Войти
 | |
| Автор | Александр Гротендик и Жан Дьедонне |
|---|---|
| Язык | французский язык |
| Предмет | Алгебраическая геометрия |
| Издатель | Institut des Hautes Études Scientifiques |
| Дата публикации | 1960–1967 |
ЭЛЕМЕНТЫ геометрического подход algébrique ( «Элементы алгебраической геометрии ») по Гротендику ( при содействии Жана Дьедонне ) или EGA для краткости, является строгим трактатом, в французском языке, на алгебраической геометрии, которая была опубликована (в восьми частях или брошюрах ) из С 1960 по 1967 год - Институт высших научных исследований. В нем Гротендик установил систематические основы алгебраической геометрии, опираясь на концепцию схем, которую он определил. Эта работа теперь считается краеугольным камнем и основным справочником современной алгебраической геометрии.
Изначально планировалось тринадцать глав, но были опубликованы только первые четыре (общим объемом около 1500 страниц). Многие материалы, которые можно было бы найти в следующих главах, можно найти в менее отточенной форме в Séminaire de géométrie algébrique (известном как SGA). Действительно, как объяснил Гротендик в предисловии к опубликованной версии SGA, к 1970 году стало ясно, что включение всего запланированного материала в EGA потребует значительных изменений в ранее опубликованных главах, и, следовательно, перспективы завершения EGA в ближайшей перспективе были ограничены. Очевидный пример - производные категории, которые стали незаменимым инструментом в более поздних томах SGA, но еще не использовались в EGA III, поскольку в то время теория еще не была разработана. Поэтому были потрачены значительные усилия на то, чтобы привести опубликованные тома SGA к высокой степени полноты и точности. До того, как работа над трактатом была прекращена, в 1966–67 гг. Планировалось расширить авторский коллектив, включив в него учеников Гротендика Пьера Делиня и Мишеля Рейно, о чем свидетельствует опубликованная переписка между Гротендиком и Дэвидом Мамфордом. Письмо Гротендика от 4 ноября 1966 г. Мамфорду также указывает на то, что к тому времени уже существовала пересмотренная структура второго издания, а глава VIII уже предназначалась для охвата схемы Пикарда. В этом письме он подсчитал, что при темпе написания до этого момента следующие четыре главы (с V по VIII) заняли бы восемь лет, что указывает на предполагаемую длину, сопоставимую с первыми четырьмя главами, которые готовились к около восьми лет в то время.
Тем не менее Гротендик написал исправленную версию EGA I, которая была опубликована Springer-Verlag. Он обновляет терминологию, заменяя «предварительную схему» на «схему» и «схему» на «разделенную схему», и сильно подчеркивает использование представимых функторов. Новое предисловие ко второму изданию также включает немного переработанный план всего трактата, теперь разделенного на двенадцать глав.
EGA V Гротендика, который имеет дело с теоремами типа Бертини, в некоторой степени доступен на веб-сайте Grothendieck Circle. Monografie Matematyczne в Польше приняла этот том к публикации, но процесс редактирования идет довольно медленно (по состоянию на 2010 г.). Джеймс Милн сохранил некоторые оригинальные записи Гротендика и их перевод на английский язык. Они могут быть доступны на его веб-сайтах, связанных с Мичиганским университетом в Анн-Арборе.
В следующей таблице представлен первоначальный и исправленный план трактата и указано, где (в SGA или в другом месте) Гротендик и его сотрудники рассматривали темы, предназначенные для более поздних, неопубликованных глав.
| # | Первое издание | Второе издание | Комментарии |
|---|---|---|---|
| я | Le langage des schémas | Le langage des schémas | Второе издание вводит определенные схемы, представляющие функторы, такие как грассманианы, предположительно из предполагаемой главы V первого издания. Кроме того, содержание Раздела 1 Главы IV первого издания было перенесено в Главу I второго издания. |
| II | Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes | Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes | Первое издание завершено, второе издание не вышло. |
| III | Étude cohomologique des faisceaux cohérents | Cohomologie des Faisceaux algébriques cohérents. Приложения. | Первое издание завершено, за исключением последних четырех разделов, предназначенных для публикации после главы IV: элементарная проективная двойственность, локальные когомологии и их связь с проективными когомологиями и группы Пикара (все, кроме проективной двойственности, рассматриваемой в SGA II). |
| IV | Étude locale des schémas et des morphismes de schémas | Étude locale des schémas et des morphismes de schémas | Первое издание практически завершено; некоторые изменения, внесенные в последние разделы; раздел по гиперплоскостным сечениям внесен в новую главу V второй редакции (есть черновик) |
| V | Procédés élémentaires de construction de schémas | Дополняет проекты Sur les morphismes | Не появилось. Некоторые элементарные конструкции схем, по-видимому, предназначенные для первого издания, представлены в главе I второго издания. Существующий проект главы V соответствует плану второй редакции. Он также включает расширенную обработку некоторых материалов из SGA VII. |
| VI | Technique de descente. Méthode Générale de Construction des Schémas | Методы построения схемы | Не появилось. Теория спуска и связанные с ней методы строительства, кратко изложенные Гротендиком в FGA. К 1968 году план был разработан для обработки алгебраических пространств и алгебраических стеков. |
| VII | Schémas de groupes, espaces fibrés Principaux | Schémas en groupes, espaces fibrés принципиальные | Не появилось. Подробно рассматривается в SGA III. |
| VIII | Étude différentielle des espaces fibrés | Le Schéma de Picard | Не появилось. Материал, очевидно предназначенный для первого издания, можно найти в SGA III, конструкция и результаты по схеме Пикарда обобщены в FGA. |
| IX | Le Groupe fondamental | Le Groupe fondamental | Не появилось. Обработанные подробно в SGA I. |
| Икс | Résidus et dualité | Résidus et dualité | Не появилось. Подробно рассматривается в издании Хартшорном заметок Гротендика «Остатки и двойственность». |
| XI | Теория д'Пересечение, классы де Черна, теория Римана-Роха | Теория д'Пересечение, классы де Черна, теория Римана-Роха | Не появилось. Подробно рассматривается в SGA VI. |
| XII | Schémas abéliens et schémas de Picard | Cohomologie étale des schémas | Не появилось. Этальная когомология подробно рассмотрены в SGA IV, SGA V. |
| XIII | Cohomologie de Weil | никто | Предназначен для освещения этальных когомологий в первом издании. |
Помимо собственно глав, обширная «Глава 0», посвященная различным предварительным сведениям, была разделена между томами, в которых появился трактат. Темы обрабатывают диапазон от теории категорий, теории пучков и общей топологии в коммутативной алгебре и гомологической алгебры. Самая длинная часть главы 0, приложенная к главе IV, составляет более 200 страниц.
Гротендик никогда не давал разрешения на переиздание 2-го издания EGA I, поэтому копии редки, но их можно найти во многих библиотеках. Работа над EGA была окончательно прервана уходом Гротендика сначала из IHÉS в 1970 году, а вскоре после этого и вовсе из математического истеблишмента. Неполные заметки Гротендика об EGA V можно найти на Grothendieck Circle.
С исторической точки зрения развитие подхода EGA положило начало применению теории пучков к алгебраической геометрии, начатое в основной статье Серра FAC. Он также содержал первое полное изложение алгебраического подхода к дифференциальному исчислению с помощью основных частей. Предложенное им фундаментальное объединение (см., Например, объединение теорий в математике ) выдержало испытание временем.
EGA просканировано NUMDAM и доступно на их веб-сайте в разделе «Publications mathématiques de l'IHÉS», тома 4 (EGAI), 8 (EGAII), 11 (EGAIII.1re), 17 (EGAIII.2e), 20 (EGAIV)..1re), 24 (EGAIV.2e), 28 (EGAIV.3e) и 32 (EGAIV.4e).
