Прямое произведение

редактировать

В математике часто можно определить прямое произведение уже известных объектов, давая новый. Это обобщает декартово произведение базовых наборов вместе с соответствующим образом определенной структурой набора произведений. Говоря более абстрактно, мы говорим о продукте в теории категорий, которая формализует эти понятия.

Примеры - это произведение наборов, групп (описанных ниже), колец и других алгебраических структур. Другой пример - произведение из топологических пространств.

Существует также прямая сумма - в некоторых областях это используется взаимозаменяемо, в то время как в других это другое понятие.

Содержание

1 Примеры
2 Группировать прямое произведение
3 Прямое произведение модулей
4 Топологическое пространство прямое произведение
5 Прямое произведение бинарных отношений
6 Прямое произведение в универсальной алгебре
7 Категориальный продукт
8 Внутренний и внешний прямой продукт
9 Метрика и нормы
10 См. Также
11 Примечания
12 Ссылки

Примеры

Если мы подумаем о $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ как набор действительных чисел, тогда прямое произведение $R × R {\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} }$ $\ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}$ - это просто декартово произведение ${(x, y) ∣ x, y ∈ R} {\ displaystyle \ {(x, y) \ mid x, y \ in \ mathbb {R} \}}$ ${\ displaystyle \ {(x, y) \ mid x, y \ in \ mathbb {R} \}}$ .
Если мы подумаем о $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ как о группе действительных чисел при сложении, тогда прямое произведение $R × R {\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}$ все еще имеет ${(x, y) ∣ x, y ∈ R} {\ displaystyle \ {( x, y) \ mid x, y \ in \ mathbb {R} \}}$ ${\ displaystyle \ {(x, y) \ mid x, y \ in \ mathbb {R} \}}$ как его базовый набор. Разница между этим и предыдущим примером заключается в том, что $R × R {\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}$ теперь является группой, и поэтому мы также должны сказать как добавить свои элементы. Это делается путем определения $(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) {\ displaystyle (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)}$ $(a, b) + ( c, d) = (a + c, b + d)$ .
Если мы подумаем о $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ как о кольце действительных чисел, тогда прямое произведение $R × R {\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}$ снова имеет ${(x, y) ∣ x, y ∈ R} {\ displaystyle \ {(x, y) \ mid x, y \ in \ mathbb {R} \}}$ ${\ displaystyle \ {(x, y) \ mid x, y \ in \ mathbb {R} \}}$ в качестве базового набора. Кольцо кольцевой структуры состоит из сложения, определяемого формулой $(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) {\ displaystyle (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)}$ $(a, b) + ( c, d) = (a + c, b + d)$ и умножение, определенное как $(a, b) (c, d) = (ac, bd) {\ displaystyle (a, b) (c, d) = (ac, bd)}$ $(a, b) (c, d) = (ac, bd)$ .
Однако, если мы подумаем о $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ как о поле действительных чисел, тогда прямого произведения $R × R {\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}$ не существует - наивное определение сложения и умножения покомпонентно, как в приведенном выше примере, не приведет к поле, поскольку элемент $(1, 0) {\ displaystyle (1,0)}$ $(1,0)$ не имеет мультипликативного обратного.

. Аналогичным образом мы можем говорить о прямом произведение конечного числа алгебраических структур, например $R × R × R × R {\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}$ . Это основано на том факте, что прямой продукт является ассоциативным вплоть до изоморфизмом. То есть $(A × B) × C ≅ A × (B × C) {\ displaystyle (A \ times B) \ times C \ cong A \ times (B \ times C)}$ ${\ displaystyle (A \ times B) \ times C \ cong A \ times (B \ times C)}$ для любых алгебраических структур $A {\ displaystyle A}$ $A$ , $B {\ displaystyle B}$ $B$ и $C {\ displaystyle C}$ $C$ того же типа. Прямое произведение также коммутативно с точностью до изоморфизма, то есть $A × B ≅ B × A {\ displaystyle A \ times B \ cong B \ times A}$ ${\ displaystyle A \ times B \ cong B \ times A}$ для любого алгебраического структуры $A {\ displaystyle A}$ $A$ и $B {\ displaystyle B}$ $B$ одного типа. Мы можем даже говорить о прямом произведении бесконечного множества алгебраических структур; например, мы можем взять прямое произведение счетного множества копий $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ , которое мы запишем как $R × R × R × ⋯ {\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ times \ dotsb}$ $\ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ times \ dotsb$ .

Прямое произведение группы

В теории групп можно определить прямое произведение двух групп (G, ∘) и (H, ∙), обозначенное G × H. Для абелевых групп, которые записываются аддитивно, его также можно назвать прямая сумма двух групп, обозначаемая $G ⊕ H {\ displaystyle G \ oplus H}$ $G \ opl нам H$ .

Она определяется следующим образом:

набор элементов новая группа - это декартово произведение множеств элементов из G и H, то есть {(g, h): g ∈ G, h ∈ H};
на эти элементы поместите операцию, определенный элемент -в смысле:
(g, h) × (g ', h') = (g ∘ g ', h ∙ h')

(Обратите внимание, что (G, ∘) может быть таким же, как (H, ∙))

Эта конструкция дает новую группу. Он имеет нормальную подгруппу, изоморфную G (заданную элементами формы (g, 1)), и одну изоморфную H (содержащую элементы (1, h)).

Обратное также верно, существует следующая теорема распознавания: если группа K содержит две нормальные подгруппы G и H, такие что K = GH и пересечение G и H содержит только единицу, то K является изоморфна G × H. Ослабление этих условий, требующее, чтобы только одна подгруппа была нормальной, дает полупрямое произведение.

В качестве примера возьмем в качестве G и H две копии единственной (с точностью до изоморфизмов) группы порядка 2, C 2 : скажем {1, a} и {1, b}. Тогда C 2×C2= {(1,1), (1, b), (a, 1), (a, b)} с операцией поэлементно. Например, (1, b) * (a, 1) = (1 * a, b * 1) = (a, b) и (1, b) * (1, b) = (1, b) = (1,1).

С прямым произведением мы бесплатно получаем некоторые естественные гомоморфизмы групп : отображения проекций определяют как

π 1: G × H → G, π 1 (g, h) знак равно г π 2: G × H → H, π 2 (g, h) = h {\ displaystyle {\ begin {align} \ pi _ {1}: G \ times H \ to G, \ \ \ pi _ { 1} (g, h) = g \\\ pi _ {2}: G \ times H \ to H, \ \ \ pi _ {2} (g, h) = h \ end {выровнено}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ pi _ {1}: G \ times H \ to G, \ \ \ pi _ {1} (g, h) = g \\\ pi _ {2}: G \ times H \ to H, \ \ \ pi _ {2} (g, h) = h \ конец {выровнен}}}

называется координатными функциями .

Кроме того, каждый гомоморфизм f к прямому произведению полностью определяется его составляющими функциями $fi = π i ∘ f {\ displaystyle f_ {i} = \ pi _ { i} \ circ f}$ $f_ {i} = \ pi _ {i} \ circ f$ .

Для любой группы (G, ∘) и любого целого числа n ≥ 0 повторное применение прямого произведения дает группу всех n- кортежей G (для n = 0 мы получаем тривиальную группу ), например Z и R.

Прямое произведение модулей

Прямое произведение для модулей (не для (путать с тензорным произведением ) очень похож на тот, который определен для групп выше, с использованием декартового произведения с операцией сложения, последовательно, а скалярное умножение просто распределяется по всем компонентам. Начиная с R мы получаем евклидово пространство R, прототипный пример реального n-мерного векторного пространства. Прямое произведение R и R равно R.

. Обратите внимание, что прямое произведение для конечного индекса $∏ i = 1 n X i {\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}}$ $\ prod _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}$ идентично прямой сумме $⨁ i = 1 n X i {\ displaystyle \ bigoplus _ {i = 1 } ^ {n} X_ {i}}$ $\ bigoplus _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}$ . Прямая сумма и прямое произведение различаются только для бесконечных индексов, где элементы прямой суммы равны нулю для всех, кроме конечного числа элементов. Они двойственны в смысле теории категорий : прямая сумма - это копродукт, а прямой продукт - это продукт.

Например, рассмотрим $X = ∏ i = 1 ∞ R {\ displaystyle X = \ prod _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {R}}$ $X = \ prod _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {R}$ и $Y = ⨁ i = 1 ∞ R {\ displaystyle Y = \ bigoplus _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {R}}$ $Y = \ bigoplus _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {R}$ , бесконечное прямое произведение и прямое сумма действительных чисел. Только последовательности с конечным числом ненулевых элементов находятся в Y. Например, (1,0,0,0,...) находится в Y, но (1,1,1,1,...) не. Обе эти последовательности находятся в прямом произведении X; на самом деле Y является собственным подмножеством X (то есть Y ⊂ X).

Прямое произведение топологического пространства

Прямое произведение для набора топологических пространств Xiдля i в I, некоторый набор индексов, снова использует декартово произведение

∏ i ∈ IX i. {\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} X_ {i}.}

\ prod _ {i \ in I} X_ {i}.

Определение топологии немного сложно. Для конечного числа факторов это очевидный и естественный поступок: просто возьмем в качестве базиса открытых множеств набор всех декартовых произведений открытых подмножеств каждого фактора:

B = { U 1 × ⋯ × U n | U i o p e n i n X i}. {\ Displaystyle {\ mathcal {B}} = \ {U_ {1} \ times \ cdots \ times U_ {n} \ | \ U_ {i} \ \ mathrm {open \ in} \ X_ {i} \}. }

{\ mathcal {B}} = \ {U_ {1} \ times \ cdots \ times U_ {n} \ | \ U_ {i} \ mathrm {open \ in} \ X_ {i} \}.

Эта топология называется топологией продукта. Например, прямое определение топологии продукта на R открытыми наборами R (непересекающиеся объединения открытых интервалов), основа этой топологии будет состоять из всех непересекающихся объединений открытых прямоугольников. на плоскости (как выясняется, совпадает с обычной метрической топологией).

Топология продукта для бесконечных продуктов имеет изюминку, и это связано с возможностью сделать все карты проекций непрерывными и сделать все функции в продукте непрерывными тогда и только тогда, когда все его составляющие функции являются непрерывными. (то есть для удовлетворения категориального определения продукта: морфизмы здесь являются непрерывными функциями): мы берем за основу открытых множеств совокупность всех декартовых произведений открытых подмножеств каждого фактора, как и раньше, при условии, что все, кроме конечное число открытых подмножеств составляют целый фактор:

B = {∏ i ∈ IU i | (∃ j 1,…, j n) (U j i o p e n i n X j i) и n d (∀ i ≠ j 1,…, j n) (U i = X i)}. {\ Displaystyle {\ mathcal {B}} = \ left \ {\ prod _ {я \ in I} U_ {i} \ {\ Big |} \ (\ существует j_ {1}, \ ldots, j_ {n}) (U_ {j_ {i}} \ \ mathrm {open \ in} \ X_ {j_ {i}}) \ \ mathrm {и} \ (\ forall i \ neq j_ {1}, \ ldots, j_ {n }) (U_ {i} = X_ {i}) \ right \}.}

{\ mathcal {B}} = \ left \ {\ prod _ {i \ in I} U_ {i} \ {\ Big |} \ ( \ существует j_ {1}, \ ldots, j_ {n}) (U_ {j_ {i}} \ \ mathrm {open \ in} \ X_ {j_ {i}}) \ \ mathrm {и} \ (\ forall i \ neq j_ {1}, \ ldots, j_ {n}) (U_ {i} = X_ {i}) \ right \}.

В этом случае более естественной топологией было бы брать произведения бесконечно большого числа открытых подмножеств, как и раньше, и это действительно дает несколько интересная топология, блочная топология . Однако не так уж сложно найти пример группы непрерывных компонентных функций, функция продукта которых не является непрерывной (см. Топологию отдельного окна ввода для примера и многое другое). Проблема, которая делает такой поворот необходимым, в конечном итоге коренится в том факте, что пересечение открытых множеств гарантированно будет открытым только для конечного числа множеств в определении топологии.

Продукты (с топологией продукта) хороши тем, что сохраняют свойства своих факторов; например, Хаусдорфово произведение пространств Хаусдорфа; произведение связных пространств связно, а произведение компактных пространств компактно. Последняя, называемая теорема Тихонова, является еще одним эквивалентом аксиомы выбора .

Дополнительные свойства и эквивалентные формулировки см. В отдельной статье топология продукта.

Прямое произведение бинарных отношений

На декартовом произведении двух множеств с бинарными отношениями R и S, определите (a, b) T (c, d) как aRc и bSd. Если R и S оба рефлексивны, иррефлексивны, транзитивны, симметричны или антисимметричны, то T будет быть также. Комбинируя свойства, следует, что это также применимо для того, чтобы быть предварительным заказом и быть отношением эквивалентности. Однако, если R и S являются отношениями итогов, T не является общим итогом.

Прямое произведение в универсальной алгебре

Если Σ - фиксированная сигнатура, I - произвольный (возможно, бесконечный) набор индексов, и (Ai)i∈I - это индексированное семейство Σ-алгебр, прямое произведение A= ∏ i∈I Ai- Σ-алгебра, определенная следующим образом:

Множество юниверсов A из A - это декартово произведение множеств вселенной A i из Ai, формально: A = ∏ i∈I Ai;
для каждого n и каждого n -арного символа операции f ∈ Σ, его интерпретация f в A определена покомпонентно, формально: для всех a 1,..., a n ∈ A и для каждого i ∈ I i-я компонента f (a 1,..., a n) определяется как f (a 1 (i),..., a n (i)).

Для каждого i ∈ I i-я проекция π i : A → A i равна определяется как π i (a) = a (i). Это сюръективный гомоморфизм между Σ-алгебрами A и Ai.

В качестве особого случая, если индексное множество I = {1, 2}, прямое произведение двух Σ алгебр A1и A2равно o Получено, записано как A= A1× A2. Если Σ содержит только одну двоичную операцию f, выше определение прямого произведения групп получается с использованием обозначения A 1 = G, A 2 = H, f = ∘, f = ∙ и f = ×. Точно так же сюда включается определение прямого произведения модулей.

Категориальный продукт

Непосредственный продукт может быть отнесен к произвольной категории. В общей категории, учитывая набор объектов A i и набор морфизмов piот A до A i, где i находится в некотором наборе индексов I, объект A называется категориальным продуктом в категории, если для любого объекта B и любого набора морфизмов f i от B до A i существует существует уникальный морфизм f из B в A такой, что f i = p i f и этот объект A уникален. Это работает не только для двух факторов, но и для произвольно (даже бесконечно) многих.

Для групп мы аналогичным образом определяем прямое произведение более общего, произвольного набора групп G i для i в I, I - индексном множестве. Обозначая декартово произведение групп через G, мы определяем умножение на G с помощью операции покомпонентного умножения; и соответствующие p i в приведенном выше определении - это карты проекции

π i: G → G iby π i (g) = gi {\ displaystyle \ pi _ {i} \ двоеточие G \ в G_ {i} \ quad \ mathrm {by} \ quad \ pi _ {i} (g) = g_ {i}}

\ pi _ {i} \ двоеточие G \ к G_ {i} \ quad \ mathrm {by} \ quad \ pi _ {i} (g) = g_ {i}

функции, которые принимают $(gj) j ∈ I {\ displaystyle (g_ {j}) _ {j \ in I}}$ $(g_ {j}) _ {j \ in I}$ к его i-му компоненту g i.

Внутренний и внешний прямой продукт

Некоторые авторы проводят различие между внутренним прямым продуктом и внешний прямой продукт. Если $A, B ⊂ X {\ displaystyle A, B \ subset X}$ $A, B \ подмножество X$ и $A × B ≅ X { \ displaystyle A \ times B \ cong X}$ $A \ times B \ cong X$ , тогда мы говорим, что X является внутренним прямым произведением A и B, в то время как если A и B не являются подобъектами, мы говорим, что это внешний прямой продукт.

Метрика и норма

Метрика на декартовом произведении метрических пространств и норма на прямом произведении нормированных векторных пространств может быть определена различными способами, см., Например, p-norm.

См. также

Примечания

^W., Weisstein, Eric. "Прямой продукт". mathworld.wolfram.com. Проверено 10 февраля 2018 г.
^W., Weisstein, Eric. «Групповой прямой продукт». mathworld.wolfram.com. Проверено 10 февраля 2018 г.
^Эквивалентность и порядок
^Стэнли Н. Беррис и Х.П. Sankappanavar, 1981. Курс универсальной алгебры. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2. Здесь: Def.7.8, p.53 (= p. 67 в файле pdf)

Ссылки

Lang, Serge (2002), Algebra, Тексты для выпускников по математике, 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556