Мера Бореля

редактировать

Мера определена на всех открытых наборах топологического пространства

В математике, в частности в теории меры, мера Бореля на топологическом пространстве - это показатель, который определен для всех открытых множеств (и, следовательно, для всех борелевских множеств ). Некоторые авторы требуют дополнительных ограничений для меры, как описано ниже.

Содержание

1 Формальное определение
2 На вещественной линии
3 Пространства продуктов
4 Приложения
- 4.1 Интеграл Лебега – Стилтьеса
- 4.2 Преобразование Лапласа
- 4.3 Размерность Хаусдорфа и Лемма Фростмана
- 4.4 Теорема Крамера – Уолда
5 Ссылки
6 Дополнительная литература
7 Внешние ссылки

Формальное определение

Пусть $X {\ displaystyle X}$ $X$ будет локально компактным пространством Хаусдорфа, и пусть $B (X) {\ displaystyle {\ mathfrak {B}} (X)}$ $\mathfrak{B}(X)$ быть наименьшей σ-алгеброй, которая содержит открытые множества из $X {\ displaystyle X}$ $X$ ; это известно как σ-алгебра борелевских множеств. Борелевская мера - это любая мера $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , определенная на σ-алгебре борелевских множеств. Некоторые авторы дополнительно требуют, чтобы $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ был локально конечным, что означает, что $μ (C) < ∞ {\displaystyle \mu (C)<\infty }$ ${\ displaystyle \ mu (C) <\ infty}$ для каждого компактный набор $C {\ displaystyle C}$ $C$ . Если мера Бореля $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ одновременно является внутренним регулярным и внешним регулярным, она называется . регулярная мера Бореля. Если $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ одновременно является внутренним регулярным, внешним регулярным и локально конечным, это называется мерой Радона.

на реальном строка

вещественная линия $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb { R}$ с ее обычной топологией является локально компактным Хаусдорфом пространство, следовательно, мы можем определить на нем борелевскую меру. В этом случае $B (R) {\ displaystyle {\ mathfrak {B}} (\ mathbb {R})}$ ${\ mathfrak {B}} ({\ mathbb R})$ - наименьшая σ-алгебра, содержащая открытые интервалы $Р {\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb { R}$ . Хотя существует множество мер Бореля μ, выбор меры Бореля, которая присваивает $μ ((a, b]) = b - a {\ displaystyle \ mu ((a, b]) = ba}$ ${\ displaystyle \ mu ((a, b]) = ba}$ для каждого полуоткрытого интервала $(a, b] {\ displaystyle (a, b]}$ $(a, b]$ иногда называют «мерой Бореля на $R {\ displaystyle \ mathbb {R }}$ $\ mathbb { R}$ . Эта мера оказывается ограничением на борелевскую σ-алгебру меры Лебега $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ , которая является полной мерой и определена на σ-алгебре Лебега. σ-алгебра Лебега фактически является пополнением борелевской σ-алгебры, что означает, что это наименьшая σ-алгебра, содержащая все борелевских множеств и имеет на себе полную меру. Кроме того, борелевская мера и мера Лебега совпадают на борелевских множествах (т. е. $λ (E) = μ (E) {\ displaystyle \ лямбда (E) = \ mu (E)}$ $\ lambda (E) = \ mu (E)$ для каждого измеримого по Борелю множества, где $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ - мера Бореля, описанная выше).

Продуктовые пространства

Если X и Y являются подсчитываемыми секундами, топологическими пространствами Хаусдорфа, то набор борелевских подмножеств $B (X × Y) {\ displaystyle B (X \ times Y)}$ $B ( X \ times Y)$ их продукта совпадает с произведением множеств $B (X) × B (Y) {\ displaystyle B (X) \ умножить на B (Y)}$ $B (X) \ times B (Y)$ борелевских подмножеств X и Y. То есть функтор Бореля

B или: T op 2 CH aus → M eas {\ displaystyle \ mathbf {Bor } \ Colon \ mathbf {Top} _ {2CHaus} \ to \ mathbf {Meas}}

\ mathbf {Bor} \ двоеточие \ mathbf {Top} _ {2CHaus} \ to \ mathbf {Meas}

из категории пространств Хаусдорфа с подсчетом секунд до категории измеримых пространств сохраняет конечные произведения.

Приложения

Интеграл Лебега – Стилтьеса

Интеграл Лебега – Стилтьеса - это обычный интеграл Лебега относительно меры, известной как Мера Лебега – Стилтьеса, которая может быть связана с любой функцией ограниченной вариации на вещественной прямой. Мера Лебега – Стилтьеса - это регулярная борелевская мера, и, наоборот, каждая регулярная борелевская мера на вещественной прямой относится к этому типу.

Преобразование Лапласа

Можно определить преобразование Лапласа конечной борелевской меры μ на вещественной прямой с помощью интеграла Лебега

(L μ) (s) = ∫ [0, ∞) e - std μ (t). {\ displaystyle ({\ mathcal {L}} \ mu) (s) = \ int _ {[0, \ infty)} e ^ {- st} \, d \ mu (t).}

({\ mathcal {L}} \ mu) (s) = \ int _ {{[0, \ infty)}} e ^ {{- st}} \, d \ mu (t).

важный частным случаем является случай, когда μ является вероятностной мерой или, более конкретно, дельта-функцией Дирака. В операционном исчислении преобразование Лапласа меры часто трактуется так, как если бы мера была получена из функции распределения f. В этом случае, чтобы избежать путаницы, часто пишут

(L f) (s) = ∫ 0 - ∞ e - stf (t) dt {\ displaystyle ({\ mathcal {L}} f) (s) = \ int _ {0 ^ {-}} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) \, dt}

(\ mathcal {L} f) (s) = \ int_ {0 ^ -} ^ \ infty e ^ {- st} f (t) \, dt

где нижний предел 0 является сокращенным обозначением для

lim ε ↓ 0 ∫ - ε ∞. {\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ downarrow 0} \ int _ {- \ varepsilon} ^ {\ infty}.}

\ lim _ {\ varepsilon \ downarrow 0} \ int _ {- \ varepsilon} ^ {\ infty}.

Этот предел подчеркивает, что любая точечная масса, расположенная в 0, полностью захватывается преобразованием Лапласа. Хотя с интегралом Лебега нет необходимости принимать такой предел, он появляется более естественно в связи с преобразованием Лапласа – Стилтьеса.

размерностью Хаусдорфа и леммой Фростмана

Для такой борелевской меры μ на метрическом пространстве X, что μ (X)>0 и μ (B (x, r)) ≤ r для некоторой константы s>0 и для любого шара B (x, r) в X, то размерность Хаусдорфа dim Хаус (X) ≥ s. Частичное обращение обеспечивается леммой Фростмана :

Лемма: Пусть A будет Borel подмножеством R, и пусть s>0. Тогда следующие условия эквивалентны:

H (A)>0, где H обозначает s-мерную меру Хаусдорфа.
Существует (беззнаковая) борелевская мера μ такая, что μ (A)>0, и такая что

μ (B (x, r)) ≤ rs {\ displaystyle \ mu (B (x, r)) \ leq r ^ {s}}

\ mu ( В (х, г)) \ leq r ^ {s}

выполняется для всех x ∈ R и r>0.

Теорема Крамера – Вольда

Теорема Крамера – Вольда в теории меры утверждает, что вероятностная мера Бореля на $R k {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}$ однозначно определяется совокупностью своих одномерных проекций. Он используется как метод доказательства результатов совместной сходимости. Теорема названа в честь Харальда Крамера и Германа Оле Андреаса Вольда.

Ссылки

Дополнительная литература

Гауссова мера, конечномерная борелевская мера
Феллер, Уильям (1971), Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Vol. II., Второе издание, Нью-Йорк: John Wiley Sons, MR 0270403.
J. Д. Прайс (1973). Основные методы функционального анализа. Библиотека университета Хатчинсона. Хатчинсон. п. 217. ISBN 0-09-113411-0.
Рэнсфорд, Томас (1995). Теория потенциала в комплексной плоскости. Тексты студентов Лондонского математического общества. 28 . Кембридж: Cambridge University Press. С. 209–218. ISBN 0-521-46654-7. Zbl 0828.31001.
Тешл, Джеральд, Темы реального и функционального анализа, (конспекты лекций)
лемма Винера относящаяся к

Внешние ссылки

мера Бореля в Энциклопедия математики