Группа Кокстера

редактировать

В математике, группа Кокстера, названная в честь H. S. M. Coxeter, является абстрактной группой, которая допускает формальное описание в терминах отражений (или калейдоскопических зеркал ). Действительно, конечные группы Кокстера - это в точности конечные евклидовы группы отражений ; группы симметрии из правильных многогранников являются примером. Однако не все группы Кокстера конечны, и не все могут быть описаны в терминах симметрий и евклидовых отражений. Группы Кокстера были введены (Coxeter 1934) как абстракции групп отражений, а конечные группы Кокстера были классифицированы в 1935 году (Coxeter 1935).

Группы Кокстера находят применение во многих областях математики. Примеры конечных групп Кокстера включают группы симметрии регулярных многогранников и группы Вейля простых алгебр Ли. Примеры бесконечных групп Кокстера включают треугольные группы, соответствующие регулярным мозаикам евклидовой плоскости и гиперболической плоскости, а также группы Вейля. бесконечномерных алгебр Каца – Муди.

Стандартные ссылки включают (Хамфрис 1992) и (Дэвис 2007).

Содержание

1 Определение
- 1.1 Матрица Кокстера и матрица Шлефли
2 Пример
3 Связь с группами отражений
4 Конечные группы Кокстера
- 4.1 Классификация
- 4.2 Группы Вейля
- 4.3 Свойства
- 4.4 Группы симметрии правильных многогранников
5 Аффинные группы Кокстера
6 Гиперболические группы Кокстера
7 Частичные порядки
8 Гомология
9 См. Также
10 Примечания
11 Ссылки
12 Дополнительная литература
13 Внешние ссылки

Определение

Формально, группа Кокстера может быть определена как группа с презентацией

⟨r 1, r 2,…, rn ∣ (rirj) mij = 1⟩ {\ displaystyle \ left \ langle r_ {1}, r_ {2}, \ ldots, r_ {n } \ mid (r_ {i} r_ {j}) ^ {m_ {ij}} = 1 \ right \ rangle}

\lef t\langle r_{1},r_{2},\ldots,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle

, где $mii = 1 {\ displaystyle m_ {ii} = 1}$ $m_{ii}=1$ и $mij ≥ 2 {\ displaystyle m_ {ij} \ geq 2}$ $m_{ij}\geq 2$ для $i ≠ j {\ displaystyle i \ neq j}$ $i\neq j$ . Условие $mij = ∞ {\ displaystyle m_ {ij} = \ infty}$ $m_{ij}=\infty$ означает отсутствие отношения формы $(rirj) m {\ displaystyle (r_ {i} r_ {j})) ^ {m}}$ $(r_{i}r_{j})^{m}$ должно быть наложено.

Пара $(W, S) {\ displaystyle (W, S)}$ $(W,S)$ , где $W {\ displaystyle W}$ $W$ - Кокстер группа с генераторами $S = {r 1,…, rn} {\ displaystyle S = \ {r_ {1}, \ dots, r_ {n} \}}$ $S=\{r_{1},\dots,r_{n}\}$ называется Система Кокстера . Обратите внимание, что в целом $S {\ displaystyle S}$ $S$ не определяется однозначно $W {\ displaystyle W}$ $W$ . Например, группы Кокстера типа $B 3 {\ displaystyle B_ {3}}$ $B_{3}$ и $A 1 × A 3 {\ displaystyle A_ {1} \ times A_ {3}}$ $A_{1}\times A_{3}$ изоморфны, но системы Кокстера не эквивалентны (см. Ниже объяснение этого обозначения).

Из приведенного выше определения можно сразу сделать ряд выводов.

Отношение $mii = 1 {\ displaystyle m_ {ii} = 1}$ $m_{ii}=1$ означает, что $(riri) 1 = (ri) 2 = 1 {\ displaystyle (r_ {i } r_ {i}) ^ {1} = (r_ {i}) ^ {2} = 1}$ $(r_{i}r_{i})^{1}=(r_{i})^{2}=1$ для всех $i {\ displaystyle i}$ $i$ ; как таковые генераторы являются инволюциями.
Если $mij = 2 {\ displaystyle m_ {ij} = 2}$ $m_{ij}=2$ , тогда генераторы $ri {\ displaystyle r_ {i} }$ $r_{i}$ и $rj {\ displaystyle r_ {j}}$ $r_j$ перемещаются. Это следует из наблюдения, что

xx = yy = 1 {\ displaystyle xx = yy = 1}

xx=yy=1

вместе с

xyxy = 1 {\ displaystyle xyxy = 1}

xyxy=1

означает, что

xy = x (xyxy) y = (xx) yx (yy) = yx {\ displaystyle xy = x (xyxy) y = (xx) yx (yy) = yx}

xy=x(xyxy)y=(xx)yx(yy)=yx

В качестве альтернативы, поскольку генераторы являются инволюциями,

ри = ри - 1 {\ displaystyle r_ {i} = r_ {i} ^ {- 1}}

r_{i}=r_{i}^{-1}

, поэтому

(rirj) 2 = rirjrirj = rirjri - 1 rj - 1 {\ displaystyle (r_ {i} r_ {j}) ^ {2} = r_ {i} r_ {j} r_ {i} r_ {j} = r_ {i} r_ {j} r_ {i} ^ {- 1} r_ {j} ^ {- 1}}

(r_{i}r_{j})^{2}=r_{i}r_{j}r_{i}r_{j}=r_{i}r_{j}r_{i}^{-1}r_{j}^{-1}

, и, таким образом, равно коммутатору .

Во избежание избыточности отношений необходимо предположить, что $mij = mji {\ Displaystyle m_ {ij} = m_ {ji}}$ $m_{{ij}}=m_{{ji}}$ . Это следует из того, что

yy = 1 {\ displaystyle yy = 1}

yy=1

вместе с

(xy) m = 1 {\ displaystyle (xy) ^ {m} = 1}

(xy)^{m}=1

подразумевает, что

(yx) m = (yx) myy = y (xy) my = yy = 1 {\ displaystyle (yx) ^ {m} = (yx) ^ {m} yy = y (xy) ^ {m} y = yy = 1}

(yx)^{m}=(yx)^{m}yy=y(xy)^{m }y=yy=1

В качестве альтернативы,

(xy) k {\ displaystyle (xy) ^ {k}}

(xy)^{k}

(yx) k {\ displaystyle (yx) ^ {k}}

(yx)^{k}

- сопряженные элементы, так как

y (xy) ky - 1 = (yx) kyy - 1 = (yx) k {\ displaystyle y (xy) ^ {k} y ^ {- 1} = (yx) ^ {k} yy ^ {- 1} = (yx) ^ {k}}

y(xy)^{k}y^{-1}=(yx)^{k}yy^{-1}=(yx)^{k}

Матрица Кокстера и матрица Шлефли

Матрица Кокстера - это $n × n {\ displaystyle n \ times n}$ $n\times n$ , симметричная матрица с элементами $mij {\ displaystyle m_ {ij}}$ $m_{ij}$ . В самом деле, каждая симметричная матрица с диагональными элементами, состоящими исключительно из 1, и недиагональными элементами в множестве ${2, 3,…} ∪ {∞} {\ displaystyle \ {2,3, \ ldots \} \ cup \ {\ infty \ }}$ $\{2,3,\ldots \}\cup \{\infty \}$ - матрица Кокстера.

Матрицу Кокстера можно удобно закодировать с помощью диаграммы Кокстера в соответствии со следующими правилами.

Вершины графа помечены индексами генератора.
Вершины $i {\ displaystyle i}$ $i$ и $j {\ displaystyle j}$ $j$ являются смежными тогда и только тогда, когда $mij ≥ 3 {\ displaystyle m_ {ij} \ geq 3}$ $m_{ij}\geq 3$ .
Ребро помечено значением $mij {\ displaystyle m_ {ij}}$ $m_{ij}$ всякий раз, когда значение равно $4 {\ displaystyle 4}$ $4$ или больше.

В частности, два генератора коммутируют тогда и только тогда, когда они не связаны край. Кроме того, если граф Кокстера имеет два или более связанных компонентов, ассоциированная группа является прямым продуктом групп, связанных с отдельными компонентами. Таким образом, непересекающееся объединение графов Кокстера дает прямое произведение групп Кокстера.

Матрица Кокстера, $M ij {\ displaystyle M_ {ij}}$ $M_{ij}$ , связана с $n × n {\ displaystyle n \ times n}$ $n\times n$ Матрица Шлефли $C {\ displaystyle C}$ $C$ с элементами $C ij = - 2 cos ⁡ (π / M ij) {\ displaystyle C_ {ij} = - 2 \ cos (\ pi / M_ {ij})}$ $C_{ij}=-2\cos(\pi /M_{ij})$ , но элементы изменяются, будучи пропорциональными точечному произведению парных генераторов. Матрица Шлефли полезна, потому что ее собственные значения определяют, имеет ли группа Кокстера конечный тип (все положительные), аффинный тип (все неотрицательные, по крайней мере, один ноль) или неопределенный тип (в противном случае). Неопределенный тип иногда дополнительно подразделяется, например на гиперболические и другие группы Кокстера. Однако существует несколько неэквивалентных определений гиперболических групп Кокстера.

Примеры
Группа Кокстера	A1×A1	A2	B2	H2	G2	$I ~ 1 {\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$ ${\tilde {I}}_{1}$	A3	B3	D4	$A ~ 3 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3} }$ ${\tilde {A}}_{3}$
Диаграмма Кокстера
Матрица Кокстера	$[1 2 2 1] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 2 \\ 2 1 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}12\\21\\\end{smallmatrix}}\right]$	$[1 3 3 1] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 3 \\ 3 1 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}13\\31\\\end{smallmatrix}}\right]$	$[1 4 4 1] {\ displaystyle \ left [ {\ begin {smallmatrix} 1 4 \\ 4 1 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}14\\41\\\end{smallmatrix}}\right]$	$[1 5 5 1] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 5 \\ 5 1 \\\ конец {smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}15\\51\\\end{smallmatrix}}\right]$	$[1 6 6 1] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 6 \\ 6 1 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}16\\61\\\end{smallmatrix}}\right]$	$[ 1 ∞ ∞ 1] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 \ infty \\\ infty 1 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}1\infty \\\infty 1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$[1 3 2 3 1 3 2 3 1 ] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 3 2 \\ 3 1 3 \\ 2 3 1 \ end {smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}132\\313\\231\end{smallmatrix}}\right]$	$[1 4 2 4 1 3 2 3 1] {\ displaystyle \ left [ {\ begin {smallmatrix} 1 4 2 \\ 4 1 3 \\ 2 3 1 \ end {smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}142\\413\\231\end{smallmatrix}}\right]$	$[1 3 2 2 3 1 3 3 2 3 1 2 2 3 2 1] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 3 2 2 \\ 3 1 3 3 \\ 2 3 1 2 \\ 2 3 2 1 \ end {smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}1322\\3133\\2312\\2321\end{smallmatrix}}\right]$	$[1 3 2 3 3 1 3 2 2 3 1 3 3 2 3 1] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 3 2 3 \\ 3 1 3 2 \\ 2 3 1 3 \\ 3 2 3 1 \ end {smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}1323\\3132\\2313\\3231\end{smallmatrix}}\right]$
Шлефли матрица	$[2 0 0 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 0 \\ 0 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}20\\02\end{smallmatrix}}\right]$	$[2 - 1 - 1 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} \ \, 2 -1 \\ - 1 \ \, 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}\ \,2-1\\-1\ \,2\end{smallmatrix}}\right]$	$[2 - 2 - 2 2] {\ displaystyle \ left [ {\ begin {smallmatrix} \ \, 2 - {\ sqrt {2}} \\ - {\ sqrt {2}} \ \, 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}\ \,2-{\sqrt {2}}\\-{\sqrt {2}}\ \,2\end{smallmatrix}}\right]$	$[2 - ϕ - ϕ 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} \ \, 2 - \ phi \\ - \ phi \ \, 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}\ \,2-\phi \\-\phi \ \,2\end{smallmatrix}}\right]$	$[2 - 3 - 3 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} \ \, 2 - {\ sqrt {3}} \\ - {\ sqrt {3}} \ \, 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}\ \,2-{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {3}}\ \,2\end{smallmatrix}}\right]$	$[2–2–2 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} \ \, 2 -2 \\ - 2 \ \, 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}\ \,2-2\\-2\ \,2\end{smallmatrix}}\right]$	$[2 - 1 0 - 1 2 - 1 0 - 1 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} \ \, 2 -1 \ \, 0 \\ - 1 \ \, 2 -1 \\\ \, 0 -1 \ \, 2 \ end { smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}\ \,2-1\ \,0\\-1\ \,2-1\\\ \,0-1\ \,2\end{smallm atrix}}\right]$	$[2 - 2 0 - 2 2 - 1 0 - 1 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} \ \, \ \ 2 - {\ sqrt {2} } \ \, 0 \\ - {\ sqrt {2}} \ \, \ \ 2 -1 \\\ \, \ \ 0 \ \, - 1 \ \, 2 \ end {smallmatrix}} \ right ]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}\ \,\ \ 2-{\sqrt {2}}\ \,0\\-{\sqrt {2}}\ \,\ \ 2-1\\\ \,\ \ 0\ \,-1\ \,2\end{smallmatrix}}\right]$	$[2 - 1 0 0 - 1 2 - 1 - 1 0 - 1 2 0 0 - 1 0 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} \ \, 2 -1 \ \, 0 \ \, 0 \\ - 1 \ \, 2 -1 -1 \\\ \, 0 -1 \ \, 2 \ \, 0 \\\ \, 0 -1 \ \, 0 \ \, 2 \ конец {smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}\ \,2-1\ \,0\ \,0\\-1\ \,2-1-1\\\ \,0-1\ \,2\ \,0\\\ \,0-1\ \,0\ \,2\end{smallmatrix}}\right]$	$[2 - 1 0 - 1 - 1 2 - 1 0 0 - 1 2 - 1 - 1 0 - 1 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} \ \, 2 -1 \ \, 0 -1 \\ - 1 \ \, 2 -1 \ \, 0 \\\ \, 0 -1 \ \, 2 -1 \\ - 1 \ \, 0 -1 \ \, 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$ $\left[{\begin{smallmatrix}\ \,2-1\ \,0-1\\-1\ \,2-1\ \,0\\\ \,0-1\ \,2-1\\-1\ \,0-1\ \,2\end{smallmatrix}}\right]$

Пример

График $A n {\ displaystyle A_ {n}}$ $A_{n}$ , в котором вершины с с 1 по n размещаются в ряд, каждая вершина соединена неотмеченным ребром со своими ближайшими соседями, образуя симметрическую группу S n + 1 ; генераторы соответствуют транспозициям (1 2), (2 3),..., (n n + 1). Две непоследовательные транспозиции всегда коммутируют, а (k k + 1) (k + 1 k + 2) дает 3-цикл (k k + 2 k + 1). Конечно, это показывает только то, что S n + 1 является фактор-группой группы Кокстера, описанной графом, но нетрудно проверить, что равенство выполняется.

Связь с группами отражений

Группы Кокстера глубоко связаны с группами отражений. Проще говоря, группы Кокстера - это абстрактные группы (заданные через представление), а группы отражений - это конкретные группы (заданные как подгруппы в линейных группах или в различных обобщениях). Группы Кокстера выросли из изучения групп отражений - они представляют собой абстракцию: группа отражений - это подгруппа линейной группы, порожденной отражениями (которые имеют порядок 2), а группа Кокстера - это абстрактная группа, порожденная инволюциями (элементами порядок 2, абстрагируясь от отражений), и отношения которых имеют определенную форму ( $(rirj) k {\ displaystyle (r_ {i} r_ {j}) ^ {k}}$ $(r_{i}r_{j})^{k}$ , соответствующий гиперплоскости встречаются под углом $π / k {\ displaystyle \ pi / k}$ $\pi /k$ , с $rirj {\ displaystyle r_ {i} r_ {j}}$ $r_{i}r_{j}$ имеет порядок k, абстрагируясь от поворота на $2 π / k {\ displaystyle 2 \ pi / k}$ $2\pi /k$ ).

Абстрактная группа группы отражений - это группа Кокстера, тогда как, наоборот, группа отражений может рассматриваться как линейное представление группы Кокстера. Для конечных групп отражений это дает точное соответствие: каждая конечная группа Кокстера допускает точное представление в виде конечной группы отражений некоторого евклидова пространства. Однако для бесконечных групп Кокстера группа Кокстера может не допускать представления в качестве группы отражений.

Исторически (Coxeter 1934) доказано, что каждая группа отражений является группой Кокстера (т.е. имеет представление, в котором все отношения имеют форму $ri 2 {\ displaystyle r_ { i} ^ {2}}$ $r_{i}^{2}$ или $(rirj) k {\ displaystyle (r_ {i} r_ {j}) ^ {k}}$ $(r_{i}r_{j})^{k}$ ), и действительно, это В статье введено понятие группы Кокстера, а (Coxeter 1935) доказано, что каждая конечная группа Кокстера имеет представление как группа отражений, и классифицированы конечные группы Кокстера.

Конечные группы Кокстера

Графы Кокстера конечных групп Кокстера.

Классификация

Конечные группы Кокстера были классифицированы в (Coxeter 1935) в терминах диаграмм Кокстера – Дынкина ; все они представлены группами отражений конечномерных евклидовых пространств.

Конечные группы Кокстера состоят из трех однопараметрических семейств возрастающего ранга $A n, B n, D n, {\ displaystyle A_ {n}, B_ {n}, D_ {n}, }$ $A_{n},B_{n},D_{n},$ одно семейство с одним параметром размерности два, $I 2 (p), {\ displaystyle I_ {2} (p),}$ $I_{2}(p),$ и шесть исключительных группы: $E 6, E 7, E 8, F 4, H 3, {\ displaystyle E_ {6}, E_ {7}, E_ {8}, F_ {4}, H_ {3}, }$ $E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},H_{3},$ и $H 4 {\ displaystyle H_ {4}}$ $H_{4}$ . Произведение конечного числа групп Кокстера в этом списке снова является группой Кокстера, и все конечные группы Кокстера возникают таким образом.

Группы Вейля

Многие, но не все из них, являются группами Вейля, и каждая группа Вейля может быть реализована как группа Кокстера. Группы Вейля - это семейства $A n, B n, {\ displaystyle A_ {n}, B_ {n},}$ $A_{n},B_{n},$ и $D n, {\ displaystyle D_ {n}, }$ $D_{n},$ и исключения $E 6, E 7, E 8, F 4, {\ displaystyle E_ {6}, E_ {7}, E_ {8}, F_ {4},}$ $E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},$ и $I 2 (6), {\ displaystyle I_ {2} (6),}$ $I_{2}(6),$ , обозначенные в обозначении группы Вейля как $G 2. {\ displaystyle G_ {2}.}$ $G_{2}.$ Не-вейлевские группы являются исключением $H 3 {\ displaystyle H_ {3}}$ $H_{3}$ и $H 4, { \ displaystyle H_ {4},}$ $H_{4},$ и семейство $I 2 (p) {\ displaystyle I_ {2} (p)}$ $I_{2}(p)$ , кроме случаев, когда это совпадает с одним из Группы Вейля (а именно $I 2 (3) ≅ A 2, I 2 (4) ≅ B 2, {\ displaystyle I_ {2} (3) \ cong A_ {2}, I_ {2} (4) \ cong B_ {2},}$ $I_{2}(3)\cong A_{2},I_{2}(4)\cong B_{2},$ и $I 2 (6) ≅ G 2 {\ displaystyle I_ {2} (6) \ cong G_ {2}}$ $I_{2}(6)\cong G_{2}$ ).

Это можно доказать, сравнив ограничения на (неориентированные) диаграммы Дынкина с ограничениями на диаграммы Кокстера конечных групп: формально можно получить граф Кокстера из диаграммы Дынкина, отбрасывая направление ребер и заменяя каждое двойное ребро ребром с меткой 4 и каждое тройное ребро ребром с меткой 6. Также обратите внимание, что каждая конечно порожденная группа Кокстера является автоматическая группа. Диаграммы Дынкина имеют дополнительное ограничение, заключающееся в том, что разрешены только метки ребер 2, 3, 4 и 6, что дает указанное выше. Геометрически это соответствует теореме кристаллографического ограничения и тому факту, что исключенные многогранники не заполняют пространство или мозаику на плоскости - для $H 3, {\ displaystyle H_ {3},}$ $H_{3},$ додекаэдр (дуально, икосаэдр) не заполняет пространство; для $H 4, {\ displaystyle H_ {4},}$ $H_{4},$ 120-ячеечная (двойная 600-ячеечная) не заполняет пространство; для $I 2 (p) {\ displaystyle I_ {2} (p)}$ $I_{2}(p)$ p-угольник не мозаицирует плоскость, за исключением $p = 3, 4, {\ displaystyle p = 3,4,}$ $p=3,4,$ или $6 {\ displaystyle 6}$ $6$ (треугольные, квадратные и шестиугольные мозаики соответственно).

Отметим далее, что (направленные) диаграммы Дынкина B n и C n дают начало одной и той же группе Вейля (следовательно, группе Кокстера), потому что они различаются по назначению графы, но согласны как неориентированные графы - направление имеет значение для корневых систем, но не для группы Вейля; это соответствует тому, что гиперкуб и кросс-политоп являются разными правильными многогранниками, но имеют одинаковую группу симметрии.

Свойства

Некоторые свойства конечных неприводимых групп Кокстера приведены в следующей таблице. Порядок приводимых групп может быть вычислен произведением порядков их неприводимых подгрупп.

Ранг. n	Группа. символ	Альтернативный символ.	Обозначение скобок.	График Кокстера.	Отражения. m = ⁄ 2nh	Число Кокстера. h	Порядок	Структура группы	Связанные многогранники
1	A1	A1	[]		1	2	2	$S 2 {\ displaystyle S_ {2}}$ $S_{2}$	{}
2	A2	A2	[3]		3	3	6	$S 3 ≅ D 6 ≅ GO 2 - ⁡ (2) ≅ GO 2 + ⁡ (4) {\ displaystyle S_ {3} \ cong D_ {6} \ cong \ operatorname {GO} _ { 2} ^ {-} (2) \ cong \ operatorname {GO} _ {2} ^ {+} (4)}$ $S_{3}\cong D_{6}\cong \operatorname {GO} _{2}^{-}(2)\cong \operatorname {GO} _{2}^{+}(4)$	{3}
3	A3	A3	[3,3]		6	4	24	$S 4 {\ displaystyle S_ {4}}$ $S_{4}$	{3,3}
4	A4	A4	[3,3,3]		10	5	120	$S 5 {\ displaystyle S_ {5}}$ $S_{5}$	{3,3,3}
5	A5	A5	[3,3,3,3]		15	6	720	$S 6 {\ displaystyle S_ {6}}$ $S_{6}$	{3,3,3,3}
n	An	An	[3]	...	n (n + 1) / 2	n + 1	(n + 1)!	$S n + 1 {\ displaystyle S_ {n + 1 }}$ $S_{{n+1}}$	n-симплекс
2	B2	C2	[4]		4	4	8	$C 2 ≀ S 2 ≅ D 8 ≅ GO 2 - ⁡ (3) ≅ GO 2 + ⁡ (5) {\ displaystyle C_ {2} \ wr S_ {2} \ cong D_ {8} \ cong \ operatorname {GO} _ {2} ^ {-} (3) \ cong \ operatorname {GO} _ {2} ^ {+} (5)}$ $C_{2}\wr S_{2}\cong D_{8}\cong \operatorname {GO} _{2}^{-}(3)\cong \operatorname {GO} _{2}^{+}(5)$	{4}
3	B3	C3	[4,3]		9	6	48	$С 2 ≀ S 3 ≅ S 4 × 2 {\ displaystyle C_ {2} \ wr S_ {3} \ con g S_ {4} \ times 2}$ $C_{2}\wr S_{3}\cong S_{4}\times 2$	{4,3} / {3,4}
4	B4	C4	[4,3,3]		16	8	384	$C 2 ≀ S 4 {\ displaystyle C_ {2} \ wr S_ {4}}$ $C_{2}\wr S_{4}$	-{4,3,3} / {3,3,4}
5	B5	C5	[4,3,3,3 ]		25	10	3840	$C 2 ≀ S 5 {\ displaystyle C_ {2} \ wr S_ {5}}$ $C_{2}\wr S_{5}$	{4,3,3,3} / {3,3, 3,4}
n	Bn	Cn	[4,3]	...	n	2n	2 n!	$C 2 ≀ S n {\ displaystyle C_ {2} \ wr S_ {n}}$ $C_{2}\wr S_{n}$	n-куб / n-ортоплекс
4	D4	B4	[3]		12	6	192	$C 2 3 S 4 ≅ 2 1 + 4: S 3 {\ displaystyle C_ {2} ^ {3} S_ {4} \ cong 2 ^ {1 + 4} \ двоеточие S_ {3}}$ $C_{2}^{3}S_{4}\cong 2^{1+4}\colon S_{3}$	h {4,3,3} / {3,3}
5	D5	B5	[3]		20	8	1920	$C 2 4 S 5 {\ displaystyle C_ {2} ^ {4} S_ {5}}$ $C_{2}^{4}S_{5}$	h {4,3,3,3} / {3, 3,3}
n	Dn	Bn	[3]	...	n (n - 1)	2 (n - 1)	2 n!	$C 2 n - 1 S n {\ displaystyle C_ {2} ^ {n-1} S_ {n}}$ $C_{2}^{n-1}S_{n}$	n-demicube / n-ортоплекс
6	E6	E6	[3]		36	12	51840 (72x6!)	$GO 6 - ⁡ (2) ≅ SO 5 ⁡ (3) ≅ PSp 4 ⁡ (3): 2 ≅ PSU 4 ⁡ (2): 2 {\ displaystyle \ operatorname {GO} _ {6 } ^ {-} (2) \ cong \ operatorname {SO} _ {5} (3) \ cong \ operatorname {PSp} _ {4} (3) \ двоеточие 2 \ cong \ operatorname {PSU} _ {4} (2) \ двоеточие 2}$ $\operatorname {GO} _{6}^{-}(2)\cong \operatorname {SO} _{5}(3)\cong \operatorname {PSp} _{4}(3)\colon 2\cong \operatorname {PSU} _{4}(2)\colon 2$	221, 122
7	E7	E7	[3]		63	18	2903040 (72x8!)	$GO 7 ⁡ (2) × 2 ≅ Sp 6 ⁡ (2) × 2 {\ displaystyle \ operatorname {GO} _ {7 } (2) \ times 2 \ cong \ operatorname {Sp} _ {6} (2) \ times 2}$ $\operatorname {GO} _{7}(2)\times 2\cong \operatorname {Sp} _{6}(2)\times 2$	321, 231, 132
8	E8	E8	[3]		120	30	696729600 (192x10!)	$2 ⋅ GO 8 + ⁡ (2) {\ displaystyle 2 \ cdot \ operatorname {GO} _ {8} ^ {+} (2)}$ $2\cdot \operatorname {GO} _{8}^{+}(2)$	421, 241, 142
4	F4	F4	[3,4,3]		24	12	1152	$GO 4 + ⁡ ( 3) ≅ 2 1 + 4: (S 3 × S 3) {\ displaystyle \ operatorname {GO} _ {4} ^ {+} (3) \ cong 2 ^ {1 + 4} \ двоеточие (S_ {3} \ times S_ {3})}$ $\operatorname {GO} _{4}^{+}(3)\cong 2^{1+4}\colon (S_{3}\times S_{3})$	{3,4,3}
2	G2	- (D. 2)	[6]		6	6	12	$D 12 ≅ GO 2 - ⁡ (5) ≅ GO 2 + ⁡ (7) {\ displaystyle D_ {12} \ cong \ operatorname {GO} _ {2} ^ {-} (5) \ cong \ operatorname {GO} _ {2} ^ {+} (7)}$ $D_{12}\cong \operatorname {GO} _{2}^{-}(5)\cong \operatorname {GO} _{2}^{+}(7)$	{6 }
2	H2	G2	[5]		5	5	10	$D 10 ≅ GO 2 - ⁡ (4) {\ displaystyle D_ {10} \ cong \ operatorname {GO} _ {2} ^ {-} (4)}$ $D_{10}\cong \operatorname {GO} _{2}^{-}(4)$	{ 5}
3	H3	G3	[3,5]		15	10	120	$2 × A 5 {\ displaystyle 2 \ times A_ {5}}$ $2\times A_{5}$	{3,5} / {5, 3}
4	H4	G4	[3,3,5]		60	30	14400	$2 ⋅ (A 5 × A 5): 2 {\ displaystyle 2 \ cdot (A_ {5} \ times A_ {5}) \ двоеточие 2}$ $2\cdot (A_{5}\times A_{5})\colon 2$	{5,3,3} / {3,3,5}
2	I2(n)	D. 2	[n]		n	n	2n	$D 2 n {\ Displaysty le D_ {2n}}$ $D_{{2n}}$ $≅ GO 2 - ⁡ (n - 1) {\ displaystyle \ cong \ operatorname {GO} _ {2} ^ {-} (n-1)}$ $\cong \operatorname {GO} _{2}^{-}(n-1)$ когда п знак равно п + 1, п простое число $≅ GO 2 + ⁡ (n + 1) {\ displaystyle \ cong \ operatorname {GO} _ {2} ^ {+} (n + 1)}$ $\cong \operatorname {GO} _{2}^{+}(n+1)$ когда n = p - 1, p простое число	{p}

Группы симметрии правильных многогранников

Все группы симметрии правильных многогранников конечны Группы Кокстера. Обратите внимание, что двойные многогранники имеют одну и ту же группу симметрии.

Есть три серии правильных многогранников во всех измерениях. Группа симметрии регулярного n- симплекса - это симметрическая группа S n + 1, также известная как группа Кокстера типа A n. Группа симметрии n- куба и его двойника, n- кросс-политопа, равна B n и известна как гипероктаэдр. группа.

Исключительные регулярные многогранники в размерностях два, три и четыре соответствуют другим группам Кокстера. В двух измерениях группы диэдра, которые являются группами симметрии правильных многоугольников, образуют серию I 2 (p). В трех измерениях группа симметрии правильного додекаэдра и его двойника, правильного икосаэдра, равна H 3, известная как полная группа икосаэдра.. В четырех измерениях есть три специальных регулярных многогранника: 24-элементный, 120-элементный и 600-элементный. Первый имеет группу симметрии F 4, а два других двойственны и имеют группу симметрии H 4.

Группы Кокстера типа D n, E 6, E 7 и E 8 - группы симметрии некоторых полуправильных многогранников.

Таблица семейств неприводимых многогранников

Семейство. n

1k2

2k1

k21

пятиугольный многогранник

Группа

I2(p)

Треугольник

Квадрат

. p-угольник. (пример: p = 7 )

. Куб

. 6-куб

. 122

. 221

. 7-симплекс

. 7-куб

. 7-ортоплекс

. 7-полукуб

. 132

. 231

. 321

. 8-симплекс

. 8-куб

. 8-ортоплекс

. 8-полукуб

. 142

. 241

. 421

. 9-куб

. 10-куб

. 10-demicube

Аффинные группы Кокстера

Диаграммы Кокстера для аффинных групп Кокстера

Диаграмма Штифеля для

G 2 {\ displaystyle G_ {2}}

G_{2}

корневой системы

аффинные группы Кокстера образуют вторую важную серию групп Кокстера. Они сами по себе не конечны, но каждая содержит нормальную абелеву подгруппу такую, что соответствующая фактор-группа конечна. В каждом случае фактор-группа сама является группой Кокстера, а граф Кокстера аффинной группы Кокстера получается из графа Кокстера фактор-группы путем добавления еще одной вершины и одного или двух дополнительных ребер. Например, для n ≥ 2 граф, состоящий из n + 1 вершин в окружности, получается из A n таким образом, и соответствующая группа Кокстера является аффинной группой Вейля для A n. При n = 2 это можно представить как подгруппу группы симметрии стандартного замощения плоскости равносторонними треугольниками.

В общем, для данной корневой системы можно построить связанную диаграмму Штифеля, состоящую из гиперплоскостей, ортогональных корням, вместе с некоторыми сдвигами этих гиперплоскостей. Аффинная группа Кокстера (или аффинная группа Вейля) тогда является группой, порожденной (аффинными) отражениями обо всех гиперплоскостях на диаграмме. Диаграмма Штифеля делит плоскость на бесконечно много связных компонентов, называемых альковами, а аффинная группа Кокстера действует свободно и транзитивно на альковах, так же как обычная группа Вейля действует свободно и транзитивно на камеры Вейля. На рисунке справа показана диаграмма Штифеля для корневой системы $G 2 {\ displaystyle G_ {2}}$ $G_{2}$ .

Предположим, что $R {\ displaystyle R}$ $R$ - это несократимая корневая система ранга $r>1 {\ displaystyle r>1}$ $r>1$ и пусть $α 1,…, α r {\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {r}}$ $\alpha _{1},\ldots,\alpha _{r}$ - набор простых корней. Пусть также $α r + 1 {\ displaystyle \ alpha _ {r + 1}}$ $\alpha _{r+1}$ обозначает наивысший корень. Тогда аффинная группа Кокстера порождается обычными (линейными) отражениями о гиперплоскостях, перпендикулярных $α 1,…, α r {\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {r}}$ $\alpha _{1},\ldots,\alpha _{r}$ вместе с аффинным отражением относительно сдвига гиперплоскости, перпендикулярной $α r + 1 {\ displaystyle \ alpha _ {r + 1}}$ $\alpha _{r+1}$ . Граф Кокстера для аффинной группы Вейля - это диаграмма Кокстера – Дынкина для $R {\ displaystyle R}$ $R$ вместе с одним дополнительным узлом связанный с $α r + 1 {\ Displaystyle \ alpha _ {r + 1}}$ $\alpha _{r+1}$ . В этом случае одну нишу на диаграмме Штифеля можно получить, взяв фундаментальную камеру Вейля и разрезав ее путем сдвига гиперплоскости, перпендикулярной к $α r + 1 {\ displaystyle \ alpha _ {r + 1}}$ $\alpha _{r+1}$ .

Список аффинных групп Кокстера следующий:

Группа. символ	Витт. символ	Нотация в скобках	граф Кокстера.	Связанная единообразная тесселяция ( s)
$A ~ n {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {n}}$ ${\tilde {A}}_{n}$	$P n + 1 {\ displaystyle P_ {n + 1}}$ $P_{n+1}$	[3]	... . or. ...	Простые соты
$B ~ n {\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {n}}$ ${\tilde {B}}_{n}$	$S n + 1 {\ displaystyle S_ {n + 1} }$ $S_{{n+1}}$	[4,3,3]	...	Полугиперкубические соты
$C ~ n {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {n}}$ ${\tilde {C}}_{n}$	$R n + 1 {\ displaystyle R_ {n + 1}}$ $R_{n+1}$	[4,3,4]	...	Гиперкубические соты
$D ~ n {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {n }}$ ${\tilde {D}}_{n}$	$Q n + 1 {\ displaystyle Q_ {n + 1}}$ $Q_{n+1}$	[3,3,3]	...	Полугиперкубические соты
$E ~ 6 {\ displaystyle { \ tilde {E}} _ {6}}$ ${\tilde {E}}_{6}$	$T 7 {\ displaystyle T_ {7}}$ $T_{7}$	[3]	или	222
$E ~ 7 {\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {7}}$ ${\tilde {E}}_{7}$	$T 8 {\ displaystyle T_ {8}}$ $T_{8}$	[3]	или	331, 133
$E ~ 8 {\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {8}}$ ${\tilde {E}}_{8}$	$T 9 {\ displaystyle T_ {9}}$ $T_{9}$	[3]		521, 251, 152
$F ~ 4 {\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$ ${\tilde {F}}_{4}$	$U 5 {\ displaystyle U_ {5}}$ $U_{5}$	[3,4,3,3]		16-элементный сотовый. 24- сотовые соты
$G ~ 2 {\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$ ${\tilde {G}}_{2}$	$V 3 {\ displaystyle V_ {3}}$ $V_{3}$	[6,3]		Гексагональная мозаика и. Треугольная мозаика
$I ~ 1 {\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$ ${\tilde {I}}_{1}$	$W 2 {\ displaystyle W_ {2}}$ $W_{2}$	[∞ ]		Апейрогон

Индекс символа группы на единицу меньше количества узлов в каждом случае, поскольку каждая из этих групп была получена путем добавления узла к графу конечной группы.

Гиперболические группы Кокстера

Существует бесконечно много гиперболических групп Кокстера, описывающих группы отражений в гиперболическом пространстве, в частности, включая группы гиперболических треугольников.

Частичные порядки

Выбор генераторов отражения приводит к функции длины ℓ для группы Кокстера, а именно минимальному количеству использований генераторов, необходимых для выражения группы элемент; это в точности длина метрики слов в графе Кэли. Выражение для v с использованием генераторов ℓ (v) является сокращенным словом. Например, перестановка (13) в S 3 имеет два сокращенных слова: (12) (23) (12) и (23) (12) (23). Функция $v → (- 1) ℓ (v) {\ displaystyle v \ to (-1) ^ {\ ell (v)}}$ $v\to (-1)^{\ell (v)}$ определяет карту $G → {± 1}, {\ displaystyle G \ to \ {\ pm 1 \},}$ $G\to \{\pm 1\},$ обобщение карты знаков для симметричной группы.

Используя сокращенные слова, можно определить три частичных порядка по группе Кокстера, (справа) слабый порядок, абсолютный приказ и приказ Брюа (названный в честь Франсуа Брюа ). Элемент v превосходит элемент u в порядке Брюа, если некоторое (или, что эквивалентно, любое) сокращенное слово для v содержит сокращенное слово для u в качестве подстроки, где некоторые буквы (в любой позиции) отбрасываются. В слабом порядке v ≥ u, если некоторое сокращенное слово для v содержит сокращенное слово для u в качестве начального сегмента. Действительно, длина слова превращает это в градуированный poset. диаграммы Хассе, соответствующие этим порядкам, являются объектами изучения и связаны с графом Кэли, определяемым генераторами. Абсолютный порядок определяется аналогично слабому порядку, но с порождающим набором / алфавитом, состоящим из всех сопряженных генераторов Кокстера.

Например, перестановка (1 2 3) в S 3 имеет только одно сокращенное слово (12) (23), поэтому покрывает (12) и (23) в слове Брюа порядка, но покрывает (12) только в слабом порядке.

Гомология

Поскольку группа Кокстера $W {\ displaystyle W}$ $W$ порождается конечным числом элементов порядка 2, ее абелианизация является элементарной абелевой 2-группой, то есть она изоморфна прямой сумме нескольких копий циклической группы $Z 2 {\ displaystyle Z_ {2}}$ $Z_{2}$ . Это можно переформулировать в терминах первой группы гомологии из $W {\ displaystyle W}$ $W$ .

множитель Шура $M (W) {\ displaystyle M (W)}$ $M(W)$ , равный второй группе гомологии $W {\ displaystyle W}$ $W$ , был вычислен в (Ihara Yokonuma 1965) для конечные группы отражений и в (Yokonuma 1965) для аффинных групп отражений, с более унифицированным описанием, приведенным в (Howlett 1988). Во всех случаях множитель Шура также является элементарной абелевой 2-группой. Для каждого бесконечного семейства ${W n} {\ displaystyle \ {W_ {n} \}}$ $\{W_{n}\}$ конечных или аффинных групп Вейля ранг $M (W n) {\ displaystyle M (W_ {n})}$ $M(W_{n})$ стабилизируется, поскольку $n {\ displaystyle n}$ $n$ уходит в бесконечность.

См. Также

Примечания

Ссылки

Дополнительная литература

Бьёрнер, Андерс ; Бренти, Франческо (2005), Комбинаторика групп Кокстера, Тексты для выпускников по математике, 231, Springer, ISBN 978 -3-540-27596-1, Zbl 1110.05001
Бурбаки, Николас (2002), Группы Ли и алгебры Ли: главы 4–6, Элементы математики, Springer, ISBN 978-3-540-42650-9, Zbl 0983.17001
Coxeter, HSM (1934), «Дискретные группы, порожденные отражениями», Annals of Mathematics, 35(3): 588–621, CiteSeerX 10.1.1.128.471, doi : 10.2307 / 1968753, JSTOR 1968753
Coxeter, HSM (1935), «Полный перечень конечных групп форма $ri 2 = (rirj) kij = 1 {\ displaystyle r_ {i} ^ {2} = (r_ {i} r_ {j}) ^ {k_ {ij}} = 1}$ $r_{i}^{2}=(r_{i}r_{j})^{k_{ij}}=1$ ", J. London Math. Soc., 1, 10 (1): 21–25, doi : 10.1112 / jlms / s1-10.37.21
(2007), Геометрия и топология групп Кокстера (PDF), ISBN 978-0-691-13138-2, Zbl 1142.20020
Grove, Larry C.; Бенсон, Кларк Т. (1985), Конечные группы отражений, Тексты для выпускников по математике, 99, Springer, ISBN 978-0-387- 96082-1
Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
Humphreys, James E. (1992) [1990], Reflection Groups and Coxeter Groups, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 29, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43613-7, Zbl 0725.20028
Kane, Richard ( 2001), Reflection Groups and Invariant Theory, CMS Books in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-98979-2, Zbl 0986.20038
Hiller, Howard (1982), Geometry of Coxeter groups, Research Notes in Mathematics, 54, Pitman, ISBN 978-0-273-08517-1, Zbl 0483.57002

Ihara, S.; Yokonuma, Takeo (1965), "On the second cohomology groups (Schur-multipliers) of finite reflection groups" (PDF), Jour. Фак. Sci. Univ. Tokyo, Sect. 1, 11: 155–171, Zbl 0136.28802, archived from the original (PDF) on 2013-10-23
Howlett, Robert B. (1988), "On the Schur Multipliers of Coxeter Groups", J. London Math. Soc., 2, 38(2): 263–276, doi :10.1112/jlms/s2-38.2.263, Zbl 0627.20019

Vinberg, Ernest B. (1984), "Absence of crystallographic groups of reflections in Lobachevski spaces of large dimension", Trudy Moskov. Мат. Obshch., 47
Yokonuma, Takeo (1965), "On the second cohomology groups (Schur-multipliers) of infinite discrete reflection groups", Jour. Фак. Sci. Univ. Tokyo, Sect. 1, 11: 173–186, hdl :2261/6049, Zbl 0136.28803