Функтор

редактировать
Эта статья о математической концепции. Чтобы узнать о других значениях, см. Функтор (значения). «Функциональность» перенаправляется сюда. По поводу гипотезы о функториальности Ленглендса в теории чисел см. Программу Ленглендса § Функториальность.

В математике, особенно в теории категорий, функтор - это отображение между категориями. Функторы впервые были рассмотрены в алгебраической топологии, где алгебраические объекты (такие как фундаментальная группа ) связаны с топологическими пространствами, а отображения между этими алгебраическими объектами связаны с непрерывными отображениями между пространствами. В настоящее время функторы используются в современной математике для связи различных категорий. Таким образом, функторы важны во всех областях математики, к которым применяется теория категорий.

Слова категория и функтор были заимствованы математиками у философов Аристотеля и Рудольфа Карнапа соответственно. Последний использовал функтор в лингвистическом контексте; см. служебное слово.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Определение
    • 1.1 Ковариация и контравариантность
    • 1.2 Противоположный функтор
    • 1.3 Бифункторы и мультифункторы
  • 2 Примеры
  • 3 свойства
  • 4 Отношение к другим категориальным понятиям
  • 5 Компьютерные реализации
  • 6 См. Также
  • 7 Примечания
  • 8 ссылки
  • 9 Внешние ссылки

Определение

Пусть C и D быть категории. Функтор Р из С к D является отображение,

  • связывает каждый объект в C с объектом в D, Икс {\ displaystyle X} F ( Икс ) {\ Displaystyle F (X)}
  • связывает каждый морфизм в C с морфизмом в D такой, что выполняются следующие два условия: ж : Икс Y {\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y} F ( ж ) : F ( Икс ) F ( Y ) {\ Displaystyle F (F) \ двоеточие F (X) \ к F (Y)}
    • F ( я d Икс ) знак равно я d F ( Икс ) {\ Displaystyle F (\ mathrm {id} _ {X}) = \ mathrm {id} _ {F (X)} \, \!}для каждого объекта в
    C, Икс {\ displaystyle X}
  • F ( г ж ) знак равно F ( г ) F ( ж ) {\ Displaystyle F (г \ CIRC F) = F (г) \ CIRC F (F)}для всех морфизмов и в C. ж : Икс Y {\ Displaystyle е \ двоеточие X \ в Y \, \!} г : Y Z {\ displaystyle g \ двоеточие от Y \ до Z}

То есть функторы должны сохранять тождественные морфизмы и композицию морфизмов.

Ковариация и контравариантность

Смотрите также: Ковариация и контравариантность (информатика)

В математике есть много конструкций, которые были бы функторами, если бы не тот факт, что они «переворачивают морфизмы» и «меняют композицию». Затем мы определяем контравариантный функтор F из C в D как отображение, которое

  • связывает каждый объект в C с объектом в D, Икс {\ displaystyle X} F ( Икс ) {\ Displaystyle F (X)}
  • сопоставляет каждому морфизму в C такой морфизм в D, что выполняются следующие два условия: ж : Икс Y {\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y} F ( ж ) : F ( Y ) F ( Икс ) {\ Displaystyle F (F) \ двоеточие F (Y) \ к F (X)}
    • F ( я d Икс ) знак равно я d F ( Икс ) {\ Displaystyle F (\ mathrm {id} _ {X}) = \ mathrm {id} _ {F (X)} \, \!}для каждого объекта в
    C, Икс {\ displaystyle X}
  • F ( г ж ) знак равно F ( ж ) F ( г ) {\ Displaystyle F (г \ CIRC F) = F (F) \ CIRC F (G)}для всех морфизмов и в C. ж : Икс Y {\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y} г : Y Z {\ displaystyle g \ двоеточие от Y \ до Z}

Обратите внимание, что контравариантные функторы меняют направление композиции.

Обычные функторы также называются ковариантными, чтобы отличать их от контравариантных. Обратите внимание, что можно также определить контравариантный функтор как ковариантный функтор в противоположной категории. Некоторые авторы предпочитают записывать все выражения ковариантно. То есть вместо того, чтобы сказать, что это контравариантный функтор, они просто пишут (или иногда) и называют его функтором. C о п {\ displaystyle C ^ {\ mathrm {op}}} F : C D {\ Displaystyle F \ двоеточие C \ to D} F : C о п D {\ Displaystyle F \ двоеточие C ^ {\ mathrm {op}} \ to D} F : C D о п {\ displaystyle F \ двоеточие C \ to D ^ {\ mathrm {op}}}

Контравариантные функторы также иногда называют кофункторами.

Существует соглашение, которое относится к «векторам» -ie, векторные полей, элементы пространства сечений одного касательного расслоение -as «контравариантного» и «ковекторы» -ie, 1-формам, элементы пространства секций из котангенс расслоение ий «ковариантен». Эта терминология берет свое начало в физике, и ее обоснование связано с положением индексов («наверху» и «внизу») в таких выражениях, как « для» или « для». В этом формализме наблюдается, что символ преобразования координат (представляющий матрицу) действует на базисных векторов «таким же образом», как на «координатах ковекторных»: -whereas он действует «в обратном направлении» на «вектор координат» (но «таким же образом, как и на» базисных ковекторов:). Эта терминология противоречит терминологии, используемой в теории категорий, потому что именно ковекторы имеют откаты в целом и, таким образом, контравариантны, тогда как векторы в целом ковариантны, поскольку их можно подтолкнуть вперед. См. Также Ковариация и контравариантность векторов. Γ ( Т M ) {\ Displaystyle \ Gamma (TM)} Т M {\ displaystyle TM} Γ ( Т * M ) {\ Displaystyle \ Гамма (Т ^ {*} М)} Т * M {\ displaystyle T ^ {*} M} Икс я знак равно Λ j я Икс j {\ displaystyle x '^ {\, i} = \ Lambda _ {j} ^ {i} x ^ {j}} Икс знак равно Λ Икс {\ Displaystyle \ mathbf {x} '= {\ boldsymbol {\ Lambda}} \ mathbf {x}} ω я знак равно Λ я j ω j {\ displaystyle \ omega '_ {i} = \ Lambda _ {i} ^ {j} \ omega _ {j}} ω знак равно ω Λ Т . {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} '= {\ boldsymbol {\ omega}} {\ boldsymbol {\ Lambda}} ^ {T}.} Λ я j {\ displaystyle \ Lambda _ {i} ^ {j}} Λ Т {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Lambda}} ^ {T}} е я знак равно Λ я j е j {\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} = \ Lambda _ {i} ^ {j} \ mathbf {e} _ {j}} е я знак равно Λ j я е j {\ displaystyle \ mathbf {e} ^ {i} = \ Lambda _ {j} ^ {i} \ mathbf {e} ^ {j}}

Противоположный функтор

Каждый функтор индуцирует противоположный функтор, где и являются противоположными категориями до и. По определению, отображает объекты и морфизмы идентично. Так как не совпадает с как категории, а так же для, отличается от. Например, при составлении с помощью следует использовать либо или. Обратите внимание, что, следуя свойству противоположной категории,. F : C D {\ Displaystyle F \ двоеточие C \ to D} F о п : C о п D о п {\ displaystyle F ^ {\ mathrm {op}} \ двоеточие C ^ {\ mathrm {op}} \ to D ^ {\ mathrm {op}}} C о п {\ displaystyle C ^ {\ mathrm {op}}} D о п {\ Displaystyle D ^ {\ mathrm {op}}} C {\ displaystyle C} D {\ displaystyle D} F о п {\ Displaystyle F ^ {\ mathrm {op}}} F {\ displaystyle F} C о п {\ displaystyle C ^ {\ mathrm {op}}} C {\ displaystyle C} D {\ displaystyle D} F о п {\ Displaystyle F ^ {\ mathrm {op}}} F {\ displaystyle F} F : C 0 C 1 {\ displaystyle F \ двоеточие C_ {0} \ to C_ {1}} г : C 1 о п C 2 {\ displaystyle G \ двоеточие C_ {1} ^ {\ mathrm {op}} \ to C_ {2}} г F о п {\ Displaystyle G \ circ F ^ {\ mathrm {op}}} г о п F {\ Displaystyle G ^ {\ mathrm {op}} \ circ F} ( F о п ) о п знак равно F {\ displaystyle (F ^ {\ mathrm {op}}) ^ {\ mathrm {op}} = F}

Бифункторы и мультифункторы

Бифунктор (также известный как двоичный функтор) функтор, область является категорией продукта. Например, функтор Hom имеет тип C op × C → Set. Его можно рассматривать как функтор с двумя аргументами. Хом функтор является естественным примером; он контравариантен по одному аргументу, ковариантен по другому.

Multifunctor является обобщением понятия функтора к п переменных. Так, например, бифунктор - это мультифунктор с n = 2.

Примеры

Диаграмма : для категорий C и J диаграмма типа J в C является ковариантным функтором. D : J C {\ displaystyle D \ двоеточие J \ to C}

(Категория теоретический) Предпучок : для категорий C и J, A J -presheaf на C является контравариантным функтором. D : C J {\ Displaystyle D \ двоеточие C \ to J}

Предварительные пучки: если X - топологическое пространство, то открытые множества в X образуют частично упорядоченное множество Open ( X) при включении. Как и любой частично упорядоченный набор, Open ( X) образует небольшую категорию, добавляя единственную стрелку U → V тогда и только тогда, когда. Контравариантная функторы на Open ( X) называются предпучки на X. Так, например, путем присвоения каждому открытому множеству U ассоциативная алгебра вещественных непрерывных функций на U, получаем предпучок алгебр на X. U V {\ Displaystyle U \ substeq V}

Константа функтор: Функтор С → D, который отображает каждый объект C до фиксированного объекта X в D, и каждый морфизм в С к морфизму идентичности на X. Такой функтор называется константой или функтором выбора.

Эндофунктор: функтор, который отображает категорию в ту же категорию; например, полиномиальный функтор.

Функтор идентичности: в категории C, обозначаемый как 1 C или id C, отображает объект на себя, а морфизм - на себя. Функтор идентичности - это эндофунктор.

Диагональный функтор: диагональный функтор определяется как функтор из D в категорию функторов D C, который отправляет каждый объект в D в постоянный функтор этого объекта.

Предельный функтор: для фиксированной индексной категории J, если каждый функтор J → C имеет предел (например, если C полон), то предельный функтор C J → C присваивает каждому функтору его предел. Существование этого функтора можно доказать, поняв, что он является сопряженным справа к диагональному функтору, и применив теорему Фрейда о сопряженном функторе. Это требует подходящей версии выбранной аксиомы. Аналогичные замечания относятся к функтору копредела (который назначает каждому функтору его копредел и является ковариантным).

Функтор наборов мощности: Функтор набора мощности P  : Set → Set сопоставляет каждый набор со своим набором мощности и каждую функцию с картой, которая отправляет его изображению. Можно также рассмотреть контравариантный функтор набора мощности, который отправляет карте, которая отправляет ее обратному изображению ж : Икс Y {\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y} U п ( Икс ) {\ Displaystyle U \ in {\ mathcal {P}} (X)} ж ( U ) п ( Y ) {\ Displaystyle F (U) \ in {\ mathcal {P}} (Y)} ж : Икс Y {\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y} V Y {\ Displaystyle V \ substeq Y} ж - 1 ( V ) Икс . {\ displaystyle f ^ {- 1} (V) \ substeq X.}

Например, если тогда. Допустим и. Тогда это функция, которая отправляет любое подмножество из его образа, который в данном случае означает, где обозначает отображение, при, так что это также может быть записана в виде. Для других значений обратите внимание, что, следовательно, генерируется тривиальная топология на. Также обратите внимание, что хотя функция в этом примере отображается на набор мощности, в общем случае это не обязательно. Икс знак равно { 0 , 1 } {\ Displaystyle X = \ {0,1 \}} F ( Икс ) знак равно п ( Икс ) знак равно { { } , { 0 } , { 1 } , Икс } {\ Displaystyle F (X) = {\ mathcal {P}} (X) = \ {\ {\}, \ {0 \}, \ {1 \}, X \}} ж ( 0 ) знак равно { } {\ Displaystyle F (0) = \ {\}} ж ( 1 ) знак равно Икс {\ Displaystyle f (1) = X} F ( ж ) {\ Displaystyle F (е)} U {\ displaystyle U} Икс {\ displaystyle X} ж ( U ) {\ displaystyle f (U)} { } ж ( { } ) знак равно { } {\ Displaystyle \ {\} \ mapsto е (\ {\}) = \ {\}} {\ displaystyle \ mapsto} F ( ж ) {\ Displaystyle F (е)} ( F ( ж ) ) ( { } ) знак равно { } {\ Displaystyle (F (е)) (\ {\}) = \ {\}} { 0 } ж ( { 0 } ) знак равно { ж ( 0 ) } знак равно { { } } , { 1 } ж ( { 1 } ) знак равно { ж ( 1 ) } знак равно { Икс } , { 0 , 1 } ж ( { 0 , 1 } ) знак равно { ж ( 0 ) , ж ( 1 ) } знак равно { { } , Икс } . {\ Displaystyle \ {0 \} \ mapsto f (\ {0 \}) = \ {f (0) \} = \ {\ {\} \}, \ {1 \} \ mapsto f (\ {1 \ }) = \ {f (1) \} = \ {X \}, \ {0,1 \} \ mapsto f (\ {0,1 \}) = \ {f (0), f (1) \ } = \ {\ {\}, X \}.} ж ( { 0 , 1 } ) {\ Displaystyle е (\ {0,1 \})} Икс {\ displaystyle X} ж {\ displaystyle f} Икс {\ displaystyle X}

Двойное векторное пространство:карта, которая назначает каждому векторному пространству его двойственное пространство и каждой линейной карте его двойственное или транспонированное, является контравариантным функтором из категории всех векторных пространств над фиксированным полем к самому себе.

Фундаментальная группа: рассмотрим категорию точечных топологических пространств, то есть топологических пространств с выделенными точками. Объекты являются пары ( X, х 0), где Х представляет собой топологическое пространство, а х 0 является точкой в X. Морфизм из ( X, x 0) в ( Y, y 0) задается непрерывным отображением f  : X → Y с f ( x 0) = y 0.

Каждому топологическому пространству X с выделенной точкой x 0 можно определить фундаментальную группу, основанную на x 0, обозначенную π 1 ( X, x 0). Это группа из гомотопических классов петель, основанных на х 0, с групповой операцией конкатенации. Если f  : X → Y является морфизмом точечных пространств, то каждую петлю в X с базовой точкой x 0 можно составить с помощью f, чтобы получить петлю в Y с базовой точкой y 0. Эта операция совместима с отношением гомотопической эквивалентности и композицией петель, и мы получаем гомоморфизм групп из π ( X, x 0) в π ( Y, y 0). Таким образом, мы получаем функтор из категории точечных топологических пространств в категорию групп.

В категории топологических пространств (без выделенной точки) рассматриваются гомотопические классы общих кривых, но их нельзя составить, если они не имеют общего конца. Таким образом, вместо фундаментальной группы имеется фундаментальный группоид, и эта конструкция является функториальной.

Алгебра непрерывных функций: контравариантный функтор из категории топологических пространств (с непрерывными отображениями как морфизмы) в категорию вещественных ассоциативных алгебр задается путем сопоставления каждому топологическому пространству X алгебры C ( X) всех действительных непрерывных функций на этом пространстве. Каждое непрерывное отображение f  : X → Y индуцирует гомоморфизм алгебр C ( f): C ( Y) → C ( X) по правилу C ( f) ( φ) = φ ∘ f для любого φ из C ( Y).

Касательные и кокасательные расслоения: отображение, которое переводит каждое дифференцируемое многообразие в его касательное расслоение, а каждое гладкое отображение - в свою производную, является ковариантным функтором из категории дифференцируемых многообразий в категорию векторных расслоений.

Выполнение этих построений поточечно дает касательное пространство, ковариантный функтор из категории точечных дифференцируемых многообразий в категорию вещественных векторных пространств. Точно так же кокасательное пространство - это контравариантный функтор, по сути, композиция касательного пространства с двойственным пространством выше.

Групповые действия / представление: Каждая группу G можно рассматривать как категорию с одним объектом морфизмов являются элементами G. Функтор от G до Сета не то иное, как действие группы из G на определенном наборе, т.е. G -множество. Кроме того, функтор из G в категории векторных пространств, Vect K, является линейным представлением о G. В общем, функтор G → C можно рассматривать как «действия» G на объекте в категории C. Если C - группа, то это действие является гомоморфизмом групп.

Алгебры Ли: назначение каждой действительной (комплексной) группе Ли ее действительной (комплексной) алгебры Ли определяет функтор.

Тензорные произведения: если C обозначает категорию векторных пространств над фиксированным полем с линейными отображениями как морфизмы, то тензорное произведение определяет функтор C × C → C, ковариантный по обоим аргументам. V W {\ displaystyle V \ otimes W}

Забывчивые функторы: Функтор U  : Grp → Set, который отображает группу в ее базовое множество, а гомоморфизм группы в ее базовую функцию множеств, является функтором. Такие функторы, которые «забывают» некоторую структуру, называются функторами забывания. Другой пример - функтор Rng → Ab, который отображает кольцо в лежащую в его основе аддитивную абелеву группу. Морфизмы в Rng ( гомоморфизмы колец ) становятся морфизмами в Ab (гомоморфизмами абелевых групп).

Свободные функторы: движение в направлении, противоположном забывчивым функторам, - это свободные функторы. Свободный функтор F  : набор → Гр отправляет каждое множество X в свободной группе, порожденной X. Функции отображаются в гомоморфизмы групп между свободными группами. Для многих категорий существуют бесплатные конструкции, основанные на структурированных наборах. См. Бесплатный объект.

Гомоморфизмом группы: Для каждой пары А, Б из абелевых групп можно назначить абелеву группу Хом ( A, B), состоящее из всех гомоморфизмов группы от A до B. Это функтор, контравариантный по первому аргументу и ковариантный по второму аргументу, т. Е. Это функтор Ab op × Ab → Ab (где Ab обозначает категорию абелевых групп с гомоморфизмами групп). Если f  : A 1 → A 2 и g  : B 1 → B 2 - морфизмы в Ab, то гомоморфизм групп Hom ( f, g): Hom ( A 2, B 1) → Hom ( A 1, B 2) является задается формулой φ ↦ g ∘ φ ∘ f. См. Функтор Hom.

Представимые функторы: Мы можем обобщить предыдущий пример для любой категории C. Для каждой пары X, У объектов в C можно присвоить множество Hom ( X, Y) морфизмов из X в Y. Это определяет функтор Set, который контравариантен по первому аргументу и ковариантен по второму, т. Е. Это функтор C op × C → Set. Если F  : X 1 → X 2 и г  : Y 1 → Y 2 являются морфизмы в C, то отображение Хом ( е, г): Хомы ( Х 2, Y 1) → Хомы ( X 1, Y 2) дается выражением φ ↦ g ∘ φ ∘ f.

Подобные функторы называются представимыми. Во многих случаях важной целью является определение представимости данного функтора.

Характеристики

Два важных следствия аксиом функторов:

Можно составить функторы, то есть, если Р есть функтор из A к B и G является функтором из B в C, то можно образовать составной функтор G ∘ F от A до C. Состав функторов ассоциативен там, где он определен. Тождество композиции функторов - это тождественный функтор. Это показывает, что функторы можно рассматривать как морфизмы в категориях категорий, например в категории малых категорий.

Маленькая категория с одним объектом - это то же самое, что и моноид : морфизмы категории с одним объектом можно рассматривать как элементы моноида, а композиция в категории считается операцией моноида. Функторы между однообъектными категориями соответствуют гомоморфизмам моноидов. Таким образом, в некотором смысле функторы между произвольными категориями являются своего рода обобщением моноидных гомоморфизмов на категории с более чем одним объектом.

Отношение к другим категориальным понятиям

Пусть C и D категории. Совокупность всех функторов от C до D образует объекты категории: категории функторов. Морфизмы в этой категории - естественные преобразования между функторами.

Функторы часто определяются универсальными свойствами ; примерами являются тензорное произведение, прямая сумма и прямое произведение групп или векторных пространств, построение свободных групп и модулей, прямые и обратные пределы. Понятия предела и копредела обобщают некоторые из вышеперечисленных.

Универсальные конструкции часто порождают пары сопряженных функторов.

Компьютерные реализации

Основная статья: Functor (функциональное программирование)

Функторы иногда появляются в функциональном программировании. Например, в языке программирования Haskell есть класс, в Functor котором fmap есть политипическая функция, используемая для сопоставления функций ( морфизмов в Hask, категории типов Haskell) между существующими типами и функциями между некоторыми новыми типами.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

внешние ссылки

Последняя правка сделана 2023-03-20 09:58:59
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте