Измерение Хаусдорфа

Инвариант Пример нецелочисленных измерений. Первые четыре итерации кривой Коха, где после каждой итерации все исходные отрезки линии заменяются четырьмя, каждый является самоподобной копией, которая составляет 1/3 длины оригинал. Один формализм размерности Хаусдорфа использует этот масштабный коэффициент (3) и количество самоподобных объектов (4) для вычисления размерности D после первой итерации, равной D = (log N) / (log S) = ( log 4) / (log 3) ≈ 1,26. То есть, в то время как размерность Хаусдорфа одной точки равна нулю, линейного сегмента равно 1, квадрата равно 2, а куб равен 3, для фракталов, таких как этот, объект может иметь нецелочисленное измерение.

В математике, измерение Хаусдорфа - это мера шероховатости, или, более конкретно, фрактальная размерность, которая была впервые введена в 1918 году математиком Феликсом Хаусдорфом. Например, размерность Хаусдорфа одной точки равна нулю, отрезка линии равна 1, квадрата равна 2, а куб равен 3. То есть для наборов точек, определяющих гладкую форму или форму с небольшим количеством углов - формы традиционной геометрии и науки - размерность Хаусдорфа является целым числом согласуясь с обычным пониманием размерности, также известной как топологическое измерение. Однако были также разработаны формулы, которые позволяют вычислять размерность других, менее простых объектов, где только на основе их свойств масштабирование и самоподобие к заключению, что отдельные объекты, в том числе фракталы, имеют нецелочисленные хаусдорфовые измерения. Из-за значительного технического прогресса, достигнутого Абрамом Самойловичем Безиковичем, позволяющим вычислять размеры для очень нерегулярных или «грубых» множеств, это измерение также обычно называют размерностью Хаусдорфа-Безиковича.

Размерность Хаусдорфа, более конкретно, является дополнительным размерным числом, связанным с данным набором, где определены расстояния между всеми элементами этого набора. Такой набор называется метрическим пространством. Размер берется из расширенных вещественных чисел, $R\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\}\}$, в отличие от более интуитивно понятного понятия размерности, которая не связана с общими метрическими пространствами и принимает значения только в неотрицательных целых числах.

В математических терминах размерность Хаусдорфа обобщает понятие размерности реального векторного пространства. То есть размерность Хаусдорфа n-мерного внутреннего пространства продукта равна n. Это лежит в основе более раннего утверждения, что размерность Хаусдорфа точки равна нулю, линии равна единице и т. Д., И что нерегулярные множества могут иметь нецелочисленные хаусдорфовые измерения. Например, изображенная справа снежинка Коха построена из равностороннего треугольника; на каждой итерации составляющие его линейные сегменты делятся на 3 сегмента единичной длины, вновь созданный средний сегмент используется в качестве основания нового равностороннего треугольника , который указывает наружу, и этот базовый сегмент затем удаляется, чтобы оставить последний объект из итерации с единичной длиной 4. То есть после первой итерации каждый исходный сегмент линии был заменен на N = 4, где каждая самоподобная копия составляет 1 / S = 1/3, пока оригинал. Другими словами, мы взяли объект с евклидовым размером D и уменьшили его линейный масштаб на 1/3 в каждом направлении, так что его длина увеличилась до N = S. Это уравнение легко решается относительно D, давая отношение логарифмов (или натуральных логарифмов ), фигурирующих на рисунках, и давая - в случае Коха и других фрактальных случаях - нецелочисленные измерения для этих объектов.

Измерение Хаусдорфа является преемником более простого, но обычно эквивалентного измерения подсчета ячеек или измерения Минковского – Булиганда.

• 1 Интуиция
• 2 Формальные определения
  • 2.1 Содержание Хаусдорфа
  • 2.2 Мера Хаусдорфа
  • 2.3 Размерность Хаусдорфа
• 3 Примеры
• 4 Свойства размерности Хаусдорфа
  • 4.1 Размерность Хаусдорфа и индуктивная размерность
  • 4.2 Размерность Хаусдорфа и размерность Минковского
  • 4.3 Хаусдорф размеры и меры Frostman
  • 4.4 Поведение при соединениях и продуктах
• 5 Самоподобные наборы
  • 5.1 Состояние открытого набора
• 6 См. также
• 7 Ссылки
• 8 Дополнительная литература
• 9 Внешние ссылки

Интуитивное понятие размера геометрического объекта X - это количество независимых параметров, необходимых для выделения уникальной точки внутри. Однако любая точка, указанная двумя параметрами, может быть вместо этого указана одним, поскольку мощность реальной плоскости равна мощности вещественной линии ( это можно увидеть с помощью аргумента , включающего переплетение цифр двух чисел для получения одного числа, кодирующего ту же информацию). Пример кривой заполнения пространства показывает, что можно даже отобразить реальную линию на реальную плоскость сюръективно (преобразовывая одно действительное число в пару действительных чисел таким образом, чтобы покрываются все пары чисел) и непрерывно, так что одномерный объект полностью заполняет объект более высокого измерения.

Каждая кривая заполнения пространства несколько раз попадает в некоторые точки и не имеет непрерывной инверсии. Невозможно отобразить два измерения в одно непрерывным и непрерывно обратимым способом. Топологическая размерность, также называемая покрывающая размерность Лебега, объясняет, почему. Эта размерность равна n, если в каждом покрытии X маленькими открытыми шарами есть хотя бы одна точка, в которой n + 1 мяч перекрывается. Например, когда кто-то покрывает линию короткими открытыми интервалами, некоторые точки должны быть покрыты дважды, что дает размерность n = 1.

Но топологическое измерение - это очень грубая мера локального размера пространства (размер около точка). Кривая, которая почти заполняет пространство, может иметь топологическое измерение один, даже если она заполняет большую часть области области. фрактал имеет целочисленное топологическое измерение, но с точки зрения занимаемого пространства он ведет себя как пространство более высокого измерения.

Измерение Хаусдорфа измеряет локальный размер пространства с учетом расстояния между точками, метрики . Рассмотрим количество N (r) шаров радиуса не больше r, необходимых для полного покрытия X. Когда r очень мало, N (r) полиномиально растет с 1 / r. Для достаточно хорошего X размерность Хаусдорфа - это уникальное число d такое, что N (r) растет как 1 / r, когда r приближается к нулю. Точнее, это определяет измерение подсчета ящиков, которое равно размерности Хаусдорфа, когда значение d является критической границей между темпами роста, которых недостаточно для покрытия пространства, и темпами роста, которые являются избыточными.

Для гладких форм или форм с небольшим количеством углов, форм традиционной геометрии и науки, измерение Хаусдорфа является целым числом, соответствующим топологическому измерению. Но Бенуа Мандельброт заметил, что фракталы, множества с нецелой хаусдорфовой размерностью, встречаются в природе повсюду. Он заметил, что правильная идеализация большинства грубых форм, которые вы видите вокруг себя, - это не с точки зрения гладких идеализированных форм, а с точки зрения фрактальных идеализированных форм:

Облака - это не сферы, горы - не конусы, береговые линии - не круги и кора не гладкая, и молния не движется по прямой.

Для фракталов, которые встречаются в природе, Хаусдорф и размерность подсчета ящиков совпадают. Размер упаковки - еще одно подобное понятие, которое дает одинаковое значение для многих форм, но есть хорошо задокументированные исключения, когда все эти размеры различаются.

содержание Хаусдорфа

Пусть X будет метрическим пространством. Если S ⊂ X и d ∈ [0, ∞), d-мерное неограниченное хаусдорфово содержание S определяется как

$CH\; d\; (S):\; =\; inf\; \{\sum \; irid:\; существует\; покрытие\; множества\; S\; шарами\; радиуса\; ri>0\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{H\}\; ^\; \{d\}\; (S):\; =\; \backslash \; inf\; \{\backslash \; Bigl\; \backslash \; \{\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; r\_\; \{i\}\; ^\; \{d\}:\; \{\backslash \; text\; \{есть\; обложка\}\}\; S\; \{\backslash \; text\; \{шариками\; с\; радиусами\}\}\; r\_\; \{i\}>0\; \{\backslash \; Bigr\; \backslash \}\}.\}$

Другими словами, $CH\; d\; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{H\}\; ^\; \{d\}\; (S)\}$- это инфимум набора чисел $\delta \; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \backslash \; geq\; 0\}$такой что существует некоторая (проиндексированная) коллекция шаров $\{B\; (xi,\; ri):\; i\; \in \; I\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{B\; (x\_\; \{i\},\; r\_\; \{i\}):\; i\; \backslash \; in\; I\; \backslash \}\}$покрывающий S с r i>0 для каждого i ∈ I, удовлетворяющего . (Здесь мы используем стандартное соглашение: inf Ø = ∞.)

Мера Хаусдорфа

Внешняя мера Хаусдорфа отличается от неограниченного содержания Хаусдорфа тем, что не учитывает все возможные покрытия S, мы видим, что происходит, когда размеры ba lls переходит в ноль. Это для $d\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; geq\; 0\}$, мы определяем d-мерную внешнюю меру Хаусдорфа S как

размерность Хаусдорфа

размерность Хаусдорфа пространства X определяется как

$dim\; H\; \; (X)\; :\; =\; inf\; \{d\; \ge \; 0:\; H\; d\; (X)\; =\; 0\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; dim\; \_\; \{\backslash \; operatorname\; \{H\}\}\; (X):\; =\; \backslash \; inf\; \backslash \; \{d\; \backslash \; geq\; 0:\; \{\backslash \; mathcal\; \{H\}\}\; ^\; \{d\}\; (X)\; =\; 0\; \backslash \}.\}$

Эквивалентно, dim H (X) может быть определено как infimum множества d ∈ [0, ∞) такого, что d-мерная мера Хаусдорфа X равен нулю. Это то же самое, что и супремум множества d ∈ [0, ∞), такого что d-мерная мера Хаусдорфа X бесконечна (за исключением того, что когда этот последний набор чисел d пуст, размерность Хаусдорфа равна нулю).

Размерность следующего фрактального примера. Треугольник Серпинского, объект с размерностью Хаусдорфа log (3) / log (2) ≈1,58.

• Счетные множества имеют размерность Хаусдорфа 0.
• Евклидово пространство ℝ имеет размерность Хаусдорфа n, а круг S имеет размерность Хаусдорфа 1.
• Фракталы часто представляют собой пространства, хаусдорфова размерность которых строго превышает топологическую размерность. Например, канторовское множество, нульмерное топологическое пространство, представляет собой объединение двух копий самого себя, каждая копия уменьшена в 1/3 раза; следовательно, можно показать, что его размерность Хаусдорфа составляет ln (2) / ln (3) ≈ 0,63. Треугольник Серпинского представляет собой объединение трех собственных копий, каждая из которых уменьшена в два раза; это дает размерность Хаусдорфа ln (3) / ln (2) ≈ 1,58. Эти измерения Хаусдорфа связаны с «критическим показателем» основной теоремы для решения рекуррентных соотношений в анализе алгоритмов.
• кривых заполнения пространства как кривая Пеано имеет ту же хаусдорфовую размерность, что и пространство, которое они заполняют.
• Предполагается, что траектория броуновского движения в размерности 2 и выше является размерностью Хаусдорфа 2.

Оценка хаусдорфовой размерности побережья Великобритании

• Льюис Фрай Ричардсон провел подробные эксперименты по измерению приблизительной хаусдорфовой размерности для различных береговых линий. Его результаты варьировались от 1,02 для береговой линии Южной Африки до 1,25 для западного побережья Великобритании.

размерности Хаусдорфа и индуктивного измерения

Пусть X - произвольное отделимое метрическое пространство. Существует топологическое понятие индуктивной размерности для X, которое определяется рекурсивно. Это всегда целое число (или + ∞) и обозначается dim ind (X).

Теорема . Предположим, что X не пусто. Тогда

$dim\; H\; a\; u\; s\; \; (X)\; \ge \; dim\; ind\; \; (X).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; dim\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{Haus\}\}\; (X)\; \backslash \; geq\; \backslash \; dim\; \_\; \{\backslash \; operatorname\; \{ind\}\}\; (X).\}$

Кроме того,

$inf\; Y\; dim\; Haus\; \; (Y)\; =\; dim\; ind\; \; (X),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; inf\; \_\; \{Y\}\; \backslash \; dim\; \_\; \{\backslash \; operatorname\; \{Haus\}\}\; (Y)\; =\; \backslash \; dim\; \_\; \{\backslash \; operatorname\; \{ind\}\}\; (X),\}$

где Y пробегает метрические пространства , гомеоморфные X. Другими словами, X и Y имеют один и тот же базовый набор точек, а метрика d Y Y топологически эквивалентна d X.

. результаты были первоначально установлены Эдвардом Шпилрайном (1907–1976), например, см. Hurewicz and Wallman, Chapter VII.

Размерность Хаусдорфа и размерность Минковского

Размерность Минковского похожа на размерность Хаусдорфа и по крайней мере равна ему, и во многих ситуациях они равны. Однако набор рациональных точек в [0, 1] имеет размерность Хаусдорфа ноль и размерность Минковского один. Существуют также компактные множества, для которых размерность Минковского строго больше размерности Хаусдорфа.

измерения Хаусдорфа и меры Фростмана

Если существует мера μ, определенная на борелевских подмножествах метрического пространства X такая, что μ (X)>0 и μ (B (x, r)) ≤ r выполняется для некоторой константы s>0 и для любого шара B (x, r) в X, то dim Haus (X) ≥ s. Частичное обратное утверждение обеспечивается леммой Фростмана.

Поведение при объединениях и продуктах

Если $X\; =\; \in \; i\; \in \; IX\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; \backslash \; bigcup\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; I\}\; X\_\; \{i\}\}$- конечное или счетное объединение, тогда

$dim\; Haus\; \; (X)\; =\; sup\; i\; \in \; I\; dim\; Haus\; \; (X\; i).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; dim\; \_\; \{\backslash \; operatorname\; \{Haus\}\}\; (X)\; =\; \backslash \; sup\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; I\}\; \backslash \; dim\; \_\; \{\backslash \; operatorname\; \{Haus\}\}\; (X\_\; \{i\}).\}$

Это может быть проверяется непосредственно из определения.

Если X и Y - непустые метрические пространства, то размерность Хаусдорфа их произведения удовлетворяет

$dim\; Haus\; \; (X\; \times \; Y)\; \ge \; dim\; Haus\; \; (X)\; +\; dim\; Haus\; \; (Y).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; dim\; \_\; \{\backslash \; operatorname\; \{Haus\}\}\; (X\; \backslash \; times\; Y)\; \backslash \; geq\; \backslash \; dim\; \_\; \{\backslash \; operatorname\; \{Haus\}\}\; (X)\; +\; \backslash \; dim\; \_\; \{\backslash \; operatorname\; \{Haus\}\}\; (Y).\}$

Это неравенство может быть строгим. Можно найти два множества размерности 0, произведение которых имеет размерность 1. В противоположном направлении известно, что, когда X и Y являются борелевскими подмножествами R, размерность Хаусдорфа X × Y ограничена. сверху размерностью Хаусдорфа X плюс размер верхней упаковки Y. Эти факты обсуждаются в Mattila (1995).

Многие наборы, определенные условием самоподобия, имеют размеры, которые могут быть определены явно. Грубо говоря, множество E самоподобно, если оно является неподвижной точкой многозначного преобразования ψ, то есть ψ (E) = E, хотя точное определение дается ниже.

Теорема . Предположим,

$\psi \; i:\; R\; n\; \to \; R\; n,\; i\; =\; 1,\dots ,\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{i\}:\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{n\},\; \backslash \; quad\; i\; =\; 1,\; \backslash \; ldots,\; m\}$

- это сжимающие отображения на R с константой сжатия r j< 1. Then there is a unique non-empty compact set A such that

$A\; =\; \bigcup \; i\; =\; 1\; m\; \psi \; i\; (A).\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \backslash \; bigcup\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{m\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{i\}\; (A).\}$

Теорема следует из сжимающего отображения Стефана Банаха Теорема о фиксированной точке применяется к полному метрическому пространству непустых компактных подмножеств R с расстоянием Хаусдорфа.

Условие открытого множества

Для определения размерности автомодельного множества A (в некоторых случаях) нам понадобится техническое условие, называемое условием открытого множества (OSC), на последовательности сжатий ψ i.

Существует относительно компактное открытое множество V такое, что

$\bigcup \; i\; Знак\; равно\; 1\; м\; \psi \; я\; (V)\; \subseteq \; V,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; bigcup\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{m\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{i\}\; (V)\; \backslash \; substeq\; V,\}$

где объединенные множества на left попарно не пересекаются.

Условие открытого множества - это условие разделения, которое гарантирует, что изображения ψ i (V) не перекрываются "слишком сильно".

Теорема . Предположим, что выполняется условие открытого множества и каждое ψ i является подобием, то есть композицией изометрии и растяжения вокруг некоторой точки. Тогда единственная неподвижная точка ψ - это множество, размерность которого Хаусдорфа равна s, где s - единственное решение

$\sum \; i\; =\; 1\; mris\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{m\}\; r\_\; \{\; i\}\; ^\; \{s\}\; =\; 1.\}$

Коэффициент сжатия подобия - это величина расширения.

Мы можем использовать эту теорему для вычисления размерности Хаусдорфа треугольника Серпинского (или иногда называемого прокладкой Серпинского). Рассмотрим три неколлинеарных точки a1, a 2, a 3 в плоскости R и пусть ψ i - расширение отношения 1/2 вокруг a i. Единственная непустая неподвижная точка соответствующего отображения ψ - это прокладка Серпинского, а размерность s - единственное решение

$(1\; 2)\; s\; +\; (1\; 2)\; s\; +\; (1\; 2)\; s\; =\; 3\; (1\; 2)\; s\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{s\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{s\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{s\}\; =\; 3\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{s\}\; =\; 1.\}$

Принимая натуральный логарифм обеих частей приведенного выше уравнения, мы можем решить для s, то есть: s = ln (3) / ln (2). Прокладка Серпинского является самоподобной и удовлетворяет требованиям OSC. В общем, множество E, которое является фиксированной точкой отображения

$A\; \mapsto \; \psi \; (A)\; =\; \bigcup \; i\; =\; 1\; m\; \psi \; i\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; psi\; (A)\; =\; \backslash \; bigcup\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{m\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{i\}\; (A)\}$

самоподобно тогда и только тогда, когда пересечения

$H\; s\; (\psi \; i\; (E)\; \cap \; \psi \; j\; (E))\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{s\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; psi\; \_\; \{i\}\; (E)\; \backslash \; cap\; \backslash \; psi\; \_\; \{j\}\; (E)\; \backslash \; right)\; =\; 0,\}$

где s - размерность Хаусдорфа E и H обозначает меру Хаусдорфа. Это ясно в случае прокладки Серпинского (пересечения - это просто точки), но также верно и в более общем смысле:

Теорема . При тех же условиях, что и в предыдущей теореме, единственная неподвижная точка ψ самоподобна.

• Список фракталов по размерности Хаусдорфа Примеры детерминированных фракталов, случайных и естественных фракталов.
• Размерность Ассуада, еще одна разновидность фрактальной размерности, которая, как и размерность Хаусдорфа, определяется с использованием покрытий шариками
• Внутреннее измерение
• Размер упаковки
• Фрактальное измерение

• Dodson, M. Maurice; Кристенсен, Саймон (12 июня 2003 г.). «Хаусдорфова размерность и диофантово приближение». Фрактальная геометрия и приложения: юбилей Бенуа Мандельброта. Труды симпозиумов по чистой математике. 72 . С. 305–347. arXiv : math / 0305399. Bibcode : 2003math...... 5399D. doi : 10.1090 / pspum / 072.1 / 2112110. ISBN 9780821836378.
• Гуревич, Витольд ; Уоллман, Генри (1948). Теория измерений. Издательство Принстонского университета.
• Э. Шпильрайн (1937). «Измерение и измерение». Fundamenta Mathematicae. 28 : 81–9.
• Марстранд, Дж. М. (1954). «Размерность декартовых наборов произведений». Proc. Cambridge Philos. Soc. 50 (3): 198–202. Bibcode : 1954PCPS... 50..198M. doi : 10.1017 / S0305004100029236.
• Маттила, Пертти (1995). Геометрия множеств и мер в евклидовых пространствах. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-65595-8.
• А. С. Безикович (1929). «О линейных множествах точек дробной размерности». Mathematische Annalen. 101 (1): 161–193. doi : 10.1007 / BF01454831.
• A. С. Безикович ; Х. Д. Урселл (1937). «Наборы дробных размерностей». Журнал Лондонского математического общества. 12 (1): 18–25. doi : 10.1112 / jlms / s1-12.45.18.. Некоторые отрывки из этого тома перепечатаны в Edgar, Gerald A. (1993). Классика по фракталам. Бостон: Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-58701-7.См. Главы 9,10,11
• F. Хаусдорф (март 1919 г.). "Dimension und äußeres Maß" (PDF). Mathematische Annalen. 79 (1–2): 157–179. doi : 10.1007 / BF01457179. hdl : 10338.dmlcz / 100363.
• Хатчинсон, Джон Э. (1981). «Фракталы и самоподобие». Indiana Univ. Математика. J. 30 (5): 713–747. doi : 10.1512 / iumj.1981.30.30055.
• Falconer, Kenneth (2003). Фрактальная геометрия: математические основы и приложения (2-е изд.). John Wiley and Sons.

• Измерение Хаусдорфа в Энциклопедия математики
• Мера Хаусдорфа в Энциклопедия математики