Группоид

редактировать

В математике, особенно в теории категорий и теории гомотопии, группоид (реже группоид Брандта или виртуальная группа ) обобщает понятие группы несколькими эквивалентными способами. Группоид можно рассматривать как:

группу с частичной функцией, заменяющей бинарную операцию ;
Категория, в которой каждый морфизм обратимый. Категория этого типа может рассматриваться как дополненная с помощью унарной операции, называемой обратной по аналогии с теорией групп. Группоид, в котором есть только один объект, является обычной группой.

При наличии зависимой типизации категория в целом может рассматриваться как типизированный моноид, и аналогично, группоид можно рассматривать как просто типизированную группу. Морфизмы переходят один от одного объекта к другому и образуют зависимое семейство типов, таким образом, морфизмы могут иметь тип $g: A → B {\ displaystyle g: A \ rightarrow B}$ $g:A\rightarrow B$ , $h: B → C { \ displaystyle h: B \ rightarrow C}$ $h:B\rightarrow C$ , скажем. Тогда композиция представляет собой общую функцию: $∘: (B → C) → (A → B) → A → C {\ displaystyle \ circ: (B \ rightarrow C) \ rightarrow (A \ rightarrow B) \ rightarrow A \ rightarrow C}$ $\circ :(B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow B)\rightarrow A\rightarrow C$ , так что $h ∘ g: A → C {\ displaystyle h \ circ g: A \ rightarrow C}$ $h\circ g:A\rightarrow C$ .

Особые случаи включают:

сетоиды : наборы, которые имеют отношение эквивалентности ,
G-sets : наборы, оснащенные действием action группы $G {\ displaystyle G}$ $G$ .

Группоиды часто используются для рассуждений о геометрических объектах, таких как коллекторы. Генрих Брандт (1927) ввел группоиды неявно через полугруппы Брандта.

Содержание

1 Определения
- 1.1 Алгебраика
- 1.2 Теория категорий
- 1.3 Сравнение определений
- 1.4 Группы вершин
- 1.5 Категория группоидов
- 1.6 Расщепления и покрытия
2 Примеры
- 2.1 Топология
- 2.2 Отношение эквивалентности
- 2.3 Групповое действие
  - 2.3. 1 Конечное множество
  - 2.3.2 Факторное разнообразие
- 2.4 Волокнистое произведение группоидов
- 2.5 Гомологическая алгебра
- 2.6 Головоломки
- 2.7 Группоид Матье
3 Отношение к группам
4 Свойства категория Grpd
- 4.1 Связь с Cat
- 4.2 Связь с sSet
5 Группоиды Ли и алгеброиды Ли
6 См. также
7 Примечания
8 Ссылки

Определения

Группоид - это алгебраическая структура $(G, ∗) {\ displaystyle (G, \ ast)}$ $(G,\ast)$ , состоящая из непустого набора $G {\ displaystyle G}$ $G$ и двоичная частичная функция ' $∗ {\ displaystyle \ ast}$ $\ast$ ', определенная на $G {\ displaystyle G}$ $G$ .

Алгебраический

Группоид - это набор $G {\ displaystyle G}$ $G$ с унарной операцией $- 1: G → G, {\ displaystyle {} ^ {- 1}: G \ to G,}$ ${}^{-1}:G\to G,$ и частичная функция $∗: G × G ⇀ G {\ displaystyle *: G \ times G \ rightharpoonup G}$ $*:G\times G\rightharpoonup G$ . Здесь * не является двоичной операцией, потому что он не обязательно определен для всех пар элементов $G {\ displaystyle G}$ $G$ . Точные условия, при которых определяется $∗ {\ displaystyle *}$ $*$ , здесь не сформулированы и зависят от ситуации.

$∗ {\ displaystyle \ ast}$ $\ast$ и имеют следующие аксиоматические свойства: Для всех $a {\ displaystyle a}$ $a$ , $b {\ displaystyle b}$ $b$ , и $c {\ displaystyle c}$ $c$ в $G {\ displaystyle G}$ $G$ ,

Ассоциативность : если $a ∗ b {\ displaystyle a * b}$ $a*b$ и $b ∗ c {\ displaystyle b * c}$ $b*c$ определены, тогда $(a ∗ b) ∗ c {\ displaystyle (a * b) * c}$ $(a*b)*c$ и $a ∗ (b ∗ c) {\ displaystyle a * (b * c)}$ $a*(b*c)$ определены и равны. И наоборот, если одно из $(a ∗ b) ∗ c {\ displaystyle (a * b) * c}$ $(a*b)*c$ и $a ∗ (b ∗ c) {\ displaystyle a * (b * c)}$ $a*(b*c)$ определено, тогда как $a ∗ b {\ displaystyle a * b}$ $a*b$ и $b ∗ c {\ displaystyle b * c}$ $b*c$ , а также $(a ∗ b) ∗ c {\ displaystyle (a * b) * c}$ $(a*b)*c$ = $a ∗ (b ∗ c) {\ displaystyle a * (b * c) }$ $a*(b*c)$ .
Инверсия : $a - 1 ∗ a {\ displaystyle a ^ {- 1} * a}$ $a^{-1}*a$ и $a ∗ a - 1 {\ displaystyle a * { a ^ {- 1}}}$ $a*{a^{-1}}$ всегда определены.
Identity : Если определено $a ∗ b {\ displaystyle a * b}$ $a*b$ , то $a ∗ b ∗ b - 1 = a {\ displaystyle a * b * {b ^ {- 1}} = a}$ $a*b*{b^{-1}}=a$ , и $a - 1 ∗ a ∗ b = b {\ displaystyle {a ^ {- 1}} * a * b = b}$ ${a^{-1}}*a*b=b$ . (Две предыдущие аксиомы уже показывают, что эти выражения определены и недвусмысленны.)

Из этих аксиом следуют два простых и удобных свойства:

$(a - 1) - 1 = a {\ displaystyle (a ^ {- 1 }) ^ {- 1} = a}$ $(a^{-1})^{-1}=a$ ,
Если $a ∗ b {\ displaystyle a * b}$ $a*b$ определено, то $(a ∗ b) - 1 = b - 1 ∗ a - 1 {\ displaystyle (a * b) ^ {- 1} = b ^ {- 1} * a ^ {- 1}}$ $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$ .

Теоретическая категория

Группоид - это малая категория, в которой каждый морфизм является изоморфизмом, т. е. обратимым. Точнее, группоид G - это:

набор G 0 объектов;
Для каждой пары объектов x и y в G 0 существует (возможно, пустое) множество G (x, y) морфизмов (или стрелок) из x в y. Мы пишем f: x → y, чтобы указать, что f является элементом G (x, y).
Для каждого объекта x, обозначенный элемент $idx {\ displaystyle \ mathrm {id} _ { x}}$ $\mathrm{id}_x$ of G (x, x);
Для каждой тройки объектов x, y и z функция $compx, y, z: G (y, z) × G (x, y) → G (x, z): (g, f) ↦ gf {\ displaystyle \ mathrm {comp} _ {x, y, z}: G (y, z) \ times G (x, y) \ rightarrow G (x, z) :( g, f) \ mapsto gf}$ ${\mathrm {comp}}_{{x,y,z}}:G(y,z)\times G(x,y)\rightarrow G(x,z):(g,f)\mapsto gf$ ;
Для каждой пары объектов x, ya функция $inv: G (x, y) → G (y, x): е ↦ е - 1 {\ displaystyle \ mathrm {inv}: G (x, y) \ rightarrow G (y, x): f \ mapsto f ^ {- 1}}$ $\mathrm{inv}: G(x, y) \rightarrow G(y, x): f \mapsto f^{-1}$ ;

удовлетворительно для любых f: x → y, g: y → z и h: z → w:

$fidx = f {\ displaystyle f \ \ mathrm {id} _ {x} = f}$ $f\ \mathrm {id} _{x}=f$ и $idyf = f {\ displaystyle \ mathrm {id} _ {y} \ f = f}$ $\mathrm {id} _{y}\ f=f$ ;
$(hg) f = h (gf) {\ displaystyle (hg) f = h ( gf)}$ $(hg)f=h(gf)$ ;
$ff - 1 = idy {\ displaystyle ff ^ {- 1} = \ mathrm {id} _ {y}}$ $f f^{-1} = \mathrm{id}_y$ и $f - 1 f = idx {\ displaystyle f ^ {- 1} f = \ mathrm {id} _ {x}}$ $f^{-1} f = \mathrm{id}_x$ .

Если f является элементом для G (x, y), то x называется источником для f, записывается s (f), а y называется target f, записывается t (f).

В более общем плане можно рассматривать группоидный объект в произвольной категории, допускающей конечные волоконные продукты.

Сравнение определений

Как мы сейчас покажем, алгебраическое и теоретико-категориальное определения эквивалентны. Учитывая группоид в теоретико-категориальном смысле, пусть G будет дизъюнктным объединением всех множеств G (x, y) (то есть множеств морфизмов из x в y). Тогда $comp {\ displaystyle \ mathrm {comp}}$ $\mathrm{comp}$ и $inv {\ displaystyle \ mathrm {inv}}$ $\mathrm{inv}$ становятся частичными операциями над G, а $inv {\ displaystyle \ mathrm {inv}}$ $\mathrm{inv}$ фактически будет определен везде. Мы определяем ∗ как $comp {\ displaystyle \ mathrm {comp}}$ $\mathrm{comp}$ и как $inv {\ displaystyle \ mathrm {inv}}$ $\mathrm{inv}$ , что дает группоид в алгебраическом смысле. Явная ссылка на G 0 (и, следовательно, на $i d {\ displaystyle \ mathrm {id}}$ $\mathrm{id}$ ) может быть удалена.

И наоборот, для группоида G в алгебраическом смысле определите отношение эквивалентности $∼ {\ displaystyle \ sim}$ $\sim$ на его элементах с помощью $a ∼ b {\ displaystyle a \ sim b}$ $a\sim b$ тогда и только тогда, когда a ∗ a = b ∗ b. Пусть G 0 будет набором классов эквивалентности $∼ {\ displaystyle \ sim}$ $\sim$ , т.е. $G 0: = G / ∼ {\ displaystyle G_ {0 }: = G / \! \! \ Sim}$ $G_{0}:=G/\!\!\sim$ . Обозначим a ∗ a как $1 x {\ displaystyle 1_ {x}}$ $1_{x}$ , если $a ∈ x {\ displaystyle a \ in x}$ $a\in x$ с $x ∈ G 0 {\ displaystyle x \ in G_ {0}}$ $x\in G_{0}$ .

Теперь определим $G (x, y) {\ displaystyle G (x, y)}$ $G(x,y)$ как набор всех элементов f такое, что существует $1 x ∗ f ∗ 1 y {\ displaystyle 1_ {x} * f * 1_ {y}}$ $1_{x}*f*1_{y}$ . Для $f ∈ G (x, y) {\ displaystyle f \ in G (x, y)}$ $f\in G(x,y)$ и $g ∈ G (y, z), {\ displaystyle g \ in G (y, z),}$ $g\in G(y,z),$ их состав определяется как $gf: = f ∗ g ∈ G (x, z) {\ displaystyle gf: = f * g \ in G (x, z)}$ $gf:=f*g\in G(x,z)$ . Чтобы убедиться, что это правильно, заметьте, что, поскольку $(1 x ∗ f) ∗ 1 y {\ displaystyle (1_ {x} * f) * 1_ {y}}$ $(1_{x}*f)*1_{y}$ и $1 y ∗ (g ∗ 1 z) {\ displaystyle 1_ {y} * (g * 1_ {z})}$ $1_{y}*(g*1_{z})$ существует, так же как и $(1 x ∗ f ∗ 1 y) ∗ ( г * 1 г) знак равно е * г {\ Displaystyle (1_ {х} * е * 1_ {у}) * (г * 1_ {г}) = е * г}$ $(1_{x}*f*1_{y})*(g*1_{z})=f*g$ . Тогда тождественный морфизм на x равен $1 x {\ displaystyle 1_ {x}}$ $1_{x}$ , а теоретико-категориальный обратный к f равен f.

Наборы в определениях выше могут быть заменены на классы, как это обычно бывает в теории категорий.

Группы вершин

Для группоида G группы вершин или группы изотропии или группы объектов в G являются подмножества вида G (x, x), где x - любой объект группы G. Из приведенных выше аксиом легко следует, что это действительно группы, поскольку каждая пара элементов составна, а обратные элементы принадлежат одной и той же группе вершин.

Категория группоидов

A подгруппа - это подкатегория, которая сама является группоидом. морфизм группоидов - это просто функтор между двумя (теоретико-категориальными) группоидами. Категория, объекты которой являются группоидами, а морфизмы - группоидными морфизмами, называется категорией группоидов или категорией группоидов, обозначенной Grpd .

. Полезно, чтобы эта категория является, как и категория малых категорий, декартово замкнутым. Таким образом, мы можем построить для любых группоидов $H, K {\ displaystyle H, K}$ $H,K$ группоид $GPD ⁡ (H, K) {\ displaystyle \ operatorname {GPD} (H, K)}$ $\operatorname {GPD} (H,K)$ , объектами которого являются морфизмы $H → K {\ displaystyle H \ to K}$ $H \to K$ , а стрелки - естественные эквивалентности морфизмов. Таким образом, если $H, K {\ displaystyle H, K}$ $H,K$ - просто группы, то такие стрелки являются сопряжениями морфизмов. Основной результат состоит в том, что для любых группоидов $G, H, K {\ displaystyle G, H, K}$ $G,H,K$ существует естественная биекция

$Grpd ⁡ (G × H, K) ≅ Grpd ⁡ (G, GPD ⁡ (H, K)). {\ displaystyle \ operatorname {Grpd} (G \ times H, K) \ cong \ operatorname {Grpd} (G, \ operatorname {GPD} (H, K)).}$ $\operatorname {Grpd} (G\times H,K)\cong \operatorname {Grpd} (G,\operatorname {GPD} (H,K)).$

Этот результат представляет интерес, даже если все группоиды $G, H, K {\ displaystyle G, H, K}$ $G,H,K$ - это просто группы.

Волокна и покрытия

Особые виды морфизмов группоидов представляют интерес. Морфизм $p: E → B {\ displaystyle p: E \ to B}$ $p: E \to B$ группоидов называется расслоением, если для каждого объекта $x {\ displaystyle x }$ $x$ из $E {\ displaystyle E}$ $E$ и каждый морфизм $b {\ displaystyle b}$ $b$ из $B {\ displaystyle B }$ $B$ начиная с $p (x) {\ displaystyle p (x)}$ $p(x)$ существует морфизм $e {\ displaystyle e}$ $e$ из $E {\ displaystyle E}$ $E$ начиная с $x {\ displaystyle x}$ $x$ так, что $p (e) = b {\ displaystyle p (e) = b}$ $p(e)=b$ . Расслоение называется a или, если в дальнейшем такое $e {\ displaystyle e}$ $e$ является уникальным. Накрывающие морфизмы группоидов особенно полезны, поскольку их можно использовать для моделирования накрывающих отображений пространств.

Также верно, что категория накрывающих морфизмов данного группоида $B {\ displaystyle B}$ $B$ эквивалентно категории действий группоида $B {\ displaystyle B}$ $B$ на множествах.

Примеры

Топология

Учитывая топологическое пространство $X {\ displaystyle X}$ $X$ , пусть $G 0 {\ displaystyle G_ {0}}$ $G_{0}$ будет набором $X {\ displaystyle X}$ $X$ . Морфизмы от точки $p {\ displaystyle p}$ $p$ до точки $q {\ displaystyle q}$ $q$ являются классами эквивалентности из непрерывный пути от $p {\ displaystyle p}$ $p$ до $q {\ displaystyle q}$ $q$ , причем два пути эквивалентны если они гомотопны. Два таких морфизма состоят из следующих: сначала первого пути, затем второго; гомотопическая эквивалентность гарантирует, что эта композиция ассоциативна. Этот группоид называется фундаментальным группоидом из $X {\ displaystyle X}$ $X$ , обозначается $π 1 (X) {\ displaystyle \ pi _ {1} (X)}$ $\pi _{1}(X)$ (или иногда $Π 1 (X) {\ displaystyle \ Pi _ {1} (X)}$ $\Pi _{1}(X)$ ). Обычная фундаментальная группа $π 1 (X, x) {\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x)}$ $\pi_1(X,x)$ тогда является группой вершин для точки $x {\ displaystyle x}$ $x$ . Для линейно связного пространства фундаментальный группоид и фундаментальная группа совпадают, и операция композиции определена для всех пар классов эквивалентности.

Важным расширением этой идеи является рассмотрение фундаментального группоида $π 1 (X, A) {\ displaystyle \ pi _ {1} (X, A)}$ $\pi _{1}(X,A)$ где $A ⊂ X {\ displaystyle A \ subset X}$ $A\subset X$ - выбранный набор «базовых точек». Здесь рассматриваются только пути, конечные точки которых принадлежат $A {\ displaystyle A}$ $A$ . $π 1 (X, A) {\ displaystyle \ pi _ {1} (X, A)}$ $\pi _{1}(X,A)$ является субгруппоидом $π 1 (X) {\ displaystyle \ pi _ {1} (X)}$ $\pi _{1}(X)$ . Набор $A {\ displaystyle A}$ $A$ может быть выбран в соответствии с геометрией текущей ситуации.

Отношение эквивалентности

Если $X {\ displaystyle X}$ $X$ - это набор с отношением эквивалентности, обозначенным infix $∼ {\ displaystyle \ sim}$ $\sim$ , то группоид, "представляющий" это отношение эквивалентности, может быть сформирован следующим образом:

Объекты группоида являются элементами $X {\ displaystyle X}$ $X$ ;
Для любых двух элементов $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $y {\ displaystyle y}$ $y$ в $X {\ displaystyle X}$ $X$ существует единственный морфизм от $x {\ displaystyle x}$ $x$ до $y {\ displaystyle y}$ $y$ тогда и только тогда, когда $x ∼ y {\ displaystyle x \ sim y}$ $x\sim y$ .

Групповое действие

Если группа $G {\ displaystyle G}$ $G$ действует на множество $X {\ displaystyle X}$ $X$ , тогда мы можем сформировать группоид действий (или группоид преобразований ), представляющий эту группу действие следующим образом:

Объекты являются элементами $X {\ displaystyle X}$ $X$ ;
Для любого tw o элементы $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $y {\ displaystyle y}$ $y$ в $X {\ displaystyle X}$ $X$ , морфизмы от $x {\ displaystyle x}$ $x$ до $y {\ displaystyle y}$ $y$ соответствуют элементам $g {\ displaystyle g}$ $g$ из $G {\ displaystyle G}$ $G$ такой, что $gx = y {\ displaystyle gx = y}$ $gx = y$ ;
Композиция морфизмов интерпретирует бинарная операция из $G {\ displaystyle G}$ $G$ .

Если говорить более конкретно, группоид действий представляет собой небольшую категорию с $ob (C) = X {\ displaystyle \ mathrm {ob} (C) = X}$ ${\displayst yle \mathrm {ob} (C)=X}$ и $hom (C) = G × X {\ displaystyle \ mathrm {hom} (C) = G \ times X}$ $\mathrm {hom} (C)=G\times X$ с источником и целевые карты $s (g, x) = x {\ displaystyle s (g, x) = x}$ $s(g,x)=x$ и $t (g, x) = gx {\ displaystyle t (g, х) = gx}$ $t(g,x)=gx$ . Часто обозначается как $G ⋉ X {\ displaystyle G \ ltimes X}$ $G \ltimes X$ (или $X ⋊ G {\ displaystyle X \ rtimes G}$ $X\rtimes G$ ). Умножение (или композиция) в группоиде тогда $(h, y) (g, x) = (hg, x) {\ displaystyle (h, y) (g, x) = (hg, x)}$ $(h,y)(g,x) = (hg,x)$ , который определяется при условии $y = gx {\ displaystyle y = gx}$ $y=gx$ .

для $x {\ displaystyle x}$ $x$ в $X {\ displaystyle X }$ $X$ , группа вершин состоит из тех $(g, x) {\ displaystyle (g, x)}$ $(g,x)$ с $gx = x {\ displaystyle gx = x }$ $gx=x$ , которая является просто подгруппой изотропии в $x {\ displaystyle x}$ $x$ для данного действия (поэтому группы вершин также называются группами изотропии).

Другой способ описания $G {\ displaystyle G}$ $G$ -множеств - это категория функторов $[G r, S et] {\ displaystyle [\ mathrm {Gr}, \ mathrm {Set}]}$ $[\mathrm{Gr},\mathrm{Set}]$ , где $G r {\ displaystyle \ mathrm {Gr}}$ $\mathrm{Gr}$ - это группоид (категория) с одним элемент и изоморфен группе $G {\ displaystyle G}$ $G$ . В самом деле, каждый функтор $F {\ displaystyle F}$ $F$ этой категории определяет набор $X = F (G r) {\ displaystyle X = F (\ mathrm {Gr})}$ $X=F(\mathrm {Gr})$ и для каждого $g {\ displaystyle g}$ $g$ в $G {\ displaystyle G}$ $G$ (т.е. для каждого морфизма в $G r {\ displaystyle \ mathrm {Gr}}$ $\mathrm{Gr}$ ) вызывает биекцию $F g {\ displaystyle F_ {g}}$ $F_{g}$ : $X → X {\ displaystyle X \ to X}$ $X\to X$ . Категориальная структура функтора $F {\ displaystyle F}$ $F$ гарантирует, что $F {\ displaystyle F}$ $F$ определяет $G {\ displaystyle G}$ $G$ -действие в наборе $G {\ displaystyle G}$ $G$ . (Уникальный) представимый функтор $F {\ displaystyle F}$ $F$ : $G r {\ displaystyle \ mathrm {Gr}}$ $\mathrm{Gr}$ → $S et {\ displaystyle \ mathrm {Set}}$ $\mathrm{Set}$ - это представление Кэли для $G {\ displaystyle G}$ $G$ . Фактически, этот функтор изоморфен $H om (G r, -) {\ displaystyle \ mathrm {Hom} (\ mathrm {Gr}, -)}$ $\mathrm{Hom}(\mathrm{Gr},-)$ и поэтому отправляет $ob (Г р) {\ displaystyle \ mathrm {ob} (\ mathrm {Gr})}$ $\mathrm{ob}(\mathrm{Gr})$ к набору $H om (G r, G r) {\ displaystyle \ mathrm {Hom} ( \ mathrm {Gr}, \ mathrm {Gr})}$ $\mathrm{Hom}(\mathrm{Gr},\mathrm{Gr})$ который по определению является "набором" $G {\ displaystyle G}$ $G$ и морфизмом $g { \ displaystyle g}$ $g$ из $G r {\ displaystyle \ mathrm {Gr}}$ $\mathrm{Gr}$ (т.е. элемент $g {\ displaystyle g}$ $g$ из $G {\ displaystyle G}$ $G$ ) в перестановку $F g {\ displaystyle F_ {g}}$ $F_{g}$ набора $G {\ displaystyle G }$ $G$ . Из вложения Йонеды мы заключаем, что группа $G {\ displaystyle G}$ $G$ изоморфна группе ${F g ∣ g ∈ G} {\ displaystyle \ {F_ {g} \ mid g \ in G \}}$ $\{F_{g}\mid g\in G\}$ , подгруппа группы перестановок из $G {\ displaystyle G}$ $G$ .

Конечное множество

Рассмотрим конечное множество $X = {- 2, - 1, 0, 1, 2} {\ displaystyle X = \ {- 2, -1,0,1, 2 \}}$ $X=\{-2,-1,0,1,2\}$ , мы можем сформировать групповое действие $Z / 2 {\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2}$ $\mathbb {Z} /2$ , действующее на $X {\ displaystyle X }$ $X$ , считая каждое число отрицательным, поэтому $- 2 ↦ 2 {\ displaystyle -2 \ mapsto 2}$ $-2\mapsto 2$ и $1 ↦ - 1 {\ displaystyle 1 \ mapsto -1}$ $1\mapsto -1$ . Фактор-группоид $[X / G] {\ displaystyle [X / G]}$ $[X/G]$ - это набор классов эквивалентности из этого группового действия ${[0], [1], [2] ]} {\ displaystyle \ {[0], [1], [2] \}}$ $\{[0],[1],[2]\}$ и $[0] {\ displaystyle [0]}$ $[0]$ имеет групповое действие $Z / 2 {\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2}$ $\mathbb {Z} /2$ на нем.

Факторное разнообразие

На $A n {\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {n}}$ $\mathbb {A} ^{n}$ , любая конечная группа $G {\ displaystyle G}$ $G$ , который сопоставляется с $GL (n) {\ displaystyle GL (n)}$ $GL(n)$ дает групповое действие на $A n {\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {n}}$ $\mathbb {A} ^{n}$ (так как это группа автоморфизмов). Тогда фактор-группоид может иметь вид $[A n / G] {\ displaystyle [\ mathbb {A} ^ {n} / G]}$ $[\mathbb {A} ^{n}/G]$ , который имеет одну точку со стабилизатором $G {\ displaystyle G}$ $G$ в начале координат.

Волокнистое произведение группоидов

Дана диаграмма группоидов с морфизмами группоидов

X ↓ Y → Z {\ displaystyle {\ begin {align} X \\ \ downarrow \\ Y \ rightarrow Z \ end {align}}}

{\begin{aligned}X\\\downarrow \\Y\rightarrow Z\end{aligned}}

где $f: X → Z {\ displaystyle f: X \ to Z}$ $f:X\to Z$ и $g: Y → Z {\ displaystyle g: Y \ to Z}$ $g:Y\to Z$ , мы можем сформировать группоид $X × ZY {\ displaystyle X \ times _ {Z} Y}$ $X\times _{Z}Y$ , объекты которого являются тройками $(Икс, ϕ, Y) {\ Displaystyle (х, \ phi, y)}$ $(x,\phi,y)$ , где $x ∈ Ob (X) {\ displaystyle x \ in {\ text {Ob}} ( X)}$ $x\in {\text{Ob}}(X)$ , $y ∈ Ob (Y) {\ displaystyle y \ in {\ text {Ob}} (Y)}$ $y\in {\text{Ob}}(Y)$ и $ϕ: f (x) → g (y) {\ displaystyle \ phi: f (x) \ to g (y)}$ $\phi :f(x)\to g(y)$ в $Z {\ displaystyle Z}$ $Z$ . Морфизмы можно определить как пару морфизмов $(α, β) {\ displaystyle (\ alpha, \ beta)}$ $(\alpha,\beta)$ где $α: x → x ′ {\ displaystyle \ alpha: x \ to x '}$ $\alpha :x\to x'$ и $β: y → y ′ {\ displaystyle \ beta: y \ to y'}$ $\beta :y\to y'$ так, что для троек $(x, ϕ, y), (x ′, ϕ ′, y ′) {\ displaystyle (x, \ phi, y), (x ', \ phi', y ')}$ $(x,\phi,y),(x',\phi ',y')$ , существует коммутативный диаграмма в $Z {\ displaystyle Z}$ $Z$ из $f (α): f (x) → f (x ′) {\ displaystyle f (\ alpha): f (x) \ к f (x ')}$ $f(\alpha):f(x)\to f(x')$ , $g (β): g (y) → g (y') {\ displaystyle g (\ beta): g (y) \ to g (y ')}$ $g(\beta):g(y)\to g(y')$ и $ϕ, ϕ ′ {\ displaystyle \ phi, \ phi '}$ $\phi,\phi '$ .

Гомологическая алгебра

Двухчленный комплекс

C 1 → d C 0 {\ displaystyle C_ { 1} {\ overset {d} {\ rightarrow}} C_ {0}}

C_{1}{\overset {d}{\rightarrow }}C_{0}

объектов в конкретной абелевой категории можно использовать для формирования группоида. Он имеет в качестве объектов набор $C 0 {\ displaystyle C_ {0}}$ $C_{0}$ и стрелки $C 1 ⊕ C 0 {\ displaystyle C_ {1} \ oplus C_ {0}}$ $C_{1}\oplus C_{0}$ , где исходный морфизм - это просто проекция на $C 0 {\ displaystyle C_ {0}}$ $C_{0}$ , а целевой морфизм - это добавление проекции на $C 1 {\ displaystyle C_ {1}}$ $C_{1}$ , составленный из $d {\ displaystyle d}$ $d$ и проекция на $C 0 {\ displaystyle C_ {0}}$ $C_{0}$ . То есть при $c 1 + c 0 ∈ C 1 ⊕ C 0 {\ displaystyle c_ {1} + c_ {0} \ in C_ {1} \ oplus C_ {0}}$ $c_{1}+c_{0}\in C_{1}\oplus C_{0}$ мы иметь

t (c 1 + c 0) = d (c 1) + c 0 {\ displaystyle t (c_ {1} + c_ {0}) = d (c_ {1}) + c_ {0}}

t(c_{1}+c_{0})=d(c_{1})+c_{0}

Конечно, если абелева категория является категорией когерентных пучков на схеме, то эту конструкцию можно использовать для формирования предпучка группоидов.

Головоломки

В то время как головоломки, такие как кубик Рубика, можно смоделировать с помощью теории групп (см. группа кубика Рубика ), некоторые головоломки лучше моделируются. как группоиды.

Преобразования головоломки пятнадцати образуют группоид (не группу, так как не все ходы могут быть составлены). Этот группоид действует на конфигурации.

Группоид Матье

Группоид Матье - это группоид, введенный Джоном Хортоном Конвеем, действующий на 13 точек таким образом, что элементы, фиксирующие точку, образуют копия группы Матье M12.

Связь с группами

Группоподобные структуры
	Тотальность	Ассоциативность	Идентичность	Инвертируемость	Коммутативность
Полугруппоид	Не требуется	Обязательно	Ненужно	Ненужно	Ненужно
Малая категория	Ненужно	Обязательно	Обязательно	Не нужно	Ненужно
Группоид	Не нужно	Требуется	Требуется	Требуется	Ненужно
Magma	Требуется	Ненужно	Ненужно	Ненужно	Ненужно
Quasigroup	Требуется	Ненужно	Ненужно	Требуется	Ненужно
Единичная магма	Требуется	Ненужно	Требуется	Ненужно	Ненужно
Цикл	Требуется	Ненужно	Требуется	Требуется	Не требуется
Полугруппа	Требуется	Требуется	Ненужно	Ненужно	Не требуется
Инверсная полугруппа	Требуется	Требуется	Не требуется	Требуется	Не требуется
Моноид	Требуется	Требуется	Требуется	Ненужно	Ненужно
Коммутативный моноид	Требуется	Требуется	Обязательно	Не требуется	Требуется
Группа	Требуется	Требуется	Требуется	Требуется	Ненужно
Абелева группа	Обязательно	Обязательно	Обязательно	Обязательно	Обязательно
^αЗамыкание, которое используется в во многих источниках, это эквивалентная аксиома тотальности, хотя и определяется по-другому.

Если группоид имеет только один объект, то набор его морфизмов образует группу. Используя алгебраическое определение, такой группоид буквально представляет собой группу. Многие концепции теории групп обобщаются на группоиды с понятием функтора, заменяющего понятие группового гомоморфизма.

If $x {\ displaystyle x}$ $x$ - объект группоида $G {\ displaystyle G}$ $G$ , затем набор всех морфизмов от $x {\ displaystyle x}$ $x$ до $x {\ displaystyle x}$ $x$ образует группу $G (x) {\ displaystyle G (x)}$ $G(x)$ (называемую группой вершин, определенной выше). Если есть морфизм $f {\ displaystyle f}$ $f$ от $x {\ displaystyle x}$ $x$ до $y {\ displaystyle y}$ $y$ , то группы $G (x) {\ displaystyle G (x)}$ $G(x)$ и $G (y) {\ displaystyle G (y)}$ $G(y)$ являются изоморфный, с изоморфизмом, заданным отображением $g → fgf - 1 {\ displaystyle g \ to fgf ^ {- 1}}$ $g\to fgf^{-1}$ .

Каждый связан группоид, в котором любые два объекта связаны хотя бы одним морфизмом, изоморфен группоиду действий (как определено выше) $(G, X) {\ displaystyle (G, X)}$ $(G,X)$ . По связности под действием будет только одна орбита. Если группоид не связан, то он изоморфен непересекающемуся объединению группоидов указанного выше типа (возможно, с разными группами $G {\ displaystyle G}$ $G$ и устанавливает $X {\ displaystyle X}$ $X$ для каждого подключенного компонента).

Обратите внимание, что описанный выше изоморфизм не является уникальным, и нет естественного выбора. Выбор такого изоморфизма для связного группоида по существу означает выбор одного объекта $x 0 {\ displaystyle x_ {0}}$ $x_{0}$ , групповой изоморфизм $h {\ displaystyle h}$ $h$ от $G (x 0) {\ displaystyle G (x_ {0})}$ $G(x_{0})$ до $G {\ displaystyle G}$ $G$ , и для каждого $x {\ displaystyle x}$ $x$ , кроме $x 0 {\ displaystyle x_ {0}}$ $x_{0}$ , морфизм в $G {\ displaystyle G}$ $G$ от $x 0 {\ displaystyle x_ {0}}$ $x_{0}$ до $x {\ displaystyle x}$ $x$ .

С точки зрения теории категорий, каждый из них связан компонент группоида эквивалентен (но не изоморфен ) группоиду с одним объектом, то есть одной группой. Таким образом, любой группоид эквивалентен мультимножеству несвязанных групп. Другими словами, для эквивалентности вместо изоморфизма необязательно указывать наборы $X {\ displaystyle X}$ $X$ , только группы $G. {\ displaystyle G.}$ $G.$ Например,

фундаментальный группоид $X {\ displaystyle X}$ $X$ эквивалентен набору фундаментальных групп каждого компонента с линейной связью из $X {\ displaystyle X}$ $X$ , но изоморфизм требует указания набора точек в каждом компоненте;
Набор $X {\ displaystyle X}$ $X$ с отношением эквивалентности $∼ {\ displaystyle \ sim}$ $\sim$ эквивалентен (как группоид) одной копии тривиальная группа для каждого класса эквивалентности, но изоморфизм требует указания, что такое каждый класс эквивалентности:
Набор $X {\ displaystyle X}$ $X$ с действием действие из группы $G {\ displaystyle G}$ $G$ эквивалентно (как группоид) одной копии $G {\ displaystyle G}$ $G$ для каждой орбиты действия, но изоморфизм требует указания, какой набор каждой орбиты.

Коллапс группоида в am При сборе групп теряется некоторая информация, даже с теоретико-категориальной точки зрения, потому что это не естественно. Таким образом, когда группоиды возникают в терминах других структур, как в приведенных выше примерах, может быть полезно поддерживать полный группоид. В противном случае нужно выбрать способ просмотра каждого $G (x) {\ displaystyle G (x)}$ $G(x)$ с точки зрения одной группы, и этот выбор может быть произвольным. В нашем примере из топологии вам нужно будет сделать последовательный выбор путей (или классов эквивалентности путей) от каждой точки $p {\ displaystyle p}$ $p$ до каждой точки. $q {\ displaystyle q}$ $q$ в том же компоненте с линейной связью.

В качестве более наглядного примера классификация группоидов с одним эндоморфизмом не сводится к чисто теоретическим соображениям. Это аналогично тому, что классификация векторных пространств с одним эндоморфизмом нетривиальна.

Морфизмы группоидов бывают разных видов, чем морфизмы групп: например, у нас есть расслоения, универсальные морфизмы и. Таким образом, подгруппа $H {\ displaystyle H}$ $H$ из группы $G {\ displaystyle G}$ $G$ дает действие $G {\ displaystyle G}$ $G$ в наборе смежных классов из $H {\ displaystyle H}$ $H$ в $G {\ displaystyle G}$ $G$ и, следовательно, покрывающий морфизм $p {\ displaystyle p}$ $p$ , скажем, от $K {\ displaystyle K}$ $K$ до $G {\ displaystyle G}$ $G$ , где $K {\ displaystyle K}$ $K$ - группоид с группами вершин, изоморфными $H {\ displaystyle H}$ $H$ . Таким образом, презентации группы $G {\ displaystyle G}$ $G$ можно «поднять» до презентаций группоида $K {\ displaystyle K}$ $K$ и это полезный способ получения информации о презентациях подгруппы $H {\ displaystyle H}$ $H$ . Для получения дополнительной информации см. Книги Хиггинса и Брауна в Справочнике.

Свойства категории Grpd

Grpd являются полными и неполными
Grpd является декартовой закрытой категорией

Связь с Cat
Включение $i: G rpd → C at {\ displaystyle i: \ mathbf {Grpd} \ to \ mathbf {Cat}}$ $i:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {Cat}$ имеет и левое, и правое сопряженное соединение:
$hom G рпд ⁡ (C [C - 1], G) ≅ hom C at ⁡ (C, я (G)) {\ displaystyle \ hom _ {\ mathbf {Grpd}} (C [C ^ {- 1}], G) \ cong \ hom _ {\ mathbf {Cat}} (C, i (G))}$ $\hom _{\mathbf {Grpd} }(C[C^{-1}],G)\cong \hom _{\mathbf {Cat} }(C,i(G))$
$hom C в точке ⁡ (i (G), C) ≅ hom G rpd ⁡ (G, C ore (C)) {\ displaystyle \ hom _ {\ mathbf {Cat}} (я (G), C) \ cong \ hom _ {\ mathbf {Grpd}} (G, \ mathrm {Core} (C))}$ $\hom _{\mathbf {Cat} }(i(G),C)\cong \hom _{\mathbf {Grpd} }(G,\mathrm {Core} (C))$
Здесь $C [C - 1] {\ displaystyle C [C ^ {- 1}]}$ $C[C^{-1}]$ обозначает локализацию категории, которая инвертирует каждый морфизм, а $C ore (C) {\ displaystyle \ mathrm {Core} (C)}$ $\mathrm {Core} (C)$ обозначает подкатегорию всех изоморфизмов.

Связь с sSet
Функтор нерва $N: G rpd → s S et {\ displaystyle N: \ mathbf {Grpd} \ to \ mathbf {sSet}}$ $N:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {sSet}$ включает Grpd как полную подкатегорию категории симплициальных множеств. Нерв группоида всегда имеет комплекс Кана.

The nerve has a left adjoint
$hom G r p d ⁡ ( π 1 ( X), G) ≅ hom s S e t ⁡ ( X, N ( G)) {\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd} }(\pi _{1}(X),G)\cong \hom _{\mathbf {sSet} }(X,N(G))}$ $\hom _{\mathbf {Grpd} }(\pi _{1}(X),G)\cong \hom _{\mathbf {sSet} }(X,N(G))$
Here, $π 1 ( X) {\displaystyle \pi _{1}(X)}$ $\pi _{1}(X)$ denotes the fundamental groupoid of the simplicial set X.
Lie groupoids and Lie algebroids
When studying geometrical objects, the arising groupoids often carry some differentiable structure, turning them into Lie groupoids. These can be studied in terms of Lie algebroids, in analogy to the relation between Lie groups and Lie algebras.
See also
∞-groupoid
Homotopy type theory
Inverse category
groupoid algebra (not to be confused with)
R-algebroid
Notes
References
Brandt, H (1927), "Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes", Mathematische Annalen, 96(1): 360–366, doi :10.1007/BF01209171
Brown, Ronald, 1987, "From groups to groupoids: a brief survey," Bull. Лондонская математика. Soc. 19: 113-34. Reviews the history of groupoids up to 1987, starting with the work of Brandt on quadratic forms. The downloadable version updates the many references.
—, 2006. Topology and groupoids. Booksurge. Revised and extended edition of a book previously published in 1968 and 1988. Groupoids are introduced in the context of their topological application.
—, Higher dimensional group theory Explains how the groupoid concept has led to higher-dimensional homotopy groupoids, having applications in homotopy theory and in group cohomology. Many references.
Dicks, Warren; Ventura, Enric (1996), The group fixed by a family of injective endomorphisms of a free group, Mathematical Surveys and Monographs, 195, AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-0564-0
Dokuchaev, M.; Exel, R.; Piccione, P. (2000). "Partial Representations and Partial Group Algebras". Журнал алгебры. Эльзевир. 226: 505–532. arXiv :math/9903129. doi :10.1006/jabr.1999.8204. ISSN 0021-8693.
F. Borceux, G. Janelidze, 2001, Galois theories. Cambridge Univ. Нажмите. Shows how generalisations of Galois theory lead to.
Cannas da Silva, A., and A. Weinstein, Geometric Models for Noncommutative Algebras. Especially Part VI.
Golubitsky, M., Ian Stewart, 2006, "Nonlinear dynamics of networks: the groupoid formalism ", Bull. Амер. Математика. Soc. 43: 305-64
, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Higgins, P. J., "The fundamental groupoid of a graph of groups ", J. London Math. Soc. (2) 13 (1976) 145—149.
Higgins, P. J. and Taylor, J., "The fundamental groupoid and the homotopy crossed complex of an orbit space ", in Category theory (Gummersbach, 1981), Lecture Notes in Math., Volume 962. Springer, Berlin (1982), 115—122.
Higgins, P. J., 1971. Categories and groupoids. Van Nostrand Notes in Mathematics. Republished in Reprints in Theory and Applications of Categories, No. 7 (2005) pp. 1–195; freely downloadable. Substantial introduction to category theory with special emphasis on groupoids. Presents applications of groupoids in group theory, for example to a generalisation of Grushko's theorem, and in topology, e.g. fundamental groupoid.
Mackenzie, K. C. H., 2005. General theory of Lie groupoids and Lie algebroids. Cambridge Univ. Press.
Weinstein, Alan, "Groupoids: unifying internal and external symmetry — A tour through some examples. " Also available in Postscript., Notices of the AMS, July 1996, pp. 744–752.
Weinstein, Alan, "The Geometry of Momentum " (2002)
R.T. Zivaljevic. "Groupoids in combinatorics—applications of a theory of local symmetries". In Algebraic and geometric combinatorics, volume 423 of Contemp. Math., 305–324. Амер. Математика. Soc., Providence, RI (2006)
fundamental groupoid in nLab
core in nLab