Группа точек

редактировать

. Цветок Bauhinia blakeana на флаге региона Гонконг имеет C 5 симметрия; звезда на каждом лепестке имеет симметрию D 5.

. Символ Инь и Ян имеет симметрию C 2 геометрии с инвертированными цветами

В geometry, точечная группа представляет собой группу геометрических симметрий (изометрий ), которые удерживают по крайней мере одну точку фиксированной. Группы точек могут существовать в евклидовом пространстве любой размерности, и каждая группа точек в размерности d является подгруппой ортогональной группы O (d). Группы точек могут быть реализованы как наборы ортогональных матриц M, которые преобразуют точку x в точку y:

y = Mx

, где начало координат является фиксированной точкой. Элементы точечной группы могут быть либо вращениями (определителем M = 1), либо отражениями, либо неправильными поворотами (определителем M = −1).

Дискретные точечные группы более чем в одном измерении входят в бесконечные семейства, но из теоремы кристаллографического ограничения и одной из теорем Бибербаха каждое количество измерений имеет только конечное число точечных групп, симметричных над некоторой решеткой или сеткой с этим номером. Это группы кристаллографических точек.

Содержание

1 Группы хиральных и ахиральных точек, группы отражений
2 Список групп точек
- 2.1 Одно измерение
- 2.2 Два измерения
- 2.3 Три размеры
  - 2.3.1 Группы отражения
- 2.4 Четыре измерения
- 2.5 Пять измерений
- 2.6 Шесть измерений
- 2.7 Семь измерений
- 2.8 Восемь измерений
3 См. также
4 Примечания
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Хиральные и ахиральные группы точек, группы отражений

Группы точек можно разделить на хиральные (или чисто вращательные) группы и ахиральные группы. Киральные группы являются подгруппами специальной ортогональной группы SO (d): они содержат только сохраняющие ориентацию ортогональные преобразования, то есть преобразования с определителем +1. Ахиральные группы содержат также преобразования определителя −1. В ахиральной группе преобразования, сохраняющие ориентацию, образуют (киральную) подгруппу индекса 2.

Конечные группы Кокстера или группы отражений - это точечные группы, которые генерируются исключительно набором отражающих зеркал, проходящих через ту же самую точка. Группа Кокстера ранга n имеет n зеркал и представлена диаграммой Кокстера-Дынкина. Нотация Кокстера предлагает заключенную в скобки нотацию, эквивалентную диаграмме Кокстера, с символами разметки для групп точек вращения и других подсимметричных групп. Группы отражений обязательно ахиральные (за исключением тривиальной группы, содержащей только единичный элемент).

Список групп точек

Одно измерение

Есть только две одномерные группы точек, группа идентичности и группа отражения.

Группа	Кокстера	Диаграмма Кокстера	Порядок	Описание
C1	[]		1	Идентичность
D1	[]		2	Группа отражения

Два измерения

Точечные группы в двух измерениях, иногда называемые группами розеток .

Они бывают двух бесконечных семейств:

Циклические группы C n n-кратных групп вращения
Диэдральные группы D n n-кратного вращения и групп отражения

Применение теоремы кристаллографического ограничения ограничивает n значениями 1, 2, 3, 4 и 6 для обоих семьи, дающие 10 групп.

Группа	Intl	Орбифолд	Коксетер	Порядок	Описание
Cn	n	n •	[n]	n	Циклический: n-кратное вращение. Абстрактная группа Z n, группа целых чисел при сложении по модулю n.
Dn	нм	* n •	[n]	2n	Двугранный: циклический с отражениями. Абстрактная группа Dih n, группа диэдра.

Конечный изоморфизм и соответствия

Подмножество чисто отражательных точечных групп, определяемых одним или двумя зеркалами, также может быть задано их Группа Кокстера и связанные с ней полигоны. К ним относятся 5 кристаллографических групп. Симметрия отражательных групп может быть удвоена с помощью изоморфизма , отображающего оба зеркала друг на друга с помощью биссектрисы, удваивая порядок симметрии.

Отражающее					Вращение				Связанные. многоугольники
Группа	Группа Кокстера		Диаграмма Кокстера		Порядок	Подгруппа	Кокстер	Порядок	Связанные. многоугольники
D1	A1	[]			2	C1		1	Дигон
D2	A1	[2]			4	C2	[2]	2	Прямоугольник
D3	A2	[3]			6	C3	[3]	3	Равносторонний треугольник
D4	BC2	[4]			8	C4	[4]	4	Квадрат
D5	H2	[5]			10	C5	[5]	5	Правильный пятиугольник
D6	G2	[6]			12	C6	[6]	6	Правильный шестиугольник
Dn	I2(n)	[n]			2n	Cn	[n]	n	Правильный многоугольник
D2×2	A1×2	[[2]] = [4]		=	8
D3×2	A2×2	[[3]] = [6]		=	12
D4×2	BC2×2	[[4]] = [8]		=	16
D5×2	H2×2	[[5]] = [10]		=	20
D6×2	G2×2	[[6]] = [12 ]		=	24
Dn×2	I2(n)×2	[[n]] = [2n]		=	4n

Трехмерные

Группы точек в трех измерениях, иногда названные точечными молекулярными группами после их широкого использования при изучении симметрии малых молекул.

Они входят в 7 бесконечных семейств аксиальных или призматических групп и 7 дополнительных полиэдрических или платоновых групп. В нотации Шёнфлиса, *

Осевые группы: C n, S 2n, C nh, C nv, D n, D nd, D nh
Многогранные группы : T, T d, T h, O, O h, I, I h

Применение теоремы кристаллографического ограничения к этим группам дает 32 кристаллографические точечные группы.

Четные / нечетные окрашенные фундаментальные области отражающих групп
C1v. Заказ 2	C2v. Заказ 4	C3v. Заказ 6	C4v. Заказ 8	C5v. Заказ 10	C6v. Заказ 12	...

D1h. Заказ 4	D2h. Заказ 8	D3h. Заказ 12	D4h. Заказ 16	D5h. Заказ 20	D6h. Заказ 24	...

Td. Заказ 24	Oh. Заказ 48	Ih. Заказ 120

Intl	Geo.	Орбифолд	Шёнфлис	Конвей	Коксетер	Приказ
1	1	1	C1	C1	[]	1
1	22	× 1	Ci= S 2	CC2	[2,2]	2
2 = m	1	* 1	Cs= C 1v = C 1h	±C1= CD 2	[]	2
2. 3. 4. 5. 6. n	2. 3. 4. 5. 6. n	22. 33. 44. 55. 66. nn	C2. C3. C4. C5. C6. Cn	C2. C3. C4. C5. C6. Cn	[2]. [3]. [4]. [5]. [6]. [n].	2. 3. 4. 5. 6. n
мм2. 3 м. 4 мм. 5 м. 6 мм. нмм. нм	2. 3. 4. 5. 6. n	* 22. * 33. * 44. * 55. * 66. * nn	C2v. C3v. C4v. C5v. C6v. Cnv	CD4. CD6. CD8. CD10. CD12. CD2n	[2]. [3]. [4]. [5]. [6]. [n]	4. 6. 8. 10. 12. 2n
2 / m. 6. 4 / m. 10. 6 / м. н / м. 2n	2 2. 3 2. 4 2. 5 2. 6 2. n 2	2. 3. 4. 5. 6. n	C2h. C3h. C4h. C5h. C6h. Cnh	±C2. CC6. ±C4. CC10. ±C6. ±Cn/ CC 2n	[2,2]. [2,3]. [2,4]. [2,5]. [2, 6]. [2, n]	4. 6. 8. 10. 12. 2n
4. 3. 8. 5. 12. 2n. n	4 2. 6 2. 8 2. 10 2. 12 2. 2n 2	2×. 3×. 4×. 5×. 6×. n ×	S4. S6. S8. S10. S12. S2n	CC4. ±C3. CC8. ±C5. CC12. CC2n/ ± C n	[2,4]. [2,6]. [2,8]. [2,10]. [2,12]. [2, 2n]	4. 6. 8. 10. 12. 2n

Intl	Geo	Orbifold	Schönflies	Conway	Coxeter	Заказ
222. 32. 422. 52. 622. n22. n2	2 2. 3 2. 4 2. 5 2. 6 2. n 2	222. 223. 224. 225. 226. 22n	D2. D3. D4. D5. D6. Dn	D4. D6. D8. D10. D12. D2n	[2,2]. [2,3]. [2,4]. [2,5]. [2,6]. [2, n]	4. 6. 8. 10. 12. 2n
ммм. 6м2. 4 / ммм. 10м2. 6 / ммм. н / ммм. 2нм2	2 2. 3 2. 4 2. 5 2. 6 2. n 2	* 222. * 223. * 224. * 225. * 226. * 22n	D2h. D3h. D4h. D5h. D6h. Dnh	±D4. DD12. ±D8. DD20. ±D12. ±D2n/ DD 4n	[2,2]. [2,3]. [ 2,4]. [2,5]. [2,6]. [2, n]	8. 12. 16. 20. 24. 4n
42m. 3m. 82m. 5m. 122 m. 2n2m. нм	4 2. 6 2. 8 2. 10 2. 12 2. n 2.	2 * 2. 2 * 3. 2 * 4. 2 * 5. 2 * 6. 2 * n	D2d. D3d. D4d. D5d. D6d. Dnd	±D4. ±D6. DD16. ±D10. DD24. DD4n/ ± D 2n	[2,4]. [2,6]. [2,8]. [2,10]. [2,12]. [2,2n]	8. 12. 16. 20. 24. 4n
23	3 3	332	T	T	[3,3 ]	12
м3	4 3	3 * 2	Th	± T	[3,4]	24
43m	3 3	* 332	Td	TO	[3,3]	24
432	4 3	432	O	O	[3,4 ]	24
м3м	4 3	* 432	Oh	± O	[3,4]	48
532	5 3	532	I	I	[3,5 ]	60
53m	5 3	* 532	Ih	± I	[3, 5]	120

(*) Когда записи Intl дублируются, первая предназначена для четного n, вторая - для нечетного n.

Группы отражения

Конечный изоморфизм и соответствия

Группы точек отражения, определяемые 1-3 зеркальными плоскостями, также могут быть заданы их группой Кокстера и связанными с ними многогранниками. Группа [3,3] может быть удвоена, записана как [[3,3]], отображая первое и последнее зеркала друг на друга, удваивая симметрию до 48 и изоморфная группе [4,3].

Schönflies	Группа Кокстера			Порядок	Соответствующие правильный и. призматический многогранник
Td	A3	[3,3]		24	Тетраэдр
Td× Dih 1 = O h	A3× 2 = BC 3	[[3,3]] = [4,3]	=	48	Звездчатый октаэдр
Oh	BC3	[4,3]		48	Куб, октаэдр
Ih	H3	[5,3]		120	Икосаэдр, додекаэдр
D3h	A2×A1	[3,2]		12	Треугольная призма
D3h× Dih 1 = D 6h	A2×A1×2	[[3], 2]	=	24	Гексагональная призма
D4h	BC2×A1	[4,2]		16	Квадратная призма
D4h× Dih 1 = D 8h	BC2×A1×2	[[4], 2] = [8,2]	=	32	Восьмиугольная призма
D5h	H2×A1	[5,2]		20	Пятиугольная призма
D6h	G2×A1	[6,2]		24	Гексагональная призма
Dnh	I2( n) × A 1	[n, 2]		4n	n-угольная призма
Dnh× Dih 1 = D 2nh	I2(n) × A 1×2	[[n], 2]	=	8n
D2h	A1	[2,2]		8	Кубоид
D2h× Dih 1	A1×2	[[2], 2] = [4,2]	=	16
D2h× Dih 3 = O h	A1×6	[3 [2,2]] = [4,3]	=	48
C3v	A2	[1,3]		6	Hosohedron
C4v	BC2	[ 1,4]		8
C5v	H2	[1,5]		10
C6v	G2	[1,6]		12
Cnv	I2(n)	[1, n]		2n
Cnv× Dih 1 = C 2nv	I2(n) × 2	[1, [n]] = [1,2n]	=	4n
C2v	A1	[1,2]		4
C2v× Dih 1	A1×2	[1, [2]]	=	8
Cs	A1	[1,1]		2

Четыре измерения

Четырехмерные точечные группы (хиральные и ахиральные) перечислены у Конвея и Смита, раздел 4, таблицы 4.1–4.3.

Конечный изоморфизм и соответствия

В следующем списке приведены четырехмерные группы отражений (за исключением тех, которые оставляют подпространство фиксированным и, следовательно, являются группами отражений меньшей размерности). Каждая группа определяется как группа Кокстера, и, подобно многогранным группам в 3D, она может быть названа по соответствующему ей выпуклому правильному 4-многограннику. Связанные чистые группы вращения существуют для каждой с половинным порядком и могут быть представлены скобкой , обозначение Кокстера с показателем '+', например [3,3,3] имеет три точки 3-кратного вращения. и порядок симметрии 60. Передние-задние симметричные группы, такие как [3,3,3] и [3,4,3], могут быть удвоены, что показано как двойные скобки в обозначениях Кокстера, например [[3,3,3]] его порядок удвоился до 240.

группа Кокстера / обозначение			Порядок	Родственные многогранники
A4	[3,3,3]		120	5-ячейка
A4×2	[[3,3,3 impressionght		240	5-элементное двойное соединение
BC4	[4,3,3]		384	16-элементный / Тессеракт
D4	[3]		192	Демитессеракт
D4× 2 = BC 4	<[3,3]>= [4,3,3]	=	384
D4× 6 = F 4	[3 [3]] = [3,4,3]	=	1152
F4	[3,4,3]		1152	24 ячейки
F4×2	[[ 3,4,3]]		2304	24-элементное двойное соединение
H4	[5,3,3]		14400	120-элементное / 600 -ячейка
A3×A1	[3,3,2]		48	Тетраэдрическая призма
A3×A1×2	[[3,3], 2] = [4,3,2]	=	96	Восьмигранная призма
BC3×A1	[ 4,3,2]		96	Восьмигранная призма
H3×A1	[5,3,2]		240	Икосаэдрическая призма
A2×A2	[3,2,3]		36	Дуопризма
A2× BC 2	[3,2,4 ]		48
A2×H2	[3,2,5]		60
A2×G2	[3,2,6]		72
BC2× BC 2	[4,2,4]		64
BC2×2	[[4,2,4]]		128
BC2×H2	[4,2,5]		80
BC2×G2	[4,2,6]		96
H2×H2	[ 5,2,5]		100
H2×G2	[5,2,6]		120
G2×G2	[6,2,6]		144
I2(p) × I 2 (q)	[p, 2, q]		4pq
I2(2p)×I2(q)	[[p ], 2, q] = [2p, 2, q]	=	8pq
I2(2p)×I2(2q)	[[p]], 2, [[q]] = [2p, 2,2q]	=	16pq
I2(p) × 2	[[p, 2, p]]		8p
I2(2p) × 2	[[[p], 2, [p]]]] = [[2p, 2,2p]]	=	32p
A2×A1×A1	[3,2,2]		24
BC2×A1×A1	[4, 2,2]		32
H2×A1×A1	[5,2,2]		40
G2×A1×A1	[6,2,2]		48
I2(p) × A 1×A1	[p, 2,2]		8p
I2(2p) × A 1×A1×2	[[p], 2,2] = [2p, 2,2]	=	16p
I2(p) × A 1×2	[p, 2, [2]] = [p, 2,4]	=	16p
I2(2p) × A 1×4	[[p]], 2, [[2]] = [2p, 2,4]	=	32p
A1×A1×A1×A1	[2,2,2]		16	4-ортотоп
A1×A1×A1×2	[[2], 2,2] = [4,2,2]	=	32
A1×A1×4	[[2]], 2, [[2]] = [4,2,4]	=	64
A1×A1×6	[3 [2,2], 2] = [4,3,2]	=	96
A1×24	[3,3 [2,2,2]] = [4,3,3]	=	384

Пять измерений

Конечный изоморфизм и соответствия

В следующей таблице приведены пятимерные группы отражений (исключая те, которые являются группами отражений меньшей размерности), в виде групп Кокстера. Связанные киральные группы существуют для каждой с половинным порядком и могут быть представлены скобкой нотация Кокстера с показателем '+', например [3,3,3,3] имеет четыре 3-кратной инерции. точек и порядок симметрии 360.

группа Кокстера / обозначение			Порядок	Связанные регулярные и. призматические многогранники
A5	[3, 3,3,3]		720	5-симплекс
A5×2	[[3,3,3,3]]		1440	5-симплекс двойное соединение
BC5	[ 4,3,3,3]		3840	5-кубик, 5-ортоплекс
D5	[3]		1920	5-полукуб
D5×2	<[3,3,3]>	=	3840
A4×A1	[3,3,3,2]		240	5-элементная призма
A4×A1×2	[[3,3,3], 2]		480
BC4×A1	[4,3, 3,2]		768	тессеракт призма
F4×A1	[3,4,3,2]		2304	24-элементная призма
F4×A1×2	[[3,4, 3], 2]		4608	24-элементная призма
H4×A1	[5,3,3,2]		28800	600-элементный или 120-элементный призма
D4×A1	[ 3,2]		384	Призма Демитессеракта
A3×A2	[3,3,2,3]		144	Дуопризма
A3×A2×2	[[3,3], 2,3]		288
A3× BC 2	[3,3,2,4]		192
A3×H2	[3,3,2,5]		240
A3×G2	[3,3,2, 6]		288
A3×I2(p)	[3,3,2, p]		48p
BC3×A2	[4,3,2,3]		288
BC3× BC 2	[4,3,2,4]		384
BC3×H2	[4,3,2,5]		480
BC3×G2	[4,3,2,6]		576
BC3×I2(p)	[4, 3,2, p]		96p
H3×A2	[5,3,2,3]		720
H3× BC 2	[5,3,2,4]		960
H3×H2	[5,3,2,5]		1200
H3×G2	[5,3,2,6]		1440
H3×I2(p)	[5,3,2, p ]		240p
A3×A1	[3,3,2,2]		96
BC3×A1	[4,3,2,2]		192
H3×A1	[5,3,2,2]		480
A2×A1	[3,2,3,2]		72	призма дуопризмы
A2× BC 2×A1	[3,2,4,2]		96
A2×H2×A1	[3,2,5,2]		120
A2×G2×A1	[3,2,6,2]		144
BC2×A1	[4,2,4,2]		128
BC2×H2×A1	[ 4,2,5,2]		160
BC2×G2×A1	[4,2,6,2]		192
H2×A1	[5,2,5,2]		200
H2×G2×A1	[5, 2,6,2]		240
G2×A1	[6,2,6,2]		288
I2(p) × I 2 (q) × A 1	[ p, 2, q, 2]		8pq
A2×A1	[3,2,2,2]		48
BC2×A1	[4,2,2,2]		64
H2×A1	[5, 2,2,2]		80
G2×A1	[6,2,2,2]		96
I2(p) × A 1	[p, 2,2,2]		16p
A1	[2,2,2,2]		32	5-ортотоп
A1× (2 ! )	[[2], 2,2,2]	=	64
A1× (2 ! × 2 ! )	[[2]], 2, [2], 2]	=	128
A1× (3 ! )	[3 [2,2], 2,2]	=	192
A1× (3! × 2 ! )	[3 [2,2], 2, [[2]]	=	384
A1× (4 ! )	[3,3 [2,2,2], 2]]	=	768
A1× (5 ! )	[3,3,3 [2,2,2,2]]	=	3840

Шесть измерений

Конечный изоморфизм и соответствия

В следующей таблице приведены шестимерные группы отражений (исключая те, которые являются группами отражений меньшей размерности), в виде групп Кокстера. Связанные чистые вращательные группы существуют для каждой с половиной порядка и могут быть представлены скобкой нотация Кокстера с показателем '+', например [3,3,3,3,3] имеет пять 3 -кратные точки инерции и порядок симметрии 2520.

группа Кокстера		Порядок	Связанные регулярный и. призматический многогранники
A6	[3,3,3, 3,3]	5040 (7!)	6-симплексный
A6×2	[[3,3,3,3,3]]	10080 (2 × 7!)	6-симплексный двойное соединение
BC6	[4,3,3,3,3]	46080 (2 × 6!)	6-куб, 6-ортоплекс
D6	[3, 3,3,3]	23040 (2 × 6!)	6-полукруглый
E6	[3,3]	51840 (72 × 6!)	122, 221
A5×A1	[3,3,3, 3,2]	1440 (2 × 6!)	5-симплексная призма
BC5×A1	[4,3,3,3,2]	7680 (2 × 5!)	5-кубическая призма
D5×A1	[3,3,3,2]	3840 (2 × 5!)	5-кубическая призма
A4×I2(p)	[3,3,3,2, p]	240p	Дуопризма
BC4×I2(p)	[4,3,3,2, p]	768p
F4×I2(p)	[3,4,3,2, p]	2304p
H4×I2(p)	[5,3,3,2, p]	28800p
D4×I2(p)	[3,3,2, p]	384p
A4×A1	[3,3,3,2,2]	48 0
BC4×A1	[4,3,3,2,2]	1536
F4×A1	[3,4,3,2,2]	4608
H4×A1	[5,3,3,2,2 ]	57600
D4×A1	[3,3,2,2]	768
A3	[3,3,2,3,3]	576
A3× BC 3	[3, 3,2,4,3]	1152
A3×H3	[3,3,2,5,3]	2880
BC3	[4,3,2,4,3]	2304
BC3×H3	[4,3,2,5,3]	5760
H3	[5,3,2,5,3]	14400
A3×I2(p) × A 1	[3,3, 2, p, 2]	96p	Двойная призма
BC3×I2(p) × A 1	[4,3,2, p, 2]	192p
H3×I2(p) × A 1	[5,3,2, p, 2]	480p
A3×A1	[3,3,2,2,2]	192
BC3×A1	[4,3,2,2, 2]	384
H3×A1	[5,3,2,2,2]	960
I2(p) × I 2 (q) × I 2 (r)	[p, 2, q, 2, r]	8pqr	Triaprism
I2(p) × I 2 (q) × A 1	[p, 2, q, 2,2]	16pq
I2(p) × A 1	[p, 2,2,2,2]	32p
A1	[2,2, 2,2,2]	64	6-ортотоп

Семь измерений

В следующей таблице приведены семимерные группы отражений (исключая те, которые являются группами отражений более низких измерений), в виде Группы Кокстера. Связанные хиральные группы существуют для каждой с половинным порядком, определяемым четным числом отражений, и могут быть представлены скобкой нотация Кокстера с показателем '+', например [ 3,3,3,3,3,3] имеет шесть точек 3-кратной инерции и порядок симметрии 20160.

группа Кокстера		Порядок	Связанные многогранники
A7	[ 3,3,3,3,3,3]	40320 (8!)	7-симплекс
A7×2	[[3,3,3,3,3,3]]	80640 (2 × 8!)	7-симплекс двойное соединение
BC7	[4,3,3,3,3,3]	645120 (2 × 7!)	7-куб, 7-ортоплекс
D7	[3,3,3,3,3]	322560 (2 × 7!)	7-полукуб
E7	[3,3,3,3]	2903040 (8 × 9!)	321, 231, 132
A6×A1	[3,3,3,3,3,2]	10080 (2 × 7!)
BC6×A1	[4,3,3,3,3,2 ]	92160 (2 × 6!)
D6×A1	[3,3,3,3,2]	46080 (2 × 6!)
E6×A1	[3,3,3,2]	103680 (144 × 6!)
A5×I2(p)	[3,3,3,3,2, p]	1440p
BC5×I2(p)	[4, 3,3,3,2, p]	7680p
D5×I2(p)	[3,3,3,2, p]	3840p
A5×A1	[3,3, 3,3,2,2]	2880
BC5×A1	[4,3,3,3,2,2]	15360
D5×A1	[3,3,3,2,2]	7680
A4×A3	[3,3,3,2,3,3]	2880
A4× BC 3	[3,3,3,2,4,3]	5760
A4×H3	[3,3,3,2,5,3]	14400
BC4×A3	[4, 3,3,2,3,3]	9216
BC4× BC 3	[4,3,3,2,4,3]	18432
BC4×H3	[4,3,3, 2,5,3]	46080
H4×A3	[5,3,3,2,3,3]	345600
H4× BC 3	[5,3,3,2,4,3 ]	691200
H4×H3	[5,3,3,2,5,3]	1728000
F4×A3	[3,4,3,2,3,3]	27648
F4× BC 3	[3,4,3,2,4,3]	55296
F4×H3	[3,4,3,2,5,3]	138240
D4×A3	[3,2,3, 3]	4608
D4× BC 3	[3,3,2,4,3]	9216
D4×H3	[3,3,2,5,3]	23040
A4×I2(p) × A 1	[3,3,3,2, p, 2]	480p
BC4×I2(p) × A 1	[4,3,3,2, p, 2]	1536p
D4×I2(p) × A 1	[3,3,2, p, 2]	768p
F4×I2(p) × A 1	[3,4,3,2, p, 2]	4608p
H4×I2(p) × A 1	[5,3,3,2, p, 2]	57600p
A4×A1	[3,3,3,2,2,2 ]	960
BC4×A1	[4,3,3,2,2,2]	3072
F4×A1	[3,4,3,2,2,2]	9216
H4×A1	[5, 3,3,2,2,2]	115200
D4×A1	[3,3,2,2,2]	1536
A3×A1	[3,3,2,3,3,2]	1152
A3× BC 3×A1	[3,3,2,4,3,2]	2304
A3×H3×A1	[3,3,2,5,3,2]	5760
BC3×A1	[4,3,2,4,3,2]	4608
BC3×H3×A1	[4,3,2,5,3,2]	11520
H3×A1	[5,3,2,5, 3,2]	28800
A3×I2(p)×I2(q)	[3,3,2, p, 2, q]	96pq
BC3×I2(p)×I2(q)	[4,3,2, p, 2, q]	192pq
H3×I2(p)×I2(q)	[5,3,2, p, 2, q]	480pq
A3×I2(p) × A 1	[3,3,2, p, 2,2]	192p
BC3×I2(p) × A 1	[4,3,2, p, 2,2]	384p
H3×I2(p) × A 1	[5,3,2, p, 2,2]	960p
A3×A1	[3,3,2,2,2,2]	384
BC3×A1	[4, 3,2,2,2,2]	768
H3×A1	[5,3,2,2,2,2]	1920
I2(p) × I 2 (q) × I 2 (r) × A 1	[p, 2, q, 2, r, 2]	16pqr
I2(p) × I 2 (q) × A 1	[p, 2, q, 2,2,2]	32pq
I2(p) × A 1	[p, 2,2,2,2,2 ]	64p
A1	[2,2,2,2,2,2]	128

Восемь измерений

В следующей таблице приведены восьмимерные группы отражений (за исключением тех, которые являются группами отражений более низкой размерности), перечислив их как группы Кокстера. Связанные хиральные группы существуют для каждой с половиной порядка, определяемого четным числом отражений, и могут быть представлены скобкой нотация Кокстера с показателем '+', например [ 3,3,3,3,3,3,3] имеет семь точек 3-кратной инерции и порядок симметрии 181440.

Группа Кокстера		Порядок	Связанные многогранники
A8	[3,3,3,3,3,3,3]	362880 (9!)	8-симплексный
A8×2	[[3,3,3,3,3,3,3]]	725760 (2 × 9!)	8-симплексное двойное соединение
BC8	[4,3,3,3,3,3,3]	10321920 (28!)	8-куб, 8-ортоплекс
D8	[3,3,3,3,3]	5160960 (28!)	8-полукуб
E8	[3,3, 3,3,3]	696729600 (192 × 10!)	421, 241, 142
A7×A1	[3,3,3,3,3,3,2]	80640	7-симплексная призма
BC7×A1	[4,3,3,3,3,3,2]	645120	7-кубическая призма
D7×A1	[3,3,3,3,3,2]	322560	призма с 7 полукубами
E7 ×A1	[3,3,3,3,2]	5806080	321призма, 2 31 призма, 1 42 призма
A6×I2(p)	[3,3,3,3,3,2, p]	10080p	дуопризма
BC6×I2(p)	[4,3,3,3,3,2, p]	92160p
D6×I2(p)	[3,3,3,3,2, p]	46080p
E6×I2(p)	[3,3,3,2, p ]	103680p
A6×A1	[3,3,3,3,3,2,2]	20160
BC6×A1	[4,3,3,3,3,2,2]	184320
D6×A1	[3,2,2]	92160
E6×A1	[3,3,3,2,2]	207360
A5×A3	[3,3,3,3,2,3,3]	17280
BC5×A3	[4,3,3,3,2,3,3]	92160
D5×A3	[3,2,3,3]	46080
A5× BC 3	[ 3,3,3,3,2,4,3]	34560
BC5× BC 3	[4,3,3,3,2,4,3]	184320
D5× BC 3	[3,2,4,3]	92160
A5×H3	[3,3,3,3,2,5,3]
BC5×H3	[4,3,3,3,2,5, 3]
D5×H3	[3,2,5,3]
A5×I2(p) × A 1	[3,3,3,3,2, p, 2]
BC5×I2(p) × A 1	[4,3,3,3,2, p, 2]
D5×I2(p) × A 1	[3,2, p, 2]
A5×A1	[3,3,3,3,2, 2,2]
BC5×A1	[4,3,3,3,2,2,2]
D5×A1	[3,2,2,2]
A4×A4	[3,3,3,2,3,3, 3]
BC4×A4	[4,3,3,2,3,3,3]
D4×A4	[3,2,3,3,3]
F4×A4	[3,4,3,2,3,3, 3]
H4×A4	[5,3,3,2,3,3,3]
BC4× BC 4	[4,3,3,2,4,3,3]
D4× BC 4	[3,2,4,3,3]
F4× BC 4	[3,4,3,2,4,3,3]
H4× BC 4	[5,3,3, 2,4,3,3]
D4×D4	[3,2,3]
F4×D4	[3,4,3,2,3]
H4×D4	[5,3,3,2,3]
F4×F4	[ 3,4,3,2,3,4,3]
H4×F4	[5,3,3,2,3,4,3]
H4×H4	[5,3,3,2,5,3,3]
A4×A3×A1	[3,3,3,2,3,3,2]		призмы дуопризмы
A4× BC 3×A1	[3,3,3,2,4,3,2]
A4×H3×A1	[ 3,3,3,2,5,3,2]
BC4×A3×A1	[4,3,3,2,3,3,2]
BC4× BC 3×A1	[4,3,3,2,4,3,2]
BC4×H3×A1	[4,3,3,2, 5,3,2]
H4×A3×A1	[5,3,3,2,3,3,2]
H4× BC 3×A1	[5,3,3,2,4,3,2]
H4×H3×A1	[5,3,3,2,5,3,2]
F4×A3×A1	[3,4,3,2,3,3,2]
F4× BC 3×A1	[3,4,3,2, 4,3,2]
F4×H3×A1	[3,4,2,3,5,3,2]
D4×A3×A1	[3,2,3,3,2]
D4× BC 3×A1	[3, 2,4,3,2]
D4×H3×A1	[3,2,5,3,2]
A4×I2(p) × I 2 (q)	[3,3, 3,2, p, 2, q]		триапризма
BC4×I2(p)×I2(q)	[4,3,3,2, p, 2, q]
F4×I2(p) × I 2 (q)	[3,4,3,2, p, 2, q]
H4×I2(p) × I 2 (q)	[5,3,3,2, p, 2, q]
D4×I2(p) × I 2 (q)	[3,2, p, 2, q]
A4×I2(p) × A 1	[3,3,3,2, p, 2,2]
BC4×I2(p) × A 1	[4,3,3,2, p, 2,2]
F4×I2(p) × A 1	[3,4,3,2, p, 2,2]
H4×I2(p) × A 1	[5,3,3,2, p, 2,2]
D4×I2(p) × A 1	[3,2, p, 2,2]
A4×A1	[3,3, 3,2,2,2,2]
BC4×A1	[4,3,3,2,2,2,2]
F4×A1	[3,4,3,2,2,2,2]
H4×A1	[5,3,3,2,2,2,2]
D4×A1	[3,2,2,2,2]
A3×A3×I2(p)	[3,3,2,3, 3,2, p]
BC3×A3×I2(p)	[4,3,2,3,3,2, p]
H3×A3×I2(p)	[5,3, 2,3,3,2, p]
BC3× BC 3×I2(p)	[4,3,2,4,3,2, p]
H3× BC 3×I2(p)	[5,3,2,4,3,2, p]
H3×H3×I2(p)	[5,3,2,5,3,2, p ]
A3×A3×A1	[3,3,2,3,3,2,2]
BC3×A3×A1	[4,3, 2,3,3,2,2]
H3×A3×A1	[5,3,2,3,3,2,2]
BC3× BC 3×A1	[4,3,2,4,3,2,2 ]
H3× BC 3×A1	[5,3,2,4,3,2,2]
H3×H3×A1	[5,3,2,5,3,2,2]
A3×I2(p) × I 2 (q) × A 1	[3,3,2, p, 2, q, 2]
BC3×I2(p) × I 2 (q) × A 1	[4,3,2, p, 2, q, 2]
H3×I2(p) × I 2 (q) × A 1	[5,3,2, p, 2, q, 2]
A3×I2(p) × A 1	[3,3,2, p, 2,2,2]
BC3×I2(p) × A 1	[4,3,2, p, 2,2,2]
H3×I2(p) × A 1	[5,3,2, p, 2,2,2]
A3×A1	[3,3,2,2,2,2, 2]
BC3×A1	[4,3,2,2,2,2,2]
H3×A1	[5,3,2,2,2,2,2]
I2(p) × I 2 (q)×I2(r)×I2(s)	[p, 2, q, 2, r, 2, s ]	16pqrs
I2(p) × I 2 (q) × I 2 (r) × A 1	[p, 2, q, 2, r, 2,2]	32pqr
I2(p) × I 2 (q) × A 1	[p, 2, q, 2,2,2,2]	64pq
I2(p) × A 1	[p, 2,2,2,2,2,2]	128p
A1	[2,2,2,2,2,2,2]	256

См. Также

Примечания

Ссылки

H. SM Coxeter : Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter, отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони К. Томпсоном, Асией Ивич Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
- (Paper 23) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
Х. С. М. Коксетер и В. О. Дж. Мозер. Генераторы и соотношения для дискретных групп 4-е изд., Springer-Verlag. Нью-Йорк. 1980
Н. W. Johnson : Geometries and Transformations, (2018) Глава 11: Конечные группы симметрии

Внешние ссылки