Подгруппа

В теории групп, разделе математики, для данной группы G при бинарной операции ∗ подмножество H в G называется подгруппой в G, если H также образует группу при операции ∗. Точнее, Н является подгруппой G, если ограничение на * до H × H является операцией группы на H. Обычно это обозначается H ≤ G, читается как « H - подгруппа G ».

Единичная подгруппа любой группы является подгруппой { х }, состоящей только из единичного элемента.

Собственная подгруппа группы G является подгруппой Н, которая является собственное подмножество из G (то есть, H ≠ G). Обычно это обозначается как H lt; G, читается как « H - собственная подгруппа G ». Некоторые авторы также исключают тривиальную группу из собственной (то есть H ≠ { e }).

Если Н является подгруппой группы G, то G иногда называют надгруппа из H.

Те же определения применяются в более общем случае, когда G - произвольная полугруппа, но эта статья будет иметь дело только с подгруппами групп. Группу G иногда обозначают упорядоченной парой ( G, ∗), обычно для того, чтобы подчеркнуть операцию ∗, когда G содержит множественные алгебраические или другие структуры.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Основные свойства подгрупп
2 Классы смежности и теорема Лагранжа
3 Пример: подгруппы Z 8
4 Пример: подгруппы S 4 (симметрическая группа на 4 элементах)
- 4.1 12 элементов
- 4.2 8 элементов
- 4.3 6 элементов
- 4.4 4 элемента
- 4.5 3 элемента
5 Другие примеры
6 См. Также
7 Примечания
8 ссылки

Основные свойства подгрупп

Подмножество H группы G является подгруппой G тогда и только тогда, когда оно непусто и замкнуто относительно произведений и обратных. (Условия замыкания означают следующее: всякий раз, когда a и b находятся в H, тогда ab и a ⁻¹ также находятся в H. Эти два условия можно объединить в одно эквивалентное условие: если a и b находятся в H, тогда ab ⁻¹ также находится в H.) В случае, когда H конечна, H является подгруппой тогда и только тогда, когда H замкнута относительно произведений. (В этом случае каждый элемент a группы H порождает конечную циклическую подгруппу группы H, и тогда обратный элемент a равен a ⁻¹ = a ^{n −1}, где n - порядок a.)
Вышеупомянутое условие можно сформулировать в терминах гомоморфизма ; то есть, Н является подгруппой группы G тогда и только тогда, когда Н является подмножеством G и существует гомоморфизм включения (то есть, я () = для каждого а) от H до G.
Идентичность подгруппы является единицей группы: если G является группой с единицей х G и Н является подгруппой группы G с единицей й Н, то е Н = е G.
Обратный элемент в подгруппе является обратным по отношению к элементу в группе: если Н является подгруппой группы G, и и б являются элементами H, такой, что AB = ба = е Н, то AB = ба = е G.
Пересечение подгрупп A и B является снова подгруппой. Объединением подгрупп A и B является подгруппой тогда и только тогда, когда либо или Б содержит другой, так как, например, 2 и 3 находятся в союзе 2Z и 3Z, но их сумма 5 не является. Другой пример - объединение оси x и оси y на плоскости (с операцией сложения); каждый из этих объектов является подгруппой, а их объединение - нет. Это также служит примером двух подгрупп, пересечение которых в точности совпадает.
Если S является подмножеством G, то существует минимальная подгруппа, содержащая S, которую можно найти, взяв пересечение всех подгрупп, содержащих S ; она обозначается через ⟨ S ⟩ и, как говорят, является подгруппа, порожденная S. Элемент G в ⟨ S ⟩ тогда и только тогда, когда оно является конечным продуктом элементов S и их инверсий.
Каждый элемент группы G порождает циклическая подгруппа ⟨ ⟩. Если ⟨ ⟩ есть изоморфна к Z / п Z для некоторого положительного целого числа п, то п является наименьшим положительным целым числом, для которого ^п = е, и п называется порядок из. Если ⟨ ⟩ изоморфна Z, то говорят, есть бесконечный порядок.
Подгруппы любой данной группы образуют полную решетку по включению, называемую решеткой подгрупп. (Хотя нижняя грань здесь является обычным теоретико-множественным пересечением, верхняя грань множества подгрупп - это подгруппа, порожденная теоретико-множественным объединением подгрупп, а не само теоретико-множественное объединение.) Если e является единицей G, то тривиальная группа { e } является минимальной подгруппой в G, а максимальная подгруппа - это сама группа G.

G - группа, целые числа по модулю 8 сложены. Подгруппа H содержит только 0 и 4 и изоморфна. У H есть четыре левых смежных класса: сам H, 1 + H, 2 + H и 3 + H (написано с использованием аддитивной записи, поскольку это аддитивная группа ). Вместе они разбивают всю группу G на неперекрывающиеся множества равного размера. Индекс [G: H] равен 4.

{\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 8 \ mathbb {Z}}

\ mathbb {Z} / 8 \ mathbb {Z}

{\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}

\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}

Козеты и теорема Лагранжа

Основные статьи: Теорема Козета и Лагранжа (теория групп)

Для подгруппы H и некоторого a в G определим левый смежный класс aH = { ah : h в H }. Поскольку a обратимо, отображение φ: H → aH, заданное формулой φ ( h) = ah, является биекцией. Более того, каждый элемент G содержится ровно в одном левом классе смежности H ; левые классы являются классами эквивалентности, соответствующие отношению эквивалентности 1 \ 2 тогда и только тогда, когда 1 ^-12 в H. Число левых смежных классов H называется индексом из H в G и обозначается [ G : H ].

Теорема Лагранжа утверждает, что для конечной группы G и подгруппы H,

{\ displaystyle [G: H] = {| G | \ over | H |}}

[G: H] = {| G | \ над | H |}

где | G | и | H | обозначают порядки групп G и H соответственно. В частности, порядок каждой подгруппы группы G (и порядок каждого элемента группы G) должен быть делителем | G |,

Правые классы смежности определяются аналогично: Ha = { ha : h в H }. Они также являются классами эквивалентности для подходящего отношения эквивалентности, и их количество равно [ G : H ].

Если aH = Ha для любого a из G, то H называется нормальной подгруппой. Каждая подгруппа индекса 2 является нормальной: левые смежные классы, а также правые смежные классы - это просто подгруппа и ее дополнение. В более общем смысле, если p - младшее простое число, делящее порядок конечной группы G, то любая подгруппа индекса p (если таковая существует) является нормальной.

Пример: подгруппы Z 8

Пусть G - циклическая группа Z 8, элементы которой равны

{\ Displaystyle G = \ влево \ {0,4,2,6,1,5,3,7 \ вправо \}}

{\ Displaystyle G = \ влево \ {0,4,2,6,1,5,3,7 \ вправо \}}

и чья групповая операция - сложение по модулю восемь. Его Кэли таблица является

+	0	4	2	6	1	5	3	7
0	0	4	2	6	1	5	3	7
4	4	0	6	2	5	1	7	3
2	2	6	4	0	3	7	5	1
6	6	2	0	4	7	3	1	5
1	1	5	3	7	2	6	4	0
5	5	1	7	3	6	2	0	4
3	3	7	5	1	4	0	6	2
7	7	3	1	5	0	4	2	6

Эта группа имеет два нетривиальных подгруппы: J = {0,4} и H = {0,4,2,6}, где J также подгруппа H. Таблица Кэли для H - это верхний левый квадрант таблицы Кэли для G ; Таблица Кэли для J находится в верхнем левом квадранте таблицы Кэли для H. Группа G является циклической, и поэтому ее подгруппы. В общем случае подгруппы циклических групп также являются циклическими.

Пример: подгруппы в S 4 ( симметрическая группа из 4 элементов)

В каждой группе столько же малых подгрупп, сколько нейтральных элементов на главной диагонали:

Единичная группа и два элемента группы Z 2. Эти небольшие подгруппы не включены в следующий список.

Симметрическая группа S 4, показывающая все перестановки из 4 элементов

Все 30 подгрупп

Упрощенный Хассе диаграммы по решетке подгрупп из S 4

12 элементов

Знакопеременная группа 4 показана только четные подстановки Подгруппа:

8 элементов

Группа диэдра порядка 8 Подгруппы:

Группа диэдра порядка 8 Подгруппы:

Группа диэдра порядка 8 Подгруппы:

6 элементов

Симметричная группа S 3 Подгруппа:

Симметричная группа S 3 Подгруппа:

Симметричная группа S 3 Подгруппа:

Симметричная группа S 3 Подгруппа:

4 элемента

Кляйн четыре группы

Циклическая группа Z 4

3 элемента

Циклическая группа Z 3

Другие примеры

Четные целые числа являются подгруппой аддитивной группы целых чисел: когда вы складываете два четных числа, вы получаете четное число.
Идеал в кольце является подгруппой аддитивной группы. ${\ displaystyle R}$ $р$ ${\ displaystyle R}$ $р$
Линейное подпространство из векторного пространства является подгруппой аддитивной группы векторов.
Позвольте быть абелевой группой ; элементы, которые имеют конечный период, образуют подгруппу, называемую подгруппой кручения группы. ${\ displaystyle A}$ $А$ ${\ displaystyle A}$ $А$ ${\ displaystyle A}$ $А$ ${\ displaystyle A}$ $А$

Смотрите также

Примечания

^ Хангерфорд (1974), стр. 32
^ Артин (2011), стр. 43 год
^ Якобсон (2009), стр. 41 год
^ См. Дидактическое доказательство в этом видео.
^ Даммит и Фут (2004), стр. 90.

использованная литература

Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра, 1 (2-е изд.), Довер, ISBN 978-0-486-47189-1.
Хангерфорд, Томас (1974), алгебра (1-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 9780387905181.
Артин, Майкл (2011), Алгебра (2 - е изд.), Прентис Холл, ISBN 9780132413770.
Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 9780471452348. OCLC 248917264.

+	0	4	2	6	1	5	3	7
0	0	4	2	6	1	5	3	7
4	4	0	6	2	5	1	7	3
2	2	6	4	0	3	7	5	1
6	6	2	0	4	7	3	1	5
1	1	5	3	7	2	6	4	0
5	5	1	7	3	6	2	0	4
3	3	7	5	1	4	0	6	2
7	7	3	1	5	0	4	2	6

+	0	4	2	6	1	5	3	7
0	0	4	2	6	1	5	3	7
4	4	0	6	2	5	1	7	3
2	2	6	4	0	3	7	5	1
6	6	2	0	4	7	3	1	5
1	1	5	3	7	2	6	4	0
5	5	1	7	3	6	2	0	4
3	3	7	5	1	4	0	6	2
7	7	3	1	5	0	4	2	6

+	0	4	2	6	1	5	3	7
0	0	4	2	6	1	5	3	7
4	4	0	6	2	5	1	7	3
2	2	6	4	0	3	7	5	1
6	6	2	0	4	7	3	1	5
1	1	5	3	7	2	6	4	0
5	5	1	7	3	6	2	0	4
3	3	7	5	1	4	0	6	2
7	7	3	1	5	0	4	2	6