что g = g ′ (поскольку каждая группа сокращается ).
Таким образом, G изоморфна образу T, который является подгруппой К.
T иногда называют регулярное представление G.
В альтернативной настройке используется язык групповых действий. Мы рассматриваем группу как действующую на себя посредством левого умножения, т. Е. Имеющую, скажем, перестановочное представление.
Представление является точным, если оно инъективно, то есть если ядро тривиально. Допустим. Тогда. Таким образом, это тривиально. Результат следует путем использования первой теоремы изоморфизма, из которого мы получаем.
Идентификационный элемент группы соответствует перестановке идентичности. Все остальные элементы группы соответствуют расстройствам : перестановкам, которые не оставляют ни одного элемента неизменным. Поскольку это также применимо к степеням элемента группы, ниже, чем порядок этого элемента, каждый элемент соответствует перестановке, которая состоит из циклов одинаковой длины: эта длина является порядком этого элемента. Элементы в каждом цикле образуют правый смежный класс подгруппы, порожденной элементом.
Z 2 = {0,1} со сложением по модулю 2; элемент группы 0 соответствует тождественной перестановке e, элемент группы 1 - перестановке (12). Например, 0 +1 = 1 и 1 + 1 = 0, поэтому 1 -gt; 0 и 0 -gt; 1, как при перестановке.
Z 3 = {0,1,2} со сложением по модулю 3; элемент группы 0 соответствует тождественной перестановке e, элемент группы 1 - перестановке (123), а элемент группы 2 - перестановке (132). Например, 1 + 1 = 2 соответствует (123) (123) = (132).
Z 4 = {0,1,2,3} с сложения по модулю 4; элементы соответствуют e, (1234), (13) (24), (1432).
Элементы четырехгруппы Клейна {e, a, b, c} соответствуют e, (12) (34), (13) (24) и (14) (23).
S 3 ( группа диэдра порядка 6 ) - это группа всех перестановок из 3 объектов, но также группа перестановок из 6 элементов группы, и последняя - это то, как она реализуется с помощью своего регулярного представления.
* | е | а | б | c | d | ж | перестановка |
---|---|---|---|---|---|---|---|
е | е | а | б | c | d | ж | е |
а | а | е | d | ж | б | c | (12) (35) (46) |
б | б | ж | е | d | c | а | (13) (26) (45) |
c | c | d | ж | е | а | б | (14) (25) (36) |
d | d | c | а | б | ж | е | (156) (243) |
ж | ж | б | c | а | е | d | (165) (234) |
Более общее утверждение теоремы Кэли состоит в рассмотрении ядра произвольной группы. В общем, если это группа и подгруппа с, то изоморфна подгруппе. В частности, если это конечная группа и мы устанавливаем, то получаем классический результат.