Универсальное свойство

Центральный объект изучения в теории категорий Типовая диаграмма определения универсального морфизма.

В теория категорий, раздел математики, универсальное свойство является важным свойством, которому удовлетворяет универсальный морфизм (см. Формальное определение). Универсальные морфизмы также можно рассматривать более абстрактно как начальные или конечные объекты из категории запятой (см. Связь с категориями запятых). Универсальные свойства встречаются в математике почти повсюду, и поэтому точная теоретико-категориальная концепция помогает указать на сходство между различными разделами математики, некоторые из которых могут даже показаться не связанными друг с другом.

Универсальные свойства могут неявно использоваться в других областях математики, но абстрактное и более точное определение их можно изучить в теории категорий.

В этой статье дается общее описание универсальных свойств. Чтобы понять концепцию, полезно сначала изучить несколько примеров, которых много: все свободные объекты, прямое произведение и прямая сумма, свободная группа, свободная решетка, группа Гротендика, завершение Дедекинда – МакНила, топология продукта, Stone– Компактификация Чеха, тензорное произведение, обратный предел и прямой предел, ядро ​​ и cokernel, откат, выталкивание и эквалайзер.

• 1 Мотивация
• 2 Формальное определение
• 3 Связь с категориями запятых
• 4 Примеры
  • 4.1 Тензорные алгебры
  • 4.2 Продукты
  • 4.3 Пределы и копределы
• 5 Свойства
  • 5.1 Существование и единственность
  • 5.2 Эквивалентные формулировки
  • 5.3 Связь с присоединенными функторами
• 6 История
• 7 См. Также
• 8 Примечания
• 9 Ссылки
• 10 Внешние ссылки

Прежде чем дать формальное определение универсальных свойств, мы предлагаем некоторая мотивация для изучения таких конструкций.

• Конкретные детали данной конструкции могут быть беспорядочными, но если конструкция удовлетворяет универсальному свойству, можно забыть обо всех этих деталях: все, что нужно знать о конструкции, уже содержится в универсальном свойстве. Доказательства часто становятся короткими и элегантными, если использовать универсальное свойство, а не конкретные детали. Например, тензорную алгебру векторного пространства на самом деле немного сложно построить, но использование ее универсального свойства значительно упрощает работу с ней.
• Универсальные свойства однозначно определять объекты до уникального изоморфизма . Следовательно, один из способов доказать, что два объекта изоморфны, - это показать, что они удовлетворяют одному и тому же универсальному свойству.
• Универсальные конструкции функциональны по своей природе: если можно выполнить построение для каждого объекта в категории C, то получается функтор на C. Кроме того, этот функтор является правым или левым сопряженным функтору U, используемому в определении универсального свойства.
• Универсальные свойства. встречаются повсюду в математике. Понимая их абстрактные свойства, можно получить информацию обо всех этих конструкциях и избежать повторения одного и того же анализа для каждого отдельного экземпляра.

Чтобы понять определение универсальной конструкции, важно посмотреть на примерах. Универсальные конструкции не были определены на пустом месте, а были определены после того, как математики начали замечать закономерность во многих математических конструкциях (см. Примеры ниже). Следовательно, определение может сначала не иметь смысла для человека, но станет ясным, когда его свяжут с конкретными примерами.

Пусть $F:\; C\; \to \; D\; \{\backslash \; displaystyle\; F:\; C\; \backslash \; to\; D\}$будет функтором между категориями $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$и $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$. Далее пусть $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$будет объектом $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$, а $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и $A\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \text{'}\}$являются объектами $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$.

Таким образом, функтор $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$карты $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, $A\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \text{'}\}$и $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$в $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$до $F\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (A)\}$, $F\; (A\; \text{'})\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (A\text{'})\}$и $F\; (h)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (h)\}$в $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$.

A универсальный морфизм из $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$до $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$- уникальная пара $(A,\; u:\; X\; \to \; F\; (A))\; \{\backslash \; displaystyle\; (A,\; u:\; X\; \backslash \; to\; F\; (A))\}$в $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$, который имеет следующее свойство, обычно называемое универсальным свойством . Для любого морфизма формы $f:\; X\; \to \; F\; (A\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; X\; \backslash \; to\; F\; (A\; \text{'})\}$in $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$существует уникальный морфизм $h:\; A\; \to \; A\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; h:\; A\; \backslash \; to\; A\; \text{'}\}$такой, что следующая диаграмма коммутирует :

. дуализируйте это категориальное понятие. A универсальный морфизм от $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$до $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$- это уникальная пара $(A,\; u:\; F\; (A)\; \to \; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; (A,\; u:\; F\; (A)\; \backslash \; to\; X)\}$, удовлетворяющий следующему универсальному свойству. Для любого морфизма формы $f:\; F\; (A\; \text{'})\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; F\; (A\text{'})\; \backslash \; to\; X\}$in $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$существует уникальный морфизм $h:\; A\; \prime \; \to \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; h:\; A\; \text{'}\backslash \; to\; A\}$такой, что следующая диаграмма коммутирует:

Обратите внимание, что в каждом определения стрелки перевернуты. Оба определения необходимы для описания универсальных конструкций, которые появляются в математике; но они также возникают из-за присущей теории категорий двойственности. В любом случае мы говорим, что пара $(A,\; u)\; \{\backslash \; displaystyle\; (A,\; u)\}$, которая ведет себя, как указано выше, удовлетворяет универсальному свойству.

В качестве примечания некоторые авторы представляют вторую диаграмму следующим образом.

Конечно, диаграммы такие же; Выбор способа написания - дело вкуса. Они просто отличаются поворотом на 180 градусов против часовой стрелки. Однако исходная диаграмма предпочтительнее, потому что она иллюстрирует двойственность между двумя определениями, поскольку ясно, что стрелки в каждом случае меняются местами.

Универсальные морфизмы можно более кратко описать как начальные и конечные объекты в категории запятых.

Пусть $F:\; C\; \to \; D\; \{\backslash \; displaystyle\; F:\; C\; \backslash \; to\; D\}$будет функтором и $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$объект $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$. Затем вспомните, что категория запятой $(X\; \downarrow \; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; (X\; \backslash \; downarrow\; F)\}$- это категория, где

• Объекты представляют собой пары вида $(B,\; f\; :\; X\; \to \; F\; (B))\; \{\backslash \; displaystyle\; (B,\; f:\; X\; \backslash \; to\; F\; (B))\}$, где $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$- объект в $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$
• морфизм из $(B,\; f:\; X\; \to \; F\; (B))\; \{\backslash \; displaystyle\; (B,\; f:\; X\; \backslash \; to\; F\; (B))\}$до $(B\; \text{'},\; f\text{'}:\; X\; \to \; F\; (B\; \text{'}))\; \{\backslash \; displaystyle\; (B\text{'},\; f\; \text{'}:\; X\; \backslash \; to\; F\; (B\text{'}))\}$задается морфизмом $h:\; B\; \to \; B\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; h:\; B\; \backslash \; to\; B\; \text{'}\}$в $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$такой, что диаграмма коммутирует:

Теперь предположим, что объект $(A,\; u:\; X\; \to \; F\; (A))\; \{\backslash \; displaystyle\; (A,\; u:\; X\; \backslash \; to\; F\; (A))\}$в $(X\; \downarrow \; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; (X\; \backslash \; downarrow\; F)\}$является начальным. Тогда для каждого объекта $(A\; \prime ,\; f:\; X\; \to \; F\; (A\; \prime ))\; \{\backslash \; displaystyle\; (A\; \text{'},\; f:\; X\; \backslash \; to\; F\; (A\text{'}))\}$существует уникальный морфизм $h:\; A\; \to \; A\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; h:\; A\; \backslash \; to\; A\; \text{'}\}$такой, что следующая диаграмма коммутирует.

Обратите внимание, что равенство здесь просто означает, что диаграммы совпадают. Также обратите внимание, что диаграмма справа от равенства точно такая же, как и диаграмма, предложенная для определения универсального морфизма от $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$до $F\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; F\}$. Следовательно, мы видим, что универсальный морфизм от $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$до $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$эквивалентен начальному объекту в категории запятой. $X\; \downarrow \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; downarrow\; F\}$.

И наоборот, напомним, что категория запятой $(F\; \downarrow \; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; (F\; \backslash \; downarrow\; X)\}$является категория, где

• Объекты представляют собой пары вида $(B,\; f:\; F\; (B)\; \to \; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; (B,\; f:\; F\; (B)\; \backslash \; to\; X)\}$где $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$- объект в $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$
• морфизм из $(B,\; f:\; F\; (B)\; \to \; X)\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; (B,\; е:\; F\; (B)\; \backslash \; к\; X)\}$к $(B\; \prime ,\; f\; \prime :\; F\; (B\; \prime )\; \to \; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; (B\; \text{'},\; f\text{'}\; :\; F\; (B\; \text{'})\; \backslash \; to\; X)\}$задается морфизмом $h:\; B\; \to \; B\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; h:\; B\; \backslash \; to\; B\text{'}\}$in $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$такой, что диаграмма коммутирует:

Предположим, $(A,\; u:\; F\; (A)\; \to \; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; (A,\; u:\; F\; (A)\; \backslash \; to\; X)\}$- конечный объект в $(F\; \downarrow \; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; (F\; \backslash \; down\; стрелка\; X)\}$. Тогда для каждого объекта $(A\; \text{'},\; f:\; F\; (A\text{'})\; \to \; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; (A\; \text{'},\; f:\; F\; (A\text{'})\; \backslash \; to\; X)\}$существует уникальный морфизм $h:\; A\; \prime \; \to \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; h:\; A\; \text{'}\backslash \; to\; A\}$такой, что следующие диаграммы коммутируют.

Диаграмма справа от равенства - это та же диаграмма, что и при определении универсального морфизма от $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$до $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \}$. Следовательно, универсальный морфизм от $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$до $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$соответствует конечному объекту в категории запятой $F\; \downarrow \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \backslash \; downarrow\; X\}$.

Ниже приведены несколько примеров, чтобы подчеркнуть общую идею. Читатель может построить множество других примеров, ознакомившись со статьями, упомянутыми во введении.

Тензорные алгебры

Пусть $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$будет категорией векторных пространств $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$-Vect по полю $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$и пусть $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$быть категорией алгебр $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$-Alg over $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$(предполагается, что единичный и ассоциативный ). Пусть

$U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$: $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$-Alg → $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$-Vect

будет забывчивый функтор, который присваивает каждой алгебре соответствующее векторное пространство.

Для любого векторного пространства $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$на $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$мы можем построить тензорная алгебра $T\; (V)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (V)\}$. Тензорная алгебра характеризуется следующим:

«Любое линейное отображение из $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$в алгебру $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$можно однозначно расширить до гомоморфизма алгебры от $T\; (V)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (V)\}$до $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$.”

Это оператор является исходным свойством тензорной алгебры, поскольку он выражает тот факт, что пара $(T\; (V),\; i)\; \{\backslash \; displaystyle\; (T\; (V),\; i)\}$, где $i:\; V\; \to \; U\; (T\; (V))\; \{\backslash \; displaystyle\; i:\; V\; \backslash \; to\; U\; (T\; (V))\}$- это карта включения, это универсальный морфизм из векторного пространства $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$в функтор $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$.

Поскольку эта конструкция работает для любого векторного пространства $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$, мы заключаем, что $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$является функтором от $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$-Vect до $К\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$-Alg . Это означает, что $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$остается смежным с функтором забывчивости $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$(см. Раздел ниже, посвященный отношению к присоединенным функторам).

Товары

A категориальный товар можно охарактеризовать универсальной конструкцией. Для конкретности можно рассмотреть декартово произведение в Set, прямое произведение в Grp или топология продукта в Top, где продукты существуют.

Пусть $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$будут объектами категории $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$с конечными произведениями. Произведение $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$- это объект $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$× $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$вместе с двумя морфизмами

$\pi \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{1\}\}$: $X\; \times \; Y\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; times\; Y\; \backslash \; to\; X\}$

$\pi \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{2\}\}$: $X\; \times \; Y\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; times\; Y\; \backslash \; to\; Y\}$

так, что для любого другого объекта $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; \}$из $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$и морфизмов $f:\; Z\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; Z\; \backslash \; to\; X\}$и $g:\; Z\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; g:\; Z\; \backslash \; to\; Y\}$существует уникальный морфизм $h:\; Z\; \to \; X\; \times \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; h:\; Z\; \backslash \; to\; X\; \backslash \; times\; Y\}$такое, что $f\; =\; \pi \; 1\; \circ \; h\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; \backslash \; pi\; \_\; \{1\}\; \backslash \; circ\; h\}$и $g\; =\; \pi \; 2\; \circ \; h\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; =\; \backslash \; pi\; \_\; \{2\}\; \backslash \; circ\; h\}$.

Чтобы понять эту характеристику как универсальное свойство, возьмите категорию $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$как категория продукта $D\; \times \; D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \backslash \; times\; D\}$и d определяет диагональный функтор

$\Delta :\; C\; \to \; C\; \times \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta:\; C\; \backslash \; to\; C\; \backslash \; times\; C\}$

с помощью $\Delta \; (X)\; =\; (X,\; X)\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Delta\; (X)\; =\; (X,\; X)\}$и $\Delta \; (f:\; X\; \to \; Y)\; =\; (f,\; f)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; (f:\; X\; \backslash \; to\; Y)\; =\; (е,\; е)\}$. Тогда $(X\; \times \; Y,\; (\pi \; 1,\; \pi \; 2))\; \{\backslash \; displaystyle\; (X\; \backslash \; times\; Y,\; (\backslash \; pi\; \_\; \{1\},\; \backslash \; pi\; \_\; \{2\}))\}$равно универсальный морфизм от $\Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\}$до объекта $(X,\; Y)\; \{\backslash \; displaystyle\; (X,\; Y)\}$of $D\; \times \; D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \backslash \; times\; D\}$: если $(f,\; g)\; \{\backslash \; displaystyle\; (f,\; g)\}$- это любой морфизм из $(\; Z,\; Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; (Z,\; Z)\}$до $(X,\; Y)\; \{\backslash \; displaystyle\; (X,\; Y)\}$, тогда он должен быть морфизмом $\Delta \; (час:\; Z\; \to \; X\; \times \; Y)\; =\; (час,\; час)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; (час:\; Z\; \backslash \; к\; X\; \backslash \; раз\; Y)\; =\; (час,\; час)\}$от $\Delta \; (Z)\; =\; (Z,\; Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; (Z)\; =\; (Z,\; Z)\}$до $\Delta \; (X\; \times \; Y)\; =\; (X\; \times \; Y,\; X\; \times \; Y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; (X\; \backslash \; times\; Y)\; =\; (X\; \backslash \; times\; Y,\; X\; \backslash \; times\; Y)\}$, за которым следует $(\pi \; 1,\; \pi \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; pi\; \_\; \{1\},\; \backslash \; pi\; \_\; \{2\})\}$.

Ограничения и ограничения

Категориальные продукты - это особый вид ограничения в теории категорий. Приведенный выше пример можно обобщить на произвольные пределы и копределы.

Пусть $J\; \{\backslash \; displaystyle\; J\}$и $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$будут категориями с $J\; \{\backslash \; displaystyle\; J\}$a small индекс категории, и пусть $CJ\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{J\}\}$будет соответствующей категорией функторов. Диагональный функтор

$\Delta :\; C\; \to \; CJ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta:\; C\; \backslash \; to\; C\; ^\; \{J\}\}$

- это функтор, который отображает каждый объект $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$в $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$к константному функтору $\Delta \; (N):\; J\; \to \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; (N):\; J\; \backslash \; to\; C\}$- $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$(т.е. $\Delta \; (N)\; (X)\; =\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; (N)\; (X)\; =\; N\}$для каждого $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$в $J\; \{\backslash \; displaystyle\; J\}$).

Дан функтор $F:\; J\; \to \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; F:\; J\; \backslash \; to\; C\}$(рассматривается как объект в $CJ\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{\; J\}\}$) предел $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$, если он существует, является не чем иным, как универсальным морфизмом из $\Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \}$до $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$. Соответственно, копредел $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$является универсальным морфизмом от $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$до $\Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \}$.

Существование и уникальность

Определение количества не гарантирует его существования. Дан функтор $F:\; C\; \to \; D\; \{\backslash \; displaystyle\; F:\; C\; \backslash \; to\; D\}$и объект $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$из $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$, может существовать или не существовать универсальный морфизм от $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$до $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$. Если, однако, универсальный морфизм $(A,\; u)\; \{\backslash \; displaystyle\; (A,\; u)\}$действительно существует, то он по сути уникален. В частности, это уникальный до уникальный изоморфизм : if $(A\; \prime ,\; u\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; (A\; \text{'},\; u\text{'})\}$- другая пара, то существует уникальный изоморфизм $k:\; A\; \to \; A\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; k:\; A\; \backslash \; to\; A\; \text{'}\}$такой, что $u\; \prime \; =\; F\; (k)\; \circ \; и\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \text{'}=\; F\; (k)\; \backslash \; circ\; u\}$. Это легко увидеть, подставив в определение универсального морфизма $(A,\; u\; \text{'})\; \{\backslash \; displaystyle\; (A,\; u\text{'})\}$.

Это пара $(A,\; u)\; \{\backslash \; displaystyle\; (A,\; u)\}$, которая по сути уникальна в этом отношении. Сам объект $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$уникален только с точностью до изоморфизма. В самом деле, если $(A,\; u)\; \{\backslash \; displaystyle\; (A,\; u)\}$- универсальный морфизм и $k:\; A\; \to \; A\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; k:\; A\; \backslash \; to\; A\; \text{'}\; \}$- любой изоморфизм, тогда пара $(A\; \prime ,\; u\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; (A\; \text{'},\; u\text{'})\}$, где $u\; \prime \; =\; F\; (\; k)\; \circ \; u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \text{'}=\; F\; (k)\; \backslash \; circ\; u\}$также является универсальным морфизмом.

Эквивалентные формулировки

Определение универсального морфизма можно перефразировать различными способами. Пусть $F:\; C\; \to \; D\; \{\backslash \; displaystyle\; F:\; C\; \backslash \; to\; D\}$будет функтором, а $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$будет объектом $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

• $(A,\; u)\; \{\backslash \; displaystyle\; (A,\; u)\}$- универсальный морфизм из $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$to $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$
• $(A,\; u)\; \{\backslash \; displaystyle\; (A,\; u)\}$- начальный объект из категории запятой $(X\; \downarrow \; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; (X\; \backslash \; downarrow\; F)\}$
• $(A,\; u)\; \{\backslash \; displaystyle\; (A,\; u)\}$представляет собой представление из $Hom\; D\; (X,\; F\; (-))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Hom\}\}\; \_\; \{D\}\; (X,\; F\; (-))\}$

Двойные утверждения также эквивалентны:

• $(A,\; u)\; \{\backslash \; displaystyle\; (A,\; u)\}$- универсальный морфизм от $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$до $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$
• $(A,\; u)\; \{\backslash \; displaystyle\; (A,\; u)\}$- это конечный объект категории запятой $(F\; \downarrow \; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; (F\; \backslash \; downarrow\; X)\}$
• $(A,\; u)\; \{\backslash \; displaystyle\; (A,\; u)\}$представляет собой представление $Hom\; D\; (F\; (-),\; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Hom\}\}\; \_\; \{D\}\; (F\; (-),\; X)\}$

Отношение к присоединенным функторам

Предположим, что $(A\; 1,\; u\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (A\_\; \{1\},\; u\_\; \{1\})\}$- универсальный морфизм из $X\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{1\}\}\; От$до $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$и $(A\; 2,\; u\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; (A\_\; \{2\},\; u\_\; \{2\})\}$- универсальный морфизм от $X\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{2\}\}$до $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$. По универсальному свойству универсальных морфизмов для любого морфизма $h:\; X\; 1\; \to \; X\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; h:\; X\_\; \{1\}\; \backslash \; to\; X\_\; \{2\}\}$существует уникальный морфизм $g:\; A\; 1\; \to \; A\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; g:\; A\_\; \{1\}\; \backslash \; to\; A\_\; \{2\}\}$так, что следующая диаграмма коммутирует:

Если каждый объект $X\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{i\}\}$из $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$допускает универсальный морфизм в $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$, тогда присвоение $Икс\; я\; \mapsto \; A\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{i\}\; \backslash \; mapsto\; A\_\; \{i\}\}$и $h\; \mapsto \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; \backslash \; mapsto\; g\}$определяет функтор $G:\; D\; \to \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; G:\; D\; \backslash \; to\; C\}$. Карты $ui\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{i\}\}$затем определяют естественное преобразование из $1\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\_\; \{C\}\}$(функтор идентичности на $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$) до $F\; \circ \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \backslash \; circ\; G\}$. Тогда функторы $(F,\; G)\; \{\backslash \; displaystyle\; (F,\; G)\}$представляют собой пару сопряженных функторов с $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$сопряжено слева с $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$и $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$справа, сопряжено с $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$.

Подобные утверждения применимы к двойственной ситуации терминальных морфизмов из $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$. Если такие морфизмы существуют для каждого $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$в $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$, получается функтор $G:\; C\; \to \; D\; \{\; \backslash \; displaystyle\; G:\; C\; \backslash \; to\; D\}$, который примыкает справа к $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$(поэтому $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$сопряжен слева с $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$).

Действительно, все пары сопряженных функторов возникают таким образом из универсальных конструкций. Пусть $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$и $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$будет парой сопряженных функторов с единицей $\eta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\}$и со-единица $ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\}$(определения см. В статье о сопряженных функторах ). Тогда у нас есть универсальный морфизм для каждого объекта в $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$и $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$:

• для каждого объекта $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$в $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$, $(F\; (X),\; \eta \; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; (F\; (X),\; \backslash \; eta\; \_\; \{X\})\}$- универсальный морфизм от $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$до $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$. То есть для всех $f:\; X\; \to \; G\; (Y)\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; X\; \backslash \; to\; G\; (Y)\}$существует уникальный $g:\; F\; (X)\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; g:\; F\; (X)\; \backslash \; to\; Y\}$, для которого коммутируют следующие диаграммы.
• Для каждого объекта $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$in $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$, $(G\; (Y),\; \eta \; Y)\; \{\backslash \; displaystyle\; (G\; (Y),\; \backslash \; eta\; \_\; \{Y\})\}$- универсальный морфизм из $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$до $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$. То есть для всех $g:\; F\; (X)\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; g:\; F\; (X)\; \backslash \; to\; Y\}$существует уникальный $f:\; X\; \to \; G\; (Y)\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; X\; \backslash \; to\; G\; (Y)\}$, для которых коммутируют следующие диаграммы.

Универсальные конструкции более общие, чем сопряженные пары функторов: универсальная конструкция подобна задаче оптимизации; он порождает присоединенную пару тогда и только тогда, когда эта проблема имеет решение для каждого объекта $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$(эквивалентно, каждый объект $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$).

Универсальные свойства различных топологических конструкций были представлены Пьером Самуэлем в 1948 году. Позже они широко использовались Бурбаки. Тесно связанная концепция сопряженных функторов была введена независимо Дэниелом Каном в 1958 году.

• Портал математики

• Свободный объект
• Естественное преобразование
• Присоединенный функтор
• Монада (теория категорий)
• Разнообразие алгебр
• Декартова замкнутая категория

1. ^Джейкобсон (2009), Предложение 1.6, с. 44.
2. ^См., Например, Polcino Sehgal (2002), стр. 133. Упражнение 1 об универсальном свойстве групповых колец.

• Пол Кон, Универсальная алгебра (1981), D.Reidel Publishing, Голландия. ISBN 90-277-1213-1.
• Mac Lane, Saunders (1998). Категории для рабочего математика. Тексты для выпускников по математике 5 (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-98403-8. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Borceux, F. Справочник по категориальной алгебре: vol 1 Basic теория категорий (1994) Cambridge University Press, (Энциклопедия математики и ее приложений) ISBN 0-521-44178-1
• Н. Бурбаки, Livre II: Algèbre (1970), Hermann, ISBN 0-201-00639-1.
• Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K.. Введение в групповые кольца. Алгебры и приложения, Том 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0
• Jacobson. Basic Algebra II. Dover. 2009. ISBN 0-486-47187-X

• nLab, вики-проект по математике, физике и философии с упором на n-категориальную точку зрения
• Андре Джойал, CatLab, вики-проект, посвященный описанию категориальной математики
• Хиллман, Крис. «Категориальный учебник». CiteSeerX 10.1.1.24.3264 : Для цитирования журнала требуется | journa l =() формальное введение в теорию категорий.
• J. Адамек, Х. Херрлих, Г. Штекер, Абстрактные и конкретные категории - радость кошек
• Стэнфордская энциклопедия философии : «Теория категорий » - Жан-Пьер Маркиз. Обширная библиография.
• Список научных конференций по теории категорий
• Баез, Джон, 1996, «Повесть о n-категориях. » Неформальное введение в категории более высокого порядка.
• WildCats - это пакет теории категорий для Mathematica. Манипулирование и визуализация объектов, морфизмы, категории, функторы, естественные преобразования, универсальные свойства.
• The catsters, канал на YouTube о теории категорий.
• "Теория категорий". PlanetMath.
• Видеоархив записанных бесед, относящихся к категориям, логике и основам физики.
• Интерактивная веб-страница, которая генерирует примеры категориальных конструкций в категории конечных множеств.