Мера Бореля

редактировать

Мера определена на всех открытых наборах топологического пространства

В математике, в частности в теории меры, мера Бореля на топологическом пространстве - это показатель, который определен для всех открытых множеств (и, следовательно, для всех борелевских множеств ). Некоторые авторы требуют дополнительных ограничений для меры, как описано ниже.

Содержание

  • 1 Формальное определение
  • 2 На вещественной линии
  • 3 Пространства продуктов
  • 4 Приложения
    • 4.1 Интеграл Лебега – Стилтьеса
    • 4.2 Преобразование Лапласа
    • 4.3 Размерность Хаусдорфа и Лемма Фростмана
    • 4.4 Теорема Крамера – Уолда
  • 5 Ссылки
  • 6 Дополнительная литература
  • 7 Внешние ссылки

Формальное определение

Пусть X {\ displaystyle X}X будет локально компактным пространством Хаусдорфа, и пусть B (X) {\ displaystyle {\ mathfrak {B}} (X)}\mathfrak{B}(X)быть наименьшей σ-алгеброй, которая содержит открытые множества из X {\ displaystyle X}X ; это известно как σ-алгебра борелевских множеств. Борелевская мера - это любая мера μ {\ displaystyle \ mu}\ mu , определенная на σ-алгебре борелевских множеств. Некоторые авторы дополнительно требуют, чтобы μ {\ displaystyle \ mu}\ mu был локально конечным, что означает, что μ (C) < ∞ {\displaystyle \mu (C)<\infty }{\ displaystyle \ mu (C) <\ infty} для каждого компактный набор C {\ displaystyle C}C . Если мера Бореля μ {\ displaystyle \ mu}\ mu одновременно является внутренним регулярным и внешним регулярным, она называется . регулярная мера Бореля. Если μ {\ displaystyle \ mu}\ mu одновременно является внутренним регулярным, внешним регулярным и локально конечным, это называется мерой Радона.

на реальном строка

вещественная линия R {\ displaystyle \ mathbb {R}}\ mathbb { R} с ее обычной топологией является локально компактным Хаусдорфом пространство, следовательно, мы можем определить на нем борелевскую меру. В этом случае B (R) {\ displaystyle {\ mathfrak {B}} (\ mathbb {R})}{\ mathfrak {B}} ({\ mathbb R}) - наименьшая σ-алгебра, содержащая открытые интервалы Р {\ Displaystyle \ mathbb {R}}\ mathbb { R} . Хотя существует множество мер Бореля μ, выбор меры Бореля, которая присваивает μ ((a, b]) = b - a {\ displaystyle \ mu ((a, b]) = ba}{\ displaystyle \ mu ((a, b]) = ba} для каждого полуоткрытого интервала (a, b] {\ displaystyle (a, b]}(a, b] иногда называют «мерой Бореля на R {\ displaystyle \ mathbb {R }}\ mathbb { R} . Эта мера оказывается ограничением на борелевскую σ-алгебру меры Лебега λ {\ displaystyle \ lambda}\ lambda , которая является полной мерой и определена на σ-алгебре Лебега. σ-алгебра Лебега фактически является пополнением борелевской σ-алгебры, что означает, что это наименьшая σ-алгебра, содержащая все борелевских множеств и имеет на себе полную меру. Кроме того, борелевская мера и мера Лебега совпадают на борелевских множествах (т. е. λ (E) = μ (E) {\ displaystyle \ лямбда (E) = \ mu (E)}\ lambda (E) = \ mu (E) для каждого измеримого по Борелю множества, где μ {\ displaystyle \ mu}\ mu - мера Бореля, описанная выше).

Продуктовые пространства

Если X и Y являются подсчитываемыми секундами, топологическими пространствами Хаусдорфа, то набор борелевских подмножеств B (X × Y) {\ displaystyle B (X \ times Y)}B ( X \ times Y) их продукта совпадает с произведением множеств B (X) × B (Y) {\ displaystyle B (X) \ умножить на B (Y)}B (X) \ times B (Y) борелевских подмножеств X и Y. То есть функтор Бореля

B или: T op 2 CH aus → M eas {\ displaystyle \ mathbf {Bor } \ Colon \ mathbf {Top} _ {2CHaus} \ to \ mathbf {Meas}}\ mathbf {Bor} \ двоеточие \ mathbf {Top} _ {2CHaus} \ to \ mathbf {Meas}

из категории пространств Хаусдорфа с подсчетом секунд до категории измеримых пространств сохраняет конечные произведения.

Приложения

Интеграл Лебега – Стилтьеса

Интеграл Лебега – Стилтьеса - это обычный интеграл Лебега относительно меры, известной как Мера Лебега – Стилтьеса, которая может быть связана с любой функцией ограниченной вариации на вещественной прямой. Мера Лебега – Стилтьеса - это регулярная борелевская мера, и, наоборот, каждая регулярная борелевская мера на вещественной прямой относится к этому типу.

Преобразование Лапласа

Можно определить преобразование Лапласа конечной борелевской меры μ на вещественной прямой с помощью интеграла Лебега

(L μ) (s) = ∫ [0, ∞) e - std μ (t). {\ displaystyle ({\ mathcal {L}} \ mu) (s) = \ int _ {[0, \ infty)} e ^ {- st} \, d \ mu (t).}({\ mathcal {L}} \ mu) (s) = \ int _ {{[0, \ infty)}} e ^ {{- st}} \, d \ mu (t).

важный частным случаем является случай, когда μ является вероятностной мерой или, более конкретно, дельта-функцией Дирака. В операционном исчислении преобразование Лапласа меры часто трактуется так, как если бы мера была получена из функции распределения f. В этом случае, чтобы избежать путаницы, часто пишут

(L f) (s) = ∫ 0 - ∞ e - stf (t) dt {\ displaystyle ({\ mathcal {L}} f) (s) = \ int _ {0 ^ {-}} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) \, dt}(\ mathcal {L} f) (s) = \ int_ {0 ^ -} ^ \ infty e ^ {- st} f (t) \, dt

где нижний предел 0 является сокращенным обозначением для

lim ε ↓ 0 ∫ - ε ∞. {\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ downarrow 0} \ int _ {- \ varepsilon} ^ {\ infty}.}\ lim _ {\ varepsilon \ downarrow 0} \ int _ {- \ varepsilon} ^ {\ infty}.

Этот предел подчеркивает, что любая точечная масса, расположенная в 0, полностью захватывается преобразованием Лапласа. Хотя с интегралом Лебега нет необходимости принимать такой предел, он появляется более естественно в связи с преобразованием Лапласа – Стилтьеса.

размерностью Хаусдорфа и леммой Фростмана

Для такой борелевской меры μ на метрическом пространстве X, что μ (X)>0 и μ (B (x, r)) ≤ r для некоторой константы s>0 и для любого шара B (x, r) в X, то размерность Хаусдорфа dim Хаус (X) ≥ s. Частичное обращение обеспечивается леммой Фростмана :

Лемма: Пусть A будет Borel подмножеством R, и пусть s>0. Тогда следующие условия эквивалентны:

  • H (A)>0, где H обозначает s-мерную меру Хаусдорфа.
  • Существует (беззнаковая) борелевская мера μ такая, что μ (A)>0, и такая что
μ (B (x, r)) ≤ rs {\ displaystyle \ mu (B (x, r)) \ leq r ^ {s}}\ mu ( В (х, г)) \ leq r ^ {s}
выполняется для всех x ∈ R и r>0.

Теорема Крамера – Вольда

Теорема Крамера – Вольда в теории меры утверждает, что вероятностная мера Бореля на R k {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}} однозначно определяется совокупностью своих одномерных проекций. Он используется как метод доказательства результатов совместной сходимости. Теорема названа в честь Харальда Крамера и Германа Оле Андреаса Вольда.

Ссылки

Дополнительная литература

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-13 14:57:40
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте