Тензорное устройство модулей

редактировать

В математике тензорное устройство модулей - это конструкция, которая позволяет аргументы о билинейных отображаемых (например, умножение), которые должны быть выполнены в терминах линейных отображений. Построение модуля аналогично построению тензорного произведения векторных пространств , но может быть выполнено для пары модулей над коммутативным кольцом, в результате чего получается третий модуль, а также для пары правый модуль и левый модуль над любым кольцом кольцо, результатом абелева группа. Тензорные произведения важны в областях абстрактной алгебры, гомологической алгебры, алгебраической топологии, алгебраической геометрии, операторных алгебр и некоммутативная геометрия. Универсальное свойство тензорного произведения векторных пространств распространяется на более общие ситуации в абстрактной алгебре. Это позволяет изучать билинейные или полилинейные операции с помощью линейных операций. Тензорное произведение алгебры и награждающая роман для расширения скаляров. Для коммутативного кольца тензорное устройство модулей может быть повторено, чтобы сформировать тензорную алгебру модуль, что позволяет умножение в модуле универсальным способом.

Содержание

1 Сбалансированное произведение
2 Определение
- 2.1 Тензорное произведение линейных отображений и изменение базового кольца
- 2.2 Несколько модулей
3 Свойства
- 3.1 Модули над общими кольцами
- 3.2 Модули над коммутативными кольцами
- 3.3 Тензорное произведение R-модуля с полем дробей
- 3.4 Расширение скаляров
  - 3.4.1 Примеры
4 Примеры
5 Конструкция
6 Как линейные карты
- 6.1 Двойной модуль
- 6.2 Сопряжение двойственности
- 6.3 Элемент как (би) линейное отображение
- 6.4 Трассировка
7 Пример из дифференциальной геометрии: тензорное поле
8 Связь с плоские модули
9 Дополнительная структура
10 Обобщение
- 10.1 Тензорное произведение модулей
- 10.2 Тензорное произведение связок модулей
11 См. Также
12 Примечания
13 Ссылки

Сбалансированное произведение

Для кольца R, правого R-модуля M, левого R-модуля N и абелевой группы G отображение φ: M × N → G называется R-сбалансированный, R-средний-линейный или R-сбалансированный продукт, если для всех m, m ′ в M, n, n ′ в N и r в R выполняется следующее:

φ (m, n + n ′) = φ (m, n) + φ (m, n ′) Dl φ φ (m + m ′, n) = φ (m, n) + φ (m ′, n) Dr φ φ (м ⋅ r, n) = φ (m, r ⋅ n) A φ {\ displaystyle {\ begin {align} \ varphi (m, n + n ') = \ varphi (m, n) + \ varphi (m, n ') {\ text {Dl}} _ {\ varphi} \\ \ varphi (m + m', n) = \ varphi (m, n) + \ varphi (m ', n) {\ text {Dr}} _ {\ varphi} \\\ varphi (m \ cdot r, n) = \ varphi (m, r \ cdot n) {\ text {A}} _ {\ varphi} \\\ end {align}}}

{\begin{aligned}\varphi (m,n+n')=\varphi (m,n)+\varphi (m,n'){\text{Dl}}_{\varphi }\\\varphi (m+m',n)=\varphi (m,n)+\varphi (m',n){\text{Dr}}_{\varphi }\\\varphi (m\cdot r,n)=\varphi (m,r\cdot n){\text{A}}_{\varphi }\\\end{aligned}}

Множество всех таких сбалансированных продуктов по R из От M × N до G обозначается L R (M, N; ГРАММ).

Если φ, ψ обладает сбалансированным произведением, каждая из операций φ + ψ и −φ, определенных поточечно, является сбалансированным произведением. Это превращает множество L R (M, N; G) в абелеву группу.

Для фиксированных M и N отображения G L R (M, N; G) является функтором из категории абелевых групп себе. Часть морфизма задается отображением гомоморфизма группы g: G → G ′ на функцию φ ↦ g ∘ φ, которая переходит из L R (M, N; G) в L R (М, N; G ').

Примечания

Свойства (Dl) и (Dr) выражают биаддитивность φ, которую можно рассматривать как распределимость φ над сложением.
Свойство (A) стимулирует некоторое благоприятное свойство φ.
Каждое кольцо R является R- бимодулем. Таким образом, умножение кольца (r, r ′) ↦ r ⋅ r ′ в R является R-сбалансированным произведением R × R → R.

Определение

Для кольца R правый R-модуль M, левый R -модуль N, тензорное произведение над R

M ⊗ RN {\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}

M \ otimes _ {R} N

является абелевой группой вместе со сбалансированным продуктом (как определено выше)

⊗: M × N → M ⊗ RN {\ displaystyle \ otimes: M \ times N \ to M \ otimes _ {R} N}

{\ displaystyle \ otimes: M \ times N \ to Время _ {R} N}

который равен универсальный в следующем смысл:

Для каждой абелевой группы G и любого сбалансированного произведения

f: M × N → G {\ displaystyle f: M \ times N \ to G}

{\ displaystyle f: M \ times N \ to G}

существует уникальный групповой гомоморфизм

f ~: M ⊗ RN → G {\ displaystyle {\ tilde {f}}: M \ otimes _ {R} N \ to G}

{\ tilde {f}}: M \ otimes _ {R} N \ to G

такой, что

f ~ ∘ ⊗ = f. {\ displaystyle {\ tilde {f}} \ circ \ otimes = f.}

{\ тильда {f}} \ circ \ otimes = f.

Как и все универсальные свойства, указанное выше свойство однозначно определяет тензорное произведение до уникальный изоморфизм : любая другая абелева группа и сбалансированное произведение с такими же свойствами будет изоморфно M ⊗ R N и ⊗. Действительно, отображение ⊗ называется каноническим, или более явно: каноническим отображением (или сбалансированным произведением) тензорного произведения.

Определение не доказывает существование M ⊗ R N; см. конструкцию ниже.

Тензорное произведение также может быть определено как , представляющее объект для функтора G → L R (M, N; G); явно это означает, что существует естественный изоморфизм :

{Hom Z ⁡ (M ⊗ RN, G) ≃ LR ⁡ (M, N; G) g ↦ g ∘ ⊗ {\ displaystyle {\ begin {cases} \ имя оператора {Hom} _ {\ mathbb {Z}} (M \ otimes _ {R} N, G) \ simeq \ operatorname {L} _ {R} (M, N; G) \\ g \ mapsto g \ circ \ otimes \ end {ases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ operatorname {Hom} _ {\ mathbb {Z}} (M \ otimes _ {R} N, G) \ simeq \ operatorname {L} _ {R } (M, N; G) \\ g \ mapsto g \ circ \ otimes \ end {ases}}

Это краткий способ обозначить свойство универсального отображения, указанное выше. (если задано априори, это естественный изоморфизм, то $⊗ {\ displaystyle \ otimes}$ $\ otimes$ можно восстановить, взяв $G = M ⊗ RN {\ displaystyle G = M \ otimes _ {R} N}$ $G = M \ otimes _ {R} N$ и затем сопоставление карты идентичности.)

Аналогично, учитывая естественную идентификацию $LR ⁡ (M, N; G) = Hom R ⁡ (M, Hom Z ⁡ (N, G)) {\ displaystyle \ operatorname {L} _ {R} (M, N; G) = \ operatorname {Hom} _ {R} (M, \ operatorname {Hom} _ {\ mathbb {Z}} ( N, G))}$ ${\ displaystyle \ operatorname {L} _ {R} (M, N; G) = \ operatorname {Hom} _ {R} (M, \ operatorname {Hom} _ {\ mathbb {Z}} (N, G))}$ , можно также определить M ⊗ R N по формуле

Hom Z ⁡ (M ⊗ RN, G) ≃ Hom R ⁡ (M, Hom Z ⁡ (N, G)). {\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {\ mathbb {Z}} (M \ otimes _ {R} N, G) \ simeq \ operatorname {Hom} _ {R} (M, \ operatorname {Hom} _ {\ mathbb {Z}} (N, G)).}

{\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {\ mathbb {Z}} (M \ otimes _ {R} N, G) \ simeq \ operatorname {Hom } _ {R} (M, \ operatorname {Hom} _ {\ mathbb {Z}} (N, G)).}

Это известно как присоединение тензор-гом ; см. также § Свойства.

Для каждого x в M, y в N записывается

x ⊗ y

для изображения (x, y) под каноническим отображением $⊗: M × N → M ⊗ RN {\ displaystyle \ otimes: M \ times N \ to M \ otimes _ {R} N}$ $\ otimes: M \ times N \ to M \ otimes _ {R} N$ . Его часто называют чистым тензором . Строго говоря, правильное обозначение было бы x ⊗ R y, но здесь принято опускать R. Тогда, непосредственно из определения, есть:

x ⊗ (y + y ′) = x ⊗ y + x ⊗ y ′	(Dl ⊗)
(x + x ′) ⊗ y = x ⊗ y + x ′ ⊗ y	(Dr ⊗)
(x ⋅ r) ⊗ y = x ⊗ (r ⋅ y)	(A⊗)

Универсальное свойство тензорного произведения имеет следующее важное следствие:

Предложение - элемент $M ⊗ RN {\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$ $M \ otimes _ {R} N$ может быть записан, не однозначно, как

∑ ixi ⊗ yi, xi ∈ M, yi ∈ N. {\ displaystyle \ sum _ {i} x_ {i} \ otimes y_ {i}, \, x_ {i} \ in M, y_ {i} \ in N.}

$\ sum _ {i} x_ {i} \ otimes y_ {i}, \, x_ {i} \ in M, y_ {i} \ in N.$

Другими словами, изображение $⊗ {\ displaystyle \ otimes}$ $\ otimes$ генерирует $M ⊗ RN {\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$ $M \ otimes _ {R} N$ . Кроме того, если f - функция, определенная на элементах $x ⊗ y {\ displaystyle x \ otimes y}$ $x \ otimes y$ со значениями в абелевой группа G, то f однозначно продолжается до гомоморфизма, определенного на целиком $M ⊗ RN {\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$ $M \ otimes _ {R} N$ тогда и только тогда, когда $f (x ⊗ y) {\ displaystyle f (x \ otimes y)}$ $f (x \ otimes y)$ равно $Z {\ displaysty le \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ -билинейный по x и y.

Доказательство: для первого утверждения пусть L будет подгруппой $M ⊗ RN {\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$ $M \ otimes _ {R} N$ , сгенерированной элементами рассматриваемой формы, $Q = (M ⊗ RN) / L {\ displaystyle Q = (M \ otimes _ {R} N) / L}$ $Q = (M \ otimes _ {R} N) / L$ и q - карта отношений к Q. Мы имеем: $0 = q ∘ ⊗ {\ displaystyle 0 = q \ circ \ otimes}$ $0 = q \ circ \ otimes$ , а также $0 = 0 ∘ ⊗ {\ displaystyle 0 = 0 \ circ \ otimes}$ $0 = 0 \ circ \ otimes$ . Следовательно, по части уникальных универсальных свойств q = 0, что для определения гомоморфизма модуля достаточно определить его на порождающем множестве модуля. $◻ {\ displaystyle \ square}$ $\ square$

Предложение гласит, что можно работать с явными элементами тензорных произведений вместо того, чтобы каждый раз вызывать универсальное свойство. На практике это очень удобно. Например, если R коммутативен и левое и правое действие R над модулями считаются эквивалентными, то $M ⊗ RN {\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$ $M \ otimes _ {R} N$ может, естественно, снабдить R-скалярным умножением путем расширения
$р ⋅ (Икс ⊗ Y): знак равно (р ⋅ Икс) ⊗ Y = Икс ⊗ (р ⋅ Y) {\ Displaystyle г \ CDOT (х \ otimes y): = (г \ CDOT х) \ otimes y = x \ otimes (r \ cdot y)}$ ${\ displaystyle r \ cdot (x \ otimes y): = (r \ cdot x) \ otimes y = x \ otimes (r \ cdot y)}$ ,
в целом $M ⊗ RN {\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$ $M \ otimes _ {R} N$ по предыдущему предложению (строго говоря, нужна не коммутативность, а бимодульная структура; см. абзац ниже). Оборудованный этой структурой R-модуля, $M ⊗ RN {\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$ $M \ otimes _ {R} N$ удовлетворяет универсальному свойству, аналогичному указанному выше: для любого R-модуля G существует естественный изоморфизм:
${Hom R ⁡ (M ⊗ RN, G) ≃ {R -билинейные отображения M × N → G}, g ↦ g ∘ ⊗ {\ displaystyle {\ begin {cases} \ operatorname {Hom} _ {R} ( M \ otimes _ {R} N, G) \ simeq \ {R {\ text {-bilinear maps}} M \ times N \ to G \}, \\ g \ mapsto g \ circ \ otimes \ end {cases} }}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} \ operatorname {Hom} _ {R} (M \ otimes _ {R} N, G) \ simeq \ {R { \ text {-bilinear maps}} M \ times N \ to G \}, \\ g \ mapsto g \ circ \ otimes \ end {cases}}}$
Если R не обязательно коммутативно, но если M имеет левое действие посредством кольца S (например, R), то $M ⊗ RN {\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$ $M \ otimes _ {R} N$ может быть задана структура левого S-модуля, как и выше, по формуле
$s ⋅ (x ⊗ y): = (s ⋅ x) ⊗ y. {\ displaystyle s \ cdot (x \ otimes y): = (s \ cdot x) \ otimes y.}$ ${\ displaystyle s \ cdot (x \ otimes y): = (s \ cdot x) \ otimes y.}$
Аналогично, если N имеет правильное действие посредством кольца S, то $M ⊗ RN {\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$ $M \ otimes _ {R} N$ становится правым S-модулем.
Тензорное произведение линейных отображений и изменение базового кольца
Заданные линейные представления $f: M → M ′ {\ displaystyle f: M \ to M '}$ $f:M\to M'$ правых модули над кольцом R и $g: N → N '{\ displaystyle g: N \ to N'}$ $g:N\to N'$ левых модулей, существует единственный гомоморфизм групп
${е ⊗ г: M ⊗ RN → M ′ ⊗ RN ′ x ⊗ Y ↦ е (x) ⊗ g (y) {\ displaystyle {\ begin {cases} f \ otimes g: M \ otimes _ {R} N \ to M '\ otimes _ {R} N '\\ x \ otimes y \ mapsto f (x) \ otimes g (y) \ end {cases}}}$ ${\begin{cases}f\otimes g:M\otimes _{R}N\to M'\otimes _{R}N'\\x\otimes y\mapsto f(x)\otimes g(y)\end{cases}}$
Из этой конструкции следует, что тензор является функтором: каждый правый R-модуль M определяет функтор
$M ⊗ R -: R -Mod ⟶ Ab {\ displaystyle M \ otimes _ {R} -: R {\ text {-Mod}} \ longrightarrow {\ text {Ab}}}$ ${\ Displaystyle M \ otimes _ {R} -: R {\ text {-Mod}} \ longrightarrow {\ text {Ab}}}$
из категории левых модулей в категории абелевых групп, которые переводят N в M ⊗ N, гомоморфизм модулей f в гомоморфизм групп 1 ⊗ f.

Если $f: R → S {\ displaystyle f: R \ to S}$ $f: R \ to S$ - гомоморфизм колец, и если M - правый S-модуль, а N - левый S- модуля, то существует канонический сюръективный гомоморфизм:
$M ⊗ RN → M ⊗ SN {\ displaystyle M \ otimes _ {R} N \ to M \ otimes _ {S} N}$ $M \ otimes _ { R} N \ to M \ otimes _ {S} N$
, индуцированный
$M × N ⟶ ⊗ SM ⊗ SN. {\ displaystyle M \ times N {\ overset {\ otimes _ {S}} {\ longrightarrow}} M \ otimes _ {S} N.}$ ${\ displaystyle M \ times N {\ overset {\ otimes _ {S }} {\ longrightarrow}} M \ otimes _ {S} N.}$
Полученная карта сюръективна, поскольку чистые тензоры x ⊗ y порождают все модуль. В частности, если взять R равным $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ , это показывает, что каждое тензорное устройство является фактором тензорного произведения абелевых групп.

См. Также: Тензорное произведение § Тензорное произведение линейных карт.
Несколько модулей
(Этот раздел необходимо обновить. На данный момент см. § Свойства для более общего обсуждения.)

Можно расширить определение до тензорного произведения любого числа модулей над одним и тем же коммутативным кольцом. Например, универсальное свойство
M1⊗ M 2 ⊗ M 3
состоит в том, что каждая трилинейная карта на
M1× M 2 × M 3 → Z
соответствует уникальному линейному отображению
M1⊗ M 2 ⊗ M 3 → Z.
Двоичное тензорное произведение ассоциативно: (M 1 ⊗ M 2) ⊗ M 3 естественно изоморфен M 1 ⊗ (M 2 ⊗ M 3). Тензорное произведение трех модулей, определяемое универсальным трилинейных отображаемых, изоморфно повторным тензорным произведением.
Свойства
Модули над общими кольцами
Пусть R 1, R 2, R 3, R - кольца, не обязательно коммутативные.
Для бимодуля R 1-R2- M12и левого R 2 -модуля M 20, $M 12 ⊗ R 2 M 20 {\ displaystyle M_ {12} \ otimes _ {R_ {2} } M_ {20}}$ $M _ {12}} \ otimes _ {{R_ {2}}} M _ {{20} }$ - левый R 1 -модуль.
Для правого R 2 -модуля M 02 и бимодуль R 2-R3- M23, $M 02 ⊗ R 2 M 23 {\ displaystyle M_ {02} \ otimes _ { R_ {2}} M_ {23}}$ $M _ {02}} \ время _ {{R_ {2}}} M _ {{23}}$ является правильным R 3 -модуль.
(ассоциативность) Для правого R 1 -модуля M 01, R 1-R2-бимодуля M 12, и левый R 2 -модуль M 20 имеем:
$(M 01 ⊗ R 1 M 12) ⊗ R 2 M 20 = M 01 ⊗ R 1 (M 12 ⊗ R 2 M 20). {\ displaystyle \ left (M_ {01} \ otimes _ {R_ {1}} M_ {12} \ right) \ otimes _ {R_ {2}} M_ {20} = M_ {01} \ otimes _ {R_ { 1}} \ left (M_ {12} \ otimes _ {R_ {2}} M_ {20} \ right).}$ ${\ displaystyle \ left (M_ {01} \ otim es _ {R_ {1}} M_ {12} \ right) \ otimes _ {R_ {2}} M_ {20} = M_ {01} \ otimes _ {R_ {1}} \ left (M_ {12} \ otimes _ {R_ {2}} M_ {20} \ right).}$
Буквально R является RR-бимодулем, имеем $R ⊗ RR = R {\ Displaystyle R \ otimes _ {R} R = R}$ $R \ otimes _ {R} R = R$ с кольцевым умножением $mn =: m ⊗ R n {\ displaystyle mn =: m \ otimes _ {R} n}$ $mn =: m \ otimes _ { R} n$ как его каноническое сбалансированное произведение.
Модули над коммутативными кольцами
Пусть R - коммутативное кольцо, а M, N и P - R-модули. Тогда
(тождество) $R ⊗ RM = M. {\ Displaystyle R \ otimes _ {R} M = M.}$ $R \ otimes _ {R} M = M.$
(ассоциативность) $(M ⊗ RN) ⊗ RP = M ⊗ R (N ⊗ RP). {\ displaystyle (M \ otimes _ {R} N) \ otimes _ {R} P = M \ otimes _ {R} (N \ otimes _ {R} P).}$ $(M \ otimes _ {R} N) \ otimes _ {R} P = M \ otimes _ {R} (N \ otimes _ {R} P).$ Таким образом, $M ⊗ RN ⊗ RP {\ displaystyle M \ otimes _ {R} N \ otimes _ {R} P}$ ${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N \ otimes _ {R} P}$ четко определено.
(симметрия) $M ⊗ RN = N ⊗ RM. {\ displaystyle M \ otimes _ {R} N = N \ otimes _ {R} M.}$ $M \ otimes _ {R} N = N \ otimes _ {R} M.$ Фактически, для любой перестановки σ набора {1,..., n} существуетединственный изоморфизм:
${M 1 ⊗ р ⋯ ⊗ RM N ⟶ M σ (1) ⊗ R ⋯ ⊗ RM σ (n) x 1 ⊗ ⋯ ⊗ xn ⟼ x σ (1) ⊗ ⋯ ⊗ x σ (n) {\ displaystyle {\ begin {case} M_ {1} \ otimes _ {R} \ cdots \ otimes _ {R} M_ {n} \ longrightarrow M _ {\ sigma (1)} \ otimes _ {R} \ cdots \ otimes _ {R } M _ {\ sigma (n)} \\ x_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes x_ {n} \ longmapsto x _ {\ sigma (1)} \ otimes \ cdots \ otimes x _ {\ sigma (n)} \ end {case}}}$ ${\ displaystyle { \ begin {cases} M_ {1} \ otimes _ {R} \ cdots \ otimes _ {R} M_ {n} \ longrightarrow M _ {\ sigma (1)} \ otimes _ {R} \ cdots \ otimes _ { R} M _ {\ sigma (n)} \\ x_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes x_ {n} \ longmapsto x _ {\ sigma (1)} \ otimes \ cdots \ otimes x_ {\ sigma (n)} \ end {case}}}$
(свойство распределения) $M ⊗ R (N ⊕ P) = (M ⊗ RN) ⊕ (M ⊗ RP). {\ Displaystyle M \ otimes _ {R} (N \ oplus P) = (M \ otimes _ {R} N) \ oplus (M \ otimes _ {R} P).}$ $М \ время _ {R} (N \ oplus P) = (M \ otime _ {R} N) \ oplus (M \ otimes _ {R} P).$ Фактически,
$M ⊗ R (⨁ i ∈ IN я) знак равно ⨁ i ∈ I (M ⊗ RN i), {\ displaystyle M \ otimes _ {R} \ left (\ bigoplus \ nolimits _ {i \ in I} N_ {i} \ right) = \ bigoplus \ nolimits _ {i \ in I} \ left (M \ otimes _ {R} N_ {i} \ right),}$ ${\ Displaystyle M \ otimes _ {R} \ left (\ bigoplus \ nolimits _ {i \ in I} N_ {i} \ right) = \ bigoplus \ nolimits _ {i \ in I} \ left (M \ otimes _ {R} N_ {i} \ right),}$
для набора индексов I произвольной мощности.
(коммутирует с конечным произведением) для любого конечного числа $N i {\ displaystyle N_ {i}}$ $N_ {i}$ ,
$M ⊗ R ∏ i = 1 n N i = ∏ i = 1 n M ⊗ RN i. {\ Displaystyle M \ otimes _ {R} \ prod _ {i = 1} ^ {n} N_ {i} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} M \ otimes _ {R} N_ {i}.}$ ${\ displaystyle M \ otimes _ {R} \ prod _ {i = 1} ^ {n} N_ {i} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} M \ otimes _ {R} N_ {i}.}$
(коммутирует с локализацией ) для любого мультипликативно замкнутого подмножества S в R,
$S - 1 (M ⊗ RN) = S - 1 M ⊗ S - 1 RS - 1 N { \ displaystyle S ^ {- 1} (M \ otimes _ {R} N) = S ^ {- 1} M \ otimes _ {S ^ {- 1} R} S ^ {- 1} N}$ $S ^ {{- 1}} (M \ otimes _ {R} N) = S ^ {{- 1}} M \ otimes _ {{ S ^ {{- 1}} R}} S ^ {{- 1}} N$
как $S - 1 R {\ displaystyle S ^ {- 1} R}$ $S ^ {{- 1}} R$ -модуль. <Форма 243>S - 1 R {\ displaystyle S ^ {- 1} R} $S ^ {{- 1}} R$ является R-алгеброй, а $S - 1 - = S - 1 R ⊗ R - {\ displaystyle S ^ {- 1} - = S ^ {- 1} R \ otimes _ {R} -}$ $S ^ {{- 1}} - = S ^ {{- 1}} R \ otimes _ {R} -$ , это частный случай:
(коммутирует с расширением базы) Если S является R -алгебра, письмо $- S = S ⊗ R - {\ displaystyle -_ {S} = S \ otimes _ {R} -}$ $-_ {{S}} = S \ otimes _ { R} -$ ,
$(M ⊗ RN) S = MS ⊗ SNS; {\ displaystyle (M \ otimes _ {R} N) _ {S} = M_ {S} \ otimes _ {S} N_ {S};}$ $(M \ otimes _ {R} N) _ {S} = M_ {S} \ otimes _ {S} N_ {S};$
ср. § Расширение скаляров.
(коммутирует с прямым пределом) для любой системы R-модулей M i,
$(lim → ⁡ M i) ⊗ R N = lim → ⁡ (M i ⊗ R N). {\ displaystyle (\ varinjlim M_ {i}) \ otimes _ {R} N = \ varinjlim (M_ {i} \ otimes _ {R} N).}$ $(\ varinjlim M_ {i}) \ otimes _ {R} N = \ varinjlim (M_ {i} \ otimes _ {R} N).$
(тензор точен справа), если
$0 → N ′ → е N → г N ″ → 0 {\ displaystyle 0 \ to N '{\ overset {f} {\ to}} N {\ overset {g} {\ to}} N' '\ to 0}$ $0\to N'{\overset {f}\to }N{\overset {g}\to }N''\to 0$
- точная последовательность R-модулей, тогда
$M ⊗ RN ′ → 1 ⊗ f M ⊗ RN → 1 ⊗ g M ⊗ RN ″ → 0 {\ displaystyle M \ otimes _ {R} N '{\ overset {1 \ otimes f} {\ to}} M \ otimes _ {R} N {\ overset {1 \ otimes g} {\ to}} M \ otimes _ {R} N '' \ to 0}$ $M\otimes _{R}N'{\overset {1\otimes f}\to }M\otimes _{R}N{\overset {1\otimes g}\to }M\otimes _{R}N''\to 0$
- точная последовательность R-модулей, где $(1 ⊗ f) (x ⊗ y) = x ⊗ f (y). {\ displaystyle (1 \ otimes f) (x \ otimes y) = x \ otimes f (y).}$ $(1 \ otimes f) ( x \ время y) = x \ время f (y).$ Это следствие:
(сопряженного отношения ) $Hom Р ⁡ ( M ⊗ RN, P) знак равно Hom R ⁡ (M, Hom R ⁡ (N, P)) {\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {R} (M \ otimes _ {R} N, P) = \ operatorname {Hom} _ {R} (M, \ operatorname {Hom} _ {R} (N, P))}$ $\ operatorname {Hom} _ {R} ( M \ otimes _ {R} N, P) = \ operatorname {Hom} _ {R} (M, \ operatorname {Hom} _ {R} (N, P))$ .
(отношение тензор-гом) существует каноническое R-линейное отображение:
$Hom R ⁡ (M, N) ⊗ п → Hom R ⁡ (M, N ⊗ P), {\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {R} (M, N) \ otimes P \ to \ operatorname {Hom} _ {R} (M, N \ otimes P),}$ $\ operatorname {Hom} _ {R} (M, N) \ otimes P \ to \ operatorname {Hom} _ {R} (M, N \ otimes P),$
который является изоморфизмом, если M или P конечно порожденным проективным модулем (см. § Как сохраняющие линейность отображения для некоммутативного случая); в более общем смысле существует каноническое R-линейное отображение:
$Hom R ⁡ (M, N) ⊗ Hom R ⁡ (M ′, N ′) → Hom R ⁡ (M ⊗ M ′, N ⊗ N ′) {\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {R} (M, N) \ otimes \ operatorname {Hom} _ {R} (M ', N') \ to \ operatorname {Hom} _ {R} (M \ otimes M ', N \ otimes N ')}$ $\operatorname {Hom}_{R}(M,N)\otimes \operatorname {Hom}_{R}(M',N')\to \operatorname {Hom}_{R}(M\otimes M',N\otimes N')$
который является изоморфизмом, если либо $(M, N) {\ displaystyle (M, N)}$ $(M, N)$ , либо $(M, M ′) {\ displaystyle (M, M ')}$ $(M,M')$ - пара конечно порожденных проективных модулей.
В практическом примере предположим, что M, N - свободные модули с помощью $ei, i ∈ I {\ displaystyle e_ {i}, i \ in I}$ $e_ {i}, i \ in I$ и $fj, j ∈ J {\ displaystyle f_ {j}, j \ in J}$ $f_ {j}, j \ in J$ . Тогда M - это прямая сумма $M = ⨁ i ∈ IR ei {\ displaystyle M = \ bigoplus _ {i \ in I} Re_ {i}}$ $M = \ bigoplus _ {{я \ in I}} Re_ {i}$ и то же для N. По распределительному свойству:
$M ⊗ RN = ⨁ i, j R (ei ⊗ fj) {\ displaystyle M \ otimes _ {R} N = \ bigoplus _ {i, j} R (e_ {i} \ otimes f_ {j})}$ $M \ otimes _ {R} N = \ bigoplus _ {{i, j}} R (e_ {i} \ otimes f_ {j})$ ;
т.е. $ei ⊗ fj, i ∈ I, j ∈ J {\ displaystyle e_ {i} \ otimes f_ {j}, \, i \ in I, j \ in J}$ $e_ {i} \ otimes f_ {j}, \, я \ в я, j \ in J$ являются R-базисом $M ⊗ RN {\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$ $M \ otimes _ {R} N$ . Даже если M не свободным, свободное представление M штатное представительство для работы тензорных произведений.

Тензорное произведение, как правило, не коммутируется с обратным пределом : с одной стороны,
$Q ⊗ ZZ / pn = 0 {\ displaystyle \ mathbb {Q} \ otimes _ { \ mathbb {Z}} \ mathbb {Z} / p ^ {n} = 0}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Z} / p ^ {n} = 0}$
(см. «примеры»). С другой стороны,
$(lim ← ⁡ Z / pn) проективные модули (в конкретных, свободные модули конечных рангов). Таким образом, элемент тензорного модуля модулей над кольцом R-линейного отображения отображается на R-линейном канальном отображении, хотя, как и в случае с другими пространствами, к модулям применяются ограничения, чтобы это было эквивалентно полному пространству таких линейных отображений.$
Для правого R-модуля E и левого R-модуля F существует канонический гомоморфизм θ: F ⊗ R E → L R (F × E, R) такой, что что θ (f ′ ⊗ e ′) - это отображение (f, e) ↦ ⟨f, f′⟩ ⋅ ⟨e ′, e⟩. Таким образом, элемент тензорного произведения ξ ∈ F ⊗ R E можно рассматривать как порождающий или действующий как R-билинейное отображение F × E → R.
Trace
Пусть R - коммутативное кольцо, а E - R-модуль. Тогда существует каноническое R-линейное отображение:
$E ∗ ⊗ RE → R {\ displaystyle E ^ {*} \ otimes _ {R} E \ to R}$ $E ^ {*} \ otimes _ {R} E \ to R$
, индуцированное посредством линейности посредством $ϕ Икс ↦ ϕ (Икс) {\ Displaystyle \ phi \ otimes x \ mapsto \ phi (x)}$ $\ phi \ otimes x \ mapsto \ phi (x)$ ; это единственное R-линейное отображение, соответствующее естественному спариванию.

Если E - конечно порожденный проективный R-модуль, то можно идентифицировать $E ∗ ⊗ RE = End R ⁡ (E) {\ displaystyle E ^ {*} \ otimes _ {R} E = \ имя оператора {End} _ {R} (E)}$ $E ^ {*} \ otimes _ {R} E = \ operatorname {End} _ {R} (E)$ через канонический гомоморфизм, указанный выше, а затем приведенное выше картой трассировки :
$tr: End R ⁡ (E) → R. {\ displaystyle \ operatorname {tr}: \ operatorname {End} _ {R} (E) \ to R.}$ $\ operatorname {tr}: \ operatorname {End} _ {R} ( E) \ to R.$
Когда R - поле, это обычная трасса линейного преобразования.
Пример из дифференциальной геометрии: тензорное поле
Наиболее ярким примером тензорного модуля в дифференциальной геометрии является тензорное произведение пространств векторных полей и дифференциальных форм. Точнее, если R - (коммутативное) кольцо гладких функций на гладком множестве M, то положим
$T qp = Γ (M, TM) ⊗ p ⊗ R Γ (M, T ∗ M) ⊗ q {\ Displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {q} ^ {p} = \ Gamma (M, TM) ^ {\ otimes p} \ otimes _ {R} \ Gamma (M, T ^ {*} M) ^ {\ otimes q} }$ ${\ mathfrak {T}} _ {q} ^ {p} = \ Gamma (M, TM) ^ {{\ otimes p}} \ otimes _ {R} \ Gamma (M, T ^ {*} M) ^ {{\ otimes q}}$
где Γ означает пространство разделов, надстрочный индекс $⊗ p {\ displaystyle \ otimes p}$ $\ otimes p$ означает тензорное p раз над R. По определению, элемент $T qp {\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {q} ^ {p}}$ ${\ mathfrak {T}} _ {q} ^ {p}$ является тензорным полем типа (p, q).

Как R-модули, $T pq {\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {p} ^ {q}}$ ${\ mathfrak {T}} _ {p} ^ {q}$ является двойным модулем $T qp. {\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {q} ^ {p}.}$ ${\ mathfrak {T}} _ {q} ^ {p}.$

для облегчения обозначения, положите $E = Γ (M, TM) {\ displaystyle E = \ Gamma (M, TM)}$ ${\ displaystyle E = \ Gamma (M, TM)}$ и поэтому $E ∗ = Γ (M, T ∗ M) {\ displaystyle E ^ {*} = \ Gamma (M, T ^ {*} M)}$ $E ^ {*} = \ Gamma (M, T ^ {*} M)$ . Когда p, q ≥ 1, для каждого (k, l) с 1 ≤ k ≤ p, 1 ≤ l ≤ q существует R-полилинейное отображение:
$E p × E ∗ q → E p - 1 × E ∗ q - 1, (X 1,…, X p, ω 1,…, ω q) ↦ ⟨X k, ω l⟩ (X 1,…, X l ^,…, X p, ω 1,…, ω l ^,…, Ω q) {\ displaystyle E ^ {p} \ times {E ^ {*}} ^ {q} \ to E ^ {p-1} \ times {E ^ {*}} ^ {q- 1}, \, (X_ {1}, \ dots, X_ {p}, \ omega _ {1}, \ dots, \ omega _ {q}) \ mapsto \ langle X_ {k}, \ omega _ {l } \ rangle (X_ {1}, \ dots, {\ widehat {X_ {l}}}, \ dots, X_ {p}, \ omega _ {1}, \ dots, {\ widehat {\ omega _ {l }}}, \ точки, \ omega _ {q})}$ $E ^ {p} \ times {E ^ {*}} ^ {q} \ to E ^ {{p-1}} \ times {E ^ {*}} ^ {{q-1}}, \, (X_ {1}, \ dots, X_ {p}, \ omega _ {1}, \ dots, \ omega _ {q}) \ mapsto \ langle X_ {k}, \ omega _ {l} \ rangle (X_ {1}, \ dots, \ widehat {X_ {l}}, \ dots, X_ {p}, \ omega _ {1}, \ точки, \ widehat {\ omega _ {l}}, \ dots, \ omega _ {q})$
где $E p {\ displaystyle E ^ {p}}$ $E ^ p$ означает $∏ 1 p E {\ displaystyle \ prod _ {1} ^ {p} E}$ $\ prod _ {1} ^ {p} E$ , а шляпа означает, что термин опущен. По универсальному своемуству ему соответствует единственное R-линейное отображение:
$C lk: T qp → T q - 1 p - 1. {\ displaystyle C_ {l} ^ {k}: {\ mathfrak {T}} _ {q } ^ {p} \ to {\ mathfrak {T}} _ {q-1} ^ {p-1}.}$ $C_ {l} ^ {k}: {\ mathfrak {T}} _ {q} ^ {p} \ to {\ mathfrak {T}} _ {{q-1}} ^ {{p-1}}.$
Это называется сжатием тензоров в индексе (k, l). Разматывая то, что говорит универсальное свойство, мы видим:
$C lk (X 1 ⊗ ⋯ ⊗ X p ⊗ ω 1 ⊗ ⋯ ⊗ ω q) = ⟨X k, ω l⟩ X 1 ⊗ ⋯ X l ^ ⋯ ⊗ X p Ω 1 ⊗ ⋯ ω l ^ ⋯ ⊗ ω q. {\ displaystyle C_ {l} ^ {k} (X_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes X_ {p} \ otimes \ omega _ {1} \ otimes \ cdots \ otimes \ omega _ {q}) = \ langle X_ {k}, \ omega _ {l} \ rangle X_ {1} \ otimes \ cdots {\ widehat {X_ {l}}} \ cdots \ otimes X_ {p} \ otimes \ omega _ {1} \ otimes \ cdots {\ widehat {\ omega _ {l}}} \ cdots \ otimes \ omega _ {q}.}$ $C_ {l} ^ {k} (X_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes X_ {p} \ otimes \ omega _ {1} \ otime s \ cdots \ otimes \ omega _ {q}) = \ langle X_ {k}, \ omega _ {l} \ rangle X_ {1} \ otimes \ cdots \ widehat {X_ {l}} \ cdots \ otimes X_ { p} \ otimes \ omega _ {1} \ otimes \ cdots \ widehat {\ omega _ {l}} \ cdots \ otimes \ omega _ {q}.$
Замечание : Предыдущее обсуждение является стандартным в учебниках по дифференциальной геометрии (например, Helgason). В некоторой конструкции теоретико-пучковая (т.е. язык связки модулей ) более естественна и все более распространенной; для этого см. раздел § Тензорное произведение пучков модулей.
Связь с плоскими модулями
В общем,
$- ⊗ R -: Mod- R × R -Mod ⟶ A b {\ displaystyle - \ otimes _ {R} -: {\ text {Mod -}} R \ times R {\ text {-Mod}} \ longrightarrow \ mathrm {Ab}}$ ${\ displaystyle - \ otimes _ {R} -: {\ text {Mod -}} R \ times R {\ text {-Mod}} \ longrightarrow \ mathrm {Ab }}$
- это бифунктор, который принимает в качестве входных данных правую и левую пару модулей R и присваивает их тензорному произведению в категории абелевых групп.

. Фиксируя правый модуль RM, функтор
$M ⊗ R -: R -Mod ⟶ A b {\ displaystyle M \ otimes _ {R} -: R {\ text {-Mod}} \ longrightarrow \ mathrm {Ab}}$ ${\ displaystyle M \ otimes _ {R} -: R {\ text {-Mod}} \ longrightarrow \ mathrm {Ab}}$
возникает, и симметрично левый R-модуль N может быть исправлено, чтобы создать функтор
$- ⊗ RN: Mod- R ⟶ A b. {\ displaystyle - \ otimes _ {R} N: {\ text {Mod -}} R \ longrightarrow \ mathrm {Ab}.}$ ${\ displaystyle - \ otimes _ {R} N: {\ text {Mod -}} R \ longrightarrow \ mathrm {Ab}.}$
В отличие от бифунктора Hom $H om R (-, -), {\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {R} (-, -),}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {R} (-, -),}$ тензорный функтор ковариантен в обоих входных данных.

Можно показать, что $M ⊗ R - {\ displaystyle M \ otimes _ {R} -}$ $M \ otimes _ {R} -$ и $- ⊗ RN {\ displaystyle - \ otimes _ { R} N}$ ${\ displaystyle - \ otimes _ {R} N}$ всегда точные справа функторы, но не обязательно точные слева ( $0 → Z → Z → Z n → 0, {\ displaystyle 0 \ to \ mathbb { Z} \ to \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z} _ {n} \ to 0,}$ $0 \ to \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z} _ {n} \ to 0,$ где первая карта умножается на $n {\ displaystyle n}$ $n$ , является точным, но не после взятия тензора с помощью $Z n {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {n}}$ ). По определению, модуль T является модулем, если $T ⊗ R - {\ displaystyle T \ otimes _ {R} -}$ ${\ displaystyle T \ otimes _ {R} -}$ является точным функтором.

Если ${mi ∣ i ∈ I} {\ displaystyle \ {m_ {i} \ mid i \ in I \}}$ ${\ displaystyle \ {m_ {i} \ mid i \ in I \}}$ и ${nj ∣ j ∈ J} {\ displaystyle \ {n_ {j} \ mid j \ in J \}}$ ${\ displaystyle \ {n_ {j} \ mid j \ in J \}}$ - порождающие множества для M и N, соответственно, тогда ${mi ⊗ nj ∣ i ∈ I, j ∈ J} {\ displaystyle \ {m_ {i} \ otimes n_ {j} \ mid i \ in I, j \ in J \}}$ $\ {m_ {i} \ otimes n_ {j} \ mid i \ in I, j \ in J \ }$ будет генераторной установкой для $M ⊗ RN. {\ displaystyle M \ otimes _ {R} N.}$ ${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N.}$ Потому что тензорный функтор $M ⊗ R - {\ displaystyle M \ otimes _ {R} -}$ $M \ otimes _ {R} -$ иногда не работает чтобы быть точным, это может быть не минимальный порождающий набор, даже если исходный порождающий набор минимален. Если M является Функтор $, функтор M ⊗ R - {\ displaystyle M \ otimes _ {R} -}$ $M \ otimes _ {R} -$ точен по самому определению плоского модуля. Если тензорные произведения берутся над полем F, мы имеем дело с векторными пространствами, как указано выше. Предлагаем все модули плоские, бифунктор $- ⊗ R - {\ displaystyle - \ otimes _ {R} -}$ $- \ otimes _ {R} -$ точен в обоих положениях, и эти два производных множества являются базами, тогда ${mi ⊗ nj ∣ i ∈ I, j ∈ J} {\ displaystyle \ {m_ {i} \ otimes n_ {j} \ mid i \ in I, j \ in J \}}$ $\ {m_ {i} \ otimes n_ {j} \ mid i \ in I, j \ in J \ }$ действительно составляет основу для $M ⊗ FN. {\ displaystyle M \ otimes _ {F} N.}$ ${\ displaystyle M \ otimes _ {F} N.}$
Дополнительная структура
Если S и T коммутативные R-алгебры, то S ⊗ R T будет коммутативным R -алгебра также с картой умножения, определяемой (m 1 ⊗ m 2) (n 1 ⊗ n 2) = (m 1n1⊗ m 2n2) и расширены за счет линейности. В этой настройке тензорное произведение становится расслоенным копроизведением в категории R-алгебр.

Если M и N оба являются R-модулями коммутативным кольцом, то их тензорное произведение снова является R-модулем. Если R - кольцо, R M - левый R-модуль, коммутатор
rs - sr
любых двух элементов r и s кольца R находится в аннигилятор M, то мы можем превратить в правый R-модуль, положив
mr = rm.
Действие R на M факторизуется через действие коммутативного фактора-кольца. В этом случае тензорное произведение M на себя над R снова является R-модулем. Это очень распространенный прием в коммутативной алгебре.
Обобщение
Тензорное произведение комплексов модулей
Если X, Y - комплексы R-модулей (R - коммутативное кольцо), то их тензорное произведение - это заданный комплекс по
$(Икс ⊗ RY) N знак равно ∑ я + J знак равно N Икс я ⊗ RY j, {\ displaystyle (X \ otimes _ {R} Y) _ {n} = \ sum _ {i + j = n} X_ {i} \ otimes _ {R} Y_ {j},}$ $(X \ otimes_R Y) _n = \ sum_ {i + j = n} X_i \ otimes_R Y_j,$
с дифференциалом, задаваемым: для x в X i и y в Y j,
$d X ⊗ Y (x ⊗ y) знак равно d X (x) ⊗ y + (- 1) ix ⊗ d Y (y). {\ displaystyle d_ {X \ otimes Y} (x \ otimes y) = d_ {X} (x) \ otimes y + (- 1) ^ {i} x \ otimes d_ {Y} (y).}$ $d_ {X \ otimes Y} (x \ otimes y) = d_X (x) \ otimes y + (-1) ^ ix \ otimes d_Y (y).$
Например, если C - цепной комплекс плоских абелевых групп и G - абелева группа, то группа гомологий $C ⊗ ZG {\ displaystyle C \ otimes _ {\ mathbb {Z}} G}$ ${\ displaystyle C \ otimes _ {\ mathbb {Z}} G}$ - группа гомологий C с коэффициентами в G (см. Также: теорема об универсальных коэффициентов.)
Тензорное произведение пучков модулей
В этой настройке, например, можно определить тензорное поле на гладком разнообразии M как глобальное или локальное сечение тензорного произведения (называемого тенным расслоением )
$(TM) ⊗ p ⊗ O (T ∗ M) ⊗ q {\ displaystyle (TM) ^ { \ otimes p} \ otimes _ {O} (T ^ {*} M) ^ {\ otimes q}}$ $(TM) ^ {{\ otimes p}} \ otimes _ {{O}} (T ^ {*} M) ^ {{\ otimes q}}$
, где O - пучок колец гладких функций на M и пучки $TM, T ∗ M {\ displaystyle TM, T ^ {*} M}$ $TM, T ^ {*} M$ рассматривает как локально свободные пучки на M.

Внешний пакет на M является подг руппой тензорногопучка, состоящего из всех антисимметричных ковариантных тензоров. Секции внешнего расслоения являются дифференциальными формами на M.

Один важный случай, когда вы формируете тензорное произведение над пучком некоммутативных колец, появляется в теории D-модули ; т. е. тензорные произведения над пучком дифференциальных операторов.
См. также
Функтор Tor
Тензорное произведение алгебр
Тензорное произведение полей
производное тензорное произведение
Примечания
^Натан Джейкобсон (2009), Основы алгебры II (2-е изд.), Dover Publications
^Hazewinkel, et al. (2004), с. 95, Предложение 4.5.1
^Бурбаки, гл. II §3.1 ошибка harvnb: нет цели: CITEREFBourbaki (help )
^Во-первых, если $R = Z, {\ displaystyle R = \ mathbb {Z},}$ ${\ displaystyle R = \ mathbb {Z},}$ , то заявленная идентификация дается выражением $е ↦ е '{\ displaystyle f \ mapsto f'}$ $f\mapsto f'$ с $f '(x) (y) = f (x, y) {\ displaystyle f' (х) (y) = е (x, y)}$ $f'(x)(y)=f(x,y)$ . В общем, $Hom Z ⁡ (N, G) {\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {\ mathbb {Z} } (N, G)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {\ mathbb {Z}} (N, G)}$ имеет устойчивый правый R-модуль по $(g ⋅ r) (y) = g (ry) {\ displaystyle (g \ cdot r) (y) = g (ry)}$ $(g \ cdot r) (y) = g (ry)$ . Таким образом, для любого $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ -билинейное отображение f, f является 'R-линейным $⇔ е '(xr) знак равно f' (x) ⋅ r ⇔ f (xr, y) = f (x, ry). {\ Displaystyle \ Leftrightarrow f '(xr) = f' (x) \ cdot r \ Leftrightarrow f (xr, y) = f (x, ry).}$ $\Leftrightarrow f'(xr)=f'(x)\cdot r\Leftrightarrow f(xr,y)=f(x,ry).$
^Бурбаки, глава II §3.2. harvnb error: no target: CITEREFBourbaki (help )
^Bourbaki, ch. II §3.8 ошибка harvnb: нет цели: CITEREFBourbaki (help )
^Первые три (плюс медицинские средства на morp hisms) говорят, что категория R-модули с коммутативным R образует симметричную моноидальную категорию.
^Доказательство: (с использованием ассоциативности в общем виде) $(M ⊗ RN) S Знак равно (S ⊗ RM) ⊗ RN = MS ⊗ RN = MS ⊗ SS ⊗ RN = MS ⊗ SNS {\ displaystyle (M \ otimes _ {R} N) _ {S} = (S \ otimes _ {R} M) \ otimes _ {R} N = M_ {S} \ время _ {R} N = M_ {S} \ время _ {S} S \ время _ {R} N = M_ {S} \ время _ {S} N_ {S}}$ ${\ displaystyle (M \ otimes _ {R} N) _ {S} = (S \ otimes _ {R} M) \ otimes _ {R} N = M_ {S} \ otimes _ {R} N = M_ {S} \ otimes _ {S} S \ otimes _ {R} N = M_ {S} \ otimes _ {S} N_ {S}}$
^Бурбаки, гл. II §4.4 ошибка harvnb: нет цели: CITEREFBourbaki (help )
^Bourbaki, ch.II §4.1 Proposition 1 harvnb error: no target: CITEREFBourbaki (help )
^Пример 3.6 из http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/linmultialg/tensorprod.pdf
^Bourbaki, ch. II §2.3 harvnb error: нет цели: CITEREFBourbaki (help )
^Бурбаки, глава II §4.2 уравнение (11) ошибка harvnb: нет цели: CITEREFBourbaki (справка )
^Бурбаки, глава II §4.2 уравнение (15) ошибка harvnb: нет target: CITEREFBourbaki ( help )
^Helgason, Lemma 2.3 'harvnb error: no target: CITEREFHelgason (help )
^На самом деле это определение дифференциальной одной формы, глобальные разделы $T ∗ M {\ displaystyle T ^ {*} M}$ $T ^ {*} M$ по Хелгасону, но эквивалентно обычному определению, которое не использует те модули.
^May ch. 12 §3 harvnb error: no target: CITEREFMaych._12_§ 3 (help )
^См. Также Encyclopedia of Mathematics - Tensor bundle
Ссылки
Бурбаки, Алгебра
H Элгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства, Academic Press, ISBN 0-12-338460-5
Northcott, DG (1984), Multilinear Алгебра, Cambridge University Press, ISBN 613-0-04808-4.
Хазинкевель, Майкл ; ; ; (2004), Алгебры, кольца и модули, Springer, ISBN 978-1-4020-2690-4.
Питер Мэй (1999), Краткий курс алгебраической топологии, University of Chicago Press.