Конструируемый многоугольник

редактировать
Правильный многоугольник, который можно построить с помощью циркуля и линейки Построение правильного пятиугольника

В математике конструируемый многоугольник - это правильный многоугольник, который можно построить с помощью циркуля и линейки. Например, правильный пятиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки, а обычный семиугольник - нет. Существует бесконечно много конструктивных многоугольников, но известен только 31 многоугольник с нечетным числом сторон.

Содержание

  • 1 Условия конструктивности
    • 1.1 Подробные результаты по теории Гаусса
    • 1.2 Связь с треугольником Паскаля
  • 2 Общая теория
  • 3 Конструкции компаса и линейки
    • 3.1 Галерея
  • 4 Другие конструкции
  • 5 См. Также
  • 6 Ссылки
  • 7 Внешние ссылки

Условия конструктивности

Количество сторон известных конструктивных многоугольников, имеющих до 1000 сторон (жирный шрифт) или количество нечетных сторон (красный) Построение правильного 17-угольника

Некоторые правильные многоугольники легко построить с помощью циркуля и линейки; другие нет. древнегреческие математики знали, как построить правильный многоугольник с 3, 4 или 5 сторонами, и они знали, как построить правильный многоугольник с удвоенным числом сторон данного правильного многоугольника. В связи с этим возник вопрос: можно ли построить все правильные многоугольники с помощью циркуля и линейки? Если нет, то какие n-угольники (то есть многоугольники с n ребрами) можно построить, а какие нет?

Карл Фридрих Гаусс доказал конструктивность регулярного 17-угольника в 1796 году. Пятью годами позже он разработал теорию гауссовских периодов в своих Disquisitiones Arithmeticae. Эта теория позволила ему сформулировать достаточное условие конструктивности правильных многоугольников. Гаусс без доказательства заявил, что это условие также необходимо, но никогда не публиковал свое доказательство. Полное доказательство необходимости было дано Пьером Ванцелем в 1837 году. Результат известен как теорема Гаусса – Ванцеля :

Правильный n-угольник (то есть многоугольник с n сторонами) может быть построен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда n является произведением степени 2 и любого количества различных простых чисел Ферма (включая ни одного).

(Простое число Ферма - это простое число в форме 2 (2 m) + 1. {\ displaystyle 2 ^ {(2 ^ {m})} + 1.}{\ displaystyle 2 ^ {(2 ^ {m})} + 1.} )

Чтобы свести геометрическую задачу к задаче чистой теории чисел , доказательство использует тот факт, что правильный n-угольник конструктивен тогда и только тогда, когда косинус, cos ⁡ (2 π / n) {\ displaystyle \ cos (2 \ pi / n)}{\ displaystyle \ cos (2 \ pi / n)} , является конструктивным числом, то есть может быть записано в терминах четырех основных арифметических операций и извлечения квадратных корней. Аналогично, правильный n-угольник можно построить, если можно построить любой корень n-го циклотомического многочлена.

Подробные результаты по теории Гаусса

Переформулируем теорему Гаусса-Вантцеля:

Правильный n-угольник можно построить с помощью линейки и циркуля тогда и только тогда, когда n = 2p 1p2... p t где k и t - неотрицательные целые числа, а p i (когда t>0) - различные простые числа Ферма.

Пять известных простых чисел Ферма :

F0= 3, F 1 = 5, F 2 = 17, F 3 = 257 и F 4 = 65537 (последовательность A019434 в OEIS ).

Поскольку существует 31 комбинация от одного до пяти простых чисел Ферма, существует 31 известный конструктивный многоугольник с нечетным числом сторон.

Следующие двадцать восемь чисел Ферма, от F 5 до F 32, известны как составные.

Таким образом, правильный n-угольник может быть сконструирован, если

n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272, 320, 340, 384, 408, 480, 510, 512, 514, 544, 640, 680, 768, 771, 816, 960, 1020, 1024, 1028, 1088, 1280, 1285, 1360, 1536, 1542, 1632, 1920, 2040, 2048,... (последовательность A003401 в OEIS ),

в то время как обычный n-угольник не может быть построен с помощью циркуля и линейки, если

n = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 31, 33, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 81, 82, 83, 84, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 97, 98, 99, 100, 101, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127,... (последовательность A004169 в OEIS ).

Связь с треугольником Паскаля

Поскольку известно 5 простых чисел Ферма, мы знаем 31 число, которые являются произведением различных простых чисел Ферма, и, следовательно, 31 конструктивный нечетный правильный многоугольник. Это 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537, 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295 (последовательность A045544 в OEIS ). Как прокомментировал Джон Конвей в «Книге чисел», эти числа, записанные в двоичном формате, равны первым 32 строкам по модулю -2 треугольника Паскаля за вычетом верхней строки, что соответствует моногону . (Из-за этого единицы в таком списке образуют приближение к треугольнику Серпинского.) После этого этот образец нарушается, поскольку следующее число Ферма является составным (4294967297 = 641 × 6700417), поэтому следующие строки не соответствуют конструктивным многоугольникам. Неизвестно, существуют ли еще простые числа Ферма, и поэтому неизвестно, сколько существует нечетных конструктивных правильных многоугольников. В общем, если имеется q простых чисел Ферма, то имеется 2-1 нечетных правильных конструктивных многоугольника.

Общая теория

В свете более поздних работ по теории Галуа принципы этих доказательств были прояснены. Из аналитической геометрии легко показать, что конструктивные длины должны происходить из базовых длин путем решения некоторой последовательности квадратных уравнений. С точки зрения теории поля, такие длины должны содержаться в расширении поля, генерируемом башней квадратичных расширений. Отсюда следует, что поле, порожденное конструкциями, всегда будет иметь степень над базовым полем, равную степени двойки.

В конкретном случае правильного n-угольника вопрос сводится к вопросу о построении длины

cos 2π / n,

, которая является тригонометрическим числом и, следовательно, алгебраическое число. Это число находится в n-м круговом поле - и фактически в его реальном подполе, которое является полностью реальным полем и рациональным вектором. пространство из размерности

½φ (n),

где φ (n) - функция Эйлера. Результат Ванцела сводится к вычислению, показывающему, что φ (n) является степенью двойки именно в указанных случаях.

Что касается конструкции Гаусса, когда группа Галуа является 2-группой, из этого следует, что она имеет последовательность подгрупп порядков

1, 2, 4, 8,...

, которые вложены, каждый в следующий (составной ряд, в терминах теории групп ), что несложно доказать по индукции в этом случае абелевой группы. Следовательно, внутри кругового поля вложены подполя, каждое из которых имеет степень 2 по сравнению с предыдущим. Генераторы для каждого такого поля можно записать по теории гауссовского периода. Например, для n = 17 существует период, который представляет собой сумму восьми корней из единицы, один - сумму четырех корней из единицы, а другой - сумму двух, то есть

cos 2π / 17.

Каждое из них является корнем квадратного уравнения в терминах предыдущего. Более того, эти уравнения имеют действительные, а не комплексные корни, поэтому в принципе их можно решить с помощью геометрического построения: это происходит потому, что вся работа происходит внутри полностью реального поля.

Таким образом, результат Гаусса можно понять в современных терминах; для фактического расчета решаемых уравнений периоды можно возвести в квадрат и сравнить с «более низкими» периодами с помощью вполне выполнимого алгоритма.

Конструкции циркуля и линейки

Конструкции компаса и линейки известны для всех известных конструктивных многоугольников. Если n = p · q с p = 2 или p и q взаимно просто, n-угольник может быть построен из p-угольника и q-угольника.

  • Если p = 2, нарисуйте q-угольник и разделите пополам один из его центральных углов. Из этого можно построить 2q-угольник.
  • Если p>2, впишите p-угольник и q-угольник в один круг так, чтобы они имели общую вершину. Поскольку p и q взаимно просты, существуют целые числа a, b такие, что ap + bq = 1. Тогда 2aπ / q + 2bπ / p = 2π / pq. Отсюда можно построить p · q-угольник.

Таким образом, достаточно найти компас и линейку для n-угольников, где n - простое число Ферма.

Галерея

Правильный пятиугольник, вписанный в круг.gif Обычный гептадекагон с использованием Carlyle Circle.gif Обычный 257-угольник с использованием Carlyle Circle.gif Обычный 65537-угольник Первый Carlyle Circle.gif . Слева направо, конструкции 15-угольника, 17-угольника, 257 -угольник и 65537-угольник. Показан только первый этап строительства 65537-угольников; конструкции 15-угольника, 17-угольника и 257-угольника приведены в законченном виде.

Другие конструкции

Концепция конструктивности, обсуждаемая в этой статье, применима конкретно к конструкции циркуля и линейки. Больше конструкций становится возможным, если разрешены другие инструменты. Так называемые конструкции neusis, например, используют отмеченную линейку. Построения представляют собой математическую идеализацию и предполагается, что они выполнены точно.

Правильный многоугольник с n сторонами можно построить с помощью линейки, циркуля и трисектора угла тогда и только тогда, когда n = 2 r 3 sp 1 p 2 ⋯ pk, {\ displaystyle n = 2 ^ { r} 3 ^ {s} p_ {1} p_ {2} \ cdots p_ {k},}{\ displaystyle n = 2 ^ {r} 3 ^ {s} p_ {1} p_ {2 } \ cdots p_ {k},} где r, s, k ≥ 0 и где p i различны Простое число Пьерпона больше 3 (простые числа вида 2 t 3 u + 1). {\ displaystyle 2 ^ {t} 3 ^ {u} +1).}{\ displaystyle 2 ^ {t} 3 ^ {u} +1).}

См. также

Ссылки

  1. ^ Полужирный шрифт, Бенджамин. Известные проблемы геометрии и способы их решения, Dover Publications, 1982 (начало 1969 г.).
  2. ^Статус факторинга Fermat Архивировано 10 февраля 2016 г. на Wayback Machine Уилфридом Келлером.
  3. ^Кокс, Дэвид А. (2012), «Теорема 10.1.6», Теория Галуа, Чистая и прикладная математика (2-е изд.), John Wiley Sons, с. 259, doi : 10.1002 / 9781118218457, ISBN 978-1-118-07205-9.
  4. ^Магнус Георг Паукер (1822). "Geometrische Verzeichnung des regelmäßigen Siebzehn-Ecks und Zweyhundersiebenundfünfzig-Ecks in den Kreis". Jahresverhandlungen der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst (на немецком языке). 2 : 160–219.
  5. ^Фридрих Юлиус Ришело (1832 г.). «Разрешение алгебраического уравнения x = 1, одно деление циркулирует на бисекцию углов, септиес повторяет в части 257, между прочим, равноценными комментариями короната». Journal für die reine und angewandte Mathematik (на латыни). 9 : 1–26, 146–161, 209–230, 337–358. doi : 10.1515 / crll.1832.9.337.
  6. ^Иоганн Густав Гермес (1894). "Über die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile". Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (на немецком языке). Гёттинген. 3 : 170–186.
  7. ^Глисон, Эндрю М. (март 1988 г.). «Трисечение угла, семиугольник и трехугольник». Американский математический ежемесячник. 95(3): 185–194. doi : 10.2307 / 2323624.

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-15 10:39:18
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте