В математике, группа Кокстера, названная в честь H. S. M. Coxeter, является абстрактной группой, которая допускает формальное описание в терминах отражений (или калейдоскопических зеркал ). Действительно, конечные группы Кокстера - это в точности конечные евклидовы группы отражений ; группы симметрии из правильных многогранников являются примером. Однако не все группы Кокстера конечны, и не все могут быть описаны в терминах симметрий и евклидовых отражений. Группы Кокстера были введены (Coxeter 1934) как абстракции групп отражений, а конечные группы Кокстера были классифицированы в 1935 году (Coxeter 1935).
Группы Кокстера находят применение во многих областях математики. Примеры конечных групп Кокстера включают группы симметрии регулярных многогранников и группы Вейля простых алгебр Ли. Примеры бесконечных групп Кокстера включают треугольные группы, соответствующие регулярным мозаикам евклидовой плоскости и гиперболической плоскости, а также группы Вейля. бесконечномерных алгебр Каца – Муди.
Стандартные ссылки включают (Хамфрис 1992) и (Дэвис 2007).
Формально, группа Кокстера может быть определена как группа с презентацией
, где и для . Условие означает отсутствие отношения формы должно быть наложено.
Пара , где - Кокстер группа с генераторами называется Система Кокстера . Обратите внимание, что в целом не определяется однозначно . Например, группы Кокстера типа и изоморфны, но системы Кокстера не эквивалентны (см. Ниже объяснение этого обозначения).
Из приведенного выше определения можно сразу сделать ряд выводов.
Матрица Кокстера - это , симметричная матрица с элементами . В самом деле, каждая симметричная матрица с диагональными элементами, состоящими исключительно из 1, и недиагональными элементами в множестве - матрица Кокстера.
Матрицу Кокстера можно удобно закодировать с помощью диаграммы Кокстера в соответствии со следующими правилами.
В частности, два генератора коммутируют тогда и только тогда, когда они не связаны край. Кроме того, если граф Кокстера имеет два или более связанных компонентов, ассоциированная группа является прямым продуктом групп, связанных с отдельными компонентами. Таким образом, непересекающееся объединение графов Кокстера дает прямое произведение групп Кокстера.
Матрица Кокстера, , связана с Матрица Шлефли с элементами , но элементы изменяются, будучи пропорциональными точечному произведению парных генераторов. Матрица Шлефли полезна, потому что ее собственные значения определяют, имеет ли группа Кокстера конечный тип (все положительные), аффинный тип (все неотрицательные, по крайней мере, один ноль) или неопределенный тип (в противном случае). Неопределенный тип иногда дополнительно подразделяется, например на гиперболические и другие группы Кокстера. Однако существует несколько неэквивалентных определений гиперболических групп Кокстера.
Группа Кокстера | A1×A1 | A2 | B2 | H2 | G2 | A3 | B3 | D4 | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Диаграмма Кокстера | ||||||||||
Матрица Кокстера | ||||||||||
Шлефли матрица |
График , в котором вершины с с 1 по n размещаются в ряд, каждая вершина соединена неотмеченным ребром со своими ближайшими соседями, образуя симметрическую группу S n + 1 ; генераторы соответствуют транспозициям (1 2), (2 3),..., (n n + 1). Две непоследовательные транспозиции всегда коммутируют, а (k k + 1) (k + 1 k + 2) дает 3-цикл (k k + 2 k + 1). Конечно, это показывает только то, что S n + 1 является фактор-группой группы Кокстера, описанной графом, но нетрудно проверить, что равенство выполняется.
Группы Кокстера глубоко связаны с группами отражений. Проще говоря, группы Кокстера - это абстрактные группы (заданные через представление), а группы отражений - это конкретные группы (заданные как подгруппы в линейных группах или в различных обобщениях). Группы Кокстера выросли из изучения групп отражений - они представляют собой абстракцию: группа отражений - это подгруппа линейной группы, порожденной отражениями (которые имеют порядок 2), а группа Кокстера - это абстрактная группа, порожденная инволюциями (элементами порядок 2, абстрагируясь от отражений), и отношения которых имеют определенную форму (, соответствующий гиперплоскости встречаются под углом , с имеет порядок k, абстрагируясь от поворота на ).
Абстрактная группа группы отражений - это группа Кокстера, тогда как, наоборот, группа отражений может рассматриваться как линейное представление группы Кокстера. Для конечных групп отражений это дает точное соответствие: каждая конечная группа Кокстера допускает точное представление в виде конечной группы отражений некоторого евклидова пространства. Однако для бесконечных групп Кокстера группа Кокстера может не допускать представления в качестве группы отражений.
Исторически (Coxeter 1934) доказано, что каждая группа отражений является группой Кокстера (т.е. имеет представление, в котором все отношения имеют форму или ), и действительно, это В статье введено понятие группы Кокстера, а (Coxeter 1935) доказано, что каждая конечная группа Кокстера имеет представление как группа отражений, и классифицированы конечные группы Кокстера.
Конечные группы Кокстера были классифицированы в (Coxeter 1935) в терминах диаграмм Кокстера – Дынкина ; все они представлены группами отражений конечномерных евклидовых пространств.
Конечные группы Кокстера состоят из трех однопараметрических семейств возрастающего ранга одно семейство с одним параметром размерности два, и шесть исключительных группы: и . Произведение конечного числа групп Кокстера в этом списке снова является группой Кокстера, и все конечные группы Кокстера возникают таким образом.
Многие, но не все из них, являются группами Вейля, и каждая группа Вейля может быть реализована как группа Кокстера. Группы Вейля - это семейства и и исключения и , обозначенные в обозначении группы Вейля как Не-вейлевские группы являются исключением и и семейство , кроме случаев, когда это совпадает с одним из Группы Вейля (а именно и ).
Это можно доказать, сравнив ограничения на (неориентированные) диаграммы Дынкина с ограничениями на диаграммы Кокстера конечных групп: формально можно получить граф Кокстера из диаграммы Дынкина, отбрасывая направление ребер и заменяя каждое двойное ребро ребром с меткой 4 и каждое тройное ребро ребром с меткой 6. Также обратите внимание, что каждая конечно порожденная группа Кокстера является автоматическая группа. Диаграммы Дынкина имеют дополнительное ограничение, заключающееся в том, что разрешены только метки ребер 2, 3, 4 и 6, что дает указанное выше. Геометрически это соответствует теореме кристаллографического ограничения и тому факту, что исключенные многогранники не заполняют пространство или мозаику на плоскости - для додекаэдр (дуально, икосаэдр) не заполняет пространство; для 120-ячеечная (двойная 600-ячеечная) не заполняет пространство; для p-угольник не мозаицирует плоскость, за исключением или (треугольные, квадратные и шестиугольные мозаики соответственно).
Отметим далее, что (направленные) диаграммы Дынкина B n и C n дают начало одной и той же группе Вейля (следовательно, группе Кокстера), потому что они различаются по назначению графы, но согласны как неориентированные графы - направление имеет значение для корневых систем, но не для группы Вейля; это соответствует тому, что гиперкуб и кросс-политоп являются разными правильными многогранниками, но имеют одинаковую группу симметрии.
Некоторые свойства конечных неприводимых групп Кокстера приведены в следующей таблице. Порядок приводимых групп может быть вычислен произведением порядков их неприводимых подгрупп.
Ранг. n | Группа. символ | Альтернативный символ. | Обозначение скобок. | График Кокстера. | Отражения. m = ⁄ 2nh | Число Кокстера. h | Порядок | Структура группы | Связанные многогранники |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | A1 | A1 | [] | 1 | 2 | 2 | {} | ||
2 | A2 | A2 | [3] | 3 | 3 | 6 | {3} | ||
3 | A3 | A3 | [3,3] | 6 | 4 | 24 | {3,3} | ||
4 | A4 | A4 | [3,3,3] | 10 | 5 | 120 | {3,3,3} | ||
5 | A5 | A5 | [3,3,3,3] | 15 | 6 | 720 | {3,3,3,3} | ||
n | An | An | [3] | ... | n (n + 1) / 2 | n + 1 | (n + 1)! | n-симплекс | |
2 | B2 | C2 | [4] | 4 | 4 | 8 | {4} | ||
3 | B3 | C3 | [4,3] | 9 | 6 | 48 | {4,3} / {3,4} | ||
4 | B4 | C4 | [4,3,3] | 16 | 8 | 384 | -{4,3,3} / {3,3,4} | ||
5 | B5 | C5 | [4,3,3,3 ] | 25 | 10 | 3840 | {4,3,3,3} / {3,3, 3,4} | ||
n | Bn | Cn | [4,3] | ... | n | 2n | 2 n! | n-куб / n-ортоплекс | |
4 | D4 | B4 | [3] | 12 | 6 | 192 | h {4,3,3} / {3,3} | ||
5 | D5 | B5 | [3] | 20 | 8 | 1920 | h {4,3,3,3} / {3, 3,3} | ||
n | Dn | Bn | [3] | ... | n (n - 1) | 2 (n - 1) | 2 n! | n-demicube / n-ортоплекс | |
6 | E6 | E6 | [3] | 36 | 12 | 51840 (72x6!) | |||
7 | E7 | E7 | [3] | 63 | 18 | 2903040 (72x8!) | 321, 231, 132 | ||
8 | E8 | E8 | [3] | 120 | 30 | 696729600 (192x10!) | 421, 241, 142 | ||
4 | F4 | F4 | [3,4,3] | 24 | 12 | 1152 | {3,4,3} | ||
2 | G2 | - (D. 2) | [6] | 6 | 6 | 12 | {6 } | ||
2 | H2 | G2 | [5] | 5 | 5 | 10 | { 5} | ||
3 | H3 | G3 | [3,5] | 15 | 10 | 120 | {3,5} / {5, 3} | ||
4 | H4 | G4 | [3,3,5] | 60 | 30 | 14400 | {5,3,3} / {3,3,5} | ||
2 | I2(n) | D. 2 | [n] | n | n | 2n |
когда п знак равно п + 1, п простое число когда n = p - 1, p простое число | {p} |
Все группы симметрии правильных многогранников конечны Группы Кокстера. Обратите внимание, что двойные многогранники имеют одну и ту же группу симметрии.
Есть три серии правильных многогранников во всех измерениях. Группа симметрии регулярного n- симплекса - это симметрическая группа S n + 1, также известная как группа Кокстера типа A n. Группа симметрии n- куба и его двойника, n- кросс-политопа, равна B n и известна как гипероктаэдр. группа.
Исключительные регулярные многогранники в размерностях два, три и четыре соответствуют другим группам Кокстера. В двух измерениях группы диэдра, которые являются группами симметрии правильных многоугольников, образуют серию I 2 (p). В трех измерениях группа симметрии правильного додекаэдра и его двойника, правильного икосаэдра, равна H 3, известная как полная группа икосаэдра.. В четырех измерениях есть три специальных регулярных многогранника: 24-элементный, 120-элементный и 600-элементный. Первый имеет группу симметрии F 4, а два других двойственны и имеют группу симметрии H 4.
Группы Кокстера типа D n, E 6, E 7 и E 8 - группы симметрии некоторых полуправильных многогранников.
Таблица семейств неприводимых многогранников | ||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Семейство. n | n-симплекс | n-гиперкуб | n-ортоплекс | n-полукуб | 1k2 | 2k1 | k21 | пятиугольный многогранник | ||||||||
Группа | An | Bn |
|
| Hn | |||||||||||
2 | . | . | . . p-угольник. (пример: p = 7 ) | . . Шестиугольник | . . Пентагон | |||||||||||
3 | . . Тетраэдр | . . Куб | . . Октаэдр | . . Тетраэдр | . . Додекаэдр | . . Икосаэдр | ||||||||||
4 | . . 5-элементный | . | . . 16-элементный | . | . . 24-элементный | . . 120-элементный | . . 600-элементный | |||||||||
5 | . . 5-симплексный | . . 5-кубовый | . . 5-ортоплексный | . . 5-полукубик | ||||||||||||
6 | . . 6 -симплекс | . . 6-куб | . . 6-ортоплекс | . . 6-полукуб | . . 122 | . . 221 | ||||||||||
7 | . . 7-симплекс | . . 7-куб | . . 7-ортоплекс | . . 7-полукуб | . . 132 | . . 231 | . . 321 | |||||||||
8 | . . 8-симплекс | . . 8-куб | . . 8-ортоплекс | . . 8-полукуб | . . 142 | . . 241 | . . 421 | |||||||||
9 | . . 9-симплекс | . . 9-куб | . . 9-ортоплекс | . . 9-полукуб | ||||||||||||
10 | . . 10-симплекс | . . 10-куб | . . 10-ортоплекс | . . 10-demicube |
.
аффинные группы Кокстера образуют вторую важную серию групп Кокстера. Они сами по себе не конечны, но каждая содержит нормальную абелеву подгруппу такую, что соответствующая фактор-группа конечна. В каждом случае фактор-группа сама является группой Кокстера, а граф Кокстера аффинной группы Кокстера получается из графа Кокстера фактор-группы путем добавления еще одной вершины и одного или двух дополнительных ребер. Например, для n ≥ 2 граф, состоящий из n + 1 вершин в окружности, получается из A n таким образом, и соответствующая группа Кокстера является аффинной группой Вейля для A n. При n = 2 это можно представить как подгруппу группы симметрии стандартного замощения плоскости равносторонними треугольниками.
В общем, для данной корневой системы можно построить связанную диаграмму Штифеля, состоящую из гиперплоскостей, ортогональных корням, вместе с некоторыми сдвигами этих гиперплоскостей. Аффинная группа Кокстера (или аффинная группа Вейля) тогда является группой, порожденной (аффинными) отражениями обо всех гиперплоскостях на диаграмме. Диаграмма Штифеля делит плоскость на бесконечно много связных компонентов, называемых альковами, а аффинная группа Кокстера действует свободно и транзитивно на альковах, так же как обычная группа Вейля действует свободно и транзитивно на камеры Вейля. На рисунке справа показана диаграмма Штифеля для корневой системы .
Предположим, что - это несократимая корневая система ранга и пусть - набор простых корней. Пусть также обозначает наивысший корень. Тогда аффинная группа Кокстера порождается обычными (линейными) отражениями о гиперплоскостях, перпендикулярных вместе с аффинным отражением относительно сдвига гиперплоскости, перпендикулярной . Граф Кокстера для аффинной группы Вейля - это диаграмма Кокстера – Дынкина для вместе с одним дополнительным узлом связанный с . В этом случае одну нишу на диаграмме Штифеля можно получить, взяв фундаментальную камеру Вейля и разрезав ее путем сдвига гиперплоскости, перпендикулярной к .
Список аффинных групп Кокстера следующий:
Группа. символ | Витт. символ | Нотация в скобках | граф Кокстера. | Связанная единообразная тесселяция ( s) |
---|---|---|---|---|
[3] | ... . or. ... | Простые соты | ||
[4,3,3] | ... | Полугиперкубические соты | ||
[4,3,4] | ... | Гиперкубические соты | ||
[3,3,3] | ... | Полугиперкубические соты | ||
[3] | или | 222 | ||
[3] | или | 331, 133 | ||
[3] | 521, 251, 152 | |||
[3,4,3,3] | 16-элементный сотовый. 24- сотовые соты | |||
[6,3] | Гексагональная мозаика и. Треугольная мозаика | |||
[∞ ] | Апейрогон |
Индекс символа группы на единицу меньше количества узлов в каждом случае, поскольку каждая из этих групп была получена путем добавления узла к графу конечной группы.
Существует бесконечно много гиперболических групп Кокстера, описывающих группы отражений в гиперболическом пространстве, в частности, включая группы гиперболических треугольников.
Выбор генераторов отражения приводит к функции длины ℓ для группы Кокстера, а именно минимальному количеству использований генераторов, необходимых для выражения группы элемент; это в точности длина метрики слов в графе Кэли. Выражение для v с использованием генераторов ℓ (v) является сокращенным словом. Например, перестановка (13) в S 3 имеет два сокращенных слова: (12) (23) (12) и (23) (12) (23). Функция определяет карту обобщение карты знаков для симметричной группы.
Используя сокращенные слова, можно определить три частичных порядка по группе Кокстера, (справа) слабый порядок, абсолютный приказ и приказ Брюа (названный в честь Франсуа Брюа ). Элемент v превосходит элемент u в порядке Брюа, если некоторое (или, что эквивалентно, любое) сокращенное слово для v содержит сокращенное слово для u в качестве подстроки, где некоторые буквы (в любой позиции) отбрасываются. В слабом порядке v ≥ u, если некоторое сокращенное слово для v содержит сокращенное слово для u в качестве начального сегмента. Действительно, длина слова превращает это в градуированный poset. диаграммы Хассе, соответствующие этим порядкам, являются объектами изучения и связаны с графом Кэли, определяемым генераторами. Абсолютный порядок определяется аналогично слабому порядку, но с порождающим набором / алфавитом, состоящим из всех сопряженных генераторов Кокстера.
Например, перестановка (1 2 3) в S 3 имеет только одно сокращенное слово (12) (23), поэтому покрывает (12) и (23) в слове Брюа порядка, но покрывает (12) только в слабом порядке.
Поскольку группа Кокстера порождается конечным числом элементов порядка 2, ее абелианизация является элементарной абелевой 2-группой, то есть она изоморфна прямой сумме нескольких копий циклической группы . Это можно переформулировать в терминах первой группы гомологии из .
множитель Шура , равный второй группе гомологии , был вычислен в (Ihara Yokonuma 1965) для конечные группы отражений и в (Yokonuma 1965) для аффинных групп отражений, с более унифицированным описанием, приведенным в (Howlett 1988). Во всех случаях множитель Шура также является элементарной абелевой 2-группой. Для каждого бесконечного семейства конечных или аффинных групп Вейля ранг стабилизируется, поскольку уходит в бесконечность.
.