Войти
Множество Мандельброта 
Увеличить масштаб множества Мандельброта В математике, фрактал - это самоподобное подмножество евклидова пространства, фрактальная размерность которого строго превышает его топологическую размерность. Фракталы выглядят одинаково на разных уровнях, как показано в последовательном увеличении множества Мандельброта. Фракталы демонстрируют аналогичные модели во все более мелких масштабах, называемых самоподобием, также известными как расширяющаяся симметрия или развертывающаяся симметрия; если эта репликация одинакова на всех уровнях, как в губке Менгера, она называется аффинным самоподобием. Фрактальная геометрия относится к математической ветви теории меры.
Одним из отличий фракталов от конечных геометрических фигур является способ их масштабирования. При удвоении длины ребер многоугольника его площадь умножается на четыре, то есть два (отношение длины новой стороны к старой), возведенные в степень двойки (размерность пространства, в котором находится многоугольник).). Точно так же, если радиус сферы удваивается, ее объем увеличивается на восемь, что составляет два (отношение нового радиуса к старому) в степени тройки (размер, в котором находится сфера.). Однако, если все одномерные длины фрактала удвоены, пространственное содержание фрактала масштабируется на степень, которая не обязательно является целым числом. Эта сила называется фрактальной размерностью фрактала, и она обычно превышает топологическую размерность.
фрактала. Аналитически фракталы обычно нигде не дифференцируемы. Бесконечную фрактальную кривую можно представить себе как извивающуюся в пространстве иначе, чем обычную линию - хотя она все еще одномерна, ее фрактальная размерность указывает на то, что она также похожа на поверхность.
ковер Серпинского (до уровня 6), фрактал с топологической размерностью , равной 1, и размерностью Хаусдорфа, равной 1,893 . Начиная с 17 века с понятиями рекурсией фракталы прошли через все более строгую математическую обработку концепции к изучению непрерывных, но не дифференцируемых функций в 19 веке благодаря основополагающей работе Бернар Больцано, Бернхард Риман и Карл Вейерштрасс, а также к появлению слова фрактал в 20-м веке с последующим расцветом представляет интерес к фракталам и компьютерному моделированию в ХХ веке. Термин «фрактал» впервые был использован математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году. Мандельброт основал его на латинском frāctus, что означает «сломанный» или «расколотый», и использовал его для расширения концепция от теоретических дробных измерений до геометрических паттернов в природе.
Среди математиков есть некоторые разногласия по поводу того, как следует формально определять концепцию фрактала. Сам Мандельброт охарактеризовал это как «красиво, чертовски сложно, все более полезно. Это фракталы». Более формально, в 1982 году Мандельброт заявил, что «фрактал по определению - это множество, для которого размерность Хаусдорфа – Безиковича строго превышает топологическую размерность ». Позже, посчитав это слишком ограничительным, он упростил и расширил определение до следующего: «Фрактал - это форма, состоящая из частей, в некотором роде похожих на целое». Еще позже Мандельброт остановился на таком использовании языка: «... использовать фрактал без педантичного определения, использовать фрактальное измерение как общий термин, применимый ко всем вариантам».
Все согласны с тем, что теоретические фракталы бесконечно самоподобны, повторяются и детализированы математические конструкции, имеющие фрактальные измерения, из которых многие примеры были сформулированы и глубоко изучены. Фракталы не ограничиваются геометрическими узорами, но также могут описывать процессы во времени. Фрактальные узоры с различной степенью самоподобия были визуализированы или изучены в изображениях, структурах и звуках и обнаружены в природе, технологии, искусстве, архитектуре и закон. Фракталы имеют особое значение в области теории хаоса, поскольку графики большинства хаотических процессов являются фрактальными. Было обнаружено, что многие реальные и модельные сети обладают фрактальными характеристиками, такими как самоподобие.
.
Простое фрактальное дерево, созданное с помощью JavaScript Слово «фрактал» часто имеет разные коннотации для широкой публики, так как в отличие от математиков, где общественность скорее знакома с фрактальным искусством, чем с математической концепцией. Математическую концепцию сложно определить формально даже математикам, но ключевые особенности можно понять, имея небольшой математический опыт.
Признак «самоподобия», например, легко понять по аналогии с увеличением с помощью объектива или другого устройства, которое увеличивает цифровые изображения, чтобы выявить более тонкую, ранее невидимую новую структуру. Однако если это делается на фракталах, никаких новых деталей не появляется; ничего не меняется, и один и тот же узор повторяется снова и снова, или для некоторых фракталов почти один и тот же узор повторяется снова и снова. Самоподобие само по себе не обязательно противоречит интуиции (например, люди неформально размышляли о самоподобии, например, в бесконечном регрессе в параллельных зеркалах или гомункуле, маленьком человечке внутри голова человечка внутри головы...). Разница для фракталов состоит в том, что воспроизводимый узор должен быть детализирован.
Эта идея детализации относится к другой особенности, которую можно понять без особых математических знаний: наличие фрактальной размерности больше, чем ее Топологическое измерение, например, относится к тому, как фрактал масштабируется по сравнению с тем, как обычно воспринимаются геометрические формы. Например, прямая линия обычно считается одномерной; если такая фигура повторно разбита на части, каждая 1/3 длины оригинала, то всегда есть три равных части. Под сплошным квадратом понимается двумерное изображение; если такая фигура представляет собой повторяющиеся части, каждая из которых уменьшена в масштабе 1/3 в обоих измерениях, всего получается 3 = 9 штук. Мы видим, что для обычных самоподобных объектов n-мерность означает, что при повторном разбиении на части, каждая из которых уменьшена с масштабным коэффициентом 1 / r, всего получается r частей. Теперь рассмотрим кривую Коха. Его можно повторно разбить на четыре части, каждая из которых уменьшена в масштабе 1/3. Итак, строго по аналогии, мы можем рассматривать «размерность» кривой Коха как единственное действительное число D, удовлетворяющее условию 3 = 4. Это число математики называют фрактальной размерностью кривой Коха; это определенно не то, что принято считать измерением кривой (это число даже не целое!). Тот факт, что кривая Коха имеет фрактальную размерность, отличную от ее обычно понимаемой размерности (то есть ее топологической размерности), делает ее фракталом.
Трехмерный компьютерный фрактал Это также приводит к пониманию третьей особенности, заключающейся в том, что фракталы как математические уравнения «нигде не дифференцируемы ». В конкретном смысле это означает, что фракталы нельзя измерить традиционными способами. Чтобы уточнить, при попытке найти длину волнистой нефрактальной кривой можно найти прямые сегменты некоего измерительного инструмента, достаточно маленькие, чтобы положить конец за концом на волны, где части могут стать достаточно маленькими, чтобы их можно было рассматривать как соответствующие. кривую обычным способом измерения рулеткой. Но при измерении бесконечно «волнистой» фрактальной кривой, такой как снежинка Коха, невозможно найти достаточно маленький прямой сегмент, чтобы соответствовать кривой, потому что зубчатый узор всегда будет снова появляться в сколь угодно малых масштабах, по существу, немного потянув. больше рулетки в общую длину, измеренную каждый раз, когда кто-то пытался подогнать ее все туже и туже к кривой. В результате нужна бесконечная лента, чтобы полностью покрыть всю кривую, т.е. снежинка имеет бесконечный периметр.
A Снежинка Коха - это фрактал, который начинается с равностороннего треугольника и затем заменяет середину треть каждого линейного сегмента состоит из пары линейных сегментов, образующих равносторонний выступ. 
Канторовское (тройное) множество. История фракталов проложила путь от теоретических исследований до современных приложений в компьютерной графике с участием нескольких известных людей внесение канонических фрактальных форм по пути. Распространенной темой в древней традиционной африканской архитектуре является использование фрактального масштабирования, при котором небольшие части структуры имеют тенденцию выглядеть похожими на более крупные части, такие как круглая деревня, состоящая из круглых домов. Согласно Пиковеру, математика, лежащая в основе фракталов, начала формироваться в 17 веке, когда математик и философ Готфрид Лейбниц задумался о рекурсивном самоподобии (хотя он ошибся, полагая, что только прямая была самоподобной в этом смысле). В своих работах Лейбниц использовал термин «дробные показатели», но сетовал на то, что «геометрия» их еще не знала. Действительно, согласно различным историческим источникам, после этого момента немногие математики занимались проблемами, и работа тех, кто это делал, оставалась неясной в основном из-за сопротивления таким незнакомым возникающим концепциям, которых иногда называли математическими «монстрами». Таким образом, только через два столетия 18 июля 1872 года Карл Вейерштрасс представил первое определение функции с графиком, которое сегодня будет считается фракталом, обладающим не интуитивным свойством быть везде непрерывным, но нигде не дифференцируемым в Королевской прусской академии наук. Кроме того, разность частных становится сколь угодно большой по мере увеличения индекса суммирования. Вскоре после этого, в 1883 году, Георг Кантор, посетивший лекции Вейерштрасса, опубликовал примеры подмножеств реальной линии, известной как множества Кантора, которые имели необычные свойства и теперь признаны фракталами. Также в последней половине того же века Феликс Клейн и Анри Пуанкаре ввели категорию фракталов, которые стали называть «самообратными» фракталами.
A Множество Жюлиа, фрактал, связанный с множеством Мандельброта 
A прокладка Серпинского, может быть сгенерирован фрактальным деревом. Одна из следующих вех наступила в 1904 году, когда Хельге фон Кох, расширив идеи Пуанкаре и неудовлетворенный абстрактным и аналитическим определением Вейерштрасса, дал более геометрическое определение, включая нарисованные от руки изображения аналогичной функции, которая теперь называется снежинкой Коха. Еще одна важная веха наступила десятью годами позже, в 1915 году, когда Вацлав Серпинский построил свой знаменитый треугольник, а год спустя - свой ковер. К 1918 году два французских математика, Пьер Фату и Гастон Жюлиа, хотя и работали независимо, по существу одновременно пришли к результатам, описывающим то, что сейчас рассматривается как фрактальное поведение, связанное с отображением комплексных чисел. и итерационные функции, что привело к дальнейшим идеям об аттракторах и репеллерах (т.е. точках, которые притягивают или отталкивают другие точки), которые стали очень важными при изучении фракталов. Вскоре после того, как эта работа была представлена, к марту 1918 года Феликс Хаусдорф расширил определение «размерности», значительно для эволюции определения фракталов, чтобы позволить множествам иметь нецелочисленные измерения. Идея самоподобных кривых была продолжена Полем Леви, который в своей статье 1938 года «Плоские или космические кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», описал новую фрактальную кривую, Кривая Леви.
A странный аттрактор, который демонстрирует мультифрактал масштабирование 
Равномерный фрактал треугольника центра масс 
2x рекурсивный 120 градусов IFS Различные исследователи предположили, что без Благодаря современной компьютерной графике ранние исследователи были ограничены тем, что они могли изобразить на ручных рисунках, поэтому у них не было средств визуализировать красоту и оценить некоторые значения многих из обнаруженных ими закономерностей (например, набор Джулии мог можно только визуализировать через несколько итераций как очень простые рисунки). Однако все изменилось в 1960-х, когда Бенуа Мандельброт начал писать о самоподобии в таких статьях, как Какова длина побережья Британии? Статистическое самоподобие и дробное измерение, основанное на более ранней работе Льюиса Фрая Ричардсона. В 1975 году Мандельброт закрепил за собой сотни лет мысли и математического развития, придумав слово «фрактал», и проиллюстрировал свое математическое определение поразительными компьютерными визуализациями. Эти изображения, такие как его канонический набор Мандельброта, захватили народное воображение; многие из них были основаны на рекурсии, что привело к популярному значению термина «фрактал».
В 1980 году Лорен Карпентер выступил с докладом на SIGGRAPH, где он представил свое программное обеспечение для создания и визуализации фрактально сгенерированных ландшафтов.
Одно из часто цитируемых описаний, опубликованных Мандельбротом для описания геометрических фракталов, - это «грубая или фрагментированная геометрическая форма, которая могут быть разделены на части, каждая из которых является (по крайней мере приблизительно) копией целого в уменьшенном размере "; это обычно полезно, но ограничено. Авторы расходятся во мнениях относительно точного определения фрактала, но чаще всего подробно останавливаются на основных идеях самоподобия и необычных взаимоотношений фракталов с пространством, в которое они встроены.
Единственное, что согласовано в том, что фрактальные узоры являются характеризуются фрактальной размерностью, но в то время как эти числа количественно определяют сложность (т. е. изменение деталей с изменением масштаба), они не описывают однозначно и не конкретизируют детали того, как построить определенные фрактальные узоры. В 1975 году, когда Мандельброт придумал слово «фрактал», он сделал это для обозначения объекта, размерность Хаусдорфа – Безиковича больше, чем его топологическая размерность. Однако этому требованию не отвечают кривые, заполняющие пространство, такие как кривая Гильберта.
. Из-за трудностей, связанных с поиском одного определения для фракталов, некоторые утверждают, что фракталы не следует строго определять. совсем. Согласно Фалконеру, фракталы должны, помимо того, что они нигде не дифференцируются и могут иметь фрактальную размерность, в целом должны характеризоваться только гештальтом из следующих характеристик ;
В целом эти критерии формируют руководящие принципы для исключения определенных случаев, например тех, которые могут быть самоподобными без других типичных фрактальных особенностей. Прямая линия, например, самоподобна, но не фрактальна из-за отсутствия деталей, легко описывается на евклидовом языке, имеет ту же размерность Хаусдорфа, что и топологическую размерность, и полностью определены без необходимости рекурсии.
Самоподобный паттерн ветвления, смоделированный in silico с использованием L-систем принципов Изображения фракталов могут быть созданы программами генерации фракталов. Из-за эффекта бабочки небольшое изменение одной переменной может иметь непредсказуемый результат.
Фрактал, сгенерированный с помощью правила конечного подразделения для чередующейся ссылки Фрактальные модели широко моделировались, хотя и в пределах диапазона масштабов, а не бесконечно, из-за практических ограничений физического времени и пространства. Модели могут имитировать теоретические фракталы или природные явления с фрактальными особенностями. Результатами процесса моделирования могут быть высокохудожественные визуализации, выходы для исследования или эталоны для фрактального анализа. Некоторые конкретные применения фракталов в технологии перечислены в другом месте. Изображения и другие результаты моделирования обычно называют «фракталами», даже если они не имеют строго фрактальных характеристик, например, когда можно увеличить область фрактального изображения, которая не проявляет никаких фрактальных свойств. Кроме того, они могут включать в себя вычисление или отображение артефактов, которые не являются характеристиками истинных фракталов.
Смоделированные фракталы могут быть звуками, цифровыми изображениями, электрохимическими паттернами, циркадными ритмами и т. Д. Фрактальные паттерны были реконструированы в физическом трехмерном пространстве и виртуально, часто называемые «в silico "моделирование. Модели фракталов обычно создаются с помощью программного обеспечения для генерации фракталов, которое реализует такие методы, как описанные выше. В качестве одной иллюстрации деревья, папоротники, клетки нервной системы, сосудов крови и легких и другие паттерны ветвления в природе можно смоделировать на компьютере с помощью рекурсивных алгоритмов и L-системы техники. Рекурсивный характер некоторых паттернов очевиден на определенных примерах - ветвь от дерева или лист от папоротника - это миниатюрная копия целого: не идентична, но похожа по своей природе. Точно так же случайные фракталы использовались для описания / создания многих очень необычных объектов реального мира. Ограничение моделирования фракталов состоит в том, что сходство фрактальной модели с природным явлением не доказывает, что моделируемое явление сформировано процессом, аналогичным алгоритмам моделирования.
Приблизительные фракталы, встречающиеся в природе, демонстрируют самоподобие в расширенных, но конечных диапазонах масштабов. Например, связь между фракталами и листьями в настоящее время используется для определения количества углерода, содержащегося в деревьях. Явления, имеющие фрактальные особенности, включают:
Морозные кристаллы, естественным образом встречающиеся на холодном стекле, образуют фрактальные узоры
Граница фрактального бассейна в геометрической оптической системе
Фрактал образуется при разделении двух клеевых покрытий эред акриловые листы
Пробой высокого напряжения в блоке акрилового стекла размером 4 дюйма (100 мм) создает фрактал фигуру Лихтенберга
брокколи Романеско, показывая себя -подобная форма, напоминающая естественный фрактал
Фрактальные схемы размораживания, полярный Марс. Узоры формируются путем сублимации замороженного CO 2. Ширина изображения около километра.
Слизневая плесень Brefeldia maxima фрактально растёт на дереве
С 1999 года более 10 научных групп провели фрактальный анализ более 50 из Картины Джексона Поллока (1912–1956), которые были созданы путем заливки краски непосредственно на его горизонтальные холсты. В последнее время фрактальный анализ был использован для достижения 93% успеха в различении реального и имитационного Поллока. Когнитивные нейробиологи показали, что фракталы Поллока вызывают такое же снижение стресса у наблюдателей, как и фракталы, сгенерированные компьютером и фракталы Природы.
Декалькомания, техника, используемая такими художниками, как Макс Эрнст, может производить фрактальные узоры. Он заключается в том, чтобы зажать краску между двумя поверхностями и раздвинуть их.
Кибернетик Рон Эглаш предположил, что фрактальная геометрия и математика преобладают в африканском искусстве, играх, гадании, торговле и архитектуре. Круглые дома появляются в кругах кругов, прямоугольные дома - в прямоугольниках прямоугольников и т. Д. Такие узоры масштабирования также можно найти в африканских тканях, скульптурах и даже прическах косичек. Хокки Ситунгкир также предложил аналогичные свойства в индонезийском традиционном искусстве, батике и орнаментах найдены в традиционных домах.
Этноматематик Рон Эглаш обсудил запланированную планировку города Бенина, используя фракталы в качестве основы, не только в самом городе и деревнях, но даже в комнатах домов. Он прокомментировал, что «когда европейцы впервые приехали в Африку, они считали архитектуру очень неорганизованной и, следовательно, примитивной. Им никогда не приходило в голову, что африканцы могли использовать форму математики, которую они еще даже не открыли».
В интервью 1996 года Майклу Сильверблатту, Дэвид Фостер Уоллес признал, что структуру первого наброска Infinite Jest он дал своему Редактор Майкл Питч был вдохновлен фракталами, в частности треугольником Серпинского (он же прокладка Серпинского), но отредактированный роман «больше похож на однобокую прокладку Серпинского».
Некоторые работы голландцев художник М. C. Escher, например Circle Limit III, содержат повторяющиеся до бесконечности формы, которые становятся все меньше и меньше по мере приближения к краям, в шаблоне, который всегда будет выглядеть одинаково при увеличении.
Фрактал, моделирующий поверхность горы (анимация)
Трехмерное рекурсивное изображение
Рекурсивное фрактальное изображение бабочки
Люди выглядят особенно хорошо -адаптирован для обработки фрактальных паттернов со значениями D от 1,3 до 1,5. Когда люди видят фрактальные модели со значениями D от 1,3 до 1,5, это снижает физиологический стресс.
Когда двумерные фракталы повторяются много раз, периметр фрактала увеличивается до бесконечности, но площадь может никогда не превышают определенное значение. Фрактал в трехмерном пространстве аналогичен; такой фрактал может иметь бесконечную площадь поверхности, но никогда не превышать определенный объем. Это может быть использовано для максимизации эффективности ионной тяги при выборе конструкции и материала электронного эмиттера. Если все сделано правильно, эффективность процесса эмиссии может быть максимизирована.
Математический портал  | На Викискладе есть средства массовой информации, связанные с Фракталом. |
 | В Викиучебнике есть книга по теме: Фракталы |
