Скалярное умножение

Скалярное умножение вектора на коэффициент 3 растягивает вектор. Скалярное умножение - a и 2 a вектора a

В математике, скалярное умножение является одной из основных операций, определяющих векторное пространство в линейной алгебре (или, в более общем смысле, в модуле в абстрактной алгебре ). В обычных геометрических контекстах скалярное умножение действительного евклидова вектора на положительное действительное число умножает величину вектора без изменения его направления. Сам термин «скаляр » происходит от этого использования: скаляр - это то, что масштабирует векторы. Скалярное умножение - это умножение вектора на скаляр (где произведение является вектором), и его следует отличать от внутреннего произведения двух векторов (где произведение является скаляром).

• 1 Определение
  • 1.1 Свойства
• 2 Интерпретация
• 3 Скалярное умножение матриц
• 4 См. Также
• 5 Ссылки

Общие положения, если K - это поле и V - векторное пространство над K, то скалярное умножение - это функция из K × V в V. Результат применения этой функции к k в K и v в V обозначается k v.

Свойства

Скалярное умножение подчиняется следующим правилам (вектор выделен жирным шрифтом ):

• Аддитивность в скаляр: (c + d) v = c v + d v;
• Аддитивность в векторе: c (v+ w) = c v + c w;
• Совместимость произведения скаляров со скалярным умножением: (cd) v = c (d v);
• Умножение на 1 не меняет вектор: 1 v= v;
• Умножение на 0 дает нулевой вектор : 0 v= 0;
• Умножение на −1 дает аддитивную обратную величину : (−1) v = - v.

Здесь + - это сложение либо в поле, либо в векторном пространстве, в зависимости от ситуации; и 0 - это аддитивная идентичность в любом из них. Сопоставление указывает либо скалярное умножение, либо операцию умножения в поле.

Скалярное умножение можно рассматривать как внешнюю двоичную операцию или как действие поля в векторное пространство. Геометрическая интерпретация скалярного умножения заключается в том, что оно растягивает или сжимает векторы на постоянный коэффициент. В результате он создает вектор в том же или противоположном направлении исходного вектора, но другой длины.

В качестве особого случая, V может быть самим K, а затем может быть выполнено скалярное умножение быть просто умножением в поле.

Когда V равно K, скалярное умножение эквивалентно умножению каждого компонента на скаляр и может быть определено как таковое.

Та же идея применима, если K является коммутативным кольцом, а V является модулем над K. K может даже быть rig, но тогда нет аддитивного обратного. Если K не является коммутативным, могут быть определены различные операции левостороннего скалярного умножения c v и правого скалярного умножения v c.

Левое скалярное умножение матрицы A на скаляр λ дает другую матрицу того же размера, что и А . Он обозначается λ A, элементы которого λ A определяются как

$(\lambda \; A)\; ij\; =\; \lambda \; (A)\; ij,\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; lambda\; \backslash \; mathbf\; \{A\})\; \_\; \{ij\}\; =\; \backslash \; lambda\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{ij\}\; \backslash ,,\}$

явно:

$\lambda \; A\; =\; \lambda \; (A\; 11\; A\; 12\; \cdots \; A\; 1\; m\; A\; 21\; A\; 22\; \cdots \; A\; 2\; m\; ⋮\; ⋮\; \ddots \; ⋮\; A\; n\; 1\; A\; n\; 2\; \cdots \; A\; nm)\; =\; (\lambda \; A\; 11\; \lambda \; A\; 12\; \cdots \; \lambda \; A\; 1\; m\; \lambda \; A\; 21\; \lambda \; A\; 22\; \cdots \; \lambda \; A\; 2\; m\; ⋮\; ⋮\; \ddots \; ⋮\; \lambda \; A\; n\; 1\; \lambda \; A\; n\; 2\; \cdots \; \lambda \; A\; нм).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; =\; \backslash \; lambda\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; A\_\; \{11\}\; A\_\; \{12\}\; \backslash \; cdots\; A\_\; \{1m\}\; \backslash \backslash \; A\_\; \{21\}\; A\_\; \{22\}\; \backslash \; cdots\; A\_\; \{2m\; \}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; A\_\; \{n1\}\; A\_\; \{n2\}\; \backslash \; cdots\; A\_\; \{nm\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; lambda\; A\_\; \{\; 11\}\; \backslash \; lambda\; A\_\; \{12\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; lambda\; A\_\; \{1m\}\; \backslash \backslash \backslash \; lambda\; A\_\; \{21\}\; \backslash \; lambda\; A\_\; \{22\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; lambda\; A\_\; \{2m\}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \backslash \; lambda\; A\_\; \{n1\}\; \backslash \; lambda\; A\_\; \{n2\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; lambda\; A\_\; \{nm\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash ,.\}$

Аналогично правое скалярное умножение матрицы A на скаляр λ определяется как

$(A\; \lambda )\; ij\; =\; (A)\; ij\; \lambda ,\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{A\; \}\; \backslash \; lambda)\; \_\; \{ij\}\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{ij\}\; \backslash \; lambda\; \backslash ,,\}$

явно:

$A\; \lambda \; =\; (A\; 11\; A\; 12\; \cdots \; A\; 1\; m\; A\; 21\; A\; 22\; \cdots \; A\; 2\; m\; ⋮\; ⋮\; \ddots \; ⋮\; A\; n\; 1\; A\; n\; 2\; \cdots \; A\; nm)\; \lambda \; =\; (A\; 11\; \lambda \; A\; 12\; \lambda \; \cdots \; A\; 1\; m\; \lambda \; A\; 21\; \lambda \; A\; 22\; \lambda \; \cdots \; A\; 2\; m\; \lambda \; ⋮\; ⋮\; \ddots \; ⋮\; A\; n\; 1\; \lambda \; A\; n\; 2\; \lambda \; \cdots \; A\; nm\; \lambda ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; lambda\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; A\_\; \{11\}\; A\_\; \{12\}\; \backslash \; cdots\; A\_\; \{1m\}\; \backslash \backslash \; A\_\; \{21\}\; A\_\; \{22\}\; \backslash \; cdots\; A\_\; \{2m\}\; \backslash \; \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; A\_\; \{n1\}\; A\_\; \{n2\}\; \backslash \; cdots\; A\_\; \{nm\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \; lambda\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; A\_\; \{11\}\; \backslash \; lambda\; A\_\; \{12\}\; \backslash \; lambda\; \backslash \; cdots\; A\_\; \{1m\}\; \backslash \; lambda\; \backslash \backslash \; A\_\; \{21\}\; \backslash \; lambda\; A\_\; \{22\}\; \backslash \; lambda\; \backslash \; cdots\; A\_\; \{2m\}\; \backslash \; lambda\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; A\_\; \{n1\}\; \backslash \; lambda\; A\_\; \{n2\}\; \backslash \; lambda\; \backslash \; cdots\; A\_\; \{nm\}\; \backslash \; lambda\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash ,.\}$

Когда нижележащее кольцо является коммутативным, например, вещественным или комплексным числом поле, эти два умножения одинаковы и просто называются скалярными умножение. Однако для матриц более общего кольца, которые не являются коммутативными, таких как кватернионы , они могут не быть равными.

Для вещественного скаляра и матрицы:

$\lambda \; =\; 2,\; A\; =\; (abcd)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; =\; 2,\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; a\; b\; \backslash \backslash \; c\; d\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

$2\; A\; =\; 2\; (abcd)\; =\; (2\; \cdot \; a\; 2\; \cdot \; b\; 2\; \cdot \; c\; 2\; \cdot \; d)\; =\; (a\; \cdot \; 2\; b\; \cdot \; 2\; c\; \cdot \; 2\; d\; \cdot \; 2)\; =\; (abcd)\; 2\; =\; A\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; =\; 2\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; a\; b\; \backslash \backslash \; c\; d\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 2\; \backslash !\; \backslash \; cdot\; \backslash !\; a\; 2\; \backslash !\; \backslash \; cdot\; \backslash !\; b\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash !\; \backslash \; cdot\; \backslash !\; c\; 2\; \backslash !\; \backslash \; cdot\; \backslash !\; d\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; a\; \backslash !\; \backslash \; cdot\; \backslash !\; 2\; b\; \backslash !\; \backslash \; cdot\; \backslash !\; 2\; \backslash \backslash \; c\; \backslash !\; \backslash \; cdot\; \backslash !\; 2\; d\; \backslash !\; \backslash \; cdot\; \backslash !\; 2\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; a\; b\; \backslash \backslash \; c\; d\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\; \}\; 2\; =\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; 2.\}$

Для кватернионных скаляров и матриц:

$\lambda \; =\; i,\; A\; =\; (i\; 0\; 0\; j)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; =\; i,\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; i\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; j\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

$i\; (i\; 0\; 0\; j)\; =\; (i\; 2\; 0\; 0\; ij)\; =\; (-\; 1\; 0\; 0\; k)\; \ne \; (-\; 1\; 0\; 0\; -\; к)\; знак\; равно\; (я\; 2\; 0\; 0\; ji)\; знак\; равно\; (я\; 0\; 0\; j)\; я,\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; i\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; j\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\; \}\; i\; ^\; \{2\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; ij\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; -1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; k\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \; neq\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; -1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; -\; k\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; i\; ^\; \{2\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; ji\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; i\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; j\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\; \}\}\; i\; \backslash ,,\}$

где i, j, k - кватернионные единицы. Некоммутативность умножения кватернионов предотвращает переход от замены ij = + k на ji = −k.

• Точечное произведение
• Матричное умножение
• Умножение векторов
• Произведение (математика)