Мультипликативный обратный

«Взаимное (математика)» перенаправляется сюда. Не следует путать с возвратно- поступательным движением (геометрией). Обратная функция: y = 1 / x. Для каждого x, кроме 0, y представляет его мультипликативную инверсию. Граф образует прямоугольную гиперболу.

В математике, А мультипликативный обратная или обратная для числа х, обозначим через 1 / х или х ^-1, представляет собой число, которое, когда умножается на х дает мультипликативный идентичность, 1. мультипликативный обратный из фракции A / B является б / а. Для мультипликативного обратного действительного числа разделите 1 на число. Например, обратная величина 5 равна одной пятой (1/5 или 0,2), а обратная величина 0,25 - 1, деленная на 0,25 или 4. Обратная функция, функция f ( x), которая отображает x в 1 / x, является одним из простейших примеров функции, которая является своей собственной обратной ( инволюцией ).

Умножение на число аналогично делению на обратное, и наоборот. Например, умножение на 4/5 (или 0,8) даст тот же результат, что и деление на 5/4 (или 1,25). Следовательно, умножение на число с последующим умножением на обратное дает исходное число (поскольку произведение числа на обратное равно 1).

Термин « взаимное» широко использовался, по крайней мере, еще в третьем издании Британской энциклопедии (1797 г.) для описания двух чисел, произведение которых равно 1; геометрические величины в обратной пропорции описаны как reciprocall в 1570 переводе Евклид «ы элементов.

Во фразе « мультипликативный обратный» квалификатор « мультипликативный» часто опускается, а затем неявно понимается (в отличие от аддитивного обратного ). Мультипликативные инверсии могут быть определены во многих математических областях, а также в числах. В этих случаях может случиться так, что ab ≠ ba ; тогда «инверсия» обычно подразумевает, что элемент является и левым, и правым инверсией.

Обозначение f ⁻¹ иногда также используется для обратной функции функции f, которая в общем случае не равна мультипликативной обратной функции. Например, мультипликативный обратный синус 1 / (sin x) = (sin x) ⁻¹ является косекансом x, а не обратным синусом x, обозначенным sin ⁻¹ x или arcsin x. Только для линейных карт они сильно связаны (см. Ниже). Различия терминологии « реципрокный» и « обратный» недостаточны, чтобы провести это различие, поскольку многие авторы предпочитают противоположное соглашение об именах, вероятно, по историческим причинам (например, во французском языке обратная функция предпочтительно называется реципрокной биекцией ).

СОДЕРЖАНИЕ

• 1 Примеры и контрпримеры
• 2 Комплексные числа
• 3 Исчисление
• 4 алгоритма
• 5 Обратные иррациональные числа
• 6 Дополнительные замечания
• 7 приложений
• 8 См. Также
• 9 Примечания
• 10 Ссылки

Примеры и контрпримеры

В действительных числах ноль не имеет обратного значения, потому что никакое действительное число, умноженное на 0, не дает 1 (произведение любого числа с нулем равно нулю). За исключением нуля, обратные значения каждого действительного числа являются действительными, обратные значения каждого рационального числа являются рациональными, а обратные значения каждого комплексного числа являются комплексными. Свойство, что каждый элемент, отличный от нуля, имеет мультипликативную инверсию, является частью определения поля, все эти примеры являются его примерами. С другой стороны, никакое целое число, кроме 1 и -1, не имеет обратного целого числа, и поэтому целые числа не являются полем.

В модульной арифметике, то модульное мультипликативное обратное из также определяются: это число х такие, что ах = 1 ( по модулю п). Этот мультипликативный обратный существует тогда и только тогда, когда и п являются взаимно простыми. Например, 3 по модулю 11 равно 4, потому что 4 ⋅ 3 ≡ 1 (mod 11). Для его вычисления можно использовать расширенный алгоритм Евклида.

В sedenions являются алгебра, в которой каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный, но, тем не менее, который имеет делителей нуля, то есть ненулевые элементы х, у такие, что х  = 0.

Квадратная матрица имеет обратную, если и только если ее определитель имеет обратный в коэффициенте кольца. Линейная карта, которая имеет матрицу A ^-1 относительно некоторой базы, тогда является обратной функцией карты, имеющей A в качестве матрицы в той же базе. Таким образом, два различных понятия обратной функции сильно связаны в этом случае, в то время как в общем случае их следует тщательно различать (как отмечалось выше).

Эти тригонометрические функции связаны взаимной идентичности: котангенс является обратной касательной; секущая обратна косинусу; косеканс обратен синусу.

Кольцо, в котором каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный, называется телом ; аналогично алгебра, в которой это верно, является алгеброй с делением.

Сложные числа

Как упоминалось выше, величина, обратная каждому ненулевому комплексному числу z = a + bi, является комплексным. Это может быть найдено путем умножения как верхнюю и нижнюю часть 1 / г его комплексно сопряженное и используя свойство, что, то абсолютное значение из г в квадрат, который является действительным числом ² + Ь ²: ${\ displaystyle {\ bar {z}} = а-би}$${\ displaystyle z {\ bar {z}} = \ | z \ | ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {z}} = {\ frac {\ bar {z}} {z {\ bar {z}}}} = {\ frac {\ bar {z}} {\ | z \ | ^ {2}}} = {\ frac {a-bi} {a ^ {2} + b ^ {2}}} = {\ frac {a} {a ^ {2} + b ^ {2} }} - {\ frac {b} {a ^ {2} + b ^ {2}}} i.}$

Интуиция такова, что

${\ displaystyle {\ frac {\ bar {z}} {\ | z \ |}}}$

дает нам комплексное сопряжение с величиной, уменьшенной до значения, поэтому повторное деление на гарантирует, что величина теперь также равна обратной величине исходной величины, следовательно: ${\ displaystyle 1}$${\ Displaystyle \ | г \ |}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {z}} = {\ frac {\ bar {z}} {\ | z \ | ^ {2}}}}$

В частности, если || z || = 1 ( z имеет единицу величины), тогда. Следовательно, мнимые единицы, ± i, имеют аддитивное обратное значение, равное мультипликативному обратному, и являются единственными комплексными числами с этим свойством. Например, аддитивные и мультипликативные обратные значения i равны - ( i) = - i и 1 / i = - i, соответственно. ${\ displaystyle 1 / z = {\ bar {z}}}$

Для комплексного числа в полярной форме z = r (cos φ + i  sin φ) обратная величина просто принимает обратную величину и отрицательное значение угла:

${\ displaystyle {\ frac {1} {z}} = {\ frac {1} {r}} \ left (\ cos (- \ varphi) + i \ sin (- \ varphi) \ right).}$

Геометрическая интуиция для интеграла от 1 / x. Три интеграла от 1 до 2, от 2 до 4 и от 4 до 8 равны. Каждая область - это предыдущая, разделенная пополам по вертикали и удвоенная по горизонтали. Расширяя это, интеграл от 1 до 2 ^k равен k, умноженному на интеграл от 1 до 2, так же, как ln 2 ^k = k ln 2.

Исчисление

В реальном исчислении, то производная от 1 / х = х ^-1 задается правилом питания с силой -1:

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {- 1} = (- 1) x ^ {(- 1) -1} = - x ^ {- 2} = - {\ frac {1} {x ^ {2}}}.}$

Правило степени для интегралов ( квадратурная формула Кавальери ) не может использоваться для вычисления интеграла от 1 / x, потому что это приведет к делению на 0:

$${\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x}} = {\ frac {x ^ {0}} {0}} + C}$$ Вместо этого интеграл определяется как: $${\ displaystyle \ int _ {1} ^ {a} {\ frac {dx} {x}} = \ ln a,}$$ $${\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x}} = \ ln x + C.}$$ где ln - натуральный логарифм. Чтобы показать это, обратите внимание, что, если и, у нас есть: ${\ textstyle {\ frac {d} {dx}} e ^ {x} = e ^ {x}}$${\ Displaystyle у = е ^ {х}}$${\ Displaystyle х = \ пер у}$ $${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = y \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {dy} {y}} = dx \ quad \ Rightarrow \ quad \ int {\ frac {dy} {y} } = \ int dx \ quad \ Rightarrow \ quad \ int {\ frac {dy} {y}} = x + C = \ ln y + C.}$$

Алгоритмы

Обратную величину можно вычислить вручную с использованием длинного деления.

Вычисление обратной величины важно во многих алгоритмах деления, поскольку частное a / b можно вычислить, сначала вычислив 1 / b, а затем умножив его на a. Отметив, что имеет ноль при x = 1 / b, метод Ньютона может найти этот ноль, начиная с предположения и повторяя, используя правило: ${\ Displaystyle f (x) = 1 / xb}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$

${\ displaystyle x_ {n + 1} = x_ {n} - {\ frac {f (x_ {n})} {f '(x_ {n})}} = x_ {n} - {\ frac {1 / x_ {n} -b} {- 1 / x_ {n} ^ {2}}} = 2x_ {n} -bx_ {n} ^ {2} = x_ {n} (2-bx_ {n}).}$

Это продолжается до тех пор, пока не будет достигнута желаемая точность. Например, предположим, что мы хотим вычислить 1/17 ≈ 0,0588 с точностью до 3 знаков. Принимая x 0 = 0,1, получается следующая последовательность:

х 1 = 0,1 (2-17 × 0,1) = 0,03

х 2 = 0,03 (2-17 × 0,03) = 0,0447

х 3 = 0,0447 (2-17 × 0,0447) ≈ 0,0554

х 4 = 0,0554 (2-17 × 0,0554) ≈ 0,0586

х 5 = 0,0586 (2-17 × 0,0586) ≈ 0,0588

Типичное начальное предположение можно найти, округлив b до ближайшей степени 2, а затем используя битовые сдвиги, чтобы вычислить обратную величину.

В конструктивной математике для того, чтобы действительное число x было обратным, недостаточно, чтобы x ≠ 0. Вместо этого должно быть задано рациональное число r такое, что 0 lt;  r  lt;| х |. С точки зрения алгоритма аппроксимации , описанного выше, это необходимо для доказательства того, что изменение y в конечном итоге станет сколь угодно малым.

График f ( x) = x ^x, показывающий минимум в (1 / e, e ^{−1 / e}).

Эту итерацию можно также обобщить на более широкий вид инверсий; например, обратная матрица.

Обратные иррациональные числа

Каждое действительное или комплексное число, за исключением нуля, имеет обратную величину, а обратные величины некоторых иррациональных чисел могут иметь важные особые свойства. Примеры включают обратную величину e (≈ 0,367879) и обратную величину золотого сечения (≈ 0,618034). Первое обратное число является особенным, потому что никакое другое положительное число не может дать меньшее число, если поставить его во власть самого себя; является глобальным минимумом в. Второе число является единственным положительным числом, которое равно ее обратным плюс один:. Его добавка обратный является единственным отрицательным числом, которое равно его взаимного минус один:. ${\ displaystyle f (1 / e)}$ ${\ Displaystyle е (х) = х ^ {х}}$${\ Displaystyle \ varphi = 1 / \ varphi +1}$ ${\ displaystyle - \ varphi = -1 / \ varphi -1}$

Функция дает бесконечное количество иррациональных чисел, которые отличаются друг от друга на целое число. Например, это иррациональное. Его обратная величина - ровно меньше. Такие иррациональные числа обладают очевидным свойством: они имеют ту же дробную часть, что и их обратная величина, поскольку эти числа отличаются на целое число. ${\ textstyle f (n) = n + {\ sqrt {(n ^ {2} +1)}}, n \ in \ mathbb {N}, ngt; 0}$${\ displaystyle f (2)}$${\ displaystyle 2 + {\ sqrt {5}}}$${\ displaystyle 1 / (2 + {\ sqrt {5}})}$${\ displaystyle -2 + {\ sqrt {5}}}$${\ displaystyle 4}$

Дальнейшие замечания

Если умножение является ассоциативным, элемент x с мультипликативным обратным элементом не может быть делителем нуля ( x является делителем нуля, если некоторый ненулевой y, xy = 0). Чтобы убедиться в этом, достаточно умножить уравнение xy = 0 на обратное к x (слева), а затем упростить, используя ассоциативность. В отсутствие ассоциативности sedenions представляют собой контрпример.

Обратное неверно: элемент, который не является делителем нуля, не обязательно имеет мультипликативный обратный. В Z все целые числа, кроме -1, 0, 1, являются примерами; они не являются делителями нуля и они не обратимы в Z. Однако, если кольцо или алгебра конечны, то все элементы a, не являющиеся делителями нуля, имеют обратный (левый и правый). Для сначала заметьте, что отображение f ( x) = ax должно быть инъективным : f ( x) = f ( y) влечет x = y:

${\ Displaystyle {\ begin {align} ax amp; = ay amp; \ quad \ Rightarrow amp; \ quad ax-ay = 0 \\ amp;amp; \ quad \ Rightarrow amp; \ quad a (xy) = 0 \\ amp;amp; \ quad \ Rightarrow amp; \ quad xy = 0 \\ amp;amp; \ quad \ Rightarrow amp; \ quad x = y. \ end {align}}}$

Разные элементы отображаются в разные элементы, поэтому изображение состоит из одного и того же конечного числа элементов, а карта обязательно сюръективна. В частности, ƒ (а именно умножение на a) должно отображать некоторый элемент x в 1, ax = 1, так что x является обратным для a.

Приложения

Расширение обратного 1 / q по любому основанию также может действовать как источник псевдослучайных чисел, если q является «подходящим» безопасным простым числом, простым числом формы 2 p  + 1, где p также является простым числом. Последовательность псевдослучайных чисел длины q  - 1 будет произведена расширением.

Смотрите также

• Отдел (математика)
• Экспоненциальный спад
• Дробь (математика)
• Группа (математика)
• Гипербола
• Список сумм обратных величин
• Повторяющаяся десятичная дробь
• Шестисферные координаты
• Дроби единицы - обратные числа целых чисел

Примечания

1. ^ «В равных параллелепипедах основания равны своей высоте». ДОО «Взаимный» §3а. Переводсэра Генри Биллингсли Elements XI, 34.
2. ^ Энтони, доктор «Доказательство того, что INT (1 / x) dx = lnx». Спросите доктора Математики. Дрексельский университет. Проверено 22 марта 2013 года.
3. ^ Митчелл, Дуглас В., "Нелинейный генератор случайных чисел с известной большой длиной цикла", Cryptologia 17, январь 1993 г., 55–62.

использованная литература

• Максимально периодические взаимные числа, Бюллетень Мэтьюза Р.Дж. Института математики и его приложений, том 28, стр. 147–148, 1992 г.