Правило мощности

редактировать

В исчислении правило мощности используется для различения функций вида $f (x) = xr {\ displaystyle f (x) = x ^ {r}}$ $е (х) = x ^ r$ , если $r {\ displaystyle r}$ $r$ является действительным числом. Поскольку дифференцирование является линейной операцией в пространстве дифференцируемых функций, полиномы также можно дифференцировать с использованием этого правила. Правило степени лежит в основе ряда Тейлора, поскольку оно связывает ряд с производными функции .

Содержание

1 Утверждение правила мощности
2 Доказательства
- 2.1 Доказательство для действительных показателей
- 2.2 Доказательства для ненулевых целых показателей
  - 2.2.1 Доказательство по индукции (положительные целые числа)
  - 2.2.2 Доказательство с помощью биномиальной теоремы (положительные целые числа)
  - 2.2.3 Обобщение на отрицательные целые показатели
- 2.3 Обобщение на рациональные показатели
  - 2.3.1 Индивидуальное обобщение
  - 2.3.2 Доказательство неявным дифференцированием
3 История
4 Обобщения
- 4.1 Сложные степенные функции
5 Ссылки

Формулировка правила мощности

Если $f: R → R {\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ $f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}$ - такая функция, что $f (x) = xr {\ displaystyle f (x) = x ^ {r}}$ $е (х) = x ^ r$ и $f {\ displaystyle f }$ $f$ дифференцируема в $x {\ displaystyle x}$ $x$ , тогда

f ′ (x) = rxr - 1 {\ displaystyle f '(x) = rx ^ {г-1 }}

f'(x) = rx^{r-1}

Правило степени для интегрирования, которое гласит, что

∫ xrdx = xr + 1 r + 1 + C {\ displaystyle \ int \! X ^ {r} \, dx = {\ frac {x ^ {r + 1}} {r + 1}} + C}

\ int \! x ^ r \, dx = \ frac {x ^ {r + 1}} {r + 1} + C

для любого действительного числа $r ≠ - 1 {\ displaystyle r \ neq -1}$ $r \ neq -1$ , может быть получено путем инвертирования правило силы для дифференциации.

Доказательства

Доказательства для реальных показателей

Для начала мы должны выбрать рабочее определение значения $f (x) = xr {\ displaystyle f ( x) = x ^ {r}}$ $е (х) = x ^ r$ , где $r {\ displaystyle r}$ $r$ - любое действительное число. Хотя возможно определить значение как предел последовательности рациональных способностей, которые приближаются к иррациональной мощности всякий раз, когда мы сталкиваемся с такой силой, или как наименьшую верхнюю границу набора рациональных способностей, меньших, чем данная мощность, этот тип определение не поддается дифференцированию. Поэтому предпочтительно использовать функциональное определение, которое обычно принимается равным $xr = exp ⁡ (r ln ⁡ x) = er ln ⁡ x {\ displaystyle x ^ {r} = \ exp (r \ ln x) = e ^ {r \ ln x}}$ $x ^ r = \ exp (r \ ln x) = e ^ {r \ ln x }$ для всех значений $x>0 {\ displaystyle x>0}$ $x>0$ , где $exp {\ displaystyle \ exp}$ $\ exp$ - естественная экспоненциальная функция, а $e {\ displaystyle e}$ $е$ - число Эйлера. Во-первых, мы можем продемонстрировать, что производная $f (Икс) = ex {\ displaystyle f (x) = e ^ {x}}$ $f (x) = e ^ {x}$ is $f ′ (x) = ex {\ displaystyle f '(x) = e ^ {x} }$ $f'(x) = e^x$ .

Если $f (x) = ex {\ displaystyle f (x) = e ^ {x}}$ $f (x) = e ^ {x}$ , то $ln ⁡ (f (x)) = x { \ displaystyle \ ln (f (x)) = x}$ $\ ln (f (x)) = x$ , где $ln {\ displaystyle \ ln}$ $\ ln$ - функция натурального логарифма, обратная функция экспоненциальной функции, как демонстрируют d Эйлера. Поскольку последние две функции равны для всех значений $x>0 {\ displaystyle x>0}$ $x>0$ , их производные также равны, если существует какая-либо производная, так что согласно правилу цепочки ,

1 f (Икс) ⋅ F '(Икс) = 1 {\ Displaystyle {\ frac {1} {F (x)}} \ cdot f' (x) = 1}

\frac{1}{f(x)}\cdot f'(x) = 1

или $f '(x) = f (x) = ex {\ displaystyle f '(x) = f (x) = e ^ {x}}$ $f'(x)=f(x)=e^x$ , как и требовалось. Следовательно, применяя цепное правило к $f (x) = er ln ⁡ x {\ displaystyle f (x) = e ^ {r \ ln x}}$ $f (x) = e ^ {r \ ln x}$ , мы видим, что

f ′ (x) = rxer ln ⁡ x = rxxr {\ displaystyle f '(x) = {\ frac {r} {x}} e ^ {r \ ln x} = {\ frac {r} {x}} x ^ {r}}

f'(x)=\frac{r}{x}e^{r\ln x}=\frac{r}{x}x^r

, что упрощается до $rxr - 1 {\ displaystyle rx ^ {r-1}}$ $rx ^ {r-1}$ .

Когда $x < 0 {\displaystyle x<0}$ $x <0$ , мы можем использовать то же определение с $xr = ((- 1) (- x)) r = (- 1) р (- Икс) р {\ Displaystyle х ^ {г} = ((- 1) (- х)) ^ {г} = (- 1) ^ {г} (- х) ^ {г}}$ $x ^ r = ((-1) (- x)) ^ r = (- 1) ^ r (-x) ^ r$ , где теперь у нас есть $- x>0 {\ displaystyle -x>0}$ $-x>0$ . Это обязательно приводит к такому же результату. Обратите внимание: поскольку $(- 1) r {\ displaystyle (-1) ^ {r}}$ $(-1) ^ r$ не имеет общепринятого определения, когда $r {\ displaystyle r}$ $r$ не является рациональным числом, иррациональные степенные функции не определены для отрицательных базисов. Кроме того, поскольку рациональные степени -1 с четными знаменателями (в младших членах) не являются действительными числами, эти выражения имеют действительное значение только для рациональных степеней с нечетными знаменателями (в самых низких членах).

Наконец, когда функция дифференцируема при $x = 0 {\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ , определяющий предел для производной:

lim h → 0 hr - 0 rh {\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {h ^ {r} -0 ^ {r}} {h}}}

\ lim_ {h \ to 0} \ frac {h ^ r - 0 ^ r} {h}

, что дает 0 только при $r {\ displaystyle r}$ $r$ - рациональное число с нечетным знаменателем (в младших членах) и $r>1 {\ displaystyle r>1}$ $r>1$ , и 1, когда r = 1. Для всех остальных значений r выражение $hr {\ displaystyle h ^ {r}}$ $h ^ r$ не является четко определенным для $h < 0 {\displaystyle h<0}$ $h <0$ , как было описано выше, или не является действительным числом, поэтому ограничение не существует как действительное -значная производная. Для двух случаев, которые действительно существуют, значения согласуются со значением существующего правила мощности в 0, поэтому не нужно делать никаких исключений.

Исключение выражения $0 0 {\ displaystyle 0 ^ {0}}$ $0 ^ {0}$ (CA se x = 0) из нашей схемы возведения в степень связано с тем, что функция $f (x, y) = xy {\ displaystyle f (x, y) = x ^ {y}}$ $f (x, y) = x ^ y$ не имеет ограничения в (0,0), поскольку $x 0 {\ displaystyle x ^ {0}}$ $x ^ {0}$ приближается к 1, когда x приближается к 0, а $0 y {\ displaystyle 0 ^ {y}}$ $0 ^ y$ приближается к 0, когда y приближается к 0. Таким образом, было бы проблематично приписать ему какое-либо конкретное значение, поскольку это значение противоречило бы одному из двух случаев, в зависимости от приложения. Это традиционно не определено.

Доказательства для ненулевых целых показателей

Доказательство с помощью индукции (положительные целые числа)

Пусть n будет положительным целым числом. Требуется доказать, что $d d x x n = n x n - 1. {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {n} = nx ^ {n-1}.}$ ${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {n} = nx ^ {n-1}.}$

Когда $n = 1 {\ displaystyle n = 1}$ $n=1$ , $ddxx 1 = lim h → 0 (x + h) - xh = 1 = 1 x 1 - 1. {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {1} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {(x + h) -x} {h}} = 1 = 1x ^ { 1-1}.}$ ${\ displaystyle {\ frac {d} { dx}} x ^ {1} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {(x + h) -x} {h}} = 1 = 1x ^ {1-1}.}$ Следовательно, базовый случай выполняется.

Предположим, что утверждение верно для некоторого положительного целого числа k, т.е. $d d x x k = k x k - 1. {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {k} = kx ^ {k-1}.}$ ${\ displaystyle {\ гидроразрыва {d} {dx}} x ^ {k} = kx ^ {k-1}.}$

Когда $n = k + 1 {\ displaystyle n = k + 1}$ $n = k + 1$ , $ddxxk + 1 = ddx (xk ⋅ x) = xk ⋅ ddxx + x ⋅ ddxxk = xk + x ⋅ kxk - 1 = xk + kxk = (k + 1) xk = (k + 1) x (k + 1) - 1 {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {k + 1} = {\ frac {d} {dx}} (x ^ {k} \ cdot x) = x ^ {k} \ cdot {\ frac {d} {dx}} x + x \ cdot {\ frac {d} {dx}} x ^ {k} = x ^ {k} + x \ cdot kx ^ {k-1} = x ^ {k} + kx ^ {k} = (k + 1) x ^ {k} = (k + 1) x ^ {(k + 1) -1}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d} {dx} } x ^ {k + 1} = {\ frac {d} {dx}} (x ^ {k} \ cdot x) = x ^ {k} \ cdot {\ frac {d} {dx}} x + x \ cdot {\ frac {d} {dx}} x ^ {k} = x ^ {k} + x \ cdot kx ^ {k-1} = x ^ {k} + kx ^ {k} = (k + 1) x ^ {k} = (k + 1) x ^ {(k + 1) -1}}$

По принципу математической индукции утверждение верно для всех натуральных чисел n.

Доказательство с помощью биномиальной теоремы (положительные целые числа)

Пусть $y = xn {\ displaystyle y = x ^ {n}}$ $y=x^n$ , где $n ∈ N {\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$

Тогда $dydx = lim h → 0 (x + h) n - xnh {\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {(x + h) ^ {n} -x ^ {n}} {h}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {(x + h) ^ {n} -x ^ {n}} {h}}}$ $= lim h → 0 1 h [ xn + (n 1) xn - 1 h + (n 2) xn - 2 h 2 +... + (nn) hn - xn] {\ displaystyle = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {1} {h}} \ left [x ^ {n} + {\ binom {n} {1}} x ^ {n-1} h + {\ binom {n} {2}} x ^ {n-2} h ^ {2} +... + {\ binom {n} {n}} h ^ {n} -x ^ {n} \ right]}$ ${\ displaystyle = \ lim _ {h \ to 0} {\ гидроразрыв {1} {h}} \ left [x ^ {n} + {\ binom {n} {1}} x ^ {n-1} h + {\ binom {n} {2}} x ^ {n- 2} час ^ {2} +... + {\ binom {n} {n}} h ^ {n} -x ^ {n} \ right]}$

= lim h → 0 [(n 1) xn - 1 + (n 2) xn - 2 h +... + (nn) hn - 1] {\ displaystyle = \ lim _ {h \ to 0} \ left [{\ binom {n} {1}} x ^ {n-1} + {\ binom {n} {2 }} x ^ {n-2} h +... + {\ binom {n} {n}} h ^ {n-1} \ right]}

{\ displaystyle = \ lim _ {h \ to 0} \ left [{\ binom {n} {1}} x ^ {n-1} + {\ binom {n} {2}} x ^ {n-2} h +... + {\ binom {n} {n}} h ^ {n-1} \ right]}

= nxn - 1 {\ displaystyle = nx ^ {n -1}}

{\ displaystyle = nx ^ {n-1}}

Обобщение на отрицательные целые показатели

Для отрицательного целого числа n, пусть $n = - m {\ displaystyle n = -m}$ ${\ displaystyle n = -m }$ так, чтобы m было положительное целое число. Используя правило взаимности, $d d x x n = d d x (1 x m) = - d d x x m (x m) 2 = - m x m - 1 x 2 m = - m x - m - 1 = n x n - 1. {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {n} = {\ frac {d} {dx}} \ left ({\ frac {1} {x ^ {m}}} \ right) = {\ frac {- {\ frac {d} {dx}} x ^ {m}} {(x ^ {m}) ^ {2}}} = - {\ frac {mx ^ {m-1}} { x ^ {2m}}} = - mx ^ {- m-1} = nx ^ {n-1}.}$ ${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {n} = {\ frac {d} { dx}} \ left ({\ frac {1} {x ^ {m}}} \ справа) = {\ frac {- {\ frac {d} {dx}} x ^ {m}} {(x ^ {m}) ^ {2}}} = - {\ frac {mx ^ {m-1 }} {x ^ {2m}}} = - mx ^ {- m-1} = nx ^ {n-1}.}$

В заключение, для любого ненулевого целого числа $n {\ displaystyle n}$ $n$ , $ddxxn = nxn - 1. {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {n} = nx ^ {n-1}.}$ ${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {n} = nx ^ {n-1}.}$

Обобщение на рациональные показатели

После доказательства того, что правило мощности выполняется для целых чисел показателей, правило можно распространить на рациональные показатели.

Обобщение от случая к случаю

1. Пусть $y = x 1 n = xm {\ displaystyle y = x ^ {\ frac {1} {n}} = x ^ {m}}$ ${\ displaystyle y = x ^ {\ frac {1} {n}} = x ^ {m}}$ , где $n ∈ N { \ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ $n \ in \ mathbb {N}$

Тогда $yn = x {\ displaystyle y ^ {n} = x}$ ${\ displaystyle y ^ {n} = x}$

По цепочному правилу мы получаем $nyn - 1 ⋅ dydx = 1 {\ displaystyle ny ^ {n-1} \ cdot {\ frac {dy} {dx}} = 1}$ ${\ displaystyle ny ^ {n-1} \ cdot {\ frac {dy} {dx}} = 1}$

Таким образом, $dydx = 1 nyn - 1 = 1 n (Икс 1 N) N - 1 = 1 NX 1 N - 1 = mxm - 1 {\ Displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {1} {ny ^ {n-1}}} = {\ frac {1} {n \ left (x ^ {\ frac {1} {n}} \ right) ^ {n-1}}} = {\ frac {1} {n}} x ^ {{\ frac {1} {n}} - 1} = mx ^ {m-1}}$ ${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {1} {ny ^ {n-1}}} = {\ frac {1} {n \ left (x ^ {\ frac {1} {n}} \ right) ^ {n-1}}} = {\ frac {1} {n}} x ^ {{\ frac { 1} {n}} - 1} = mx ^ {m-1}}$

2. Пусть $y = xnm = xp {\ displaystyle y = x ^ {\ frac {n} {m}} = x ^ {p}}$ ${\ displaystyle y = x ^ {\ гидроразрыв {n} {m}} = x ^ {p}}$ , где $m, n ∈ N { \ displaystyle m, n \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle m, n \ in \ mat hbb {N}}$ , так что $p ∈ Q + {\ displaystyle p \ in \ mathbb {Q} ^ {+}}$ ${\ displaystyle p \ in \ mathbb {Q} ^ {+}}$

правило цепочки, $dydx = ddx (x 1 m) n = n (x 1 m) n - 1 ⋅ 1 mx 1 m - 1 = nmxnm - 1 = pxp - 1 {\ displaystyle { \ frac {dy} {dx}} = {\ frac {d} {dx}} \ left (x ^ {\ frac {1} {m}} \ right) ^ {n} = n \ left (x ^ { \ frac {1} {m}} \ right) ^ {n-1} \ cdot {\ frac {1} {m}} x ^ {{\ frac {1} {m}} - 1} = {\ frac {n} {m}} x ^ {{\ frac {n} {m}} - 1} = px ^ {p-1}}$ ${ \ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {d} {dx}} \ left (x ^ {\ frac {1} {m}} \ right) ^ {n} = n \ left ( x ^ {\ frac {1} {m}} \ right) ^ {n-1} \ cdot {\ frac {1} {m}} x ^ {{\ frac {1} {m}} - 1} = {\ frac {n} {m}} x ^ {{\ frac {n} {m}} - 1} = px ^ {p-1}}$

3. Пусть $y = xq {\ displaystyle y = x ^ {q}}$ ${\ displaystyle y = x ^ {q}}$ , где $q = - p {\ displaystyle q = -p}$ ${\ displaystyle q = -p}$ и $p ∈ Q + {\ displaystyle p \ in \ mathbb {Q} ^ {+}}$ ${\ displaystyle p \ in \ mathbb {Q} ^ {+}}$

Используя правило цепочки и правило взаимности, мы получаем $dydx знак равно ddx (1 x) p = p (1 x) p - 1 ⋅ (- 1 x 2) = - px - p - 1 = qxq - 1 {\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {d} {dx}} \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) ^ {p} = p \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) ^ {p- 1} \ cdot \ left (- {\ frac {1} {x ^ {2}}} \ right) = - px ^ {- p-1} = qx ^ {q-1}}$ ${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {d} {dx}} \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) ^ {p} = p \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) ^ {p-1} \ cdot \ left (- {\ frac {1} {x ^ {2}}} \ right) = - px ^ { -p-1} = qx ^ {q-1}}$

Из приведенного выше результатов, мы можем заключить, что когда r является рациональным числом, $ddxxr = rxr - 1. {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {r} = rx ^ {r-1}.}$ ${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {r} = rx ^ {r-1}.}$

Доказательство неявным дифференцированием
Более прямое обобщение Правило мощности к рациональным показателям использует неявное дифференцирование.

Пусть $y = xr = xp / q {\ displaystyle y = x ^ {r} = x ^ {p / q}}$ ${\ displaystyle y = x ^ {r} = x ^ {p / q}}$ , где $p, q ∈ Z {\ displaystyle p, q \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle p, q \ in \ mathbb {Z}}$ так, чтобы $r ∈ Q {\ displaystyle r \ in \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle r \ in \ mathbb {Q}}$ .

Тогда
$yq = xp {\ displaystyle y ^ {q} = x ^ {p}}$ ${\ displaystyle y ^ {q} = x ^ {p}}$
$qyq - 1 dydx = pxp - 1 {\ displaystyle qy ^ {q-1} {\ frac {dy} {dx}} = px ^ {p-1}}$ ${\ displaystyle qy ^ {q-1} {\ frac {dy} {dx}} = px ^ {p-1}}$
Решение для $dy / dx {\ displaystyle dy / dx}$ $dy / dx$ ,
$dydx = pxp - 1 qyq - 1. {\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {px ^ {p-1}} {qy ^ {q-1}}}.}$ ${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {px ^ {p-1} } {qy ^ {q-1}}}.}$
Поскольку $y = xp / q {\ displaystyle y = x ^ {p / q}}$ $y = x ^ {p / q}$ ,
$ddxxp / q = pxp - 1 qxp - p / q. {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {p / q} = {\ frac {px ^ {p-1}} {qx ^ {pp / q}}}.}$ ${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ { p / q} = {\ frac {px ^ {p-1}} {qx ^ {pp / q}}}.}$
Применение законов показателей,
$ddxxp / q = pqxp - 1 x - p + p / q = pqxp / q - 1. {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {p / q} = {\ frac {p} {q}} x ^ {p-1} x ^ {- p + p / q} = { \ frac {p} {q}} x ^ {p / q-1}.}$ ${\ displaystyle {\ frac {d} {dx} } x ^ {p / q} = {\ frac {p} {q}} x ^ {p-1} x ^ {- p + p / q} = {\ frac {p} {q}} x ^ { p / q-1}.}$
Таким образом, если $r = p / q {\ displaystyle r = p / q}$ ${\ displaystyle r = p / q}$ , мы можем заключить, что $ddxxr = rxr - 1 {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {r} = rx ^ {r-1}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {r} = rx ^ {r-1}}$ когда $r {\ displaystyle r}$ $r$ - рациональное число.

История

Правило степени для интегралов было впервые продемонстрировано в геометрической форме итальянским математиком Бонавентурой Кавальери в начале 17 века для всех положительных целых значений $n {\ displaystyle {\ displaystyle n}}$ ${\ displaystyle {\ displaystyle n}}$ , а в середине 17 века для всех рациональных способностей математики Пьер де Ферма, Евангелиста Торричелли, Жиль де Роберваль, Джон Уоллис и Блез Паскаль, каждый из которых работает независимо. В то время это были трактаты по определению площади между графиком рациональной степенной функции и горизонтальной осью. Однако, оглядываясь назад, она считается первой открытой общей теоремой исчисления. Правило степени для дифференциации было выведено Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем, каждый независимо, для рациональных функций власти в середине 17 века, которые затем оба использовали его для вывода правила власти для интегралов как обратная операция. Это отражает традиционный способ представления соответствующих теорем в современных учебниках по основам математического анализа, где правила дифференцирования обычно предшествуют правилам интегрирования.

Хотя оба мужчины заявили, что их правила, продемонстрированные только для рациональных величин, работают для всех реальных сил, ни один из них не искал доказательства такого, поскольку в то время приложения теории не были связаны с такими экзотическими степенными функциями, а вопросы сходимости бесконечных рядов оставались неоднозначными.

Уникальный случай $r = - 1 {\ displaystyle r = -1}$ $r = -1$ был разрешен фламандским иезуитом и математиком Грегуаром де Сен-Винсентом и его ученик Альфонс Антонио де Сараса в середине 17 века, который продемонстрировал, что связанный с ним определенный интеграл,

∫ 1 x 1 tdt {\ displaystyle \ int _ {1} ^ {x} {\ frac {1} {t}} \, dt}

\ int_1 ^ x \ frac {1} {t} \, dt

, представляющий область между прямоугольной гиперболой $xy = 1 {\ displaystyle xy = 1}$ $xy = 1$ и осью x, был логарифмической функцией, основанием которого в конце концов стало трансцендентное число e. Современное обозначение значения этого определенного интеграла: $ln ⁡ (x) {\ displaystyle \ ln (x)}$ $\ ln (x)$ , натуральный логарифм.

Обобщения

Комплексные степенные функции

Если мы рассмотрим функции вида $f (z) = zc {\ displaystyle f (z) = z ^ {c }}$ $f (z) = z ^ c$ где $c {\ displaystyle c}$ $c$ - любое комплексное число, а $z {\ displaystyle z}$ $z$ - комплексное число в комплексная плоскость разреза, исключающая точку ветвления точки 0 и любой связанный с ней разрез ветви, и мы используем обычное многозначное определение $zc: = exp ⁡ (c ln ⁡ z) {\ displaystyle z ^ {c}: = \ exp (c \ ln z)}$ $z ^ c: = \ exp (c \ ln z)$ , то несложно показать, что на каждой ветви комплексного логарифма тот же аргумент, который использовался выше, дает аналогичный результат: $е '(z) знак равно cz ехр ⁡ (c пер ⁡ z) {\ displaystyle f' (z) = {\ frac {c} {z}} \ exp (c \ ln z)}$ $f'(z) = \frac{c}{z}\exp(c\ln z)$ .

Кроме того, если $c {\ displaystyle c}$ $c$ является положительным целым числом, тогда нет необходимости в разрезании ветви: можно определить $f (0) = 0 {\ displaystyle f (0) = 0}$ $f (0) = 0$ , или определить положительные целые комплексные степени через комплексное умножение ion и покажем, что $f ′ (z) = czc - 1 {\ displaystyle f '(z) = cz ^ {c-1}}$ $f'(z) = cz^{c-1}$ для всех сложных $z {\ displaystyle z}$ $z$ , из определения производной и биномиальной теоремы.

Однако из-за многозначного характера сложных степенных функций для нецелочисленных показателей необходимо соблюдать осторожность при указании ветви используемого комплексного логарифма. Кроме того, независимо от того, какая ветвь используется, если $c {\ displaystyle c}$ $c$ не является положительным целым числом, тогда функция не дифференцируема в 0.

Ссылки

Ларсон, Рон; Хостетлер, Роберт П.; и Эдвардс, Брюс Х. (2003). Исчисление одной переменной: ранние трансцендентные функции (3-е издание). Компания Houghton Mifflin. ISBN 0-618-22307-X.