Абелева группа

редактировать
Коммутативная группа (математика)

В математике, абелева группа, также называемая коммутативной группой, является группой, в которой результат применения операции группы к двум элементам группы не зависит от порядка в которые они написаны. То есть групповая операция коммутативна. При сложении в операции целые числа и действительные числа образуют абелевы группы, и понятие абелевой группы можно рассматривать как обобщение этих примеров. Абелевы группы названы в честь математика начала 19 века Нильса Хенрика Абеля.

Концепция абелевой группы, основанная на многих фундаментальных алгебраических структур, таких как поля, кольца, пространств и алгебры. Теория абелевых групп обычно проще, чем теория их неабелевых аналогов, а конечные абелевы группы очень хорошо изучены и полностью классифицированы.

Содержание

  • 1 Определение
  • 2 Факты
    • 2.1 Обозначение
    • 2.2 Таблица умножения
  • 3 Примеры
  • 4 Исторические замечания
  • 5 Свойства
  • 6 Конечные абелевы группы
    • 6.1 Классификация
    • 6.2 Автоморфизмы
  • 7 Конечно порожденные абелевы группы
  • 8 Бесконечные абелевы группы
    • 8.1 Торсионные группы
    • 8.2 Смешанные группы без кручения
    • 8.3 Инварианты и классификация
    • 8.4 Аддитивные группы колец
  • 9 Связь с другими математическими вопросами
  • 10 Примечание о типографике
  • 11 См. Также
  • 12 Примечания
  • 13 Ссылки
  • 14 Внешние ссылки

Определение

Групповые структуры
Тотальность Ассоциативность Идентичность Инвертируемость Коммутативность
Полугруппоид Не нужноТребуетсяНе нужноНе нужноНенужно
Малая категория УннидедТребуетсяТребуетсяНенужноНенужно
Группоид НенужноТребуетсяОбязательноТребуетсяНенужно
Магма ТребуетсяНенужноНенужноНенужноНенужно
Квазигруппа ТребуетсяНенужноНенужноТребуетсяНенужно
Единичная магма ТребуетсяНенужноТребуетсяНенужноНенужно
Цикл ТребуетсяНенужноТребуетсяТребуетсяНе требуется
Полугруппа ТребуетсяТребуетсяНе требуетсяНенужноНенужно
Обратный Полугруппа ТребуетсяТребуетсяНенужноТребуетсяНенужно
Моноид ТребуетсяТребуетсяОбязательноНенужноНенужно
Коммутативный моноид ОбязательноОбязательноОбязательноНенужноОбязательно
Группа R равноТребуетсяТребуетсяТребуетсяНенужно
Абелева группа ТребуетсяТребуетсяОбязательноОбязательноОбязательно
Замыкание, используется во многих источниках, является эквивалентной аксиомой тотальности, хотя и определяется по-другому.

Абелева группа - это установить, A {\ displaystyle A}A вместе с операцией ⋅ {\ displaystyle \ cdot}\ cdot который объединяет любые два элемента a {\ displaystyle a}a и b {\ displaystyle b}b из A {\ displaystyle A}A для формирования другого элемента A, {\ displaystyle A,}A, обозначается a ⋅ b {\ displaystyle a \ cdot b}a \ cdot b . Символ ⋅ {\ displaystyle \ cdot}\ cdot является общим заполнителем для данной операции. Чтобы квалифицироваться как абелева группа, набор и операция, (A, ⋅) {\ displaystyle (A, \ cdot)}{\ displaystyle (A, \ cdot)} , должны удовлетворять пяти требованиям, известным как аксиомы абелевой группы:

Закрытие
Для всех a {\ displaystyle a}a , b {\ displaystyle b}b в A {\ displaystyle A}A , результат операции a ⋅ b {\ displaystyle a \ cdot b}a \ cdot b также находится в A {\ displaystyle A}A .
Ассоциативность
Для всех a { \ displaystyle a}a , b {\ displaystyle b}b и c {\ displaystyle c}c в A {\ displaystyle A}A , уравнение (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) {\ displaystyle (a \ cdot b) \ cdot c = a \ cdot (b \ cdot c)}{\ displaystyle (a \ cdot b) \ cdot c = a \ cdot (b \ cdot c)}
Элемент идентичности
Существует элемент e {\ displaystyle e}eв A {\ displaystyle A}A , так что для всех элементов a {\ displaystyle a}a в A {\ displaystyle A}A уравнение е ⋅ a знак равно a ⋅ е = а {\ Displaystyle е \ cd ot a = a \ cdot e = a}{\ displaystyle e \ cdot a = a \ cdot e = a} holds.
Обратный элемент
Для каждого a {\ displaystyle a}a в A {\ displaystyle A}A существует элемент b {\ displaystyle b}b в A {\ displaystyle A}A такие, что a ⋅ b = b ⋅ a = e {\ displaystyle a \ cdot b = b \ cdot a = e}{\ displaystyle a \ cdot b = b \ cdot a = e} , где e {\ displaystyle e}e- элемент идентичности.
Коммутативность
Для всех a {\ displaystyle a}a , b {\ displaystyle b}b в A {\ displaystyle A}A , a ⋅ b = b ⋅ a {\ displaystyle a \ cdot b = b \ cdot a}{\ displaystyle a \ cdot b = b \ cdot a} .

Группа, в которой групповая операция не коммутативна, называется «неабелевой группой. "или" некоммутативная группа ".

Факты

Обозначение

Существует два основных условных обозначения для абелевых групп - аддитивное и мультипликативное.

СоглашениеОперацияИдентификацияПолномочияОбратное
Сложениеx + y {\ displaystyle x + y}x + y 0nx {\ displaystyle nx}{\ displaystyle nx} - x {\ displaystyle -x}-x
Умножениеx ⋅ y {\ displaystyle x \ cdot y}x \ cdot y или xy {\ displaystyle xy}ху 1xn {\ displaystyle x ^ {n}}x ^ {n} x - 1 {\ displaystyle x ^ {- 1}}x ^ {- 1}

Как правило, мультипликативная запись является обычной записью для групп, а аддитивная Обозначение является обычным обозначением для модулей И колец.>частично упорядоченные группы, где операция записывается аддитивно, даже если она неабелева.

Таблица умножения

проверить, что Чтобы конечная группа абелева, может быть построена таблица (матрица), известная как таблица Кэли. аналогично таблице умножения . Если группа имеет вид G = {g 1 = e, g 2,…, gn} {\ displaystyle G = \ {g_ {1} = e, g_ {2}, \ dots, g_ {n} \} }{ \ displaystyle G = \ {g_ {1} = e, g_ {2}, \ dots, g_ {n} \}} при операции ⋅ {\ displaystyle \ cdot}\ cdot , (i, j) {\ displaystyle (i, j)}(i, j) - я запись этой таблицы содержит произведение gi ⋅ gj {\ displaystyle g_ {i} \ cdot g_ {j}}{\ displaystyle g_ {i} \ cdot g_ {j}} .

Группа абелева тогда и только тогда, когда эта таблица симметрична относительно главной диагонали. Это верно, поскольку группа абелева iff gi ⋅ gj = gj ⋅ gi {\ displaystyle g_ {i} \ cdot g_ {j} = g_ {j} \ cdot g_ {i}}{\ displaystyle g_ {i} \ cdot g_ {j} = g_ {j} \ cdot g_ {i}} для всех i, j = 1 ,... , n {\ displaystyle i, j = 1,..., n}{\ displaystyle i, j = 1,..., n} , то есть если (i, j) {\ displaystyle (i, j)}(i, j) запись таблицы равна записи (j, i) {\ displaystyle (j, i)}{\ displaystyle (j , я)} для всех i, j = 1 ,... , n {\ displaystyle i, j = 1,..., n}{\ displaystyle i, j = 1,..., n} , т.е. таблица симметрична относительно главной диагонали.

Примеры

  • Для целых чисел и операции сложение + {\ displaystyle +}+ , обозначенного (Z , +) {\ displaystyle (\ mathbb {Z}, +)}{\ displaystyle (\ mathbb {Z}, +)} , операция + объединяет любые два целых числа в третье целое число, сложение ассоциативно, ноль является аддитивным тождеством, каждое целое число n {\ displaystyle n}n имеет аддитивное обратное, - n {\ displaystyle -n}-n и операция сложения коммутативна, поскольку n + m = m + n {\ displaystyle n + m = m + n}{\ displaystyle n + m = m + n} для любых двух целых чисел m {\ displaystyle m}m и n {\ displaystyle n}n .
  • Каждая циклическая группа G {\ displaystyle G}G абелева, потому что если x {\ displaystyle x}x , y {\ displaystyle y}y находится в G {\ displaystyle G}G , тогда xy = aman = am + n = anam = yx {\ displaystyle xy = a ^ {m} a ^ {n} = a ^ {m + n} = a ^ {n} a ^ {m} = yx}{\ displaystyle xy = a ^ {m} a ^ {n} = a ^ {m + n} = a ^ {n} a ^ {m} = yx} . Таким образом, целые числа, Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}\ mathbb {Z} образуют абелеву группу при сложении, как и целые числа по модулю n {\ displaystyle n}n , Z / n Z {\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z} .
  • Каждое кольцо является абелевой группой по отношению к операции сложения. В коммутативном кольце обратимые элементы или единицы образуют абелеву мультипликативную группу. В частности, действительные числа являются абелевой группой при сложении, а ненулевые действительные числа являются абелевой группой при умножении.
  • Каждая подгруппа абелевой группы является нормальным, поэтому каждая подгруппа порождает факторгруппу. Подгруппы, факторы и прямые суммы абелевых групп снова абелевы. Конечные простые абелевы группы - это в точности циклические группы простого порядка.
  • Понятия абелевой группы и Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}\ mathbb {Z} -модуль согласен. Более конкретно, каждый Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}\ mathbb {Z} -модуль является абелевой группой с ее операционной сложностью, каждая абелева группа является модулем над кольцом целых чисел Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}\ mathbb {Z} уникальным образом.

В общем, матрицы, даже обратимые матрицы, не образуют абелеву группу при умножении, потому что умножение матриц обычно не коммутативен. Однако некоторые группы матриц являются абелевыми группами при матричном умножении - одним из примеров группа 2 × 2 {\ displaystyle 2 \ times 2}2 \ times 2 матриц вращения.

Исторические заметки

Камилла Джордана назвал абелевы группы в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля, потому что Абель обнаружил, что коммутативность группы полинома означает, что корни полинома могут быть вычислены с использованием радикалов. См. Раздел 6.5 Cox (2004) - дополнительная информация об исторической справке.

Свойства

Если n {\ displaystyle n}n является натуральным числом и x {\ displaystyle x}x - элемент абелевой группы G {\ displaystyle G}G , записанный аддитивно, тогда nx {\ displaystyle nx}{\ displaystyle nx} можно определить как x + x + ⋯ + x {\ displaystyle x + x + \ cdots + x}{\ displaystyle x + x + \ cdots + x} (n {\ displaystyle n}n слагаемые) и (- n) x = - (nx) { \ Displaystyle (-n) x = - (nx)}{\ displaystyle (-n) x = - (nx)} . Таким образом, G {\ displaystyle G}G становится модулем над кольцом Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}\ mathbb {Z} целых чисел. Фактически, модули над Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}\ mathbb {Z} можно отождествить с абелевыми группами.

Теоремы об абелевых группах (т.е. модули в области главных идеалов Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}\ mathbb {Z} ) часто можно обобщить до теорем о модулях над произвольной областью главных идеалов. Типичным примером является классификация конечно порожденных абелевых групп, которая является специализацией структурной теоремы для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов. В случае конечно порожденных абелевых групп эта теорема гарантирует, что абелева группа расщепляется как прямая сумма торсионной группы и свободной абелевой группы. Первая может быть записана как прямая сумма конечного числа групп вида Z / pk Z {\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {k} \ mathbb {Z}}{\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {k} \ mathbb {Z}} для p { \ displaystyle p}p простое число, а последнее представляет собой прямую сумму конечного числа копий Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}\ mathbb {Z} .

Если f, g: G → H { \ displaystyle f, g: G \ to H}f, g: G \ to H - два групповых гомоморфизма между абелевыми группами, тогда их сумма f + g {\ displaystyle f + g}f + g , определяется как (f + g) (x) = f (x) + g (x) {\ displaystyle (f + g) (x) = f (x) + g (x)}{\ displaystyle (f + g) (x) = f (x) + g (x)} , снова является гомоморфизмом. (Это неверно, если H {\ displaystyle H}H неабелева группа.) Набор Hom (G, H) {\ displaystyle {\ text {Hom}} (G, H)}{\ displaystyle {\ text {Hom}} (G, H)} всех гомоморфизмов групп от G {\ displaystyle G}G до H {\ displaystyle H}H поэтому абелева группа сама по себе.

В некоторой степени сродни размерности векторных пространств, каждая абелева группа имеет ранг. Он как максимальная мощность набора из линейно независимого определения элементов группы. Целые числа и рациональные числа имеют ранг один, как и все подгруппы рациональных чисел.

центр Z (G) {\ displaystyle Z (G)}Z(G)группа G {\ displaystyle G}G - это набор элементов, которые коммутируют с каждым элементом G {\ displaystyle G}G . Группа G {\ displaystyle G}G абелева тогда и только тогда, когда она соответствует своему центру Z (G) {\ displaystyle Z (G)}Z(G). Центр группы G {\ displaystyle G}G всегда является характеристикой абелевой подгруппой G {\ displaystyle G}G . Если фактор-группа G / Z (G) {\ displaystyle G / Z (G)}G / Z (G) группа по ее центру является циклической, то G {\ displaystyle G}G абелев.

Конечные абелевы группы

Циклические группы целых чисел по модулю n {\ displaystyle n}n , Z / n Z {\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z} были одними из первых примеров групп. Оказывается, условная конечная абелева группа изоморфна прямая сумме конечных циклических групп степенного порядка простых чисел, и эти порядки определены однозначно, образуя полную систему инвариантов. Группа автоморфизмов конечной абелевой группы может быть непосредственно в терминах этих инвариантов. Теория была увеличена в 1879 году в статье Георга Фробениуса и затем Людвига Штикельбергера, была упрощена и обобщена впервые порожденные модули в области главных идеалов, что составило главу главу алгебра.

Любая группа простого порядка изоморфна циклической группе и, следовательно, абелева. Любая группа, порядок которой является квадратом простого числа, также абелева. Фактически, для простого числа p {\ displaystyle p}p существует (с точностью до изоморфизма) ровно две группы порядка p 2 {\ displaystyle p ^ {2}}p ^ {2} , а именно Z п 2 {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p ^ {2}}}{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p ^ {2}}} и Z p × Z p {\ displaystyle \ mathbb {Z } _ {p} \ times \ mathbb {Z} _ {p}}{\ displaystyl е \ mathbb {Z} _ {p} \ times \ mathbb {Z} _ {p}} .

Классификация

основная теорема конечных абелевых группутверждает, что каждая конечная абелева группа G { \ displaystyle G}G может быть выражено как прямая сумма циклических подгрупп простого -степенного порядка; она также известна как теорема о базисе для конечных абелевых групп. Это обобщается фундаментальной теоремой о конечно порожденных абелевых групп, причем конечные группы являются частным случаем, когда G имеет нулевой ранг ; это, в свою очередь, допускает многочисленные обобщения.

Эта классификация доказана Леопольдом Кронекером в 1870 году, хотя она не была разработана в современных теоретико-групповых терминах до более позднего времени, и ей предшествовала аналогичная классификация квадратичных форм Карл Фридрих Гаусс в 1801 году; подробности см. в истории.

Циклическая группа Z mn {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {mn}}{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {mn}} порядок mn {\ displaystyle mn}mn изоморфен прямой сумме Z м {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {m}}\ mathbb {Z} _ {m} и Z n {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {n}}\ mathbb {Z} _ {n} тогда и только тогда, когда m {\ displaystyle m}m и n {\ displaystyle n}n являются взаимно простыми. Отсюда следует, что любая конечная абелева группа G {\ displaystyle G}G изоморфна прямой сумме вида

⨁ i = 1 u Z ki {\ displaystyle \ bigoplus _ {i = 1} ^ { u} \ \ mathbb {Z} _ {k_ {i}}}{\ displaystyle \ bigoplus _ {i = 1} ^ {u} \ \ mathbb {Z} _ {k_ {i}}}

любым из следующих канонических способов:

  • числа k 1, k 2,…, ku {\ displaystyle k_ {1}, k_ {2}, \ dots, k_ {u}}{\ displaystyle k_ {1}, k_ {2}, \ dots, k_ {u}} - степень (не обязательно различных) простых чисел,
  • или k 1 {\ displaystyle k_ {1}}k_ {1} делит k 2 {\ displaystyle k_ {2}}к _ {2} , который делит k 3 {\ displaystyle k_ {3}}k_ {3} и т.д. до ку {\ displaystyle k_ {u}}{\ displaystyle k_ {u}} .

, Z 15 {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {15}}{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {15}} может быть выражено как прямая сумма двух циклических подгрупп порядка 3 и 5: Z 15 ≅ {0, 5, 10} ⊕ {0, 3, 6, 9, 12} {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {15} \ cong \ {0,5 , 10 \} \ oplus \ {0,3,6,9,12 \}}{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {15} \ cong \ {0,5,10 \} \ oplus \ {0, 3,6,9,12 \}} . То же самое можно сказать и о любой абелевой группе порядка 15, что приводит к замечательному выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны.

В другом примере каждой абелева группа порядка 8 изоморфна либо Z 8 {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {8}}{\ mathbb {Z}} _ {8} (целые числа от 0 до 7 при сложении по модулю 8), Z 4 ⊕ Z ​​2 {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ { 4} \ oplus \ mathbb {Z} _ {2}}{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {4} \ oplus \ mathbb { Z} _ {2}} (нечетные целые числа от 1 до 15 при умножении по модулю 16) или Z 2 ⊕ Z 2 ⊕ Z 2 {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2} \ oplus \ mathbb {Z} _ {2} \ oplus \ mathbb {Z} _ {2}}{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2} \ oplus \ mathbb {Z} _ {2} \ oplus \ mathbb { Z} _ {2}} .

См. также список малых групп для конечных абелевых групп порядка 30 или меньше.

Автоморфизмы

Можно применить фундаментальные теорему для подсчета (и иногда определения) автоморфизмов данной конечной абелевой группы G {\ Displaystyle G}G . Для этого используется тот факт, что если G {\ displaystyle G}G разбивается как прямая сумма H ⊕ K {\ displaystyle H \ oplus K}{\ displaystyle H \ oplus K} подгрупп порядка взаимно простой, то Aut (H ⊕ K) ≅ Aut (H) ⊕ Aut (K) {\ displaystyle {\ text {Aut}} (H \ oplus K) \ cong {\ text { Aut}} (H) \ oplus {\ text {Aut}} (K)}{\ displaystyle {\ текст {Aut}} (H \ oplus K) \ cong {\ text {Aut}} (H) \ oplus {\ text {Aut}} (K)} .

Учитывая это, основные теорема показывает, что для вычислений группы автоморфизмов G {\ displaystyle G}G достаточно вычислить группы автоморфизмов Sylow p {\ displaystyle p}p -подгрупп по отдельной (то есть всех прямых сумм циклических подгрупп, каждая со степенью p {\ displaystyle p}p ). Зафиксируем простое число p {\ displaystyle p}p и предположим, что показатели ei {\ displaystyle e_ {i}}e_{i}циклических множителей силовского p {\ displaystyle p}p -подгруппы расположены в порядке возрастания:

e 1 ≤ e 2 ≤ ⋯ ≤ en {\ displaystyle e_ {1} \ leq e_ {2} \ leq \ cdots \ leq e_ {n }}e_ {1} \ leq e_ {2} \ leq \ cdots \ leq e_ {n}

для некоторых n>0 {\ displaystyle n>0}n>0 . Необходимо найти автоморфизмы

Z pe 1 ⊕ ⋯ ⊕ Z pen. {\ displaystyle {ZZ pen} \ mathbf _ {p 1}}} \ oplus \ cdots \ oplus \ mathbf {Z} _ {p ^ {e_ {n}}}.}\ mathbf {Z} _ {p ^ {e_ {1}}} \ oplus \ cdots \ oplus \ mathbf {Z} _ {p ^ {e_ {n}}}.

Особый случай - когда n = 1 {\ displaystyle n = 1}n = 1 , так что в силовской p {\ displaystyle p}p -подгруппе P {\ есть только один циклический коэффициент мощности простого числа displaystyle P}P. В этом случае можно использовать теорию ав томорфизмовконечной циклической группы. Другой частный случай - когда n {\ displaystyle n}n произвольно, но ei = 1 {\ displaystyle e_ {i} = 1}e_ {i} = 1 для 1 ≤ я ≤ N {\ Displaystyle 1 \ Leq я \ Leq n}{\ displaystyle 1 \ leq i \ leq n} . Здесь принято, что P {\ displaystyle P}Pимеет формулу

Z p ⊕ ⋯ ⊕ Z p, {\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {p} \ oplus \ cdots \ oplus \ mathbf {Z} _ {p},}\ mathbf {Z} _ {p} \ oplus \ cdots \ oplus \ mathbf {Z} _ {p},

, поэтому элементы этой подгруппы можно рассматривать как создающие пространство размерности n {\ displaystyle n}n над конечным полем из p {\ displaystyle p}p элементы F p {\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}\ mathbb {F} _ {p} . Таким образом, автоморфизмы этой подгруппы задаются обратимыми линейными преобразованиями, так что

Aut ⁡ (P) ≅ GL (n, F p), {\ displaystyle \ operatorname {Aut} (P) \ cong \ mathrm {GL} (n , \ mathbf {F} _ {p}),}{\ displaystyle \ operatorname {Aut} (P) \ cong \ mathrm {GL} (n, \ mathbf {F} _ {p}),}

где GL {\ displaystyle {\ text {GL}}}{\ displaystyle {\ text {GL}}} - соответствующая общая линейная группа. Легко показать, что это порядок

| Aut ⁡ (P) | = (п п - 1) ⋯ (п п - п п - 1). {\ displaystyle \ left | \ operatorname {Aut} (P) \ right | = (p ^ {n} -1) \ cdots (p ^ {n} -p ^ {n-1}).}{\ displaystyle \ left | \ operatorname {Aut} (P) \ right | = (p ^ {n} -1) \ cdots (p ^ {n} -p ^ {п-1}).}

В самый общий случай, когда ei {\ displaystyle e_ {i}}e_{i}и n {\ displaystyle n}n произвольны, группа автоморфизмов более сложна определить. Однако известно, что если определить

dk = max {r ∣ er = ek} {\ displaystyle d_ {k} = \ max \ {r \ mid e_ {r} = e_ {k} ^ {\,} \} }{\ displaystyle d_ {k} = \ max \ {r \ mid e_ {r} = e_ {k} ^ {\,} \}}

и

ck = min {r ∣ er = ek} {\ displaystyle c_ {k} = \ min \ {r \ mid e_ {r} = e_ {k} \}}{\ displaystyle c_ {k} = \ min \ {r \ mid e_ {r} = e_ {k} \}}

, тогда , в частности, k ≤ dk {\ displaystyle k \ leq d_ {k}}{\ displaystyle k \ leq d_ {k}} , ck ≤ k {\ displaystyle c_ {k} \ leq k}{\ displaystyle c_ {k} \ leq k} и

| Aut ⁡ (P) | Знак равно ∏ К знак равно 1 N (п д К - п К - 1) ∏ J знак равно 1 N (п е J) N - д J ∏ я знак равно 1 N (п е я - 1) п - с я + 1. {\ Displaystyle \ left | \ OperatorName {Aut} (P) \ right | = \ prod _ {k = 1} ^ {n} (p ^ {d_ {k}} - p ^ {k-1}) \ prod _ {j = 1} ^ {n} (p ^ {e_ {j }}) ^ {n-d_ {j}} \ prod _ {i = 1} ^ {n} (p ^ {e_ {i} - 1}) ^ {n-c_ {i} +1}.}{\ displaystyle \ left | \ operatorname {Aut} (P) \ right | = \ prod _ {k = 1} ^ {n} (p ^ {d_ {k}} - p ^ {k-1}) \ prod _ {j = 1} ^ {n} (p ^ {e_ {j }}) ^ {n-d_ {j}} \ prod _ {i = 1} ^ {n} (p ^ {e_ {i} -1}) ^ {n-c_ {i} +1}.}

Можно проверить, что это дает примеры как особые случаи (см. Хиллар, С., и Рея, Д.).

Конечно порожденные абелевы группы

Абелева группа A конечно порождена, если она содержит конечный набор элементов (называемых образующими) G = {x 1,…, xn} {\ displaystyle G = \ {x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \}}{\ displaystyle G = \ {x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \}} такой, что каждый элемент группы представляет собой линейную комбинацию с целыми коэффициентами элементов G.

Пусть L - свободная абелева группа с базисом B = {b 1,…, bn}. {\ displaystyle B = \ {b_ {1}, \ ldots, b_ {n} \}.}{ \ displaystyle B = \ {b_ {1}, \ ldots, b_ {n} \}.} Существует единственный групповой гомоморфизм p: L → A, {\ displaystyle p \ двоеточие L \ to A,}{\ displaystyle p \ двоеточие L \ to A,} такое, что

p (bi) = xi для i = 1,…, n. {\ displaystyle p (b_ {i}) = x_ {i} \ quad {\ text {for}} i = 1, \ ldots, n.}{\ displaystyle p (b_ {i}) = x_ {i} \ quad {\ text {for}} i = 1, \ ldots, n.}

Этот гомоморфизм сюръективен, и его ро конечно сгенерировано (поскольку целые числа образуют нётер кольцо ). Рассмотрим матрицу M с целыми элементами, элементы j-го столбца, задающие коэффициенты j-го генератора ядра. Тогда абелева группа изоморфна коядру линейного отображения, определяемого М. Наоборот, каждая целочисленная матрица определяет конечно порожденную абелеву группу.

Отсюда следует, что изучение конечно порожденных абелевых групп полностью эквивалентно изучению целочисленных матриц. В частности, изменение порождающего набора A эквивалентно умножению M слева на унимодулярную матрицу (то есть обратимая целочисленная матрица, обратная которой также является целочисленной матрицей). Изменение набора порождающих матрицы M эквивалентно умножению M справа на унимодулярную матрицу.

нормальная форма Смита для M представляет собой матрицу

S = UMV, {\ displaystyle S = UMV,}{\ displaystyle S = UMV,}

, где U и V унимодулярны, а S - матрица такая , что все недиагональные элементы равны нулю, ненулевые диагональные элементы d 1, 1,…, dk, k {\ displaystyle d_ {1,1}, \ ldots, d_ {k, k}}{ \ Displaystyle d_ {1,1}, \ ldots, d_ {k, k}} - первые, а dj, j {\ displaystyle d_ {j, j}}{\ displaystyle d_ {j, j}} - делитель di, i {\ displaystyle d_ {i, i}}{\ displaystyle d_ {i, i}} для i>j. Существование и форма нормали Смита доказывает, что конечно порожденная абелева прямая группа A является суммой

Z r ⊕ Z / d 1, 1 Z ⊕ ⋯ ⊕ Z / dk, k Z, {\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {r} \ oplus \ mathbb {Z} / d_ {1,1} \ mathbb {Z} \ oplus \ cdots \ oplus \ mathbb {Z} / d_ {k, k} \ mathbb {Z},}{\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {r} \ oplus \ mathbb {Z} / d_ {1,1} \ mathbb {Z} \ oplus \ cdots \ oplus \ mathbb {Z} / d_ {k, k} \ mathbb {Z},}

где r - количество нулевых строк в конце r (а также ранг группы). Это основная теорема о конечно порожденных абелевых групп..

Существование алгоритмов для нормальной формы Смита показывает, что основная теорема конечно порожденных абелевых групп является не только теоремой об абстрактномании, но и предоставляет способ вычисления выражения конечно порожденных абелевых групп в виде прямых сумм.

Бесконечные абелевы группы

Простейшей бесконечной абелевой группой бесконечная циклическая группа Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}\ mathbb {Z} . Любая конечно порожденная абелева группа A {\ displaystyle A}A изоморфна прямой сумме r {\ displaystyle r}r копий Z { \ displaystyle \ mathbb {Z}}\ mathbb {Z} и конечная абелева группа, которая, в свою очередь, разложима в прямую сумму конечного числа циклических групп простой простой мощности приказов. Несмотря на то, что разложение не является уникальным, число r {\ displaystyle r}r , называемое rank из A {\ displaystyle A}A , степени простых чисел, дающие порядки конечных циклических слагаемых, определяют однозначно.

Напротив, классификация общих бесконечно порожденных абелевых групп далека от завершения. Делимые группы, например абелевы группы A {\ displaystyle A}A , в уравнении nx = a {\ displaystyle nx = a}{\ displaystyle nx = a} допускает решение x ∈ A {\ displaystyle x \ in A}x \ in A для любого натурального числа n {\ displaystyle n}n и элемента a {\ displaystyle a}a из A {\ displaystyle A}A , составляют один важный класс бесконечных абелевых групп, которые можно полностью охарактеризовать. Каждая делимая группа изоморфна прямая сумме с слагаемыми, изоморфными Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}\ mathbb {Q} и группам Прюфера Q p / Z p {\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p} / Z_ {p}}{\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p} / Z_ {p}} для различных простых чисел p {\ displaystyle p}p , а также мощность множества слагаемых каждого типа определяет однозначно. Более того, если делимая группа A {\ displaystyle A}A является подгруппой абелевой группы G {\ displaystyle G}G , то A {\ displaystyle A }A такую ​​допускает прямое дополнение: подгруппу C {\ displaystyle C}Cиз G {\ displaystyle G}G , что G Знак равно A ⊕ C {\ Displaystyle G = A \ oplus C}{\ displaystyle G = A \ oplus C} . Таким образом, делимые группы представляют собой инъективными модулями в категории абелевых групп, и, наоборот, каждую инъективную абелева группу делима (критерий Бэра ). Абелева группа без ненулевых делимых подгрупп называется редуцированной.

Двумя важными специальными классами бесконечных абелевых групп с диаметрально противоположными свойствами являются группы кручения и группы без кручения, примером которых являются группы Q / Z {\ displaystyle \ mathbb {Q } / \ mathbb {Z}}{\ mathbb {Q}} / {\ mathbb {Z}} (периодический) и Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}\ mathbb {Q} (без кручения).

Торсионные группы

Абелева группа называется периодической или кручением , если каждый элемент имеет конечный порядок. Прямая сумма конечных циклических групп периодична. Хотя в целом обратное утверждение неверно, известны некоторые частные случаи. Первая и вторая теоремы Прюфера утверждают, что если A {\ displaystyle A}A является периодической группой, и она либо имеет ограниченный показатель, т. Е. , n A = 0 {\ displaystyle nA = 0}{\ displaystyle nA = 0} для некоторого натурального числа n {\ displaystyle n}n , или является счетным и p {\ displaystyle p}p -высоты элементов A {\ displaystyle A}A конечны для каждого p {\ displaystyle p}p , тогда A {\ displaystyle A}A изоморфен прямой сумме конечных циклических групп. Мощность временных прямых слагаемых, изоморфных Z / pm Z {\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {m} \ mathbb {Z}}{\ mathbb {Z}} / p ^ {m} {\ mathbb {Z}} , в таком разложении является инвариантом из A {\ Displaystyle A}A . Эти теоремы позже были включены в критерий Куликова. В другом направлении Гель Ульм нашел расширение второй теоремы Прюфера на счетные абелевы p {\ displaystyle p}p -группы с элементами бесконечной высоты: эти группы полностью классифицированы с помощью своих инвариантов Ульма.

группы без кручения и смешанные группы

Абелева группа называется без кручения, если каждый ненулевой элемент имеет бесконечный порядок. Несколько классов абелевых групп без кручения были широко изучены:

Абелева группа, не являющаяся ни периодической, ни без кручения, называется смешанной. Если A {\ displaystyle A}A - абелева группа, а T (A) {\ displaystyle T (A)}T (A) - ее торсионная подгруппа, то факторная группа A / T (A) {\ displaystyle A / T (A)}{\ displaystyle A / T (A)} не имеет кручения. Однако в общем случае торсионная подгруппа не является прямым слагаемым A {\ displaystyle A}A , поэтому A {\ displaystyle A}A не изоморфна T (A ) ⊕ A / T (A) {\ Displaystyle T (A) \ oplus A / T (A)}{\ displaystyle T (A) \ oplus A / T (A)} . Таким образом, теория смешанных групп включает больше, чем просто объединение результатов о периодических групп и групп без кручения. Аддитивная группа Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}\ mathbb {Z} целых чисел не имеет кручения Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}\ mathbb {Z} -module.

Инварианты и классификация

Один из самых основных инвариантов бесконечной абелевой группы A {\ displaystyle A}A - это ее ранг : мощность размер линейно независимого подмножества A {\ displaystyle A}A . Абелевы группы ранга 0 являются в точности периодическими, тогда как абелевы группы без кручения ранга 1 обязательно являются подгруппами в Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}\ mathbb {Q} и можно полностью описать. В более общем смысле абелева группа без кручения конечного ранга r {\ displaystyle r}r является подгруппой Q r {\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {r}}{\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {r}} . С другой стороны, группа p {\ displaystyle p}p -адических целых Z p {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}\ mathbb {Z} _ {p} - абелева группа без кручения с бесконечным Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}\ mathbb {Z} -rank и групп Z pn {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} ^ {n}}{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} ^ {n}} с разными n {\ displaystyle n}n неизоморфны, поэтому этот инвариант даже не полностью отражает свойства некоторых знакомых групп.

Все описанные выше классификационные теоремы для конечно порожденных, делимых, счетных периодических абелевых групп без кручения и ранга 1 были получены до 1950 года и составляют основу классификации более общих бесконечных абелевых групп. Важными техническими инструментами, используемыми при классификации бесконечных абелевых групп, являются чистые и базовые подгруппы. Введение различных инвариантов абелевых групп без кручения было одним из путей дальнейшего прогресса. См. Книги Ирвинга Каплански, Ласло Фукса, Филиппа Гриффита и Дэвида Арнольда, а также материалы конференций по Теория абелевых групп опубликована в Lecture Notes in Mathematics для более поздних открытий.

Аддитивные группы колец

Аддитивная группа кольца является абелевой группой, но не все абелевы группы являются аддитивными группами колец (с нетривиальным умножением). Некоторые важные темы в этой области исследования:

  • Тензорное произведение
  • Результаты Корнера для счетных групп без кручения
  • Работа Шелаха по снятию ограничений мощности.

Отношение к другим математическим темам

Многие большие абелевы группы обладают естественной топологией, которая превращает их в топологические группы.

Совокупность всех абелевых групп вместе с гомоморфизмами между ними, образует категорию Ab {\ displaystyle {\ textbf {Ab}}}{\ displaystyle {\ textbf {Ab}}} , прототип абелевой категории.

Wanda Szmielew (1955 ) доказал, что теория абелевых групп первого порядка, в отличие от ее неабелевых аналогов, разрешима. Большинство алгебраических структур, кроме булевых алгебр, неразрешимы.

Есть еще много областей текущих исследований:

  • Среди абелевых групп без кручения конечного ранга только конечно порожденный случай и случай ранга 1 хорошо изучены;
  • В теории абелевых групп без кручения бесконечного ранга существует много нерешенных проблем;
  • Хотя счетные торсионные абелевы группы хорошо поняты с помощью простых представлений и инвариантов Ульма, случай счетных смешанных групп гораздо менее зрел.
  • Многие мягкие расширения теории абелевых групп первого порядка, как известно, неразрешимы.
  • Конечные абелевы группы остаются темой исследований в теории вычислительных групп.

Более того, абелевы группы бесконечного порядка приводят, что довольно удивительно, к глубоким вопросам о теории множеств, обычно предполагаемой лежать в основе всей математики. Возьмем проблему Уайтхеда : все ли группы Уайтхеда бесконечного порядка также свободные абелевы группы ? В 1970-х годах Сахарон Шелах доказал, что проблема Уайтхеда:

Примечание о типографике

Среди математических прилагательные, образованные от имени собственного математика, слово «абелевский» встречается редко, так как оно часто пишется со строчной буквы a, а не прописными буквами A, что указывает на повсеместность этого понятия в современной математике.

См. Также

П ри записи

Ссылки

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-08 18:51:58
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте