Гептагон

фигура с семью сторонами

Правильный семиугольник
Правильный семиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Края и вершины	7
символ Шлефли	{7}
диаграмма Кокстера
группа симметрии	двугранный (D7), порядок 2 × 7
внутренний угол (градусы )	≈128,571 °
Двойной многоугольник	Собственный
Свойства	Выпуклый, циклический, равносторонний, изогональный, изотоксальный

В геометрии семиугольник представляет собой семигранный многоугольник или 7-угольник.

Гептагон иногда называют септагоном, используя «септ-» (elision из septua-, латинское -производный числовой префикс, а не гепта-, числовой префикс , производный от греческого ; оба являются родственными) вместе с греческим суффиксом «-агон», что означает угол.

• 1 Правильный семиугольник
  • 1.1 Площадь
  • 1.2 Конструкция
  • 1.3 Приближение
  • 1.4 Симметрия
  • 1,5 Диагонали и семиугольный треугольник
• 2 Звездные семиугольники
• 3 Эмпирические примеры
• 4 Графики
• 5 Гептагон в природе
• 6 См. Также
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

A правильный семиугольник, в котором все стороны и все углы равны, имеет внутренние углы 5π / 7 радиан (128 ⁄ 7градусов ). Его символ Шлефли - {7}.

Площадь

Площадь (A) правильного семиугольника с длиной стороны a определяется как:

$A\; =\; 7\; 4\; a\; 2\; кроватка\; \; \pi \; 7\; \simeq \; 3,634\; a\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \{\backslash \; frac\; \{7\}\; \{4\}\}\; a\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{7\}\}\; \backslash \; simeq\; 3.634a\; ^\; \{2\}.\}$

Это видно разделив семиугольник с единичными сторонами на семь треугольных «кусочков пирога» с вершинами в центре и в вершинах семиугольника, а затем разделив пополам каждый треугольник, используя апофему в качестве общей стороны. Апофема составляет половину котангенса $\pi \; /\; 7,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; /\; 7,\}$, а площадь каждого из 14 маленьких треугольников составляет одну четвертую апофемы.

Точное алгебраическое выражение, начиная с кубического многочлена 8x + 4x - 4x - 1 (один из корней равен $соз\; \; 2\; \pi \; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; tfrac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\}\}$) дается в комплексных числах следующим образом:

$A\; =\; a\; 2\; 4\; 7\; 3\; (35\; +\; 2\; 196\; 3\; (13\; -\; 3\; i\; 3\; 3\; +\; 13\; +\; 3\; i\; 3\; 3)),\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\; ^\; \{2\}\}\; \{4\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\; \backslash \; frac\; \{7\}\; \{3\}\}\; \backslash \; left\; (35\; +\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{196\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{13-3i\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\})\; \}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{13\; +\; 3i\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\}\},\}$

в котором мнимые части смещают друг друга, оставляя выражение с действительным знаком. Это выражение нельзя алгебраически переписать без сложных компонентов, поскольку указанная кубическая функция есть casus unducibilis.

Площадь правильного семиугольника , вписанного в круг радиус R равен $7\; R\; 2\; 2\; sin\; \; 2\; \pi \; 7,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{7R\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; tfrac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\},\}$, а площадь самого круга равна $\pi \; R\; 2;\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; R\; ^\; \{2\};\}$, таким образом, правильный семиугольник заполняет примерно 0,8710 его описанной окружности.

Конструкция

Поскольку 7 - это Pierpont простое число, но не простое число Ферма, правильный семиугольник не построим с циркулем и линейкой, но можно построить с помеченной линейкой и компас. Это самый маленький правильный многоугольник с этим свойством. Этот тип конструкции называется конструкцией neusis. Его также можно построить с помощью циркуля, линейки и трисектора угла. Невозможность построения линейки и циркуля следует из наблюдения, что $2\; cos\; \; 2\; \pi \; 7\; \approx \; 1,247\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \{2\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; tfrac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 1,247\}\}$является нулем неприводимой кубики x + x - 2x - 1. Следовательно, этот многочлен является минимальным многочленом от 2cos ( ⁄ 7), тогда как степень минимального многочлена для конструктивного числа должна быть степенью 2.

. Построение внутреннего угла в правильном семиугольнике неусисом.

. Анимация из конструкции neusis с радиусом описанной окружности $OA\; ¯\; =\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{OA\}\}\; =\; 6\}$, согласно Эндрю М. Глисон на основе трисекции угла с помощью Tomahawk. Эта конструкция основана на том факте, что $6\; cos\; \; (2\; \pi \; 7)\; =\; 2\; 7\; cos\; \; (1\; 3\; arctan\; \; (3\; 3))\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; 6\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{7\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; arctan\; \backslash \; left\; (3\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\})\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; -1.\}$

Гептагон с заданной длиной стороны:. Анимация из конструкции neusis с отмеченной линейкой, согласно Дэвиду Джонсону Лейску (Крокетт Джонсон ), пауза в конце 30 с.

.

Джерард 'т Хофт показывает правильный семиугольник, состоящий всего из 15 полосок Meccano с размером стержней 8 и 11.

Meccano семиугольник 2

Конструкция включает два равнобедренных треугольника, которые удерживают остальные стержни неподвижно. Сторона правильного семиугольника a, сторона более короткого равнобедренного треугольника e и сторона более длинного равнобедренного треугольника d удовлетворяют условию

$7\; a\; 2\; +\; e\; 2\; =\; 4\; d\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 7a\; ^\; \{2\}\; +\; e\; ^\; \{2\}\; =\; 4d\; ^\; \{2\}\}$

$d>a>e>0\; \{\backslash \; displaystyle\; d>a>e>0\}$

Формула получена из этой формулы шестиугольного треугольника :

$грех\; \; A\; -\; грех\; \; B\; -\; грех\; \; C\; =\; -\; 7\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; A-\; \backslash \; sin\; B-\; \backslash \; sin\; C\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\; \{2\}\}\}$

Небольшие возможные конструкции семиугольника:

Heptagon	a	d	e
1	3	4	1
2	8	11	6
3	33	46	29
4	40	53	6
5	55	74	27

Наименьший семиугольник меккано 1:

.

Приближение

На чертеже показано приближение для практического использования с погрешностью около 0,2%. to Альбрехт Дюрер. Пусть A лежит на окружности описанной окружности. Нарисуйте дугу BOC. Тогда $BD\; =\; 1\; 2\; BC\; \{\backslash \; dis\; playstyle\; \backslash \; scriptstyle\; \{BD\; =\; \{1\; \backslash \; over\; 2\}\; BC\}\}$дает приблизительное значение для края семиугольника.

В этом приближении используется $3\; 2\; \approx \; 0,86603\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \backslash \; over\; 2\}\; \backslash \; приблизительно\; 0,86603\}$для стороны вписанного семиугольника. в единичном круге, а точное значение равно $2\; sin\; \; \pi \; 7\; \approx \; 0,86777\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; 2\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; pi\; \backslash \; over\; 7\}\; \backslash \; приблизительно\; 0,86777\}$.

Пример для иллюстрации ошибки:. При радиусе описанной окружности r = 1 м абсолютная погрешность 1-й стороны будет приблизительно -1,7 мм

семиугольник, аппроксимированный по методу Меккано. Размеры стержней - 20, 36 и 45.

Конструкция аппроксимации механики может быть построена с одиннадцатью стержнями размером 20, 36 и 45. Эти значения оставляют ошибку около 0,1%..

Симметрия

Симметрия правильного семиугольника. Вершины окрашены в соответствии с их положением симметрии. Синие зеркальные линии проводятся через вершины и ребра. Порядок вращения дан в центре.

Правильный семиугольник принадлежит D7h точечной группе (нотация Шенфлиса ), порядок 28. Элементами симметрии являются: 7-кратное собственное вращение ось C 7, 7-кратная ось неправильного вращения, S 7, 7 вертикальных зеркальных плоскостей, σ v, 7 2-кратных осей вращения, C 2, в плоскости семиугольника и горизонтальной зеркальной плоскости, σ h, также в плоскости семиугольника.

.

Диагонали и семиугольный треугольник

a = красный, b = синий, c = зеленые линии

Сторона правильного семиугольника a, более короткая диагональ b и более длинная диагональ c, причем a

$a\; 2\; =\; c\; (c\; -\; b),\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{2\}\; =\; c\; (cb),\}$

$b\; 2\; =\; a\; (c\; +\; a),\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; ^\; \{2\}\; =\; a\; (c\; +\; a),\}$

$c\; 2\; =\; b\; (a\; +\; б),\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; ^\; \{2\}\; =\; b\; (a\; +\; b),\}$

$1\; a\; =\; 1\; b\; +\; 1\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{b\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\}\}\}$(оптическое уравнение )

и, следовательно,

$ab\; +\; ac\; =\; bc,\; \{\backslash \; displaystyle\; ab\; +\; ac\; =\; bc,\}$

и

$b\; 3\; +\; 2\; b\; 2\; c\; -\; bc\; 2\; -\; c\; 3\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; ^\; \{3\}\; +\; 2b\; ^\; \{2\}\; c-bc\; ^\; \{2\}\; -c\; ^\; \{3\}\; =\; 0,\}$

$c\; 3\; -\; 2\; c\; 2\; a\; -\; ca\; 2\; +\; a\; 3\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; ^\; \{3\}\; -2c\; ^\; \{2\}\; a-ca\; ^\; \{2\}\; +\; a\; ^\; \{3\}\; =\; 0,\}$

$a\; 3–2\; a\; 2\; b\; -\; ab\; 2\; +\; b\; 3\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{3\}\; -2a\; ^\; \{2\}\; b-ab\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{3\}\; =\; 0,\}$

Таким образом, –b / c, c / a и a / b все удовлетворяют кубическое уравнение $t\; 3\; -\; 2\; t\; 2\; -\; t\; +\; 1\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; ^\; \{3\}\; -2t\; ^\; \{2\}\; -t\; +\; 1\; =\; 0.\}$Однако не существует алгебраических выражений с чисто действительными членами для решений этого уравнения, потому что это пример casus unducibilis.

Приблизительные длины диагоналей в терминах стороны правильного семиугольника равны

$b\; \approx \; 1,80193\; a,\; c\; \approx \; 2,24698\; a.\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; \backslash \; приблизительно\; 1.80193\; \backslash \; cdot\; a,\; \backslash \; qquad\; c\; \backslash \; приблизительно\; 2.24698\; \backslash \; cdot\; a.\}$

У нас также есть

$b\; 2\; -\; a\; 2\; =\; ac,\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; ^\; \{2\}\; -a\; ^\; \{2\}\; =\; ac,\}$

$c\; 2\; -\; b\; 2\; =\; ab,\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; ^\; \{2\}\; -b\; ^\; \{2\}\; =\; ab,\}$

$a\; 2\; -\; c\; 2\; =\; -\; bc,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{2\}\; -c\; ^\; \{2\}\; =\; -\; bc,\}$

и

$b\; 2\; a\; 2\; +\; c\; 2\; b\; 2\; +\; a\; 2\; c\; 2\; =\; 5.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{b\; ^\; \{2\}\}\; \{a\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{c\; ^\; \{2\}\}\; \{b\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{a\; ^\; \{2\}\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; 5.\}$

A семиугольный треугольник имеет вершин, совпадающих с первой, второй и четвертой вершинами правильного семиугольника (от произвольной начальной вершины), и углы $\pi \; /\; 7,\; 2\; \pi \; /\; 7,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; /\; 7,2\; \backslash \; pi\; /\; 7,\}$и $4\; \pi \; /\; 7.\; \{\backslash \; displaystyle\; 4\; \backslash \; pi\; /\; 7.\}$Таким образом, его стороны совпадают с одной стороной и двумя конкретными диагоналями правильного семиугольника.

Два типа звездных семиугольников (гептаграммы ) можно построить из правильных семиугольников, помеченных символами Шлефли {7/2} и {7/3}, причем делитель интервал подключения.

. Синие, {7/2} и зеленые {7/3} звездные семиугольники внутри красного семиугольника.

Задача геометрии поверхности семиугольника, разделенного на треугольники, на глиняной табличке, принадлежащей школе писцов; Сузы, первая половина 2-го тысячелетия до нашей эры

В настоящее время (2020 г.) Соединенное Королевство имеет две семиугольные монеты , 50 пенсов и 20 пенсов. штук, и барбадосский доллар также семиугольные. В монете номиналом 20 евроцентов углубления размещены аналогично. Строго говоря, форма монет представляет собой семиугольник Рело, криволинейный семиугольник, чтобы сделать их кривыми постоянной ширины : стороны изогнуты наружу, так что монета будет плавно катиться при установке в торговый автомат . Пула Ботсваны монеты достоинством 2 Пула, 1 Пула, 50 Фив и 5 Фив также имеют форму семиугольника равносторонней кривой. Монеты в форме семиугольника Рило также находятся в обращении на Маврикии, ОАЭ, Танзании, Самоа, Папуа-Новой Гвинее, Сан-Томе и Принсипи, Гаити, Ямайке, Либерии, Гане, Гамбии, Иордании, Джерси, Гернси, острове Мэн, Гибралтар, Гайана, Соломоновы острова, Фолклендские острова и остров Святой Елены. Монета Замбии в 1000 квач представляет собой настоящий семиугольник.

Монета Бразилия 25 центов имеет семиугольник, начертанный на диске монеты. В некоторых старых версиях герба Грузии, в том числе в советские времена, в качестве элемента использовалась гептаграмма {7/2}.

В архитектуре семиугольные планы этажей встречаются очень редко. Замечательный пример - Мавзолей принца Эрнста в Штадтхагене, Германия.

Многие полицейские значки в США имеют контур гептаграммы {7/2}.

За исключением семиугольной призмы и семиугольной антипризмы, ни один выпуклый многогранник, полностью состоящий из правильных многоугольников, не содержит семиугольника в качестве грани.

Обычные семиугольники могут перекрывать гиперболическую плоскость, как показано в этой проекции модели диска Пуанкаре :

. семиугольное мозаичное покрытие

K 7полный граф часто рисуется как правильный семиугольник со всеми 21 ребром, соединенным. Этот граф также представляет собой ортогональную проекцию 7 вершин и 21 ребра 6-симплекса. правильный косой многоугольник по периметру называется многоугольник Петри.

. 6-симплекс (6D)

• Кактус

• Гептаграмма
• Многоугольник

Найдите heptagon в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Определение и свойства семиугольник С интерактивной анимацией
• Гептагон по Джонсону
• Другой метод приблизительного построения
• Полигоны - Гептагоны
• Недавно обнаруженное и очень точное приближение для построения правильного семиугольника.
• Гептагон, аппроксимирующая конструкция как анимация
• семиугольник с заданной стороной, приближенная конструкция как анимация