Многоугольник

редактировать

Плоская фигура, ограниченная отрезками линии

Некоторые многоугольники разных типов: открытые (за исключением границы), только границы (за исключением внутренних), замкнутый (включая границу и внутреннюю часть) и самопересекающийся.

В geometry, многоугольник () - это плоскость фигура, которая описывается конечным числом прямых отрезков, соединенных с образованием замкнутой многоугольной цепи или многоугольной цепи. Область сплошной плоскости, ограничивающий контур или оба вместе могут называться многоугольником .

Сегменты многоугольного контура называются его ребрами или сторонами, а точки, в которых два ребра meet - это вершины многоугольника (особая: вершина) или углы. Внутреннее пространство твердого многоугольника иногда называют его телом. n-угольник - многоугольник с n сторонами; например, треугольник - это 3-угольник.

A простой многоугольник - это многоугольник, который не пересекает сам себя. Математиков часто интересуют только ограничивающие многоугольные цепи простых многоугольников, и они часто определяют многоугольник соответственно. Полигональной границе может быть разрешено пересекать себя, создавая звездчатые многоугольники и другие самопересекающиеся многоугольники.

. Многоугольник - это двумерный пример более общего многогранника в любом количестве измерений. Есть еще много обобщений многоугольников, определенных для различных целей.

Содержание

1 Этимология
2 Классификация
- 2.1 Число сторон
- 2.2 Выпуклость и невыпуклость
- 2.3 Равенство и симметрия
- 2.4 Разное
3 Свойства и формулы
- 3.1 Углы
- 3.2 Площадь
  - 3.2.1 Правильные многоугольники
  - 3.2.2 Самопересекающиеся
- 3.3 Центроид
4 Обобщения
5 Именование
- 5.1 Построение высших имен
6 История
7 Природа
8 Компьютерная графика
9 См. Также
10 Ссылки
- 10.1 Библиография
- 10.2 Примечания
11 Внешние ссылки

Этимология

Слово многоугольник происходит от греческого прилагательного πολύς (polús) «много», «много» и γωνία (gōnía) «угол» или «угол». Было высказано предположение, что γόνυ (gónu) "колено" может быть источником гон.

Классификация

Некоторые разные типы многоугольника

Число сторон

В первую очередь классифицируются многоугольники по количеству сторон. См. Таблицу ниже..

Выпуклость и невыпуклость

Многоугольники могут характеризоваться своей выпуклостью или типом невыпуклости:

Выпуклость : любая линия, проведенная через многоугольник ( и не касается края или угла) встречается со своей границей ровно дважды. Как следствие, все его внутренние углы меньше 180 °. Эквивалентно, любой сегмент линии с концами на границе проходит только через внутренние точки между своими концами.
Невыпуклый: может быть найдена линия, которая встречается со своей границей более двух раз. Эквивалентно, существует отрезок линии между двумя граничными точками, который выходит за пределы многоугольника.
Простой : граница многоугольника не пересекает саму себя. Все выпуклые многоугольники простые.
Вогнутые : невыпуклые и простые. Существует по крайней мере один внутренний угол больше 180 °.
Звездообразный : вся внутренняя часть видна по крайней мере из одной точки, но не пересекает ни одного края. Многоугольник должен быть простым и может быть выпуклым или вогнутым. Все выпуклые многоугольники имеют звездообразную форму.
Самопересекающиеся : граница многоугольника пересекает сама себя. Термин сложный иногда используется в отличие от простого, но это использование рискует ошибиться с идеей сложного многоугольника как одного, который существует в сложной плоскости Гильберта, состоящей из двух сложные размеры.
Звездообразный многоугольник : многоугольник, который самопересекается правильным образом. Многоугольник не может быть одновременно звездой и звездообразным.

Равенство и симметрия

Равноугольный : все углы равны.
Циклический : все углы лежат на одной окружности, называемый описанной окружностью.
изогональной или вершинно-транзитивной : все углы лежат внутри одной и той же орбиты симметрии. Многоугольник также является циклическим и равноугольным.
Равносторонний : все ребра имеют одинаковую длину. Многоугольник не обязательно должен быть выпуклым.
Тангенциальный : все стороны касаются вписанной окружности.
Изотоксальный или реберно-транзитивный : все стороны лежат внутри одного орбита симметрии. Многоугольник также является равносторонним и тангенциальным.
Правильный : многоугольник одновременно изогонален и изотоксален. Эквивалентно, он и циклический, и равносторонний, или и равносторонний, и равносторонний. Невыпуклый правильный многоугольник называется правильным звездообразным многоугольником.

Разное

Прямолинейным : стороны многоугольника пересекаются под прямым углом, то есть все его внутренние углы составляют 90 или 270 градусов.
Монотонный относительно данной линии L: каждая линия , ортогональная к L, пересекает многоугольник не более двух раз.

Свойства и формулы

Евклидова геометрия предполагается повсюду.

Углы

Любой многоугольник имеет столько углов, сколько сторон. Каждый угол имеет несколько углов. Двумя наиболее важными являются:

Внутренний угол - сумма внутренних углов простого n-угольника составляет (n - 2) π радиан или (n - 2) × 180 градусов. Это связано с тем, что любой простой n-угольник (имеющий n сторон) можно рассматривать как составленный из (n - 2) треугольников, каждый из которых имеет сумму углов π радиан или 180 градусов. Мера любого внутреннего угла выпуклого правильного n-угольника равна $(1-2 n) π {\ displaystyle \ left (1 - {\ tfrac {2} {n}} \ right) \ pi}$ $\ left (1 - {\ tfrac {2} {n}} \ right) \ pi$ радианы или $180–360 n {\ displaystyle 180 - {\ tfrac {360} {n}}}$ $180 - {\ tfrac {360} {n}}$ градусов. Внутренние углы правильных звездных многоугольников были впервые изучены Пуансо в той же статье, в которой он описывает четыре правильных звездных многогранника : для правильного $pq {\ displaystyle { \ tfrac {p} {q}}}$ ${\ tfrac {p} {q}}$ -угольник (p-угольник с центральной плотностью q), каждый внутренний угол равен $π (p - 2 q) p {\ displaystyle {\ tfrac {\ pi (p-2q)} {p}}}$ ${\ tfrac {\ pi (p-2q)} {p}}$ радиан или $180 (p - 2 q) p {\ displaystyle {\ tfrac {180 (p-2q)} {p} }}$ ${ \ tfrac {180 (p-2q)} {p}}$ градусов.
Внешний угол - Внешний угол - это дополнительный угол к внутреннему углу. Обведенный вокруг выпуклого n-угольника, угол, «повернутый» в углу, является внешним или внешним углом. Обведение вокруг многоугольника составляет один полный поворот , поэтому сумма внешних углов должна составлять 360 °. Этот аргумент можно обобщить на вогнутые простые многоугольники, если внешние углы, которые поворачиваются в противоположном направлении, вычтены из общего числа поворотов. В общем случае, обведя n-угольник, сумма внешних углов (общая сумма, которую можно повернуть в вершинах) может быть любым целым числом, кратным 360 ° d, например 720 ° для пентаграммы и 0 ° для угловой «восьмерки» или антипараллелограмма, где d - плотность или звездность многоугольника. См. Также орбита (динамика).

Площадь

Координаты невыпуклого пятиугольника.

В этом разделе вершины рассматриваемого многоугольника приняты равными $(x 0, y 0), (Икс 1, Y 1),…, (XN - 1, YN - 1) {\ Displaystyle (X_ {0}, Y_ {0}), (X_ {1}, Y_ {1}), \ ldots, (x_ {n-1}, y_ {n-1})}$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}), (x_ {1}, y_ {1}), \ ldots, (x_ {n-1}, y_ {n-1})}$ по порядку. Для удобства в некоторых формулах обозначение (x n, y n) = (x 0, y 0) также будет используемый.

Если многоугольник не самопересекающийся (то есть простой ), подписанная область будет

A = 1 2 ∑ i = 0 n - 1 (xiyi + 1 - xi + 1 yi), где xn = x 0 и yn = y 0, {\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 0} ^ {n- 1} (x_ {i} y_ {i + 1} -x_ {i + 1} y_ {i}) \ quad {\ text {где}} x_ {n} = x_ {0} {\ text {и}} y_ {n} = y_ {0},}

{\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} (x_ {i} y_ {i + 1} -x_ {i + 1} y_ {i}) \ quad {\ text {where}} x_ {n} = x_ {0} {\ text {and}} y_ {n} = y_ {0},}

или, используя определители

16 A 2 = ∑ i = 0 n - 1 ∑ j = 0 n - 1 | Q i, j Q i, j + 1 Q i + 1, j Q i + 1, j + 1 |, {\ displaystyle 16A ^ {2} = \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} \ sum _ {j = 0} ^ {n-1} {\ begin {vmatrix} Q_ {i, j} Q_ {i, j + 1} \\ Q_ {i + 1, j} Q_ {i + 1, j + 1} \ end {vmatrix}},}

{\ displaystyle 16A ^ {2} = \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} \ sum _ {j = 0} ^ {n-1} {\ begin {vmatrix} Q_ {i, j} Q_ {i, j + 1} \\ Q_ {i + 1, j} Q_ {i + 1, j + 1} \ end {vmatrix}},}

где $Q i, j {\ displaystyle Q_ {i, j}}$ ${\ displaystyle Q_ {i, j}}$ - это квадрат расстояния между $(xi, yi) {\ displaystyle (x_ {i}, y_ {i})}$ $(x_ {i}, y_ {i})$ и $(xj, yj). {\ displaystyle (x_ {j}, y_ {j}).}$ ${\ displaystyle (x_ {j}, y_ {j}). }$

Зона со знаком зависит от порядка вершин и ориентации плоскости. Обычно положительная ориентация определяется вращением (против часовой стрелки), которое отображает положительную ось x на положительную ось y. Если вершины расположены против часовой стрелки (то есть в соответствии с положительной ориентацией), область со знаком положительна; в противном случае - отрицательный. В любом случае формула площади верна в абсолютном значении. Это обычно называется формулой шнурков или формулой сюрвейера.

Площадь A простого многоугольника также может быть вычислена, если длины сторон, a 1, a 2,..., a n и внешние углы, θ 1, θ 2,..., θ n известны из:

A = 1 2 (a 1 [a 2 sin ⁡ (θ 1) + a 3 sin ⁡ (θ 1 + θ 2) + ⋯ + an - 1 sin ⁡ (θ 1 + θ 2 + ⋯ + θ n - 2)] + a 2 [a 3 sin ⁡ (θ 2) + a 4 sin ⁡ (θ 2 + θ 3) + ⋯ + an - 1 sin ⁡ (θ 2 + ⋯ + θ n - 2)] + ⋯ + an - 2 [an - 1 sin ⁡ (θ n - 2)]). {\ displaystyle {\ begin {align} A = {\ frac {1} {2}} (a_ {1} [a_ {2} \ sin (\ theta _ {1}) + a_ {3} \ sin (\ theta _ {1} + \ theta _ {2}) + \ cdots + a_ {n-1} \ sin (\ theta _ {1} + \ theta _ {2} + \ cdots + \ theta _ {n-2 })] \\ {} + a_ {2} [a_ {3} \ sin (\ theta _ {2}) + a_ {4} \ sin (\ theta _ {2} + \ theta _ {3}) + \ cdots + a_ {n-1} \ sin (\ theta _ {2} + \ cdots + \ theta _ {n-2})] \\ {} + \ cdots + a_ {n-2} [a_ {n -1} \ sin (\ theta _ {n-2})]). \ End {align}}}

{\ begin {align} A = {\ frac {1} {2}} (a_ {1} [a_ {2} \ sin (\ theta _ {1}) + a_ {3} \ sin (\ theta _ {1} + \ theta _ {2}) + \ cdots + a_ {n-1} \ sin (\ theta _ {1 } + \ theta _ {2} + \ cdots + \ theta _ {n-2})] \\ {} + a_ {2} [a_ {3} \ sin (\ theta _ {2}) + a_ {4 } \ sin (\ theta _ {2} + \ theta _ {3}) + \ cdots + a_ {n-1} \ sin (\ theta _ {2} + \ cdots + \ theta _ {n-2}) ] \\ {} + \ cdots + a_ {n-2} [a_ {n-1} \ sin (\ theta _ {n-2})]). \ end {выравнивается}}

Формула была описана Лопшицем в 1963 году.

Если многоугольник можно нарисовать на сетка с одинаковым интервалом, все вершины которой являются точками сетки, теорема Пика дает простую формулу для площади многоугольника, основанную на количестве внутренних и граничных точек сетки: первое число плюс половина второго числа, минус 1.

В каждом многоугольнике с периметром p и площадью A выполняется изопериметрическое неравенство $p 2>4 π A {\ displaystyle p ^ {2}>4 \ pi A}$ $p^{2}>4 \ pi A$ выполняется.

Для любых двух простых многоугольников равной площади теорема Больяи – Гервиена утверждает, что первый может быть разрезан на многоугольные части, которые могут быть повторно собраны, чтобы сформировать второй многоугольник.

Длины сторон многоугольника, как правило, не определяют его площадь. Однако, если многоугольник циклический, то стороны определяют площадь. Из всех n-угольников с заданными длинами сторон один с наибольшей площадью является циклическим. Из всех n-угольников с заданным периметром тот, у которого наибольшая площадь, является правильным (и, следовательно, циклическим).

Правильные многоугольники

Многие специальные формулы применимы к областям правильного многоугольники.

Площадь правильного многоугольника задается через радиус r его вписанной окружности и его периметр p как

A = 1 2 ⋅ p ⋅ r. {\ displaystyle A = {\ tfrac {1} {2}} \ cdot p \ cdot r.}

A = {\ tfrac {1} {2}} \ cdot p \ cdot r.

Этот радиус также называется его апофемой и часто обозначается как a.

Площадь правильного n-угольника со стороной s, вписанной в единичный круг, равна

A = n s 4 4 - s 2. {\ displaystyle A = {\ frac {ns} {4}} {\ sqrt {4-s ^ {2}}}.}

A = {\ frac {ns} {4 }} {\ sqrt {4-s ^ {2}}}.

Площадь правильного n-угольника через радиус R его описанной окружности, а ее периметр p равен

A = R 2 ⋅ p ⋅ 1 - p 2 4 n 2 R 2. {\ displaystyle A = {\ frac {R} {2}} \ cdot p \ cdot {\ sqrt {1 - {\ tfrac {p ^ {2}} {4n ^ {2} R ^ {2}}}} }.}

{\ displaystyle A = {\ frac {R} {2}} \ cdot p \ cd ot {\ sqrt {1 - {\ tfrac {p ^ {2}} {4n ^ {2} R ^ {2}}}}}.}

Площадь правильного n-угольника, вписанного в круг единичного радиуса, со стороной s и внутренним углом $α, {\ displaystyle \ alpha,}$ $\ alpha,$ также может быть выражена тригонометрически как

A = ns 2 4 cot ⁡ π n = ns 2 4 cot ⁡ α n - 2 = n ⋅ sin ⁡ π n ⋅ cos ⁡ π n = n ⋅ sin ⁡ α n - 2 ⋅ cos ⁡ α n - 2. {\ displaystyle A = {\ frac {ns ^ {2}} {4}} \ cot {\ frac {\ pi} {n}} = {\ frac {ns ^ {2}} {4}} \ cot { \ frac {\ alpha} {n-2}} = n \ cdot \ sin {\ frac {\ pi} {n}} \ cdot \ cos {\ frac {\ pi} {n}} = n \ cdot \ sin {\ frac {\ alpha} {n-2}} \ cdot \ cos {\ frac {\ alpha} {n-2}}.}

{\ displaystyle A = {\ frac {ns ^ {2}} {4}} \ cot {\ frac {\ pi} {n}} = {\ frac {ns ^ {2}} {4}} \ cot {\ frac {\ альфа} {n-2}} = n \ cdot \ sin {\ frac {\ pi} {n}} \ cdot \ cos {\ frac {\ pi} {n}} = n \ cdot \ sin {\ frac { \ alpha} {n-2}} \ cdot \ cos {\ frac {\ alpha} {n-2}}.}

Самопересечение

Площадь самопересекающийся многоугольник может быть определен двумя разными способами, дающими разные ответы:

Используя формулы для простых многоугольников, мы разрешаем, чтобы площадь конкретных областей внутри многоугольника умножалась на коэффициент, который мы называем плотность региона. Например, центральный выпуклый пятиугольник в центре пентаграммы имеет плотность 2. Две треугольные области перекрестного четырехугольника (например, фигура 8) имеют плотности с противоположными знаками, и сложение их площадей вместе может дать общую площадь, равную нулю. для всего рисунка.
Рассматривая замкнутые области как наборы точек, мы можем найти площадь замкнутого набора точек. Это соответствует площади плоскости, покрытой многоугольником, или области одного или нескольких простых многоугольников, имеющих тот же контур, что и самопересекающийся. В случае перекрестного четырехугольника он рассматривается как два простых треугольника.

Центроид

Используя то же соглашение для координат вершин, что и в предыдущем разделе, координаты центроида твердого простого многоугольника

C x = 1 6 A ∑ i = 0 n - 1 (xi + xi + 1) (xiyi + 1 - xi + 1 yi), {\ displaystyle C_ {x} = {\ frac {1} { 6A}} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} (x_ {i} + x_ {i + 1}) (x_ {i} y_ {i + 1} -x_ {i + 1} y_ { i}),}

{\ Displaystyle C_ {х } = {\ frac {1} {6A}} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} (x_ {i} + x_ {i + 1}) (x_ {i} y_ {i + 1} -x_ {i + 1} y_ {i}),}

C y = 1 6 A ∑ i = 0 n - 1 (yi + yi + 1) (xiyi + 1 - xi + 1 yi). {\ displaystyle C_ {y} = {\ frac {1} {6A}} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} (y_ {i} + y_ {i + 1}) (x_ {i}) y_ {i + 1} -x_ {i + 1} y_ {i}).}

{\ displaystyle C_ {y} = {\ frac {1} {6A }} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} (y_ {i} + y_ {i + 1}) (x_ {i} y_ {i + 1} -x_ {i + 1} y_ {i }).}

В этих формулах необходимо использовать знаковое значение области $A {\ displaystyle A}$ $A$ .

Для треугольников (n = 3) центроиды вершин и твердой формы одинаковы, но, как правило, это неверно для n>3. Центроид центроид набора вершин многоугольника с n вершинами имеет координаты

cx = 1 n ∑ i = 0 n - 1 xi, {\ displaystyle c_ {x} = {\ frac {1 } {n}} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} x_ {i},}

{\ displaystyle c_ {x} = {\ frac {1} { n}} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} x_ {i},}

cy = 1 n ∑ i = 0 n - 1 yi. {\ displaystyle c_ {y} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} y_ {i}.}

{\ displaystyle c_ {y} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} y_ {i}.}

Обобщение

Идея многоугольника были обобщены различными способами. Некоторые из наиболее важных включают:

A сферический многоугольник - это цепь дуг больших окружностей (сторон) и вершин на поверхности сферы. Он позволяет использовать digon, многоугольник, имеющий только две стороны и два угла, что невозможно на плоской плоскости. Сферические многоугольники играют важную роль в картографии (создание карт), а в конструкции Витоффа из однородных многогранников.
A косой многоугольник не лежит на плоской плоскости., но зигзагами в трех (или более) измерениях. Многоугольники Петри правильных многогранников - хорошо известные примеры.
Апейрогон - это бесконечная последовательность сторон и углов, которая не замкнута, но не имеет концов, потому что он неограниченно простирается в обоих направлениях.
A наклонный апейрогон представляет собой бесконечную последовательность сторон и углов, которые не лежат в плоскости.
A сложный многоугольник представляет собой конфигурацию аналогичную в обычный многоугольник, который существует в комплексной плоскости двух реальных и двух мнимых измерений.
абстрактный многоугольник - алгебраический частично упорядоченный набор, представляющий различные элементы (стороны, вершины и т. Д.) И их связь. Реальный геометрический многоугольник называется реализацией связанного абстрактного многоугольника. В зависимости от отображения могут быть реализованы все описанные здесь обобщения.
A Многогранник - трехмерное твердое тело, ограниченное плоскими многоугольными гранями, аналогично многоугольнику в двух измерениях. Соответствующие формы в четырех или более высоких измерениях называются многогранниками. (В других соглашениях слова многогранник и многогранник используются в любом измерении, с той разницей, что многогранник обязательно ограничен.)

Именование

Слово многоугольник происходит от позднелатинского языка polygōnum (существительное), от греческого πολύγωνον (polygōnon / polugōnon), существительное употребление среднего от πολύγωνος (polygōnos / polugōnos, прилагательное мужского рода), что означает «многоугольный». Отдельные многоугольники именуются (а иногда и классифицируются) в соответствии с количеством сторон, комбинируя греческий -производный числовой префикс с суффиксом -gon, например пятиугольник, двенадцатиугольник. треугольник, четырехугольник и неугольник - исключения.

Помимо десятиугольников (10-сторонних) и додекагонов (12-сторонних), математики обычно используют числовые обозначения, например 17-угольник и 257-угольник.

Существуют исключения для сторонних подсчетов, которые их легче выразить в устной форме (например, 20 и 30), или они используются не математиками. Некоторые специальные многоугольники также имеют свои собственные имена; например, регулярная звезда пятиугольник также известен как пентаграмма.

Имена многоугольников и прочие свойства
Имя	Стороны	Свойства
моногон	1	Обычно не считается многоугольником, хотя в некоторых дисциплинах, таких как теория графов, иногда используется этот термин.
digon	2	Обычно не распознается как многоугольник в Евклидова плоскость, хотя она может существовать как сферический многоугольник.
треугольник (или тригон)	3	Простейший многоугольник, который может существовать в евклидовой плоскости. Можно выложить плиткой самолет.
четырехугольник (или четырехугольник)	4	Простейший многоугольник, который может пересекаться; простейший многоугольник, который может быть вогнутым; простейший многоугольник, который может быть нециклическим. Можно выложить плитку на самолет.
пятиугольник	5	Простейший многоугольник, который может существовать как правильная звезда. Звездный пятиугольник известен как пентаграмма или пентакль.
шестиугольник	6	Может мозаика плоскости.
семиугольник (или семиугольник)	7	Простейший многоугольник такой, что его правильная форма не построена с циркулем и линейкой. Однако его можно построить с помощью конструкции Neusis.
восьмиугольника	8
nonagon (или enneagon)	9	«Nonagon» смешивает латинский [novem = 9] с греческим, «enneagon» - это чисто греческий язык..
десятиугольник	10
пятиугольник (или ундекагон)	11	Простейший многоугольник, правильная форма которого не может быть построена с помощью циркуля, линейки и трисектора.
двенадцатиугольника (или двенадцатиугольника)	12
тридекагон (или трискаидекагон)	13
тетрадекагон (или тетракаидекагон)	14
пятидекагон (или пентакаидекагон)	15
шестиугольник (или гексакаидекагон)	16
гептадекагон (или гептакаидекагон)	17	Конструируемый многоугольник
восьмиугольник (или восьмиугольник)	18
эннеадекагон (или эннеакайдекагон)	19
икосагон	20
икоситетракон (или икосикайтетрагон)	24
триаконтагон	30
тетраконтагон (или тессарактагон)	40
пятиконтагон (или пятиконтагон)	50
гексаконтагон (или гексиконтагон)	60
гептаконтагон (или гебдомеконтагон)	70
восьмиконтагон (или огдоэконтагон)	80
эннеконтагон (или эннеконтагон)	90
гектогон (или гекатонтагон)	100
257-угольник	257	Конструируемый многоугольник
чилигон	1000	Философы, включая Рене Декарта, Иммануил Кант, Дэвид Хьюм использовали хилиагон в качестве примера в обсуждениях.
myriagon	10,000	Используется в качестве примера в некоторых философских дискуссиях, например, в статье Декарта
65537-gon	65,537	Конструируемый многоугольник
мегагон	1,000,000	Как и в примере с хилиагоном Рене Декарта, многоугольник с миллионами сторон использовался как иллюстрация четко определенной концепции, которую невозможно визуализировать. Мегагон также используется для иллюстрации сходимости правильных многоугольников к окружности.
апейрогон	∞	Вырожденный многоугольник с бесконечным числом сторон.

Построение более высоких имен

Чтобы построить имя многоугольника с более чем 20 и менее чем 100 ребрами, объедините префиксы следующим образом. Термин «кай» применяется к 13-угольным и выше и использовался Кеплером и поддерживался Джоном Х. Конвеем для ясности конкатенированных префиксных номеров при именовании квазирегулярные многогранники.

Десятки		и	Единицы		конечный суффикс
Десятки		-kai-	1	-hena-	-gon
20	icosi- (icosa- в одиночку)		2	-di-
30	triaconta- (или triconta-)		3	-tri-
40	tetraconta- (или tessaraconta-)		4	-tetra-
50	пентаконта- (или пентеконта-)		5	-пента-
60	гексаконта- (или гексеконта-)		6	-гекса-
70	гептаконта- (или гебдомеконта-)		7	-гепта-
80	октаконта- (или ogdoëconta-)		8	-octa-
90	enneaconta- (or eneneconta-)		9	-ennea-

История

Исторический образ многоугольников (1699)

Многоугольники были известны с древних времен раз. правильные многоугольники были известны древним грекам с пентаграммой, невыпуклым правильным многоугольником (звездчатый многоугольник ), появившимся еще в 7 веке. до н.э на кратере автора Аристофана, найденном в Caere, а теперь в Капитолийском музее.

Первое известное систематическое исследование невыпуклых многоугольников в General был разработан Томасом Брэдвардином в 14 веке.

В 1952 году Джеффри Колин Шепард обобщил идею многоугольников на комплексную плоскость, где каждый реальное измерение сопровождается воображаемым, чтобы создать сложные многоугольники.

в природе

Дорога гигантов в Северной Ирландии

Многоугольники появляются в горных породах, чаще всего в виде плоских граней кристаллов, где углы между сторонами зависят от типа минерала, из которого сделан кристалл.

Правильные шестиугольники могут возникать, когда при охлаждении лавы образуются области плотно упакованных столбцов базальта, которые можно увидеть на Дорога гигантов в Северной Ирландии или в Devil's Postpile в Калифорнии.

. В биологии поверхность восковых сот made by пчелы представляет собой массив шестиугольников, а стороны и основание каждой ячейки также являются многоугольниками.

Компьютерная графика

В компьютерной графике многоугольник - это примитив, используемый при моделировании и визуализации. Они определены в базе данных, содержащей массивы вершин (координаты геометрических вершин , а также другие атрибуты многоугольника, такие как цвет, затенение и текстура), связность информация и.

Любая поверхность моделируется как мозаика, называемая полигональной сеткой. Если квадратная сетка имеет n + 1 точку (вершину) на каждой стороне, в ней есть n квадратов в квадрате или 2n квадратов треугольников, поскольку в квадрате два треугольника. В каждом треугольнике (n + 1) / 2 (n) вершин. Если n большое, это приближается к половине. Или каждая вершина внутри квадратной сетки соединяет четыре ребра (линии).

Система визуализации вызывает структуру полигонов, необходимую для создания сцены, из базы данных. Это передается в активную память и, наконец, в систему отображения (экран, телевизионные мониторы и т. Д.), Чтобы можно было просматривать сцену. Во время этого процесса система визуализации визуализирует многоугольники в правильной перспективе, готовые для передачи обработанных данных в систему отображения. Хотя многоугольники двухмерны, с помощью системного компьютера они помещаются в визуальную сцену в правильной трехмерной ориентации.

В компьютерной графике и вычислительной геометрии часто необходимо определить, лежит ли данная точка P = (x 0,y0) внутри простого многоугольника, заданного последовательностью отрезков линии. Это называется точкой в тесте многоугольника.

См. Также

Ссылки

Библиография

Coxeter, HSM ; Regular Polytopes, Methuen and Co., 1948 (3-е издание, Dover, 1973).
Cromwell, P.; Многогранники, CUP hbk (1997), pbk. (1999).
Grünbaum, B.; Ваши многогранники такие же, как мои многогранники? Дискретный и вычислительный. geom: фестиваль Гудмана-Поллака, изд. Аронов и др. Springer (2003) стр. 461–488. (pdf )

Примечания

Внешние ссылки

Найдите polygon в Wiktionary, бесплатном словаре.

Wikimedia Commons имеет отношение к СМИ в Многоугольники.

Вайсштейн, Эрик У. «Многоугольник». MathWorld.
Что такое многогранники? с греческими числовыми префиксами
Полигоны, типы полигонов и свойства полигонов с интерактивной анимацией
Как рисовать монохромные ортогональные многоугольники на экранах, Герберт Гларнер
comp.graphics.algorithms Часто задаваемые вопросы, решения математических задач вычисления 2D и 3D многоугольников
Сравнение различных алгоритмов для логических операций с многоугольниками, сравнение возможностей, скорости и числовой устойчивости
Сумма внутренних углов многоугольников: общая формула, Предоставляет интерактивное исследование Java, расширяющее формулу суммы внутренних углов для простых замкнутых многоугольников за счет включения пересеченных (сложных) многоугольников

v t Фундаментальный выпуклый правильный и однородный многогранник s в размерах 2–10
An	Bn	I2(p) / Dn	E6 / E7 / E8 / F4 / G2	Hn
Треугольник	Квадрат	p-угольник	Шестиугольник	Пентагон
Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
5-элементный	16-элементный • Тессеракт	Демитессеракт	24-элементный	120 ячеек • 600 ячеек
5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-полукуб
6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-полукуб	122 • 221
7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-полукуб	132 • 231 • 321
8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-полукуб	142 • 241 • 421
9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-полукуб
10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-полукуб
n-симплекс	n-ортоплекс • n- куб	n-полукуб	1k2 • 2k1 • k21	n-пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений