Отображение сокращения

редактировать
Функция уменьшения расстояния между всеми точками

В математике, сопоставление сужения или сужение или подрядчик, в метрическом пространстве (M, d) есть функция f от M к самой себе, со свойством, что существует некоторое неотрицательное действительное число 0 ≤ k < 1 {\displaystyle 0\leq k<1}{\ displaystyle 0 \ leq k <1} такое, что для всех x и y в M,

d (f (x), f (y)) ≤ kd (x, у). {\ displaystyle d (f (x), f (y)) \ leq k \, d (x, y).}{\ displaystyle d (f (x), f (y)) \ leq k \, d (x, y).}

Наименьшее такое значение k называется константой Липшица f. Сжимающие отображения иногда называют липшицевыми отображениями . Если вместо этого вышеупомянутое условие выполняется для k ≤ 1, то отображение называется нерасширяющим отображением.

В более общем смысле идея сжимающего отображения может быть определена для отображений между метрическими пространствами. Таким образом, если (M, d) и (N, d ') - два метрических пространства, то f: M → N {\ displaystyle f: M \ rightarrow N}f: M \ rightarrow N является сжимающим отображением, если существует константа 0 ≤ k < 1 {\displaystyle 0\leq k<1}{\ displaystyle 0 \ leq k <1} такая, что

d ′ (f (x), f (y)) ≤ kd (x, y) {\ displaystyle d '(f (x), f (y)) \ leq k \, d (x, y)}{\displaystyle d'(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y)}

для всех x и y в M.

Каждое сжатое отображение липшицево и, следовательно, равномерно непрерывный (для липшицевой функции постоянная k уже не обязательно меньше 1).

Отображение сжатия имеет не более одной фиксированной точки. Более того, теорема Банаха о неподвижной точке утверждает, что каждое сжатое отображение на непустом полном метрическом пространстве имеет уникальную неподвижную точку, и что для любого x в M повторяющаяся функция последовательность x, f (x), f (f (x)), f (f (f (x))),... сходится к фиксированной точке. Эта концепция очень полезна для систем повторяющихся функций, где часто используются сопоставления сокращения. Теорема Банаха о неподвижной точке также применяется при доказательстве существования решений обыкновенных дифференциальных уравнений и используется в одном из доказательств теоремы об обратной функции.

Сжимающие отображения играют важную роль в динамическое программирование проблемы.

Содержание

  • 1 Твердо нерасширяющее отображение
  • 2 Карта субсогласования
  • 3 Локально выпуклые пространства
  • 4 См. Также
  • 5 Ссылки
  • 6 Дополнительная литература

Твердо нерасширяющее отображение

Нерасширяющее отображение с k = 1 {\ displaystyle k = 1}k = 1 может быть усилено до твердо нерасширяющее отображение в гильбертовом пространстве H {\ displaystyle {\ mathcal {H}}}{\ mathcal {H}} , если следующее выполняется для всех x и y в ЧАС {\ Displaystyle {\ mathcal {H}}}{\ mathcal {H}} :

‖ е (х) - е (у) ‖ 2 ≤ ⟨х - у, е (х) - е (у)⟩. {\ Displaystyle \ | е (х) -f (y) \ | ^ {2} \ leq \, \ langle xy, f (x) -f (y) \ rangle.}\ | f (x) -f (y) \ | ^ {2} \ leq \, \ langle xy, f (x) -f (y) \ rangle.

где

d ( x, y) знак равно ‖ x - y ‖ {\ displaystyle d (x, y) = \ | xy \ |}d (x, y) = \ | xy \ | .

Это частный случай α {\ displaystyle \ alpha}\ alpha усредненные нерасширяющие операторы с α = 1/2 {\ displaystyle \ alpha = 1/2}\ alpha = 1/2 . Строго нерасширяющее отображение всегда нерасширяющее с помощью неравенства Коши – Шварца.

Класс устойчиво нерасширяющих отображений замыкается под выпуклыми комбинациями, но не композициями. Этот класс включает в себя проксимальные отображения собственных, выпуклых, полунепрерывных снизу функций, следовательно, он также включает ортогональные проекции на непустые замкнутые выпуклые множества. Класс жестко нерасширяющих операторов равен множеству резольвент максимально монотонных операторов. Удивительно, но хотя итерация нерасширяющих карт не дает гарантии нахождения фиксированной точки (например, умножение на -1), твердой нерасширяемости достаточно, чтобы гарантировать глобальную сходимость к фиксированной точке, при условии, что фиксированная точка существует. Точнее, если Fix f: = {x ∈ H | е (х) = х} ≠ ∅ {\ displaystyle {\ text {Fix}} f: = \ {x \ in {\ mathcal {H}} \ | \ f (x) = x \} \ neq \ varnothing}{\ displaystyle {\ text {Fix}} f: = \ {x \ in {\ mathcal {H}} \ | \ f (x) = x \} \ neq \ varnothing} , то для любой начальной точки x 0 ∈ H {\ displaystyle x_ {0} \ in {\ mathcal {H}}}{ \ Displaystyle x_ {0} \ in {\ mathcal {H}}} , итерация

(∀ n ∈ N) xn + 1 знак равно f (xn) {\ displaystyle (\ forall n \ in \ mathbb {N}) \ quad x_ {n + 1} = f (x_ {n})}{\ displaystyle (\ forall n \ in \ mathbb {N}) \ quad x_ {n + 1} = f (x_ { n})}

дает сходимость к фиксированная точка xn → z ∈ Fix f {\ displaystyle x_ {n} \ to z \ in {\ text {Fix}} f}{\ displaystyle x_ {n} \ to z \ in {\ text {Fix}} f} . Эта сходимость может быть слабой в бесконечномерной настройке.

Карта субподряда

A карта субподряда или субподрядчик - это карта f в метрическом пространстве (M, d) такие, что

d (f (x), f (y)) ≤ d (x, y); {\ displaystyle d (f (x), f (y)) \ leq d (x, y);}{\ displaystyle d (f (x), f (y)) \ leq d (x, y);}
d (f (f (x)), f (x)) < d ( f ( x), x) unless x = f ( x). {\displaystyle d(f(f(x)),f(x)){\ displaystyle d (f (f (x)), f (x)) <d (f (x), x) \ quad {\ text {if}} \ quad x = f (x).}

Если изображение субподрядчика f компактно, тогда f имеет фиксированную точку.

Локально выпуклые пространства

В локально выпуклом пространстве (E, P) с топологией, заданной множеством P из полунорм, для любого p ∈ P можно определить p-сжатие как отображение f такое, что существует некоторое k p< 1 such that p(f(x) − f(y)) ≤ kpр (х - у). Если f является p-сжатием для всех p ∈ P и (E, P) является последовательно полным, то f имеет фиксированную точку, заданную как предел любой последовательности x n + 1 = f (x n), и если (E, P) равно Hausdorff, то фиксированная точка уникальна.

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

  • Истратеску, Василий И. (1981). Теория неподвижной точки: введение. Голландия: Д.Райдель. ISBN 978-90-277-1224-0.обеспечивает введение на уровне бакалавриата.
  • Гранас, Анджей; Дугунджи, Джеймс (2003). Теория неподвижной точки. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-00173-9.
  • Кирк, Уильям А.; Симс, Брэйли (2001). Справочник по метрической теории неподвижной точки. Лондон: Kluwer Academic. ISBN 978-0-7923-7073-4.
  • Naylor, Arch W.; Продай, Джордж Р. (1982). Теория линейных операторов в технике и науке. Прикладные математические науки. 40 (Второе изд.). Нью-Йорк: Спрингер. С. 125–134. ISBN 978-0-387-90748-2.
Последняя правка сделана 2021-05-15 11:03:12
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте