В математике и абстрактной алгебре, теория групп изучает алгебраические структуры, известные как группы. Концепция группы является центральной для абстрактной алгебры: можно увидеть другие концепции алгебраических структур, такие как кольца, поля и пространства. как группы, наделенные дополнительными операциями и аксиомами. Группы повторяются в математике, а методы теории групп повлияли на многие разделы алгебры. Линейные алгебраические группы и Группы Ли - это две ветви теории групп, которые достигли прогресса и стали самостоятельными предметными областями.
Различные физические системы, такие как кристаллы и атома, можно моделировать с помощью групп симметрии. Таким образом, теория и системная связанная с ней теория представлений имеют много важных приложений в физике, химии и материаловедении. Теория групп также занимает центральное место в криптографии с открытым ключом.
Ранняя история теории групп восходит к 19 веку. Одним из важнейших математических достижений 20-го века были совместные усилия, занявшие более 10 000 журнальных страниц и опубликованные в основном в период с 1960 по 1980 гг., Которые завершились полной классификацией конечных простых групп.
Диапазон рассматриваемых групп постепенно расширялся от конечных групп перестановок и специальные примеры групп матриц для абстрактных групп, которые могут быть указаны через представление с помощью генераторов и отношений.
Первым классом групп подвергшимся систематическому исследованию, группы перестановок. Для любого множества X и набора G биекций X в себе (известных как перестановки), замкнутых композиций и инверсий, G является группой , действующей на X. Если X из n элементов и G из всех перестановок, G - симметрическая группа Sn; в общем, любая группа перестановок G является подгруппой симметрической группы X. Ранняя конструкция из-за Кэли выставляла любую группу как группу перестановок, действующую на себя (X = G) с помощью левого регулярного представления.
. Во многих структурах группы перестановок может быть ее свойства на соответствующем множестве. Таким способом доказано, что для n ≥ 5 альтернированная группа An, то есть не допускает никаких собственных нормальных подгрупп. Этот факт играет ключевую роль в невозможности решения общего алгебраического уравнения степени n ≥ 5 в радикалах.
Следующий важный класс групп - это матричные группы, или линейные. Здесь G - это множество, состоящее из обратимых матриц заданного порядка над полем K, которое замкнуто относительно произведений и является обратным. Такая группа действует на n-мерное пространство K посредством линейных преобразований. Это действие делает группы матриц концептуально похожими на группы перестановок, а геометрия может быть с пользой определения свойств группы G.
Группы перестановок и групп матриц являются особыми случаями групп преобразований : группы, которые представлены в определенном представлении X, сохраняя присущую ему характер. В случае групп перестановок X - это множество; для групп матриц X - это новое пространство . Концепция группы преобразований объединяет концепцию группы симметрии : группы преобразований часто состоят из всех преобразований, сохраняющих определенную структуру.
Теория групп преобразований образует мост, соединяющий теорию групп с дифференциальной геометрией. Длинная линия исследований, берущих с Ли и Клейна, рассматривает групповые действия на начало разнообразий посредством гомеоморфизмов или диффеоморфизмов. Сами группы могут быть дискретными или непрерывными.
Большинство групп, рассматриваемых на первом этапе развития теории групп, были «конкретными», реализованными посредством числа, перестановки или матрицы. Лишь в конце девятнадцатого века идея абстрактной группы как множественные операционные, удовлетворяющие систему аксиом, начала укрепляться. Типичный способ определения абстрактной группы - это представление ми и отношениями,
Важным инструментом абстрактных групп является построение факторов-группы или фактор-группы, G / H, группы G нормальной подгруппой H. Группы классов из полей алгебраических чисел были одними из самых ранних примеров групп факторов, которые вызвали большой интерес в теории чисел. Если группа G является группой перестановок на множестве X, фактор-группа G / H больше не работает на X; но идея абстрактной группы позволяет не беспокоиться об этом несоответствии.
Переход от наблюдений к абстрактным группам делает естественное, которые не используют от конкретных реализаций, или современного языка, инвариантных относительно изоморфизма, а также классы с групповыми данными таким своим: конечные группы, периодические группы, простые группы, разрешимые группы и т. д. Вместо того, чтобы исследовать отдельные группы, каждый стремится установить, применимые ко всему классу групп. Новая парадигма имела первостепенное значение для развития математики: она предвосхитила создание абстрактной алгебры в работах Гильберта, Эмиля Артина, Эмми Нётер и математики.
Важное уточнение концепции группы происходит, если G наделена дополнительной структурой, особенно топологическое пространство, дифференцируемое многообразие или алгебраическое многообразие. Если групповые операции m (умножение) и i (инверсия),
соответствует этой структурой, то есть они являются непрерывными, гладкими или регулярными (в смысле алгебраической геометрии) отображениями, тогда G топологической группой, a Группа Ли или алгебраическая группа.
Наличие дополнительных структур, связанных с изучением этих групп с другими математическими дисциплинами, означает, что для их изучения доступно больше инструментов. Топологические группы образуют естественную область абстрактного гармонического анализа, тогда как группы Ли (часто реализуемые как группы преобразований) используются дифференциальной геометрии и унитарной теории представлений. Некоторые вопросы классификации, которые не могут быть решены в целом, могут быть решены для специальных подклассов групп. Таким образом, компактные связные группы Ли полностью классифицированы. Между группами абстрактными и топологическими группами плодотворная связь: всякий раз, когда группа может быть реализована как решетка в топологической группе G, геометрия и анализ, связанные с G, дают важные результаты о Γ. Недавняя тенденция в теории конечных групп их связи с компактными топологическими группами (проконечными группами ): например, единственная p-аддитивная аналитическая группа G имеет семейство частных, которые являются конечными p-групп различных порядков, и свойства группы G переводятся в свойства ее конечных частных.
В течение двадцатого века математики очень исследовали некоторые аспекты теории конечных групп, особенно локальная теория конечных групп и теория групп и теория групп групп и теория групп групп и теория групп разрешимых и нильпотентных групп. Как следствие, достигнута полная классификация конечных простых групп, что означает, что все те простые группы, из которых построены все конечные группы, теперь известны.
Во второй половине двадцатого века математики, такие как Шевалле и Стейнберг, а также расширили наше понимание конечных аналогов классических групп, и родственные группы. Одним из таких семейств групп является семейство линейных групп над конечными полями. Конечные группы часто встречаются при рассмотрении симметрии математических или физических объектов, когда эти объекты допускают лишь конечное число преобразований, сохраняющих преобразований. Теория групп Ли, которая может рассматривать как имеющую дело с «непрерывной симметрией », находится под сильным представлением с групп Вейля. Это конечные группы, порожденные отражения, действующим на конечном евклидово пространство. Таким образом, конечных групп могут играть роль в таких предметах, как теоретическая физика и свойства химия.
Утверждение, что группа G действует на множестве X означает, что каждый элемент G определяет биективное отображение на множестве X способ, комплексым со структурой группы. Когда X имеет структуру, частично ограничить это представление: представление G в векторном представлении V является гомоморфизмом групп :
где GL (V) состоит из обратимых линейных преобразований V. словами, каждому элементу группы g сопоставлен автоморфизм ρ (g) такой, что ρ (g) ∘ ρ (h) = ρ (gh) для h из G.
Это Определение можно понять в двух направлениях, каждое из которых дает начало новому областям математики. С одной стороны, это может дать новую информацию о группе G: часто групповая операция в G задается абстрактно, но через ρ она соответствует умножению матриц, что очень явно. С другой стороны, если хорошо изученная группа воздействует на сложный объект, это упрощает изучение рассматриваемого объекта. Например, если G конечна, известно, что приведенная выше V разлагается на неприводимые части. С этим частями, в свою очередь, легче справиться, чем с целым V (с помощью леммы Шура ).
Данная группа G, теория представлений затем спрашивает, какие представления группы G существуют. Есть несколько настроек, и методы и методы анализа различаются в каждом случае: теория представлений конечных групп и представления групп Ли - две основные области теории теории. Совокупность представлений определяется символами группы. Например, полиномы Фурье можно интерпретировать как символы U (1), группы комплексных чисел из абсолютного значения 1, действующей в L -пространстве периодических функций.
A Группа Ли - это группа, которая также является дифференцируемым множеством с темством, что групповые операции согласовы с гладкая структура. Группы Ли названы в честь Софуса Ли, заложившего основы непрерывных групп преобразователей. Термин группы де Ли появился впервые на французском языке в 1893 году в диссертации ученика Ли, стр. 3.
Группы Ли представляют собой наиболее развитую теорию непрерывной симметрии математических объектов. и структуры, что делает их незаменимыми инструментами для многих разделов современной математики, а также для современной теоретической физики. Они обеспечивают естественную основу для анализа непрерывных симметрий дифференциальных уравнений (дифференциальная теория Галуа ), почти так же, как группы перестановок используются в Теория Галуа для анализа дискретных симметрий алгебраических данных. Распространение теории Галуа на случай непрерывных групп симметрии было одним из основных мотивов Ли.
Группы можно описывать по-разному. Конечные группы можно описать, записав групповую таблицу, состоящую из всех известных умножений g • h. Более компактный способ определения группы - образующие и отношения, также называемое представлением группы. Для любого набора F образующих свободная группа порожденные F сюръектами в группе G. Ядро этого изображения называется подгруппой отношений, порожденной некоторым подмножеством D. Представление обычно обозначается Например, групповая презентация приведенную группу, которая изоморфна Строка, состоящая из символов генератора и их обратных символов, называется словом.
Комбинаторная теория групп изучает группы с точки зрения образующих и отношений. Это особенно там полезно, где предположения конечности, например, конечно порожденные группы или конечно группы (т.е. кроме того конечны). Область использует соединение графов через их фундаментальные группы. Например, можно показать, что каждая подгруппа свободной группы свободна.
Есть несколько естественных вопросов, возникающих при представлении группы по ее представлению. Задача слова спрашивает, являются ли два слова одним и тем же элементом группы. Связав проблему с машинами Тьюринга, можно показать, что в целом не существует алгоритма , решающего эту задачу. Другой, обычно сложной, алгоритмически неразрешимой проблемой является проблема изоморфизма групп , которая спрашивает, действительно ли две группы, заданные разные представления, изоморфны. Например, группа с представлением изоморфна аддитивной группе Z целых чисел, хотя это может быть не сразу очевидно.
Граф Кэли x, y ∣, свободная группа ранга 2.Геометрическая теория групп решает эти проблемы с геометрической точки зрения, рассматривая группы как геометрические объекты или находя подходящие геометрические объекты, над действующей группой. Первая идея уточняется с помощью графа Кэли, вершины которого соответствуют элементам группы, а ребра соответствуют правому умножению в группе. Для двух элементов строится словарная метрика , заданная длина минимального пути элемента между элементами. Теорема Милнора и Сварца затем гласит, что для группы G, действующей разумным образом на метрическом пространстве X, например на компактном многообразии, тогда G квазиизометрическим (т.е. Выглядит похожим на расстоянии) пространству X.
Для структурированного объекта X любого вида, симметрия - это отображение объекта на самого себя, которое сохраняется. Это происходит во многих случаях, например
Аксиомы группы формализуют существенные аспекты симметрии. Симметрии образуют группу: они закрыты, потому что если вы возьмете симметрию объекта, примените другую симметрию, результатом все равно будет симметрия. Тождество, удерживающее объект фиксированным, всегда является симметричным объектом. Существование инверсий гарантирует отмену симметрии, ассоциативность исходит из того факта, что симметрии функций в пространственной композиции, композиция ассоциативна.
Теорема Фрухта говорит, что каждая группа является группой симметрии некоторого графа. Итак, каждая абстрактная группа на самом деле является симметрией некоторого явного объекта.
Поговорка о «сохранении структуры» объекта может быть уточнена, в категории . Карты, сохраняющие структуру, тогда являются морфизмами, а группа симметрии - группа автоморфизмов рассматриваемого объекта.
Существует множество приложений теории групп. Почти все структуры в группной алгебре являются частными случаями. Кольца, например, можно рассматривать как абелевы группы (соответствующее сложение) вместе со операцией (создание умножения). Следовательно, теоретико-групповые аргументы аргументов лежат в основе большей части теории этих сущностей.
Теория Галуа использует группы для описания симметрий корней многочлена (или, точнее, автоморфизмов алгебр, порожденных этими корнями). Фундаментальная теорема теории Галуа обеспечивает связь между расширенными алгебраическими полями и теорией групп. Он дает эффективный критерий разрешимости полиномиальных формул в терминах разрешимую группы Галуа. Например, S 5, симметрическая группа из 5 элементов, не разрешима, что означает, что общее уравнение пятой степени не может быть решено радикалами так же, как уравнения более низкой степени может. Теория, являющаяся одной из исторических корней теории групп, до сих пор плодотворно используется для получения новых результатов в таких областях, как теория полей классов.
Алгебраическая топология - еще одна область, которая занимает важное место связывает группы с объектами, интересующими теорию. Там группы используются для описания определенных инвариантов топологических пространств. Их называют «инвариантами», поскольку они не изменяются таким образом, если пространство подвергается деформации. Например, основная группа «подсчитывает». Гипотеза Пуанкаре, доказанная в 2002/2003 гг. Григорием Перельманом, является ярким применением этой идеи. Однако влияние не является однонаправленным. Например, алгебраическая топология использует пространство Эйленберга - Маклейна, которое пространми предписанных гомотопическими группами. Точно так же алгебраическая теория в некотором смысле опирается на классифицирующие пространства групп. Наконец, название торсионной подгруппы бесконечной группы показывает наследие топологии в теории групп.
Тор. Его абелева групповая структура индуцирована картой C→ C/(Z+ τ Z ), где τ - параметр, находящийся в верхняя полуплоскости.Алгебраическая геометрия аналогично во многом использует теорию групп. Абелевы разнообразия были введены выше. Наличие групповой операции дает дополнительную информацию, которая делает эти разновидности особенно доступными. Также они часто проверкой новых домыслов. Особенно подробно изучен одномерный случай, а именно эллиптические кривые. Они интересны как теоретически, так и практически. С другой, торические стороны - это алгебраические стороны, на которые действуют тор. Тороидальные вложения недавно привели к достижениям в алгебраической геометрии, в частности, разрешении сингулярностей.
В алгебраической теории чисел группы используются для некоторых важных приложений. Например, формула произведения Эйлера,
фиксирует тот факт, что любое целое число уникальным образом разлагается на простые числа. Несостоятельность этого утверждения для более общих колец приводит к группам классов и регулярным общим числом, используются тракты в товке Куммера Последняя теорема Ферма.
Анализ групп Ли и некоторых других групп называется гармоническим анализом. Меры Хаара, есть интегралы, инвариантные относительно перевода в группе Ли, используются для распознавания образов и других методов обработки изображений.
В комбинаторике понятие группы перестановок и концепция группового действия часто используются для упрощения подсчета набора объектов; см., в частности, лемму Бернсайда.
Круг квинт может быть наделен структурой циклической группыНаличие 12- периодичности в круг квинтов дает приложения теории элементарных групп в теории музыкальных множеств. Теория трансформаций моделирует музыкальные трансформации как элементы математической группы.
В физике группы важны, потому что они описывают симметрии, которым кажется, подчиняются законы физики. Согласно теореме Нётер, каждая непрерывная симметрия системы соответствует закону сохранения системы. Физиков очень интересуют представления групп, особенно групп Ли, поскольку эти представления часто указывают путь к «возможным» физическим теориям. Примеры использования групп в физике включают Стандартную модель, калибровочную теорию, группу Лоренца и группу Пуанкаре.
В химии и материаловедении группы используются для классификации кристаллических структур, правильных многогранников и симметрий молекулы. Назначенные точечные группы (такие как химическая полярность и хиральность ), особенно полезно для рамановской спектроскопии, инфракрасная спектроскопия, спектроскопия кругового дихроизма, спектроскопия магнитного кругового дихроизма, УФ / видимая спектроскопия и флуоресцентная спектроскопия), а также для построения молекулярных орбиталей.
Симметрия молекулы отвечает за многие физические и спектроскопические свойства соединения и использует актуальную о том, как продолжается химические реакции. Чтобы назначить точечную группу операций молекуле, необходимо найти набор симметрии, присутствующих на ней. Операция симметрии - это действие, такое как вращение вокруг оси или отражение через плоскость зеркала. Другими словами, это операция, которая перемещает молекулу так, что она неотличима от первоначальной конфигурации. В теории групп оси вращения и зеркальные плоскости называются «элементы симметрии». Эти элементы могут быть точкой, линией или плоскостью, относительно выполняется операция симметрии. Операции симметрии молекулы определяют конкретную точечную группу для этой молекулы.
Молекула воды с осью симметрииВ химии существует пять важных операций симметрии. Это операция идентичности (E), операция или правильного вращения (Cn), операция отражения (σ ), инверсия (i ) и вращения. работа или неправильное вращение (Sn). Операция идентичности (E ) заключается в том, чтобы оставить молекулу такой, какая она есть. Это эквивалентно любому количеству полных оборотов вокруг любой оси. Это симметрия всех молекул, тогда как группа симметрии хиральной молекулы состоит только из операции идентичности. Операция идентичности характерна для каждой молекулы, даже если она не имеет симметрии. Вращение вокруг оси (Cn) состоит из молекулы вокруг оси оси. Это поворот на угол 360 ° / n, где n - целое число, вокруг оси вращения. Например, если молекула воды вращается на 180 ° вокруг оси, которая проходит через атом кислород и между атомами водорода, она находится в той же конфигурации, что и Началось. В этом случае n = 2, поскольку его применение вызывает к операции идентичности. В молекулах с более чем одной осью вращения ось Cn, имеющая наибольшее значение n, является осью вращения или главной осью высшего порядка. Например, Боран (BH3), высший порядок вращения оси - C3, поэтому главная ось оси - C3.
. В операции отражения (σ ) много молекул имеют зеркальные плоскости, хотя они могут быть неочевидными. Операция отражения меняет местами влево и вправо, как если бы каждая точка перемещалась перпендикулярно положения в положении, находящегося в так же далеко от плоскости, как и когда она началась. Когда плоскость перпендикулярна главной оси вращения, она называется σh(горизонтальная). Другие плоскости, которые содержат основные ось вращения, помечены вертикальные (σv) или двугранные (σd).
Инверсия (i) - более сложная операция. Каждая точка перемещается через центр молекулы в положение, противоположное исходному положению, и настолько далеко от центральной точки, где она начиналась. Многие молекулы, которые на первый взгляд кажутся имеющими центр инверсии, не имеют; например, метан и другие тетраэдрические молекулы не обладают инверсионной симметрией. Чтобы увидеть это, возьмем модель метана с двумя атомами водорода в вертикальной плоскости и двумя атомами водорода в горизонтальной плоскости слева. Инверсия приводит к появлению двух атомов водорода в горизонтальной плоскости справа и двух атомов водорода в вертикальной плоскости. Следовательно, инверсия не является операцией симметрии метана, потому что ориентация молекулы после операции инверсии отличается от исходной ориентации. И последняя операция - неправильное вращение или операция отражения (Sn) требует вращения на 360 ° / н, которое следует через плоскость, перпендикулярную скорость вращения.
Статистическая механика
Статистическая механика неполноты статистических интерпретаций механики, разработанной Уиллардом Гиббсом.
Очень большие группы простого порядка, построенные в криптографии с эллиптическими кривыми, восстановление для криптографии с открытым ключом. Криптографические методы такого типа выигрывают от гибкости геометрических объектов, следовательно, их групповой структуры, а также сложные структуры этих групп, что блокирует вычисление дискретного логарифма . Один из самых ранних протоколов шифрования, шифр Цезаря, также можно интерпретировать как (очень простую) групповую операцию. Большинство криптографических так или иначе использовать группы. В частности, при обмене ключами Диффи - Хеллмана используются конечные циклические группы. Таким образом, термин «групповая криптография» в основном относится к криптографическим протоколам, которые используют бесконечные неабелевы группы, такие как группа кос.
циклическая группа Z26основана на шифра Цезаря.Теория групп имеет три основных исторических источника: теория чисел, теория алгебраические уравнения и геометрия. Теоретико-числовое направление было начато Леонардом Эйлером и развито Гауссом работой по модульной арифметике и аддитивным и мультипликативным группам, с квадратичными полями. Ранние результаты о группы перестановок были получены Лагранж, Руффини и Абель в их поисках общих решений полиномиальных уравнений высокой степени.. Эварист Галуа ввел термин «группа» и установил связь, известную теперь как теория Галуа, между зарождающейся теорией групп и теорией поля. В геометрии группы сначала стали важными в проективной геометрии, а затем в неевклидовой геометрии. Феликс Клейн программа Эрлангена провозгласила теорию как организующий принцип геометрии.
Галуа в 1830-х годах первым применил группы для определения разрешимости полиномиальных уравнений. Артур Кэли и Огюстен Луи Коши продвинули эти исследования дальше, создав теорию групп перестановок. Второй исторический источник для групп происходит из геометрических ситуаций. Пытаясь разобраться с возможными геометриями (такими как евклидова, гиперболическая или проективная геометрия ) с помощью теории групп, Феликс Клейн инициировал программу Erlangen. Софус Ли в 1884 году начал использовать группы (теперь называемые группами Ли ), прикрепленные к аналитическим задачам. В-третьих, группы сначала неявно, а позже явно использовались в теории алгебраических чисел.
. Различный объем этих ранних источников привел к разным представлениям о группах. Теория групп была унифицирована примерно в 1880 году. С тех пор влияние теории групп постоянно росло, что привело к рождению абстрактной алгебры в начале 20 века, теории представлений, и многие другие влиятельные дочерние области. Классификация конечных простых групп представляет собой обширную работу середины 20 века, в которой классифицируются все конечные простые группы.