Теория бифуркации

редактировать

Область математики

Фазовый портрет, показывающий бифуркацию седло-узел

Теория бифуркации - это математический изучение изменений качественной или топологической структуры данного семейства, например, интегральных кривых семейства векторных полей, и решения семейства дифференциальных уравнений. Чаще всего применяется для математического исследования динамических систем, бифуркация возникает, когда небольшое плавное изменение значений параметров (параметров бифуркации) системы вызывает внезапное «качественное» или топологическое изменение его поведения. Бифуркации происходят как в непрерывных системах (описываемых ODE, DDE или PDE ), так и в дискретных системах (описываемых картами). Название «бифуркация» было впервые введено Анри Пуанкаре в 1885 году в первой статье по математике, показывающей такое поведение. Анри Пуанкаре позже также назвал различные типы стационарных точек и классифицировал их по мотиву

Содержание

1 Типы бифуркаций
- 1.1 Локальные бифуркации
- 1.2 Глобальные бифуркации
2 Коразмерность бифуркации
3 Приложения в полуклассической и квантовой физике
4 См. Также
5 Примечания
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Типы бифуркаций

Полезно разделить бифуркации на два основных класса:

Локальные бифуркации, которые могут быть полностью анализируется посредством изменений свойств локальной устойчивости равновесий, периодических орбит или других инвариантных наборов, когда параметры пересекают критические пороги; и
Глобальные бифуркации, которые часто происходят, когда большие инвариантные множества системы «сталкиваются» друг с другом или с состояниями равновесия системы. Их нельзя обнаружить только с помощью анализа устойчивости равновесий (неподвижных точек).

Локальные бифуркации

Бифуркации, уменьшающие период вдвое (L), приводящие к порядку, за которыми следуют бифуркации удвоения периода (R), ведущие к хаосу.

Локальная бифуркация возникает, когда изменение параметра приводит к изменению устойчивости равновесия (или фиксированной точки). В непрерывных системах это соответствует действительной части собственного значения равновесия, проходящей через ноль. В дискретных системах (описываемых картами, а не ОДУ) это соответствует фиксированной точке, имеющей множитель Флоке с модулем, равным единице. В обоих случаях равновесие негиперболическое в точке бифуркации. Топологические изменения в фазовом портрете системы могут быть ограничены сколь угодно малыми окрестностями бифуркационных неподвижных точек, перемещая параметр бифуркации близко к точке бифуркации (следовательно, «локальной»).

С технической точки зрения, рассмотрим непрерывную динамическую систему, описываемую ОДУ

x ˙ = f (x, λ) f: R n × R → R n. {\ Displaystyle {\ точка {х}} = е (х, \ лямбда) \ четырехугольник е \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}.}

{\ dot x} = f ( x, \ lambda) \ quad f \ двоеточие {\ mathbb {R}} ^ {n} \ times {\ mathbb {R}} \ rightarrow {\ mathbb {R}} ^ {n}.

Локальная бифуркация происходит в $(x 0, λ 0) {\ displaystyle (x_ {0}, \ lambda _ {0})}$ $(x_ {0}, \ lambda _ {0})$ , если якобиан матрица $dfx 0, λ 0 {\ displaystyle {\ textrm {d}} f_ {x_ {0}, \ lambda _ {0}}}$ ${\ textrm {d}} f _ {{x_ {0}, \ lambda _ {0}}}$ имеет собственное значение с нулевой действительной частью. Если собственное значение равно нулю, бифуркация является бифуркацией установившегося состояния, но если собственное значение ненулевое, но чисто мнимое, это бифуркация Хопфа.

Для дискретных динамических систем рассмотрите систему

xn + 1 = f (xn, λ). {\ displaystyle x_ {n + 1} = f (x_ {n}, \ lambda) \,.}

x _ {{n + 1}} = f (x_ {n}, \ lambda) \,.

Затем локальная бифуркация происходит в $(x 0, λ 0) {\ displaystyle (x_ {0) }, \ lambda _ {0})}$ $(x_ {0}, \ lambda _ {0})$ , если матрица $dfx 0, λ 0 {\ displaystyle {\ textrm {d}} f_ {x_ {0}, \ lambda _ {0} }}$ ${\ textrm {d}} f _ {{x_ {0}, \ lambda _ {0}}}$ имеет собственное значение с модулем, равным единице. Если собственное значение равно единице, бифуркация представляет собой либо седло-узел (часто называемое бифуркацией складок на картах), либо транскритическую бифуркацию или бифуркацию вил. Если собственное значение равно -1, это бифуркация удвоения периода (или переворота), а в противном случае - бифуркация Хопфа.

Примеры локальных бифуркаций включают:

Седло-узел (складка) бифуркация
Транскритическая бифуркация
Вилка вилки
удвоение периода (переворот) бифуркация
Бифуркация Хопфа
(вторичная бифуркация Хопфа)

Глобальные бифуркации

Фазовый портрет до, в и после гомоклинической бифуркации в 2D. Периодическая орбита растет, пока не столкнется с седловой точкой. В точке бифуркации период периодической орбиты вырос до бесконечности, и она стала гомоклинической орбитой. После бифуркации периодической орбиты больше нет. Левая панель : для малых значений параметров имеется седловая точка в начале координат и предельный цикл в первом квадранте. Средняя панель : По мере увеличения параметра бифуркации предельный цикл увеличивается до тех пор, пока он точно не пересечет седловую точку, создавая орбиту бесконечной продолжительности. Правая панель : При дальнейшем увеличении параметра бифуркации предельный цикл полностью исчезает.

Глобальные бифуркации происходят, когда «большие» инвариантные множества, такие как периодические орбиты, сталкиваются с положениями равновесия. Это вызывает изменения в топологии траекторий в фазовом пространстве, которые не могут быть ограничены малой окрестностью, как в случае с локальными бифуркациями. Фактически, изменения в топологии простираются на сколь угодно большие расстояния (следовательно, «глобальные»).

Примеры глобальных бифуркаций включают:

Гомоклиническую бифуркацию, в которой предельный цикл сталкивается с седловой точкой. Гомоклинические бифуркации могут происходить сверхкритически или субкритически. Вышеупомянутый вариант - это «малая» гомоклиническая бифуркация или «тип I». В 2D также существует гомоклиническая бифуркация «большого» или «типа II», в которой гомоклиническая орбита «захватывает» другие концы неустойчивых и устойчивых многообразий седла. В трех или более измерениях могут происходить бифуркации более высокой коразмерности, создавая сложную, возможно хаотическую динамику.
Гетероклиническую бифуркацию, в которой предельный цикл сталкивается с двумя или более седловыми точками; они включают гетероклинический цикл. Гетероклинические бифуркации бывают двух типов: резонансные бифуркации и поперечные бифуркации. Оба типа бифуркации приведут к изменению устойчивости гетероклинического цикла. При резонансной бифуркации устойчивость цикла изменяется, когда выполняется алгебраическое условие на собственные значения равновесий в цикле. Обычно это сопровождается рождением или смертью периодической орбиты. Поперечная бифуркация гетероклинического цикла возникает, когда действительная часть поперечного собственного значения одного из положений равновесия в цикле проходит через ноль. Это также вызовет изменение стабильности гетероклинического цикла.
Бифуркация с бесконечным периодом, в которой стабильный узел и седловая точка одновременно возникают в предельном цикле. Когда предел параметра приближается к определенному критическому значению, скорость колебаний замедляется, а период приближается к бесконечности. При этом критическом значении происходит бифуркация бесконечного периода. За пределами критического значения две фиксированные точки непрерывно выходят друг из друга в предельном цикле, чтобы нарушить колебания и сформировать две седловые точки.
катастрофы голубого неба, в которых предельный цикл сталкивается с негиперболическим циклом.

Глобальные бифуркации также могут включать более сложные множества, такие как хаотические аттракторы (например, кризисы ).

коразмерность бифуркации

коразмерность бифуркации - это количество параметров, которые должны изменяться для того, чтобы возникла бифуркация. Это соответствует коразмерности набора параметров, для которого бифуркация происходит в пределах всего пространства параметров. Бифуркации седло-узел и бифуркации Хопфа - единственные типичные локальные бифуркации, которые действительно имеют коразмерность один (все остальные имеют более высокую коразмерность). Однако транскритические бифуркации и бифуркации вил также часто рассматриваются как коразмерность один, потому что нормальные формы могут быть записаны только с одним параметром.

Примером хорошо изученной бифуркации коразмерности два является бифуркация Богданова – Такенса.

Приложения в полуклассической и квантовой физике

Теория бифуркаций была применена для соединения квантовых систем к динамике их классических аналогов в атомных системах, молекулярных системах и резонансных туннельных диодах. Теория бифуркации также применялась для изучения ряда теоретических примеров, которые трудно получить экспериментально, таких как выпуклая вершина и связанные квантовые ямы. Основная причина связи между квантовыми системами и бифуркациями в классических уравнениях движения заключается в том, что при бифуркациях характерные черты классических орбит становятся большими, как указывает Мартин Гуцвиллер в своей классической работе по квантовым хаос. Многие виды бифуркаций были изучены в отношении связей между классической и квантовой динамикой, включая бифуркации седловых узлов, бифуркации Хопфа, омбилические бифуркации, бифуркации удвоения периода, бифуркации пересоединения, касательные бифуркации и бифуркации возврата.

См. Также

Портал математики

Примечания

Список литературы

Афраймович, В.С.; Арнольд В. И. ; и другие. (1994). Теория бифуркаций и теория катастроф. ISBN 978-3-540-65379-0.
Guardia, M.; Мартинес-Сеара, М.; Тейшейра, М. А. (2011). Типовые бифуркации малой коразмерности планарных систем Филиппова. "Журнал дифференциальных уравнений", Февраль 2011, т. 250, шт. 4. С. 1967-2023. DOI: 10.1016 / j.jde.2010.11.016
Виггинс, Стивен (1988). Глобальные бифуркации и хаос: аналитические методы. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-96775-2.

Внешние ссылки

Нелинейная динамика
Бифуркации и двумерные потоки Элмера Г. Винса
Введение в Теория бифуркации Джона Дэвида Кроуфорда