Конфигурация (многогранник)

редактировать

В геометрии, H. С. М. Кокстер назвал регулярный многогранник особым видом конфигурации .

. Другие конфигурации в геометрии отличаются. Эти конфигурации многогранников можно более точно назвать матрицами инцидентности, где одинаковые элементы собраны вместе в строки и столбцы. Обычные многогранники будут иметь по одной строке и столбцу на элемент k-face, в то время как другие многогранники будут иметь по одной строке и столбцу для каждого типа k-грани в соответствии с их классами симметрии. Многогранник без симметрии будет иметь по одной строке и столбцу для каждого элемента, и матрица будет заполнена 0, если элементы не связаны, и 1, если они связаны. Элементы одного и того же k не будут связаны и будут иметь запись в таблице "*".

Каждый многогранник и абстрактный многогранник имеет диаграмму Хассе, выражающую эти связности, который можно систематически описать с помощью матрицы инцидентности.

Содержание
  • 1 Матрица конфигурации для правильных многогранников
  • 2 Многоугольников
    • 2.1 Пример треугольника
    • 2.2 Четырехугольники
  • 3 Сложные многоугольники
  • 4 Многогранники
    • 4.1 Тетраэдр
  • 5 Примечания
  • 6 Ссылки
Матрица конфигурации для правильных многогранников

Конфигурация для правильного многогранника представлена ​​матрицей, в которой диагональный элемент Ni, - количество i-граней в многограннике. Диагональные элементы также называются f-вектором многогранника. Недиагональный (i ≠ j) элемент Nij- это количество j-граней, инцидентных каждому i-гранному элементу, так что NiNij= NjNji.

принцип обычно распространяется на n измерений, где 0 ≤ j < n.

[N 0 N 0, 1 N 0, 2 ⋯ N 0, n - 1 N 1, 0 N 1 N 1, 2 ⋯ N 1, n - 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ N n - 1, 0 N n - 1, 1 N n - 1, 2 ⋯ N n - 1] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} N_ {0} N_ {0,1} N_ {0,2} \ cdots N_ {0, n-1 } \\ N_ {1,0} N_ {1} N_ {1,2} \ cdots N_ {1, n-1} \\\ vdots \ vdots \ vdots \ vdots \\ N_ {n-1, 0} N_ {n-1,1} N_ {n-1,2} \ cdots N_ {n-1} \ end {matrix}} \ end {bmatrix}}}{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} N_ {0} N_ {0,1} N_ {0,2} \ cdots N_ {0, n-1} \\ N_ {1,0} N_ {1} N_ {1,2} \ cdots N_ {1, n-1} \\\ vdots \ vdots \ vdots \ vdots \\ N_ {n-1,0} N_ {n-1,1} N_ {n-1,2} \ cdots N_ {n-1} \ end {matrix}} \ end {bmatrix}}}
Полигоны

A правильный многоугольник, символ Шлефли {q}, будет иметь матрицу 2x2 с первой строкой для вершин и второй строкой для ребер. Порядок g равен 2q.

[N 0 N 01 N 10 N 1] = [г / 2 2 2 г / 2] = [q 2 2 q] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} N_ {0} N_ {01} \\ N_ {10} N_ {1} \ end {matrix}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} g / 2 2 \\ 2 g / 2 \ end { matrix}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} q 2 \\ 2 q \ end {matrix}} \ end {bmatrix}}}{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} N_ {0} N_ {01} \\ N_ {10} N_ {1} \ end {matrix}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} g / 2 2 \\ 2 g / 2 \ end {matrix}} \ end {bmatrix}} = { \ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} q 2 \\ 2 q \ end {matrix}} \ end {bmatrix}}}

Обычный n-угольник будет иметь Матрица 2n x 2n с первыми n строками и вершинами столбцов и последними n строками и столбцами в качестве ребер.

Пример треугольника

Существует три класса симметрии треугольника : равносторонний, равнобедренный и разносторонний. Все они имеют одну и ту же матрицу инцидентности , но симметрия позволяет собирать и подсчитывать вершины и ребра. У этих треугольников есть вершины, помеченные A, B, C, и ребра a, b, c, а вершины и ребра, которые могут быть отображены друг на друга с помощью операции симметрии, помечены одинаково.

Треугольники
Двусторонние. {3}. Равносторонний треугольник element-labeled.png Равнобедренные. {} ∨ (). Треугольник Isos element-labeled.png Скален. () ∨ () ∨ (). Масштабный треугольник element-labeled.png
(v: 3; e: 3)(v: 2 + 1; e: 2 + 1)(v: 1 + 1 + 1; e: 1+ 1 + 1)
| А | a - + --- + --- A | 3 | 2 - + --- + --- a | 2 | 3
| A B | a b - + ----- + ----- A | 2 * | 1 1 B | * 1 | 2 0 - + ----- + ----- a | 1 1 | 2 * б | 2 0 | * 1
| A B C | a b c - + ------- + ------- A | 1 * * | 0 1 1 B | * 1 * | 1 0 1 C | * * 1 | 1 1 0 - + ------- + ------- a | 0 1 1 | 1 * * b | 1 0 1 | * 1 * c | 1 1 0 | * * 1

Четырехугольники

Четырехугольники по симметрии

Четырехугольники можно классифицировать по симметрии, каждый со своей собственной матрицей. Четырехугольники существуют с двойными парами, которые будут иметь одинаковую матрицу, повернутую на 180 градусов, с перевернутыми вершинами и ребрами. Квадраты, параллелограммы и общие четырехугольники самодвойственны по классам, поэтому их матрицы не меняются при повороте на 180 градусов.

Четырехугольники
Квадрат. {4}. Square element-labeled.png Прямоугольник. {} × {}. Прямоугольник element-labeled.png Ромб. {} + {}. Ромб с меткой элемента. png Параллелограмм. Элемент параллелограмма -labeled.png
(v: 4; e: 4)(v: 4; e: 2 + 2)(v: 2 + 2; e: 4)(v: 2 + 2; e: 2 + 2)
| А | a - + --- + --- A | 4 | 2 - + --- + --- a | 2 | 4
| А | a b - + --- + ----- A | 4 | 1 1 - + --- + ----- a | 2 | 2 * б | 2 | * 2
| A B | a - + ----- + --- A | 2 * | 2 B | * 2 | 2 - + ----- + --- a | 1 1 | 4
| A B | a b - + ----- + ----- A | 2 * | 1 1 B | * 2 | 1 1 - + ----- + ----- a | 1 1 | 2 * б | 1 1 | * 2
Равнобедренная трапеция. {} || {}. Isos trapezoid element-labeled.png Воздушный змей. Kite element-labeled.png Общий. Четырехугольник element-labeled.png
(v: 2 + 2; e: 1 + 1 + 2)(v: 1 + 1 + 2; e: 2 + 2)(v: 1 + 1 + 1 + 1; e: 1 + 1 + 1 + 1)
| A B | а б в - + ----- + ------- A | 2 * | 1 0 1 млрд | * 2 | 0 1 1 - + ----- + ------ a | 2 0 | 1 * * b | 0 2 | * 1 * c | 1 1 | * * 2
| A B C | a b - + ------- + ---- A | 1 * * | 2 0 B | * 1 * | 0 2 C | * * 2 | 1 1 - + ------- + ---- a | 1 0 1 | 2 * б | 0 1 1 | * 2
| A B C D | а б в г - + --------- + -------- A | 1 * * * | 1 0 0 1 B | * 1 * * | 1 1 0 0 C | * * 1 * | 0 1 1 0 D | * * * 1 | 0 0 1 1 - + --------- + -------- a | 1 1 0 0 | 1 * * * b | 0 1 1 0 | * 1 * * c | 0 0 1 1 | * * 1 * d | 1 0 0 1 | * * * 1
Сложные многоугольники

Идея также применима для правильных сложных многоугольников, p{q} r, построенных в C 2 {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}\ mathbb { C} ^ 2 :

[N 0 N 01 N 10 N 1] = [g / rrpg / p] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} N_ {0 } N_ {01} \\ N_ {10} N_ {1} \ end {matrix}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} g / r r \\ p g / p \ end {matrix}} \ end {bmatrix}}}{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} N_ {0} N_ {01} \\ N_ {10} N_ {1} \ end {matrix}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} g / r r \\ p g / p \ end {matrix}} \ end {bmatrix}}}

комплексная группа отражений равна p[q providedr, order g = 8 / q ⋅ (1 / p + 2 / q + 1 / r - 1) - 2 {\ displaystyle g = 8 / q \ cdot (1 / p + 2 / q + 1 / r-1) ^ {- 2}}{\ displaystyle g = 8 / q \ cdot (1 / p + 2 / q + 1 / r-1) ^ {- 2}} .

Многогранники

Эту идею можно применить в трех измерениях, рассматривая инцидентности точек, прямых и плоскостей или j-пространства (0 ≤ j < 3), where each j-space is incident with Njkk-пространства (j ≠ k). Написание N j для количества присутствующих j-пробелов, данная конфигурация может быть представлена ​​матрицей

[N 0 N 01 N 02 N 10 N 1 N 12 N 20 N 21 N 2] = [г / 2 qqq 2 г / 4 2 ppg / 2 p] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} N_ {0} N_ {01} N_ {02} \\ N_ {10} N_ {1} N_ {12} \\ N_ {20} N_ {21} N_ {2} \ end {matrix}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} g / 2q q q \\ 2 g / 4 2 \\ p p g / 2p \ end {matrix}} \ end {bmatrix}}}{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} N_ {0} N_ {01} N_ {02} \\ N_ {10} N_ {1} N_ {12} \\ N_ {20} N_ {21} N_ {2} \ end {matrix}} \ end {bmatr ix}} = {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} g / 2q q q \\ 2 g / 4 2 \\ p p g / 2p \ end {matrix}} \ end {bmatrix}}} для символа Шлефли {p, q}, с порядок групп g = 4pq / (4 - (p - 2) (q - 2)).

Тетраэдр

Симметрии тетраэдров

Тетраэдры имеют матрицы, которые также можно группировать по их симметрии, с общим тетраэдром, имеющим 14 строк и столбцов для 4 вершин, 6 ребер и 4 граней. Тетраэдры самодвойственны, и поворот матриц на 180 градусов (перестановка вершин и граней) оставит их неизменными.

Тетраэдры
Обычные. (v: 4; e: 6; f: 4). Tetrahedron type1.png тетрагональный дисфеноид. (v: 4; e: 2 + 4; f: 4). Tetrahedron type2.png Ромбический дисфеноид. (v: 4; e: 2 + 2 + 2; f: 4). Tetrahedron type3.png Дигональный дисфеноид. (v: 2 + 2; e: 4+ 1 + 1; f: 2 + 2). Tetrahedron type6.png Филлический дисфеноид. (v: 2 + 2; e: 2 + 2 + 1 + 1; f: 2 + 2). Tetrahedron type4.png
A | 4 | 3 | 3 --- + --- + --- + - а | 2 | 6 | 2 --- + --- + --- + - ааа | 3 | 3 | 4
A | 4 | 2 1 | 3 --- + --- + ----- + - а | 2 | 4 * | 2 б | 2 | * 2 | 2 --- + --- + ----- + - aab | 3 | 2 1 | 4
A | 4 | 1 1 1 | 3 ---- + --- + ------- + - а | 2 | 2 * * | 2 б | 2 | * 2 * | 2 c | 2 | * * 2 | 2 ---- + --- + ------- + - abc | 3 | 1 1 1 | 4
A | 2 * | 2 1 0 | 2 1 B | * 2 | 2 0 1 | 1 2 --- + ----- + ------- + ---- a | 1 1 | 4 * * | 1 1 б | 2 0 | * 1 * | 2 0 c | 0 2 | * * 1 | 0 2 --- + ----- + ------- + ---- aab | 2 1 | 2 1 0 | 2 * aac | 1 2 | 2 0 1 | * 2
A | 2 * | 1 0 1 1 | 1 2 B | * 2 | 1 1 1 0 | 2 1 --- + ----- + --------- + ---- a | 1 1 | 2 * * * | 1 1 б | 1 1 | * 2 * * | 1 1 c | 0 2 | * * 1 * | 2 0 д | 2 0 | * * * 1 | 0 2 --- + ----- + --------- + ---- abc | 1 2 | 1 1 1 0 | 2 * bcd | 2 1 | 1 1 0 1 | * 2
Треугольная пирамида. (v: 3 + 1; e: 3 + 3; f: 3 + 1). Tetrahedron type5.png Зеркальный сфероид. (v: 2 + 1 + 1; e : 2 + 2 + 1 + 1; f: 2 + 1 + 1). Tetrahedron type7.png Нет симметрии. (v: 1 + 1 + 1 + 1; e: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1; f: 1 + 1 + 1 + 1). Tetrahedron type8.png
A | 3 * | 2 1 | 2 1 B | * 1 | 0 3 | 3 0 --- + ----- + ----- + ---- a | 2 0 | 3 * | 1 1 б | 1 1 | * 3 | 2 0 --- + ----- + ----- + ---- abb | 2 1 | 1 2 | 3 * ааа | 3 0 | 3 0 | * 1
A | 2 * * | 1 1 0 1 | 1 1 1 B | * 1 * | 2 0 1 0 | 0 2 1 C | * * 1 | 0 2 1 0 | 1 2 0 --- + ------- + --------- + ------ a | 1 0 1 | 2 * * * | 0 1 1 б | 0 1 1 | * 2 * * | 1 1 0 c | 1 1 0 | * * 1 * | 0 2 0 д | 0 0 2 | * * * 1 | 1 0 1 --- + ------- + --------- + ------ ABC | 1 1 1 | 1 1 1 0 | 2 * * ACC | 1 0 2 | 2 0 0 1 | * 1 * BCC | 0 1 2 | 0 2 0 1 | * * 1
A | 1 0 0 0 | 1 1 1 0 0 0 | 1 1 1 0 млрд | 0 1 0 0 | 1 0 0 1 1 0 | 1 1 0 1 C | 0 0 1 0 | 0 1 0 1 0 1 | 1 0 1 1 D | 0 0 0 1 | 0 0 1 0 1 1 | 0 1 1 1 ---- + --------- + ------------- + -------- a | 1 1 0 0 | 1 0 0 0 0 0 | 1 1 0 0 б | 1 0 1 0 | 0 1 0 0 0 0 | 1 0 1 0 в | 1 0 0 1 | 0 0 1 0 0 0 | 0 1 1 0 д | 0 1 1 0 | 0 0 0 1 0 0 | 1 0 0 1 e | 0 1 0 1 | 0 0 0 0 1 0 | 0 1 0 1 ж | 0 0 1 1 | 0 0 0 0 0 1 | 0 0 1 1 ---- + --------- + ------------- + -------- ABC | 1 1 1 0 | 1 1 0 1 0 0 | 1 0 0 0 ABD | 1 1 0 1 | 1 0 1 0 1 0 | 0 1 0 0 ACD | 1 0 1 1 | 0 1 1 0 0 1 | 0 0 1 0 BCD | 0 1 1 1 | 0 0 0 1 1 1 | 0 0 0 1
Примечания
Ссылки
  • Coxeter, HSM (1948), Regular Polytopes, Methuen and Co.
  • Coxeter, HSM ( 1991), Регулярные комплексные многогранники, Cambridge University Press, ISBN 0-521-39490-2
  • Коксетер, HSM (1999), «Самодуальные конфигурации и регулярные графы», The Beauty of Geometry, Dover, ISBN 0-486-40919-8
Последняя правка сделана 2021-05-15 09:18:59
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте