В математике конструируемый многоугольник - это правильный многоугольник, который можно построить с помощью циркуля и линейки. Например, правильный пятиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки, а обычный семиугольник - нет. Существует бесконечно много конструктивных многоугольников, но известен только 31 многоугольник с нечетным числом сторон.
Некоторые правильные многоугольники легко построить с помощью циркуля и линейки; другие нет. древнегреческие математики знали, как построить правильный многоугольник с 3, 4 или 5 сторонами, и они знали, как построить правильный многоугольник с удвоенным числом сторон данного правильного многоугольника. В связи с этим возник вопрос: можно ли построить все правильные многоугольники с помощью циркуля и линейки? Если нет, то какие n-угольники (то есть многоугольники с n ребрами) можно построить, а какие нет?
Карл Фридрих Гаусс доказал конструктивность регулярного 17-угольника в 1796 году. Пятью годами позже он разработал теорию гауссовских периодов в своих Disquisitiones Arithmeticae. Эта теория позволила ему сформулировать достаточное условие конструктивности правильных многоугольников. Гаусс без доказательства заявил, что это условие также необходимо, но никогда не публиковал свое доказательство. Полное доказательство необходимости было дано Пьером Ванцелем в 1837 году. Результат известен как теорема Гаусса – Ванцеля :
(Простое число Ферма - это простое число в форме )
Чтобы свести геометрическую задачу к задаче чистой теории чисел , доказательство использует тот факт, что правильный n-угольник конструктивен тогда и только тогда, когда косинус, , является конструктивным числом, то есть может быть записано в терминах четырех основных арифметических операций и извлечения квадратных корней. Аналогично, правильный n-угольник можно построить, если можно построить любой корень n-го циклотомического многочлена.
Переформулируем теорему Гаусса-Вантцеля:
Пять известных простых чисел Ферма :
Поскольку существует 31 комбинация от одного до пяти простых чисел Ферма, существует 31 известный конструктивный многоугольник с нечетным числом сторон.
Следующие двадцать восемь чисел Ферма, от F 5 до F 32, известны как составные.
Таким образом, правильный n-угольник может быть сконструирован, если
в то время как обычный n-угольник не может быть построен с помощью циркуля и линейки, если
Поскольку известно 5 простых чисел Ферма, мы знаем 31 число, которые являются произведением различных простых чисел Ферма, и, следовательно, 31 конструктивный нечетный правильный многоугольник. Это 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537, 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295 (последовательность A045544 в OEIS ). Как прокомментировал Джон Конвей в «Книге чисел», эти числа, записанные в двоичном формате, равны первым 32 строкам по модулю -2 треугольника Паскаля за вычетом верхней строки, что соответствует моногону . (Из-за этого единицы в таком списке образуют приближение к треугольнику Серпинского.) После этого этот образец нарушается, поскольку следующее число Ферма является составным (4294967297 = 641 × 6700417), поэтому следующие строки не соответствуют конструктивным многоугольникам. Неизвестно, существуют ли еще простые числа Ферма, и поэтому неизвестно, сколько существует нечетных конструктивных правильных многоугольников. В общем, если имеется q простых чисел Ферма, то имеется 2-1 нечетных правильных конструктивных многоугольника.
В свете более поздних работ по теории Галуа принципы этих доказательств были прояснены. Из аналитической геометрии легко показать, что конструктивные длины должны происходить из базовых длин путем решения некоторой последовательности квадратных уравнений. С точки зрения теории поля, такие длины должны содержаться в расширении поля, генерируемом башней квадратичных расширений. Отсюда следует, что поле, порожденное конструкциями, всегда будет иметь степень над базовым полем, равную степени двойки.
В конкретном случае правильного n-угольника вопрос сводится к вопросу о построении длины
, которая является тригонометрическим числом и, следовательно, алгебраическое число. Это число находится в n-м круговом поле - и фактически в его реальном подполе, которое является полностью реальным полем и рациональным вектором. пространство из размерности
где φ (n) - функция Эйлера. Результат Ванцела сводится к вычислению, показывающему, что φ (n) является степенью двойки именно в указанных случаях.
Что касается конструкции Гаусса, когда группа Галуа является 2-группой, из этого следует, что она имеет последовательность подгрупп порядков
, которые вложены, каждый в следующий (составной ряд, в терминах теории групп ), что несложно доказать по индукции в этом случае абелевой группы. Следовательно, внутри кругового поля вложены подполя, каждое из которых имеет степень 2 по сравнению с предыдущим. Генераторы для каждого такого поля можно записать по теории гауссовского периода. Например, для n = 17 существует период, который представляет собой сумму восьми корней из единицы, один - сумму четырех корней из единицы, а другой - сумму двух, то есть
Каждое из них является корнем квадратного уравнения в терминах предыдущего. Более того, эти уравнения имеют действительные, а не комплексные корни, поэтому в принципе их можно решить с помощью геометрического построения: это происходит потому, что вся работа происходит внутри полностью реального поля.
Таким образом, результат Гаусса можно понять в современных терминах; для фактического расчета решаемых уравнений периоды можно возвести в квадрат и сравнить с «более низкими» периодами с помощью вполне выполнимого алгоритма.
Конструкции компаса и линейки известны для всех известных конструктивных многоугольников. Если n = p · q с p = 2 или p и q взаимно просто, n-угольник может быть построен из p-угольника и q-угольника.
Таким образом, достаточно найти компас и линейку для n-угольников, где n - простое число Ферма.
. Слева направо, конструкции 15-угольника, 17-угольника, 257 -угольник и 65537-угольник. Показан только первый этап строительства 65537-угольников; конструкции 15-угольника, 17-угольника и 257-угольника приведены в законченном виде.
Концепция конструктивности, обсуждаемая в этой статье, применима конкретно к конструкции циркуля и линейки. Больше конструкций становится возможным, если разрешены другие инструменты. Так называемые конструкции neusis, например, используют отмеченную линейку. Построения представляют собой математическую идеализацию и предполагается, что они выполнены точно.
Правильный многоугольник с n сторонами можно построить с помощью линейки, циркуля и трисектора угла тогда и только тогда, когда где r, s, k ≥ 0 и где p i различны Простое число Пьерпона больше 3 (простые числа вида