В математике часто можно определить прямое произведение уже известных объектов, давая новый. Это обобщает декартово произведение базовых наборов вместе с соответствующим образом определенной структурой набора произведений. Говоря более абстрактно, мы говорим о продукте в теории категорий, которая формализует эти понятия.
Примеры - это произведение наборов, групп (описанных ниже), колец и других алгебраических структур. Другой пример - произведение из топологических пространств.
Существует также прямая сумма - в некоторых областях это используется взаимозаменяемо, в то время как в других это другое понятие.
. Аналогичным образом мы можем говорить о прямом произведение конечного числа алгебраических структур, например . Это основано на том факте, что прямой продукт является ассоциативным вплоть до изоморфизмом. То есть для любых алгебраических структур , и того же типа. Прямое произведение также коммутативно с точностью до изоморфизма, то есть для любого алгебраического структуры и одного типа. Мы можем даже говорить о прямом произведении бесконечного множества алгебраических структур; например, мы можем взять прямое произведение счетного множества копий , которое мы запишем как .
В теории групп можно определить прямое произведение двух групп (G, ∘) и (H, ∙), обозначенное G × H. Для абелевых групп, которые записываются аддитивно, его также можно назвать прямая сумма двух групп, обозначаемая .
Она определяется следующим образом:
(Обратите внимание, что (G, ∘) может быть таким же, как (H, ∙))
Эта конструкция дает новую группу. Он имеет нормальную подгруппу, изоморфную G (заданную элементами формы (g, 1)), и одну изоморфную H (содержащую элементы (1, h)).
Обратное также верно, существует следующая теорема распознавания: если группа K содержит две нормальные подгруппы G и H, такие что K = GH и пересечение G и H содержит только единицу, то K является изоморфна G × H. Ослабление этих условий, требующее, чтобы только одна подгруппа была нормальной, дает полупрямое произведение.
В качестве примера возьмем в качестве G и H две копии единственной (с точностью до изоморфизмов) группы порядка 2, C 2 : скажем {1, a} и {1, b}. Тогда C 2×C2= {(1,1), (1, b), (a, 1), (a, b)} с операцией поэлементно. Например, (1, b) * (a, 1) = (1 * a, b * 1) = (a, b) и (1, b) * (1, b) = (1, b) = (1,1).
С прямым произведением мы бесплатно получаем некоторые естественные гомоморфизмы групп : отображения проекций определяют как
называется координатными функциями .
Кроме того, каждый гомоморфизм f к прямому произведению полностью определяется его составляющими функциями .
Для любой группы (G, ∘) и любого целого числа n ≥ 0 повторное применение прямого произведения дает группу всех n- кортежей G (для n = 0 мы получаем тривиальную группу ), например Z и R.
Прямое произведение для модулей (не для (путать с тензорным произведением ) очень похож на тот, который определен для групп выше, с использованием декартового произведения с операцией сложения, последовательно, а скалярное умножение просто распределяется по всем компонентам. Начиная с R мы получаем евклидово пространство R, прототипный пример реального n-мерного векторного пространства. Прямое произведение R и R равно R.
. Обратите внимание, что прямое произведение для конечного индекса идентично прямой сумме . Прямая сумма и прямое произведение различаются только для бесконечных индексов, где элементы прямой суммы равны нулю для всех, кроме конечного числа элементов. Они двойственны в смысле теории категорий : прямая сумма - это копродукт, а прямой продукт - это продукт.
Например, рассмотрим и , бесконечное прямое произведение и прямое сумма действительных чисел. Только последовательности с конечным числом ненулевых элементов находятся в Y. Например, (1,0,0,0,...) находится в Y, но (1,1,1,1,...) не. Обе эти последовательности находятся в прямом произведении X; на самом деле Y является собственным подмножеством X (то есть Y ⊂ X).
Прямое произведение для набора топологических пространств Xiдля i в I, некоторый набор индексов, снова использует декартово произведение
Определение топологии немного сложно. Для конечного числа факторов это очевидный и естественный поступок: просто возьмем в качестве базиса открытых множеств набор всех декартовых произведений открытых подмножеств каждого фактора:
Эта топология называется топологией продукта. Например, прямое определение топологии продукта на R открытыми наборами R (непересекающиеся объединения открытых интервалов), основа этой топологии будет состоять из всех непересекающихся объединений открытых прямоугольников. на плоскости (как выясняется, совпадает с обычной метрической топологией).
Топология продукта для бесконечных продуктов имеет изюминку, и это связано с возможностью сделать все карты проекций непрерывными и сделать все функции в продукте непрерывными тогда и только тогда, когда все его составляющие функции являются непрерывными. (то есть для удовлетворения категориального определения продукта: морфизмы здесь являются непрерывными функциями): мы берем за основу открытых множеств совокупность всех декартовых произведений открытых подмножеств каждого фактора, как и раньше, при условии, что все, кроме конечное число открытых подмножеств составляют целый фактор:
В этом случае более естественной топологией было бы брать произведения бесконечно большого числа открытых подмножеств, как и раньше, и это действительно дает несколько интересная топология, блочная топология . Однако не так уж сложно найти пример группы непрерывных компонентных функций, функция продукта которых не является непрерывной (см. Топологию отдельного окна ввода для примера и многое другое). Проблема, которая делает такой поворот необходимым, в конечном итоге коренится в том факте, что пересечение открытых множеств гарантированно будет открытым только для конечного числа множеств в определении топологии.
Продукты (с топологией продукта) хороши тем, что сохраняют свойства своих факторов; например, Хаусдорфово произведение пространств Хаусдорфа; произведение связных пространств связно, а произведение компактных пространств компактно. Последняя, называемая теорема Тихонова, является еще одним эквивалентом аксиомы выбора .
Дополнительные свойства и эквивалентные формулировки см. В отдельной статье топология продукта.
На декартовом произведении двух множеств с бинарными отношениями R и S, определите (a, b) T (c, d) как aRc и bSd. Если R и S оба рефлексивны, иррефлексивны, транзитивны, симметричны или антисимметричны, то T будет быть также. Комбинируя свойства, следует, что это также применимо для того, чтобы быть предварительным заказом и быть отношением эквивалентности. Однако, если R и S являются отношениями итогов, T не является общим итогом.
Если Σ - фиксированная сигнатура, I - произвольный (возможно, бесконечный) набор индексов, и (Ai)i∈I - это индексированное семейство Σ-алгебр, прямое произведение A= ∏ i∈I Ai- Σ-алгебра, определенная следующим образом:
Для каждого i ∈ I i-я проекция π i : A → A i равна определяется как π i (a) = a (i). Это сюръективный гомоморфизм между Σ-алгебрами A и Ai.
В качестве особого случая, если индексное множество I = {1, 2}, прямое произведение двух Σ алгебр A1и A2равно o Получено, записано как A= A1× A2. Если Σ содержит только одну двоичную операцию f, выше определение прямого произведения групп получается с использованием обозначения A 1 = G, A 2 = H, f = ∘, f = ∙ и f = ×. Точно так же сюда включается определение прямого произведения модулей.
Непосредственный продукт может быть отнесен к произвольной категории. В общей категории, учитывая набор объектов A i и набор морфизмов piот A до A i, где i находится в некотором наборе индексов I, объект A называется категориальным продуктом в категории, если для любого объекта B и любого набора морфизмов f i от B до A i существует существует уникальный морфизм f из B в A такой, что f i = p i f и этот объект A уникален. Это работает не только для двух факторов, но и для произвольно (даже бесконечно) многих.
Для групп мы аналогичным образом определяем прямое произведение более общего, произвольного набора групп G i для i в I, I - индексном множестве. Обозначая декартово произведение групп через G, мы определяем умножение на G с помощью операции покомпонентного умножения; и соответствующие p i в приведенном выше определении - это карты проекции
функции, которые принимают к его i-му компоненту g i.
Некоторые авторы проводят различие между внутренним прямым продуктом и внешний прямой продукт. Если и , тогда мы говорим, что X является внутренним прямым произведением A и B, в то время как если A и B не являются подобъектами, мы говорим, что это внешний прямой продукт.
Метрика на декартовом произведении метрических пространств и норма на прямом произведении нормированных векторных пространств может быть определена различными способами, см., Например, p-norm.