Экспоненциальное затухание

редактировать

Величина, подвергающаяся экспоненциальному затуханию. Чем больше константа распада, тем быстрее величина исчезает. На этом графике показано уменьшение постоянной спада (λ) 25, 5, 1, 1/5 и 1/25 для x от 0 до 5.

Величина подвержена экспоненциальному убыванию, если она уменьшается со скоростью , пропорциональной своему текущему значению. Символически этот процесс может быть выражен следующим дифференциальным уравнением, где N - величина, а λ (лямбда) - положительная скорость, называемая константой экспоненциального затухания :

d N d t = - λ N. {\ displaystyle {\ frac {dN} {dt}} = - \ lambda N.}

{\ frac {dN} {dt }} = - \ lambda N.

Решение этого уравнения (см. вывод ниже):

N (t) = N 0 e - λ t, {\ displaystyle N (t) = N_ {0} e ^ {- \ lambda t},}

{\ displaystyle N (t) = N_ {0} e ^ {- \ lambda t},}

, где N (t) - количество в момент времени t, N 0 = N (0) - начальная величина, то есть величина в момент времени t = 0, а постоянная λ называется постоянной распада, постоянной распада, константа скорости, или константа преобразования .

Содержание

1 Измерение скорости распада
- 1.1 Среднее время жизни
- 1.2 Период полураспада
2 Решение дифференциального уравнения
- 2.1 Определение среднего времени жизни
- 2.2 Распад двумя или более процессами
- 2.3 Серия распадов / связанный распад
3 Приложения и примеры
- 3.1 Естественные науки
- 3.2 Социальные науки
- 3.3 Информатика
4 См. Также
5 Примечания
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Измерение скорости распада

Среднее время жизни

Если количество распада, N (t), - количество дискретных элементов в определенный набор, можно вычислить среднюю продолжительность времени, в течение которого элемент остается в наборе. Это называется средним сроком службы (или просто временем жизни ), где экспоненциальная постоянная времени, $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ относится к скорости распада λ следующим образом:

τ = 1 λ. {\ displaystyle \ tau = {\ frac {1} {\ lambda}}.}

\ tau = {\ frac {1} {\ lambda}}.

Среднее время жизни можно рассматривать как «время масштабирования», потому что уравнение экспоненциального затухания можно записать в терминах среднего времени жизни $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ вместо постоянной затухания λ:

N (t) = N 0 e - t / τ, {\ displaystyle N (t) = N_ {0} e ^ {- t / \ tau},}

{\ displaystyle N (t) = N_ {0} e ^ {- t / \ tau},}

и что $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ - это время, когда популяция сборки уменьшается до 1 / e ≈ 0,367879441 раз больше его начального значения.

Например, если начальная совокупность сборки, N (0), равна 1000, тогда совокупность во время $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ , $N (τ) {\ displaystyle N (\ tau)}$ ${\ displaystyle N (\ tau)}$ , равно 368.

Очень похожее уравнение будет показано ниже, которое возникает, когда основание экспоненты выбирается равным 2, а не e. В этом случае время масштабирования - это «период полураспада».

Период полураспада

Более интуитивной характеристикой экспоненциального распада для многих людей является время, необходимое для того, чтобы распадающаяся величина упала до половины своего первоначального значения. Это время называется периодом полураспада и часто обозначается символом t 1/2. Период полураспада может быть записан в терминах постоянной распада или среднего времени жизни как:

t 1/2 = ln) (2) λ = τ ln ⁡ (2). {\ displaystyle t_ {1/2} = {\ frac {\ ln (2)} {\ lambda}} = \ tau \ ln (2).}

t_ {1/2} = {\ frac {\ ln (2)} {\ lambda}} = \ tau \ ln (2).

Если это выражение вставлено для $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ в приведенном выше экспоненциальном уравнении и ln 2 поглощается основанием, это уравнение принимает следующий вид:

N (t) = N 0 2 - t / t 1/2. {\ displaystyle N (t) = N_ {0} 2 ^ {- t / t_ {1/2}}. \,}

N (t) = N_ {0} 2 ^ {- t / t_ {1/2}}. \,

Таким образом, количество оставшегося материала равно 2 = 1/2, возведенное к (целому или дробное) количество прошедших периодов полураспада. Таким образом, после 3 периодов полураспада останется 1/2 = 1/8 исходного материала.

Следовательно, средний срок службы $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ равен периоду полураспада, деленному на натуральный логарифм 2, или:

τ = t 1/2 ln ⁡ (2) ≈ 1,44 ⋅ t 1/2. {\ displaystyle \ tau = {\ frac {t_ {1/2}} {\ ln (2)}} \ приблизительно 1,44 \ cdot t_ {1/2}.}

{\ displaystyle \ tau = {\ frac {t_ {1/2}} {\ ln (2)}} \ приблизительно 1,44 \ cdot t_ {1/2}.}

Например. полоний -210 имеет период полураспада 138 дней и среднее время жизни 200 дней.

Решение дифференциального уравнения

Уравнение, описывающее экспоненциальный спад:

d N dt = - λ N {\ displaystyle {\ frac {dN} {dt}} = - \ лямбда N}

{\ frac {dN} {dt}} = - \ lambda N

или, переставляя (применяя технику, называемую разделением переменных ),

d NN = - λ dt. {\ displaystyle {\ frac {dN} {N}} = - \ lambda dt.}

{\ frac {dN} {N}} = - \ lambda dt.

Интегрируя, мы имеем

ln ⁡ N = - λ t + C {\ displaystyle \ ln N = - \ lambda t + C \,}

\ ln N = - \ lambda t + C \,

, где C - постоянная интегрирования, и, следовательно,

N (t) = e C e - λ t = N 0 e - λ t {\ displaystyle N ( t) = e ^ {C} e ^ {- \ lambda t} = N_ {0} e ^ {- \ lambda t} \,}

N (t) = e ^ {C} e ^ {- \ lambda t} = N_ {0} e ^ {- \ lambda t} \,

где последняя подстановка, N 0 = e, получается путем оценки уравнения при t = 0, поскольку N 0 определяется как величина при t = 0.

Это форма уравнения, которая используется чаще всего для описания экспоненциального распада. Для характеристики распада достаточно любого из значений постоянной распада, среднего времени жизни или периода полураспада. Обозначение λ для постоянной затухания является остатком обычного обозначения для собственного значения. В этом случае λ является собственным значением отрицательного значения дифференциального оператора с N (t) в качестве соответствующей собственной функции. Единицы постоянной затухания - с.

Расчет среднего срока службы

Для набора элементов, количество которых в конечном итоге уменьшается до нуля, средний срок службы, $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ (также называемый просто временем жизни ) - это ожидаемое значение количества времени до удаления объекта из сборки. В частности, если индивидуальный срок службы элемента сборки - это время, прошедшее между некоторым эталонным временем и удалением этого элемента из сборки, средний срок службы - это среднее арифметическое отдельных сроков службы.

Исходя из формулы численности

N = N 0 e - λ t, {\ displaystyle N = N_ {0} e ^ {- \ lambda t}, \,}

N = N_ {0} e ^ {- \ lambda t}, \,

сначала пусть c быть нормализующим коэффициентом для преобразования в функцию плотности вероятности :

1 = ∫ 0 ∞ c ⋅ N 0 e - λ tdt = c ⋅ N 0 λ {\ displaystyle 1 = \ int _ {0} ^ {\ infty} c \ cdot N_ {0} e ^ {- \ lambda t} \, dt = c \ cdot {\ frac {N_ {0}} {\ lambda}}}

1 = \ int _ {0} ^ {\ infty} c \ cdot N_ {0} e ^ {- \ lambda t} \, dt = c \ cdot {\ frac {N_ {0}} { \ lambda}}

или, при перестановке,

с = λ N 0. {\ displaystyle c = {\ frac {\ lambda} {N_ {0}}}.}

c = {\ frac {\ lambda} {N_ {0}}}.

Экспоненциальный спад - это скалярное кратное экспоненциального распределения (т. е. индивидуальное время жизни каждого объекта распределено экспоненциально), которое имеет общеизвестное ожидаемое значение. Здесь мы можем вычислить его, используя интегрирование по частям.

τ = ⟨t⟩ = ∫ 0 ∞ t ⋅ c ⋅ N 0 e - λ t d t = ∫ 0 ∞ λ t e - λ t d t = 1 λ. {\ displaystyle \ tau = \ langle t \ rangle = \ int _ {0} ^ {\ infty} t \ cdot c \ cdot N_ {0} e ^ {- \ lambda t} \, dt = \ int _ {0 } ^ {\ infty} \ lambda te ^ {- \ lambda t} \, dt = {\ frac {1} {\ lambda}}.}

\ tau = \ langle t \ rangle = \ int _ {0} ^ {\ infty} t \ cdot c \ cdot N_ {0} e ^ {- \ lambda t} \, dt = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ lambda te ^ {- \ lambda t} \, dt = {\ frac {1} {\ lambda}}.

Распад двумя или более процессами

Количество может распадаться одновременно в результате двух или более различных процессов. В общем, эти процессы (часто называемые "режимами распада", "каналами распада", "путями распада" и т. Д.) Имеют разные вероятности протекания и, таким образом, происходят с разной скоростью с разными периодами полураспада, параллельно. Полная скорость распада количества N определяется суммой путей распада; таким образом, в случае двух процессов:

- d N (t) d t = N λ 1 + N λ 2 = (λ 1 + λ 2) N. {\ displaystyle - {\ frac {dN (t)} {dt}} = N \ lambda _ {1} + N \ lambda _ {2} = (\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}) N.}

- {\ frac {dN (t)} {dt}} = N \ lambda _ {1} + N \ lambda _ {2} = (\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}) N.

Решение этого уравнения дано в предыдущем разделе, где сумма $λ 1 + λ 2 {\ displaystyle \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} \,}$ $\ lambda _ {1 } + \ lambda _ {2} \,$ рассматривается как новая константа полного затухания $λ c {\ displaystyle \ lambda _ {c}}$ $\ lambda _ {c}$ .

N (t) = N 0 e - (λ 1 + λ 2) t = N 0 е - (λ c) t. {\ Displaystyle N (T) = N_ {0} e ^ {- (\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}) t} = N_ {0} e ^ {- (\ lambda _ {c}) t}.}

N (t) = N_ {0} e ^ {- (\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}) t} = N_ {0} e ^ {- (\ lambda _ {c}) t}.

Неполный средний срок службы, связанный с отдельными процессами, по определению является мультипликативной обратной соответствующей частичной константы распада: $τ = 1 / λ {\ displaystyle \ tau = 1 / \ лямбда}$ $\ tau = 1 / \ lambda$ . Комбинированный $τ c {\ displaystyle \ tau _ {c}}$ $\ tau _ {c}$ может быть задан в терминах $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ s:

1 τ с знак равно λ с = λ 1 + λ 2 знак равно 1 τ 1 + 1 τ 2 {\ displaystyle {\ frac {1} {\ tau _ {c}}} = \ lambda _ {c} = \ lambda _ { 1} + \ lambda _ {2} = {\ frac {1} {\ tau _ {1}}} + {\ frac {1} {\ tau _ {2}}}}

{\ frac {1} {\ tau _ {c}}} = \ lambda _ {c } = \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} = {\ frac {1} {\ tau _ {1}}} + {\ frac {1} {\ tau _ {2}}}

τ c = τ 1 τ 2 τ 1 + τ 2. {\ displaystyle \ tau _ {c} = {\ frac {\ tau _ {1} \ tau _ {2}} {\ tau _ {1} + \ tau _ {2}}}.}

\ tau _ {c} = {\ frac {\ tau _ {1} \ tau _ {2}} {\ tau _ {1} + \ tau _ {2}}}.

Поскольку половина - продолжительность жизни отличается от средней продолжительности жизни $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ на постоянный коэффициент, то же самое уравнение выполняется в терминах двух соответствующих периодов полураспада:

T 1/2 = t 1 t 2 t 1 + t 2 {\ displaystyle T_ {1/2} = {\ frac {t_ {1} t_ {2}} {t_ {1} + t_ {2}}}}

T_ {1/2} = {\ frac {t_ {1} t_ {2}} {t_ {1} + t_ {2}}}

где $T 1/2 {\ displaystyle T_ {1/2}}$ $T_ {1/2}$ - объединенный или общий период полураспада для процесса, $t 1 {\ displaystyle t_ {1}}$ $t_ {1}$ и $t 2 {\ displaystyle t_ {2}}$ $t_ {2}$ представляют собой так называемые частичные периоды полураспада соответствующих процессов. Термины «частичный период полураспада» и «частичный средний срок жизни» обозначают количества, полученные из константы распада, как если бы данная мода распада была единственной модой распада для количества. Термин «частичный период полураспада» вводит в заблуждение, поскольку его нельзя измерить как интервал времени, в течение которого определенная величина уменьшается вдвое.

С точки зрения отдельных констант распада, общий период полураспада $T 1 / 2 {\ displaystyle T_ {1/2}}$ $T_ {1/2}$ можно показать как

T 1/2 = ln ⁡ 2 λ c = ln ⁡ 2 λ 1 + λ 2. {\ displaystyle T_ {1/2} = {\ frac {\ ln 2} {\ lambda _ {c}}} = {\ frac {\ ln 2} {\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} }}.}

T_ {1/2} = {\ frac {\ ln 2} {\ lambda _ {c}}} = {\ frac {\ ln 2} {\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}}}.

Для распада в результате трех одновременных экспоненциальных процессов общий период полураспада можно вычислить, как указано выше:

T 1/2 = ln ⁡ 2 λ c = ln ⁡ 2 λ 1 + λ 2 + λ 3 = т 1 т 2 т 3 (т 1 т 2) + (т 1 т 3) + (т 2 т 3). {\ displaystyle T_ {1/2} = {\ frac {\ ln 2} {\ lambda _ {c}}} = {\ frac {\ ln 2} {\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} + \ lambda _ {3}}} = {\ frac {t_ {1} t_ {2} t_ {3}} {(t_ {1} t_ {2}) + (t_ {1} t_ {3}) + (t_ {2} t_ {3})}}.}

T_ {1/2} = {\ frac {\ ln 2} {\ lambda _ {c}}} = {\ frac {\ ln 2} {\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} + \ lambda _ {3}}} = {\ frac {t_ {1} t_ {2} t_ {3}} {(t_ {1} t_ {2}) + (t_ {1} t_ {3}) + ( t_ {2} t_ {3})}}.

Серия распадов / связанный распад

В ядерной науке и фармакокинетике интересующий агент может находиться в цепочке распада, где накопление регулируется экспоненциальным распадом исходного агента, в то время как сам интересующий агент распадается посредством экспоненциального процесса.

Эти системы решаются с использованием уравнения Бейтмана.

В условиях фармакологии некоторые проглоченные вещества могут абсорбироваться в организм в результате процесса, который можно смоделировать как экспоненциальный распад, или может быть преднамеренно сформулировал, чтобы иметь такой профиль выпуска.

Приложения и примеры

Экспоненциальное затухание происходит в самых разных ситуациях. Большинство из них относятся к области естественных наук.

Многие процессы распада, которые часто рассматриваются как экспоненциальные, на самом деле являются только экспоненциальными, пока выборка велика и закон больших чисел держит. Для небольших образцов необходим более общий анализ, учитывающий процесс Пуассона.

Естественные науки

Химические реакции : скорости определенных типов химические реакции зависят от концентрации того или иного реагента. Реакции, скорость которых зависит только от концентрации одного реагента (известные как реакции первого порядка ), следовательно, имеют экспоненциальный спад. Например, многие реакции, катализируемые ферментом - , ведут себя именно так.
Электростатика : электрический заряд (или, что то же самое, потенциал ), содержащийся в конденсаторе (емкость C), изменяется экспоненциально, если конденсатор испытывает постоянную внешнюю нагрузку (сопротивление R). Экспоненциальная постоянная времени τ для процесса равна R C, и, следовательно, период полураспада равен R C ln2. Это относится как к зарядке, так и к разрядке, то есть конденсатор заряжается или разряжается по одному и тому же закону. Те же уравнения можно применить к току в катушке индуктивности. (Более того, частный случай замены конденсатора или катушки индуктивности через несколько параллельных резисторов представляет собой интересный пример множественных процессов распада, при этом каждый резистор представляет собой отдельный процесс. Фактически, выражение для эквивалентного сопротивления двух параллельно включенных резисторов отражает уравнение для периода полураспада с двумя процессами распада.)
Геофизика :Атмосферное давление уменьшается примерно по экспоненте с увеличением высоты над уровнем моря, со скоростью около 12% на 1000 м.
Теплопередача : Если объект с одной температурой подвергается воздействию среды с другой температурой, разница температур между объектом и среда следует экспоненциальному распаду (в пределе медленных процессов; эквивалент «хорошей» теплопроводности внутри объекта, так что его температура остается относительно однородной во всем объеме). См. Также закон охлаждения Ньютона.
Люминесценция : После возбуждения интенсивность излучения люминесцентного материала, пропорциональная количеству возбужденных атомов или молекул, спадает экспоненциально. В зависимости от числа задействованных механизмов распад может быть моно- или многоэкспоненциальным.
Фармакология и токсикология : Установлено, что многие вводимые вещества распределяются и метаболизируется (см. клиренс ) в соответствии с паттернами экспоненциального распада. биологический период полураспада «период полураспада в альфа-диапазоне» и «период полураспада в бета-режиме» вещества измеряет, насколько быстро вещество распределяется и удаляется.
Физическая оптика : Интенсивность электромагнитного излучения, такого как свет, рентгеновские лучи или гамма-лучи в поглощающей среде, следует экспоненциальному уменьшению с расстоянием до поглощающей среды. Это известно как закон Бера-Ламберта.
Радиоактивность : В образце радионуклида, который подвергается радиоактивному распаду до В другом состоянии количество атомов в исходном состоянии следует экспоненциальному распаду, пока оставшееся количество атомов велико. Продукт распада называется радиогенным нуклидом.
Термоэлектричество : Снижение сопротивления отрицательного температурного коэффициента термистора при повышении температуры.
Вибрации : Некоторые вибрации могут затухать экспоненциально; эта характеристика часто встречается в механических генераторах с демпфированием и используется при создании огибающих ADSR в синтезаторах. сверхдемпфированная система просто вернется к равновесию посредством экспоненциального затухания.
Пивная пена: Арнд Лейке из Мюнхенского университета Людвига Максимилиана выиграл Шнобелевская премия за демонстрацию того, что пивная пена подчиняется закону экспоненциального распада.

Социальные науки

Финансы : пенсионный фонд будет экспоненциально распадаться из-за дискретного суммы выплат, обычно ежемесячные, и ввод с постоянной процентной ставкой. Дифференциальное уравнение dA / dt = вход - выход может быть записано и решено, чтобы найти время для достижения любой суммы A, оставшейся в фонде.
В простом глоттохронологии, то (спорно) предположение о скорости затухания постоянной в языках позволяет оценить возраст отдельных языков. (Для вычисления времени разделения между двумя языками требуются дополнительные предположения, не зависящие от экспоненциального спада.)

Информатика

Основной протокол маршрутизации в Интернете, BGP, должен поддерживать таблицу маршрутизации, чтобы запоминать пути, по которым пакет может отклоняться. Когда один из этих путей неоднократно меняет свое состояние с доступного на недоступное (и наоборот), маршрутизатор BGP , контролирующий этот путь, должен многократно добавлять и удалять запись пути из своей таблицы маршрутизации (меняет путь), таким образом расходуя локальные ресурсы, такие как CPU и RAM, и, даже больше, широковещательная передача бесполезной информации одноранговым маршрутизаторам. Чтобы предотвратить это нежелательное поведение, алгоритм с названием «демпфирование колебания маршрута» присваивает каждому маршруту вес, который увеличивается каждый раз, когда маршрут меняет свое состояние, и экспоненциально затухает со временем. Когда вес достигает определенного предела, колебания больше не производятся, таким образом подавляя маршрут.

Графики, сравнивающие время удвоения и периоды полураспада экспоненциального роста (жирные линии) и затухания (слабые линии), а также их 70 / t и 72 / t приближения. В версии SVG наведите указатель мыши на график, чтобы выделить его и его дополнение.

См. Также

Экспоненциальная формула
Экспоненциальный рост
Радиоактивный распад для математики цепей. экспоненциальных процессов с разными константами

Примечания

Ссылки

Энциклопедия науки и технологий МакГроу-Хилла (10-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. 2007. ISBN 0-07-144143-3.
Serway, Raymond A.; Моисей, Климент Дж.; Мойер, Курт А. (1989), Современная физика, Форт-Уэрт: Харкорт Брейс Йованович, ISBN 0-03-004844-3
Симмонс, Джордж Ф. (1972), Дифференциальные уравнения с приложениями и историческими примечаниями, Нью-Йорк: McGraw-Hill, LCCN 75173716

Внешние ссылки