В геометрии, H. С. М. Кокстер назвал регулярный многогранник особым видом конфигурации .
. Другие конфигурации в геометрии отличаются. Эти конфигурации многогранников можно более точно назвать матрицами инцидентности, где одинаковые элементы собраны вместе в строки и столбцы. Обычные многогранники будут иметь по одной строке и столбцу на элемент k-face, в то время как другие многогранники будут иметь по одной строке и столбцу для каждого типа k-грани в соответствии с их классами симметрии. Многогранник без симметрии будет иметь по одной строке и столбцу для каждого элемента, и матрица будет заполнена 0, если элементы не связаны, и 1, если они связаны. Элементы одного и того же k не будут связаны и будут иметь запись в таблице "*".
Каждый многогранник и абстрактный многогранник имеет диаграмму Хассе, выражающую эти связности, который можно систематически описать с помощью матрицы инцидентности.
Конфигурация для правильного многогранника представлена матрицей, в которой диагональный элемент Ni, - количество i-граней в многограннике. Диагональные элементы также называются f-вектором многогранника. Недиагональный (i ≠ j) элемент Nij- это количество j-граней, инцидентных каждому i-гранному элементу, так что NiNij= NjNji.
принцип обычно распространяется на n измерений, где 0 ≤ j < n.
A правильный многоугольник, символ Шлефли {q}, будет иметь матрицу 2x2 с первой строкой для вершин и второй строкой для ребер. Порядок g равен 2q.
Обычный n-угольник будет иметь Матрица 2n x 2n с первыми n строками и вершинами столбцов и последними n строками и столбцами в качестве ребер.
Существует три класса симметрии треугольника : равносторонний, равнобедренный и разносторонний. Все они имеют одну и ту же матрицу инцидентности , но симметрия позволяет собирать и подсчитывать вершины и ребра. У этих треугольников есть вершины, помеченные A, B, C, и ребра a, b, c, а вершины и ребра, которые могут быть отображены друг на друга с помощью операции симметрии, помечены одинаково.
Двусторонние. {3}. | Равнобедренные. {} ∨ (). | Скален. () ∨ () ∨ (). |
---|---|---|
(v: 3; e: 3) | (v: 2 + 1; e: 2 + 1) | (v: 1 + 1 + 1; e: 1+ 1 + 1) |
| А | a - + --- + --- A | 3 | 2 - + --- + --- a | 2 | 3 | | A B | a b - + ----- + ----- A | 2 * | 1 1 B | * 1 | 2 0 - + ----- + ----- a | 1 1 | 2 * б | 2 0 | * 1 | | A B C | a b c - + ------- + ------- A | 1 * * | 0 1 1 B | * 1 * | 1 0 1 C | * * 1 | 1 1 0 - + ------- + ------- a | 0 1 1 | 1 * * b | 1 0 1 | * 1 * c | 1 1 0 | * * 1 |
Четырехугольники можно классифицировать по симметрии, каждый со своей собственной матрицей. Четырехугольники существуют с двойными парами, которые будут иметь одинаковую матрицу, повернутую на 180 градусов, с перевернутыми вершинами и ребрами. Квадраты, параллелограммы и общие четырехугольники самодвойственны по классам, поэтому их матрицы не меняются при повороте на 180 градусов.
Квадрат. {4}. | Прямоугольник. {} × {}. | Ромб. {} + {}. | Параллелограмм. |
---|---|---|---|
(v: 4; e: 4) | (v: 4; e: 2 + 2) | (v: 2 + 2; e: 4) | (v: 2 + 2; e: 2 + 2) |
| А | a - + --- + --- A | 4 | 2 - + --- + --- a | 2 | 4 | | А | a b - + --- + ----- A | 4 | 1 1 - + --- + ----- a | 2 | 2 * б | 2 | * 2 | | A B | a - + ----- + --- A | 2 * | 2 B | * 2 | 2 - + ----- + --- a | 1 1 | 4 | | A B | a b - + ----- + ----- A | 2 * | 1 1 B | * 2 | 1 1 - + ----- + ----- a | 1 1 | 2 * б | 1 1 | * 2 |
Равнобедренная трапеция. {} || {}. | Воздушный змей. | Общий. | |
(v: 2 + 2; e: 1 + 1 + 2) | (v: 1 + 1 + 2; e: 2 + 2) | (v: 1 + 1 + 1 + 1; e: 1 + 1 + 1 + 1) | |
| A B | а б в - + ----- + ------- A | 2 * | 1 0 1 млрд | * 2 | 0 1 1 - + ----- + ------ a | 2 0 | 1 * * b | 0 2 | * 1 * c | 1 1 | * * 2 | | A B C | a b - + ------- + ---- A | 1 * * | 2 0 B | * 1 * | 0 2 C | * * 2 | 1 1 - + ------- + ---- a | 1 0 1 | 2 * б | 0 1 1 | * 2 | | A B C D | а б в г - + --------- + -------- A | 1 * * * | 1 0 0 1 B | * 1 * * | 1 1 0 0 C | * * 1 * | 0 1 1 0 D | * * * 1 | 0 0 1 1 - + --------- + -------- a | 1 1 0 0 | 1 * * * b | 0 1 1 0 | * 1 * * c | 0 0 1 1 | * * 1 * d | 1 0 0 1 | * * * 1 |
Идея также применима для правильных сложных многоугольников, p{q} r, построенных в :
комплексная группа отражений равна p[q providedr, order .
Эту идею можно применить в трех измерениях, рассматривая инцидентности точек, прямых и плоскостей или j-пространства (0 ≤ j < 3), where each j-space is incident with Njkk-пространства (j ≠ k). Написание N j для количества присутствующих j-пробелов, данная конфигурация может быть представлена матрицей
Тетраэдры имеют матрицы, которые также можно группировать по их симметрии, с общим тетраэдром, имеющим 14 строк и столбцов для 4 вершин, 6 ребер и 4 граней. Тетраэдры самодвойственны, и поворот матриц на 180 градусов (перестановка вершин и граней) оставит их неизменными.
Обычные. (v: 4; e: 6; f: 4). | тетрагональный дисфеноид. (v: 4; e: 2 + 4; f: 4). | Ромбический дисфеноид. (v: 4; e: 2 + 2 + 2; f: 4). | Дигональный дисфеноид. (v: 2 + 2; e: 4+ 1 + 1; f: 2 + 2). | Филлический дисфеноид. (v: 2 + 2; e: 2 + 2 + 1 + 1; f: 2 + 2). |
---|---|---|---|---|
A | 4 | 3 | 3 --- + --- + --- + - а | 2 | 6 | 2 --- + --- + --- + - ааа | 3 | 3 | 4 | A | 4 | 2 1 | 3 --- + --- + ----- + - а | 2 | 4 * | 2 б | 2 | * 2 | 2 --- + --- + ----- + - aab | 3 | 2 1 | 4 | A | 4 | 1 1 1 | 3 ---- + --- + ------- + - а | 2 | 2 * * | 2 б | 2 | * 2 * | 2 c | 2 | * * 2 | 2 ---- + --- + ------- + - abc | 3 | 1 1 1 | 4 | A | 2 * | 2 1 0 | 2 1 B | * 2 | 2 0 1 | 1 2 --- + ----- + ------- + ---- a | 1 1 | 4 * * | 1 1 б | 2 0 | * 1 * | 2 0 c | 0 2 | * * 1 | 0 2 --- + ----- + ------- + ---- aab | 2 1 | 2 1 0 | 2 * aac | 1 2 | 2 0 1 | * 2 | A | 2 * | 1 0 1 1 | 1 2 B | * 2 | 1 1 1 0 | 2 1 --- + ----- + --------- + ---- a | 1 1 | 2 * * * | 1 1 б | 1 1 | * 2 * * | 1 1 c | 0 2 | * * 1 * | 2 0 д | 2 0 | * * * 1 | 0 2 --- + ----- + --------- + ---- abc | 1 2 | 1 1 1 0 | 2 * bcd | 2 1 | 1 1 0 1 | * 2 |
Треугольная пирамида. (v: 3 + 1; e: 3 + 3; f: 3 + 1). | Зеркальный сфероид. (v: 2 + 1 + 1; e : 2 + 2 + 1 + 1; f: 2 + 1 + 1). | Нет симметрии. (v: 1 + 1 + 1 + 1; e: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1; f: 1 + 1 + 1 + 1). | ||
A | 3 * | 2 1 | 2 1 B | * 1 | 0 3 | 3 0 --- + ----- + ----- + ---- a | 2 0 | 3 * | 1 1 б | 1 1 | * 3 | 2 0 --- + ----- + ----- + ---- abb | 2 1 | 1 2 | 3 * ааа | 3 0 | 3 0 | * 1 | A | 2 * * | 1 1 0 1 | 1 1 1 B | * 1 * | 2 0 1 0 | 0 2 1 C | * * 1 | 0 2 1 0 | 1 2 0 --- + ------- + --------- + ------ a | 1 0 1 | 2 * * * | 0 1 1 б | 0 1 1 | * 2 * * | 1 1 0 c | 1 1 0 | * * 1 * | 0 2 0 д | 0 0 2 | * * * 1 | 1 0 1 --- + ------- + --------- + ------ ABC | 1 1 1 | 1 1 1 0 | 2 * * ACC | 1 0 2 | 2 0 0 1 | * 1 * BCC | 0 1 2 | 0 2 0 1 | * * 1 | A | 1 0 0 0 | 1 1 1 0 0 0 | 1 1 1 0 млрд | 0 1 0 0 | 1 0 0 1 1 0 | 1 1 0 1 C | 0 0 1 0 | 0 1 0 1 0 1 | 1 0 1 1 D | 0 0 0 1 | 0 0 1 0 1 1 | 0 1 1 1 ---- + --------- + ------------- + -------- a | 1 1 0 0 | 1 0 0 0 0 0 | 1 1 0 0 б | 1 0 1 0 | 0 1 0 0 0 0 | 1 0 1 0 в | 1 0 0 1 | 0 0 1 0 0 0 | 0 1 1 0 д | 0 1 1 0 | 0 0 0 1 0 0 | 1 0 0 1 e | 0 1 0 1 | 0 0 0 0 1 0 | 0 1 0 1 ж | 0 0 1 1 | 0 0 0 0 0 1 | 0 0 1 1 ---- + --------- + ------------- + -------- ABC | 1 1 1 0 | 1 1 0 1 0 0 | 1 0 0 0 ABD | 1 1 0 1 | 1 0 1 0 1 0 | 0 1 0 0 ACD | 1 0 1 1 | 0 1 1 0 0 1 | 0 0 1 0 BCD | 0 1 1 1 | 0 0 0 1 1 1 | 0 0 0 1 |