Экспоненциальный рост

Рост количества со скоростью, пропорциональной текущей сумме График показывает, как экспоненциальный рост (зеленый) превосходит линейный (красный)) и кубический (синий) рост. Экспоненциальный рост Кубический рост Линейный рост

Экспоненциальный рост - это особый способ увеличения количества с течением времени. Это происходит, когда мгновенная скорость изменения (то есть производная ) величины по времени пропорциональна самой величине. Описанная как функция, величина, претерпевающая экспоненциальный рост, является экспоненциальной функцией времени, то есть переменная, представляющая время, является экспонентой (в отличие от других типов роста, таких как квадратичный рост ).

Если константа пропорциональности отрицательна, то величина со временем уменьшается, и вместо этого считается, что она подвергается экспоненциальному убыванию. В случае дискретной области определения с равными интервалами, это также называется геометрическим ростом или геометрическим распадом, поскольку значения функции образуют геометрический прогрессия.

Формула экспоненциального роста переменной x со скоростью роста r, когда время t длится в дискретных интервалах (то есть, в целых числах, умноженных на 0, 1, 2, 3,...), составляет

$xt\; =\; x\; 0\; (1\; +\; r)\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{t\}\; =\; x\_\; \{0\}\; (1\; +\; r)\; ^\; \{t\}\}$

где x 0 - значение x в момент времени 0. Для иллюстрации этого часто используется рост бактериальной колонии. Одна бактерия распадается на две, каждая из которых разделяется на четыре, затем восемь, 16, 32 и так далее. Скорость увеличения продолжает расти, потому что она пропорциональна постоянно растущему количеству бактерий. Подобный рост наблюдается в реальной жизни или явлениях, таких как распространение вирусной инфекции, рост долга из-за сложных процентов и распространение вирусных видео. В реальных случаях начальный экспоненциальный рост часто не длится вечно, вместо этого он в конечном итоге замедляется из-за верхних пределов, вызванных внешними факторами, и превращается в логистический рост.

• 1 Примеры
  • 1.1 Биология
  • 1.2 Физика
  • 1.3 Экономика
  • 1.4 Финансы
  • 1.5 Информатика
  • 1.6 Интернет-феномены
• 2 Основная формула
• 3 Переформулировка как лог-линейный рост
• 4 Дифференциальное уравнение
• 5 Уравнение разности
• 6 Другие темпы роста
  • 6.1 Логистический рост
• 7 Ограничения моделей
• 8 Смещение экспоненциального роста
  • 8.1 Рис на шахматной доске
  • 8.2 Водяная лилия
• 9 См. Также
• 10 Ссылки и сноски
  • 10.1 Источники
• 11 Внешние ссылки

Бактерии демонстрируют экспоненциальный рост в оптимальных условиях.

Биология

• Количество микроорганизмов в культуре будет экспоненциально увеличиваться до тех пор, пока не будут исчерпаны необходимые питательные вещества. Обычно первый организм разделяется на два дочерних организма, каждый из которых затем разделяется на четыре, которые разделяются на восемь и так далее. Поскольку экспоненциальный рост указывает на постоянную скорость роста, часто предполагается, что экспоненциально растущие клетки находятся в стабильном состоянии. Однако клетки могут расти экспоненциально с постоянной скоростью при ремоделировании их метаболизма и экспрессии генов.
• Вирус (например, COVID-19 или натуральная оспа ) обычно будет Если искусственная иммунизация недоступна, сначала распространяется экспоненциально. Каждый зараженный человек может заразить несколько новых людей.

Физика

• Лавинный пробой в диэлектрическом материале. Свободный электрон получает достаточное ускорение под действием приложенного извне электрического поля, чтобы высвободить дополнительные электроны при столкновении с атомами или молекулами диэлектрические среды. Эти вторичные электроны также ускоряются, создавая большее количество свободных электронов. Результирующий экспоненциальный рост электронов и ионов может быстро привести к полному диэлектрическому пробою материала.
• Ядерная цепная реакция (концепция, лежащая в основе ядерных реакторов и ядерное оружие ). Каждое ядро ​​урана , которое подвергается делению, производит несколько нейтронов, каждый из которых может поглощаться соседними атомами урана., заставляя их, в свою очередь, делиться. Если вероятность поглощения нейтрона превышает вероятность выхода нейтрона (функция формы формы и массы урана), k>0, и поэтому скорость образования нейтронов и индуцированного деления урана увеличивается экспоненциально в неконтролируемой реакции. "Из-за экспоненциальной скорости роста, в любой момент цепной реакции 99% энергии будет высвобождено за последние 4,6 поколения. Это разумное приближение, если рассматривать первые 53 поколения как период ожидания, ведущий к фактический взрыв, который занимает всего 3–4 поколения ».
• Положительная обратная связь в линейном диапазоне электрического или электроакустического усиления может привести к экспоненциальному росту усиленного сигнала, хотя эффекты резонанса могут отдавать предпочтение одним сигналам перед другими.

Экономика

• Экономический рост выражается в процентах, подразумевая экспоненциальный рост.

Финансы

• Сложные проценты при постоянная процентная ставка обеспечивает экспоненциальный рост капитала. См. Также правило 72.
• пирамиды или схемы Понци также демонстрируют этот тип роста, приводящий к высокой прибыли для нескольких первоначальных инвесторов и убыткам среди большого числа инвесторов.

Информатика

• Вычислительная мощность компьютеров. См. Также закон Мура и технологическая особенность. (При экспоненциальном росте нет сингулярностей. Сингулярность здесь - метафора, предназначенная для обозначения невообразимого будущего. Связь этой гипотетической концепции с экспоненциальным ростом наиболее громко выражена футурологом Рэй Курцвейл.)
• In теория вычислительной сложности, компьютерные алгоритмы экспоненциальной сложности требуют экспоненциально увеличивающегося количества ресурсов (например, времени, памяти компьютера) только для постоянного увеличения размера задачи. Таким образом, для алгоритма временной сложности 2, если проблема размера Для выполнения x = 10 требуется 10 секунд, а для задачи размера x = 11 требуется 20 секунд, затем для задачи размера x = 12 потребуется 40 секунд. Такой алгоритм обычно становится непригодным для использования при очень малых размерах задач, часто между 30 и 100 элементов (большинство компьютерных алгоритмов должны иметь возможность решать гораздо более крупные проблемы, до десятков тысяч или даже миллионов элементов в разумные сроки, что было бы физически невозможно с экспоненциальным горитм). Кроме того, действие закона Мура не очень помогает ситуации, потому что удвоение скорости процессора просто позволяет увеличить размер проблемы на константу. Например. если медленный процессор может решать задачи размера x за время t, то процессор в два раза быстрее может решать задачи размера x + constant только за то же время t. Таким образом, экспоненциально сложные алгоритмы чаще всего непрактичны, и поиск более эффективных алгоритмов является сегодня одной из центральных целей информатики.

Интернет-феномены

• Интернет-контент, такой как Интернет-мемы или видео, могут распространяться экспоненциально, часто говорят, что они «становятся вирусными » по аналогии с распространением вирусов. С помощью таких средств массовой информации, как социальные сети, один человек может пересылать один и тот же контент множеству людей одновременно, которые затем распространяют его еще большему количеству людей и т. Д., Вызывая быстрое распространение. Например, видео Gangnam Style было загружено на YouTube 15 июля 2012 года, и его просмотрели сотни тысяч зрителей в первый день, миллионы - на двадцатый день, и в совокупности его просмотрели сотни миллионов менее чем за два месяца.

Величина x экспоненциально зависит от времени t, если

$x\; (t)\; =\; a\; \cdot \; bt\; /\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\; =\; a\; \backslash \; cdot\; b\; ^\; \{t\; /\; \backslash \; tau\}\}$

где константа a является начальным значением x,

$x\; (0)\; =\; a,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (0)\; =\; a\; \backslash ,,\}$

константа b является положительным фактором роста, а τ - постоянная времени - время, необходимое для того, чтобы x увеличился в один раз в b:

$x\; (t\; +\; \tau )\; =\; a\; \cdot \; bt\; +\; \tau \; \tau \; =\; a\; bt\; \tau \; \cdot \; b\; \tau \; \tau \; =\; x\; (t)\; \cdot \; b.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t\; +\; \backslash \; tau)\; =\; a\; \backslash \; cdot\; b\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{t\; +\; \backslash \; tau\}\; \{\backslash \; tau\}\}\; =\; a\; \backslash \; cdot\; b\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{\backslash \; tau\}\}\; \backslash \; cdot\; b\; ^\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; tau\}\; \{\backslash \; tau\}\}\; =\; x\; (t)\; \backslash \; cdot\; b\; \backslash ,.\}$

Если τ>0 и b>1, то x имеет экспоненциальный рост. Если τ < 0 and b>1 или τ>0 и 0 < b < 1, then x has экспоненциальный распад.

Пример: если количество бактерий удваивается каждые десять минут, начиная с одной, то сколько бактерий будет присутствовать через один час? Из вопроса следует, что a = 1, b = 2 и τ = 10 мин.

$Икс\; (T)\; знак\; равно\; a\; \cdot \; bt\; /\; \tau \; =\; 1\; \cdot \; 2\; (60\; мин)\; /\; (10\; мин)\; \{\backslash \; Displaystyle\; x\; (t)\; =\; a\; \backslash \; cdot\; b\; ^\; \{t\; /\; \backslash \; tau\}\; =\; 1\; \backslash \; cdot\; 2\; ^\; \{(60\; \{\backslash \; text\; \{min\}\})\; /\; (10\; \{\backslash \; text\; \{min\}\})\}\}$

$x\; (1\; час)\; =\; 1\; \cdot \; 2\; 6\; =\; 64.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (1\; \{\backslash \; text\; \{hr\}\})\; =\; 1\; \backslash \; cdot\; 2\; ^\; \{6\}\; =\; 64.\}$

Через час или шесть десятиминутных интервалов будет шестьдесят четыре бактерии.

Множество пар (b, τ) безразмерного неотрицательного числа b и количества времени τ (физическая величина, которая может быть выражена как произведение числа единиц и единицы времени) представляют одну и ту же скорость роста, при этом τ пропорционально log b. Для любого фиксированного b, не равного 1 (например, e или 2), скорость роста задается ненулевым временем τ. Для любого ненулевого времени τ скорость роста определяется безразмерным положительным числом b.

Таким образом, закон экспоненциального роста может быть записан в разных, но математически эквивалентных формах с использованием другого основания. Наиболее распространены следующие формы:

$x\; (t)\; =\; x\; 0\; \cdot \; ekt\; =\; x\; 0\; \cdot \; et\; /\; \tau \; =\; x\; 0\; \cdot \; 2\; t\; /\; T\; =\; x\; 0\; \cdot \; (1\; +\; r\; 100)\; t\; /\; p,\; \{\; \backslash \; displaystyle\; x\; (t)\; =\; x\_\; \{0\}\; \backslash \; cdot\; e\; ^\; \{kt\}\; =\; x\_\; \{0\}\; \backslash \; cdot\; e\; ^\; \{t\; /\; \backslash \; tau\}\; =\; x\_\; \{0\}\; \backslash \; cdot\; 2\; ^\; \{t\; /\; T\}\; =\; x\_\; \{\; 0\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{r\}\; \{100\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{t\; /\; p\},\}$

где x 0 выражает начальную величину x (0).

Параметры (отрицательные в случае экспоненциального убывания):

• Константа роста k - это частота (количество раз в единицу времени) увеличения в e раз; в финансах это также называется логарифмической доходностью, непрерывно вычисляемой доходностью или силой интереса.
• время электронного складывания τ - это время, необходимое для увеличения коэффициент e.
• Время удвоения T - время, необходимое для удвоения.
• Процент увеличения r (безразмерное число) за период p.

Величины k, τ и T, а для данного p также r, имеют взаимно однозначную связь, задаваемую следующим уравнением (которое может быть получено путем натурального логарифма приведенного выше):

$k\; =\; 1\; \tau \; =\; ln\; \; 2\; T\; знак\; равно\; пер\; \; (1\; +\; р\; 100)\; п\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; tau\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ln\; 2\}\; \{T\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ln\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{r\}\; \{100\}\}\; \backslash \; right)\}\; \{p\}\}\}$

где k = 0 соответствует r = 0, а τ и T бесконечны.

Если p - единица времени, то частное t / p - это просто количество единиц времени. Используя обозначение t для (безразмерного) количества единиц времени, а не самого времени, t / p можно заменить на t, но для единообразия здесь этого удалось избежать. В этом случае деление на p в последней формуле также не является числовым делением, а преобразует безразмерное число в правильное количество, включая единицу.

Популярным приближенным методом вычисления времени удвоения по скорости роста является правило 70, то есть $T\; \simeq \; 70\; /\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \backslash \; simeq\; 70\; /\; r\}$.

Графики, сравнивающие времена удвоения и периоды полураспада экспоненциального роста (жирные линии) и распада (слабые линии), а также их приближения 70 / t и 72 / t. В версии SVG наведите указатель мыши на график, чтобы выделить его и его дополнение.

Если переменная x демонстрирует экспоненциальный рост согласно $x\; (t)\; =\; x\; 0\; (1\; +\; r)\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\; =\; x\_\; \{0\}\; (1\; +\; r)\; ^\; \{t\}\}$, затем журнал (до любого основания) x растет линейно со временем, что можно увидеть, взяв логарифм обеих сторон уравнения экспоненциального роста:

$log\; \; x\; (t)\; =\; log\; \; x\; 0\; +\; t\; \cdot \; журнал\; \; (1\; +\; r).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; x\; (t)\; =\; \backslash \; log\; x\_\; \{0\}\; +\; t\; \backslash \; cdot\; \backslash \; log\; (1\; +\; r).\}$

Это позволяет моделировать экспоненциально растущую переменную с помощью лог-линейной модели. Например, если кто-то хочет эмпирически оценить скорость роста на основе межвременных данных по x, можно линейно регрессировать log x по t.

экспоненциальная функция $x\; (t)\; =\; x\; (0)\; ekt\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\; =\; x\; (0)\; e\; ^\; \{kt\}\}$удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению :

$dxdt\; =\; kx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash !\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{dt\}\}\; =\; kx\}$

, говоря, что изменение x в момент времени t пропорционально значению x (t), а x (t) имеет начальное значение

$x\; (0).\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (0).\}$

Дифференциальное уравнение решается прямым интегрированием:

$dxdt\; =\; kxdxx\; =\; kdt\; \int \; x\; (0)\; x\; (t)\; dxx\; =\; k\; \int \; 0\; tdt\; ln\; \; x\; (t)\; х\; (0)\; =\; кт.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{dt\}\}\; =\; kx\; \backslash \backslash \; [5pt]\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{x\}\}\; =\; k\; \backslash ,\; dt\; \backslash \backslash \; [5pt]\; \backslash \; int\; \_\; \{x\; (0)\}\; ^\; \{x\; (t)\}\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{x\}\}\; =\; k\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; \backslash ,\; dt\; \backslash \backslash \; [5pt]\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; frac\; \{x\; (t)\}\; \{x\; (0)\}\}\; =\; kt.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

так, чтобы

$x\; (t)\; =\; x\; (0)\; ekt\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\; =\; x\; (0)\; e\; ^\; \{kt\}\}$

В приведенном выше дифференциальном уравнении, если k <0, то величина испытывает экспоненциальное затухание.

Для нелинейного изменения этой модели роста см. логистическая функция.

Разностное уравнение

$xt\; =\; a\; \cdot \; xt\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{t\}\; =\; a\; \backslash \; cdot\; x\_\; \{t-1\}\; \}$

имеет решение

$xt\; =\; x\; 0\; \cdot \; at,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{t\}\; =\; x\_\; \{0\}\; \backslash \; cdot\; a\; ^\; \{t\},\}$

, демонстрирующее экспоненциальный рост x.

В долгосрочной перспективе экспоненциальный рост любого вида превзойдет любой линейный рост (основа мальтузианской катастрофы ), а также любой многочлен роста, то есть для всех α:

$lim\; t\; \to \; \infty \; t\; \alpha \; aet\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{t\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; \{t\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; over\; ae\; ^\; \{t\}\}\; =\; 0.\}$

Существует целая иерархия возможных темпов роста, которые медленнее экспоненциального и быстрее линейного (в долгосрочной перспективе). См. Степень полинома. § Вычисляется из значений функции..

Темпы роста также могут быть выше, чем экспоненциальные. В самом крайнем случае, когда рост неограниченно увеличивается за конечное время, это называется гиперболическим ростом. Между экспоненциальным и гиперболическим ростом находятся другие классы поведения роста, такие как гипероперации, начинающиеся с тетрации, и $A\; (n,\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (n,\; n)\}$, диагональ функции Аккермана.

Логистический рост

J-образный экспоненциальный рост (слева, синий) и S-образный логистический рост (справа, красный).

На самом деле первоначальный экспоненциальный рост часто не сохраняется вечно. По прошествии некоторого времени это замедлится из-за внешних факторов или факторов окружающей среды. Например, рост населения может достигать верхнего предела из-за ограниченности ресурсов. В 1845 году бельгийский математик Пьер Франсуа Ферхюльст впервые предложил математическую модель роста, подобную этой, названную «логистическим ростом ".

Экспоненциальные модели роста физических явления применяются только в ограниченных регионах, поскольку неограниченный рост физически нереален. Хотя рост может первоначально быть экспоненциальным, моделируемые явления в конечном итоге войдут в область, в которой ранее игнорировавшиеся факторы отрицательной обратной связи становятся значимыми (что приводит к модель логистического роста ) или другие допущения, лежащие в основе модели экспоненциального роста, такие как непрерывность или мгновенная обратная связь, не работают.

Исследования показывают, что люди трудности с пониманием экспоненциального роста. Смещение экспоненциального роста - это тенденция недооценивать комплексные процессы роста. Это смещение может иметь также финансовые последствия. Ниже приведены некоторые истории, которые подчеркивают это смещение.

Rice on ac hessboard

Согласно старинной легенде, визирь Сисса Бен Дахир подарила индийскому королю Шариму красивую самодельную шахматную доску. Король спросил, что он хотел бы взамен своего подарка, и придворный удивил короля, попросив одно зерно риса на первом квадрате, два зерна на втором, четыре зерна на третьем и т. Д. Король с готовностью согласился и спросил чтобы принести рис. Сначала все шло хорошо, но потребность в 2 зернах на n-м квадрате требовала более миллиона зерен на 21-м квадрате, более миллиона миллионов (или триллион ) на 41-м. а риса на последние квадраты на весь мир просто не хватило. (Из Swirski, 2006)

Вторая половина шахматной доски - это время, когда экспоненциально растущее влияние оказывает значительное экономическое влияние на общую бизнес-стратегию организации.

Водяная лилия

Французским детям предлагают загадку, которая показывает аспект экспоненциального роста: «очевидная внезапность, с которой экспоненциально растущее количество приближается к фиксированному пределу». Загадка представляет собой растение кувшинки, растущее в пруду. Растение увеличивается вдвое каждый день, и, если его оставить в покое, оно задушит пруд за 30 дней, убивая всех остальных живых существ в воде. День за днем ​​рост растения невелик, поэтому решили, что это не будет проблемой, пока оно не покроет половину пруда. Какой это будет день? 29-й день, остается только один день для спасения пруда.

• Ускоряющиеся изменения
• Альберт Аллен Бартлетт
• Arthrobacter
• Асимптотическая запись
• Бактериальный рост
• Ограниченный рост
• Рост клеток
• Экспоненциальный алгоритм
• EXPSPACE
• EXPTIME
• Измерение Хаусдорфа
• Гиперболический рост
• Информационный взрыв
• Закон ускоряющейся отдачи
• Список экспоненциальных тем
• Логарифмический рост
• Логистическая функция
• Мальтузианская модель роста
• Губка Менгера
• Закон Мура
• Квадратичный рост
• Закон Штейна

Источники

• Луга, Донелла. Рандерс, Йорген. Медоуз, Деннис. Пределы роста : 30-летний отчет. Chelsea Green Publishing, 2004. ISBN 9781603581554
• Медоуз, Донелла Х., Деннис Л. Медоуз, Йорген Рандерс и Уильям У. Беренс III. (1972) Пределы роста. Нью-Йорк: Университетские книги. ISBN 0-87663-165-0
• Порритт, Дж. Капитализм, как будто мир имеет значение, Earthscan 2005. ISBN 1-84407-192-8
• Свирски, Питер. Литературы и знаний: исследования в области повествовательных мысленных экспериментов, эволюции и теории игр. Нью-Йорк: Рутледж. ISBN 0-415-42060-1
• Томсон, Дэвид Г. План на миллиард: 7 принципов достижения экспоненциального роста, Wiley, декабрь 2005 г., ISBN 0-471-74747-5
• Цирель, С.В. 2004. О возможных причинах гиперэкспоненциального роста населения Земли. Математическое моделирование социально-экономической динамики / Под ред. Дмитриева М.Г., Петрова А.П., с. 367–9. М.: Российский государственный социальный университет, 2004.

• Рост в конечном мире - устойчивость и экспоненциальная функция - Презентация
• Др. Альберт Бартлетт: Арифметика, население и энергия - потоковое видео и аудио 58 мин.