Группа Кокстера

редактировать

В математике, группа Кокстера, названная в честь H. S. M. Coxeter, является абстрактной группой, которая допускает формальное описание в терминах отражений (или калейдоскопических зеркал ). Действительно, конечные группы Кокстера - это в точности конечные евклидовы группы отражений ; группы симметрии из правильных многогранников являются примером. Однако не все группы Кокстера конечны, и не все могут быть описаны в терминах симметрий и евклидовых отражений. Группы Кокстера были введены (Coxeter 1934) как абстракции групп отражений, а конечные группы Кокстера были классифицированы в 1935 году (Coxeter 1935).

Группы Кокстера находят применение во многих областях математики. Примеры конечных групп Кокстера включают группы симметрии регулярных многогранников и группы Вейля простых алгебр Ли. Примеры бесконечных групп Кокстера включают треугольные группы, соответствующие регулярным мозаикам евклидовой плоскости и гиперболической плоскости, а также группы Вейля. бесконечномерных алгебр Каца – Муди.

Стандартные ссылки включают (Хамфрис 1992) и (Дэвис 2007).

Содержание
  • 1 Определение
    • 1.1 Матрица Кокстера и матрица Шлефли
  • 2 Пример
  • 3 Связь с группами отражений
  • 4 Конечные группы Кокстера
    • 4.1 Классификация
    • 4.2 Группы Вейля
    • 4.3 Свойства
    • 4.4 Группы симметрии правильных многогранников
  • 5 Аффинные группы Кокстера
  • 6 Гиперболические группы Кокстера
  • 7 Частичные порядки
  • 8 Гомология
  • 9 См. Также
  • 10 Примечания
  • 11 Ссылки
  • 12 Дополнительная литература
  • 13 Внешние ссылки
Определение

Формально, группа Кокстера может быть определена как группа с презентацией

⟨r 1, r 2,…, rn ∣ (rirj) mij = 1⟩ {\ displaystyle \ left \ langle r_ {1}, r_ {2}, \ ldots, r_ {n } \ mid (r_ {i} r_ {j}) ^ {m_ {ij}} = 1 \ right \ rangle}\lef t\langle r_{1},r_{2},\ldots,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle

, где mii = 1 {\ displaystyle m_ {ii} = 1}m_{ii}=1и mij ≥ 2 {\ displaystyle m_ {ij} \ geq 2}m_{ij}\geq 2для i ≠ j {\ displaystyle i \ neq j}i\neq j. Условие mij = ∞ {\ displaystyle m_ {ij} = \ infty}{\displaystyle m_{ij}=\infty }означает отсутствие отношения формы (rirj) m {\ displaystyle (r_ {i} r_ {j})) ^ {m}}{\displaystyle (r_{i}r_{j})^{m}}должно быть наложено.

Пара (W, S) {\ displaystyle (W, S)}(W,S), где W {\ displaystyle W}W- Кокстер группа с генераторами S = {r 1,…, rn} {\ displaystyle S = \ {r_ {1}, \ dots, r_ {n} \}}{\displaystyle S=\{r_{1},\dots,r_{n}\}}называется Система Кокстера . Обратите внимание, что в целом S {\ displaystyle S}Sне определяется однозначно W {\ displaystyle W}W. Например, группы Кокстера типа B 3 {\ displaystyle B_ {3}}B_{3}и A 1 × A 3 {\ displaystyle A_ {1} \ times A_ {3}}{\displaystyle A_{1}\times A_{3}}изоморфны, но системы Кокстера не эквивалентны (см. Ниже объяснение этого обозначения).

Из приведенного выше определения можно сразу сделать ряд выводов.

  • Отношение mii = 1 {\ displaystyle m_ {ii} = 1}{\displaystyle m_{ii}=1}означает, что (riri) 1 = (ri) 2 = 1 {\ displaystyle (r_ {i } r_ {i}) ^ {1} = (r_ {i}) ^ {2} = 1}{\displaystyle (r_{i}r_{i})^{1}=(r_{i})^{2}=1}для всех i {\ displaystyle i}i; как таковые генераторы являются инволюциями.
  • Если mij = 2 {\ displaystyle m_ {ij} = 2}{\displaystyle m_{ij}=2}, тогда генераторы ri {\ displaystyle r_ {i} }r_{i}и rj {\ displaystyle r_ {j}}r_jперемещаются. Это следует из наблюдения, что
xx = yy = 1 {\ displaystyle xx = yy = 1}{\displaystyle xx=yy=1},
вместе с
xyxy = 1 {\ displaystyle xyxy = 1}{\displaystyle xyxy=1}
означает, что
xy = x (xyxy) y = (xx) yx (yy) = yx {\ displaystyle xy = x (xyxy) y = (xx) yx (yy) = yx}{\displaystyle xy=x(xyxy)y=(xx)yx(yy)=yx}.
В качестве альтернативы, поскольку генераторы являются инволюциями, ри = ри - 1 {\ displaystyle r_ {i} = r_ {i} ^ {- 1}}r_{i}=r_{i}^{-1}, поэтому (rirj) 2 = rirjrirj = rirjri - 1 rj - 1 {\ displaystyle (r_ {i} r_ {j}) ^ {2} = r_ {i} r_ {j} r_ {i} r_ {j} = r_ {i} r_ {j} r_ {i} ^ {- 1} r_ {j} ^ {- 1}}(r_{i}r_{j})^{2}=r_{i}r_{j}r_{i}r_{j}=r_{i}r_{j}r_{i}^{-1}r_{j}^{-1}, и, таким образом, равно коммутатору .
  • Во избежание избыточности отношений необходимо предположить, что mij = mji {\ Displaystyle m_ {ij} = m_ {ji}}m_{{ij}}=m_{{ji}}. Это следует из того, что
yy = 1 {\ displaystyle yy = 1}{\displaystyle yy=1},
вместе с
(xy) m = 1 {\ displaystyle (xy) ^ {m} = 1}{\displaystyle (xy)^{m}=1}
подразумевает, что
(yx) m = (yx) myy = y (xy) my = yy = 1 {\ displaystyle (yx) ^ {m} = (yx) ^ {m} yy = y (xy) ^ {m} y = yy = 1}{\displaystyle (yx)^{m}=(yx)^{m}yy=y(xy)^{m }y=yy=1}.
В качестве альтернативы, (xy) k {\ displaystyle (xy) ^ {k}}(xy)^{k}и (yx) k {\ displaystyle (yx) ^ {k}}(yx)^{k}- сопряженные элементы, так как y (xy) ky - 1 = (yx) kyy - 1 = (yx) k {\ displaystyle y (xy) ^ {k} y ^ {- 1} = (yx) ^ {k} yy ^ {- 1} = (yx) ^ {k}}y(xy)^{k}y^{-1}=(yx)^{k}yy^{-1}=(yx)^{k}.

Матрица Кокстера и матрица Шлефли

Матрица Кокстера - это n × n {\ displaystyle n \ times n}n\times n, симметричная матрица с элементами mij {\ displaystyle m_ {ij}}m_{ij}. В самом деле, каждая симметричная матрица с диагональными элементами, состоящими исключительно из 1, и недиагональными элементами в множестве {2, 3,…} ∪ {∞} {\ displaystyle \ {2,3, \ ldots \} \ cup \ {\ infty \ }}{\displaystyle \{2,3,\ldots \}\cup \{\infty \}}- матрица Кокстера.

Матрицу Кокстера можно удобно закодировать с помощью диаграммы Кокстера в соответствии со следующими правилами.

  • Вершины графа помечены индексами генератора.
  • Вершины i {\ displaystyle i}iи j {\ displaystyle j}jявляются смежными тогда и только тогда, когда mij ≥ 3 {\ displaystyle m_ {ij} \ geq 3}{\displaystyle m_{ij}\geq 3}.
  • Ребро помечено значением mij {\ displaystyle m_ {ij}}m_{ij}всякий раз, когда значение равно 4 {\ displaystyle 4}4или больше.

В частности, два генератора коммутируют тогда и только тогда, когда они не связаны край. Кроме того, если граф Кокстера имеет два или более связанных компонентов, ассоциированная группа является прямым продуктом групп, связанных с отдельными компонентами. Таким образом, непересекающееся объединение графов Кокстера дает прямое произведение групп Кокстера.

Матрица Кокстера, M ij {\ displaystyle M_ {ij}}M_{ij}, связана с n × n {\ displaystyle n \ times n}n\times nМатрица Шлефли C {\ displaystyle C}Cс элементами C ij = - 2 cos ⁡ (π / M ij) {\ displaystyle C_ {ij} = - 2 \ cos (\ pi / M_ {ij})}{\displaystyle C_{ij}=-2\cos(\pi /M_{ij})}, но элементы изменяются, будучи пропорциональными точечному произведению парных генераторов. Матрица Шлефли полезна, потому что ее собственные значения определяют, имеет ли группа Кокстера конечный тип (все положительные), аффинный тип (все неотрицательные, по крайней мере, один ноль) или неопределенный тип (в противном случае). Неопределенный тип иногда дополнительно подразделяется, например на гиперболические и другие группы Кокстера. Однако существует несколько неэквивалентных определений гиперболических групп Кокстера.

Примеры
Группа КокстераA1×A1A2B2H2G2I ~ 1 {\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}{\tilde {I}}_{1}A3B3D4A ~ 3 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3} }{\tilde {A}}_{3}
Диаграмма Кокстера CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
Матрица Кокстера[1 2 2 1] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 2 \\ 2 1 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}\left[{\begin{smallmatrix}12\\21\\\end{smallmatrix}}\right][1 3 3 1] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 3 \\ 3 1 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}\left[{\begin{smallmatrix}13\\31\\\end{smallmatrix}}\right][1 4 4 1] {\ displaystyle \ left [ {\ begin {smallmatrix} 1 4 \\ 4 1 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}14\\41\\\end{smallmatrix}}\right]}[1 5 5 1] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 5 \\ 5 1 \\\ конец {smallmatrix}} \ right]}{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}15\\51\\\end{smallmatrix}}\right]}[1 6 6 1] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 6 \\ 6 1 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}16\\61\\\end{smallmatrix}}\right]}[ 1 ∞ ∞ 1] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 \ infty \\\ infty 1 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}\left[{\begin{smallmatrix}1\infty \\\infty 1\\\end{smallmatrix}}\right][1 3 2 3 1 3 2 3 1 ] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 3 2 \\ 3 1 3 \\ 2 3 1 \ end {smallmatrix}} \ right]}\left[{\begin{smallmatrix}132\\313\\231\end{smallmatrix}}\right][1 4 2 4 1 3 2 3 1] {\ displaystyle \ left [ {\ begin {smallmatrix} 1 4 2 \\ 4 1 3 \\ 2 3 1 \ end {smallmatrix}} \ right]}\left[{\begin{smallmatrix}142\\413\\231\end{smallmatrix}}\right][1 3 2 2 3 1 3 3 2 3 1 2 2 3 2 1] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 3 2 2 \\ 3 1 3 3 \\ 2 3 1 2 \\ 2 3 2 1 \ end {smallmatrix}} \ right]}\left[{\begin{smallmatrix}1322\\3133\\2312\\2321\end{smallmatrix}}\right][1 3 2 3 3 1 3 2 2 3 1 3 3 2 3 1] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 3 2 3 \\ 3 1 3 2 \\ 2 3 1 3 \\ 3 2 3 1 \ end {smallmatrix}} \ right]}\left[{\begin{smallmatrix}1323\\3132\\2313\\3231\end{smallmatrix}}\right]
Шлефли матрица [2 0 0 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 0 \\ 0 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}\left[{\begin{smallmatrix}20\\02\end{smallmatrix}}\right][2 - 1 - 1 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} \ \, 2 -1 \\ - 1 \ \, 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2-1\\-1\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}[2 - 2 - 2 2] {\ displaystyle \ left [ {\ begin {smallmatrix} \ \, 2 - {\ sqrt {2}} \\ - {\ sqrt {2}} \ \, 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2-{\sqrt {2}}\\-{\sqrt {2}}\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}[2 - ϕ - ϕ 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} \ \, 2 - \ phi \\ - \ phi \ \, 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2-\phi \\-\phi \ \,2\end{smallmatrix}}\right]}[2 - 3 - 3 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} \ \, 2 - {\ sqrt {3}} \\ - {\ sqrt {3}} \ \, 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2-{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {3}}\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}[2–2–2 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} \ \, 2 -2 \\ - 2 \ \, 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2-2\\-2\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}[2 - 1 0 - 1 2 - 1 0 - 1 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} \ \, 2 -1 \ \, 0 \\ - 1 \ \, 2 -1 \\\ \, 0 -1 \ \, 2 \ end { smallmatrix}} \ right]}{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2-1\ \,0\\-1\ \,2-1\\\ \,0-1\ \,2\end{smallm atrix}}\right]}[2 - 2 0 - 2 2 - 1 0 - 1 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} \ \, \ \ 2 - {\ sqrt {2} } \ \, 0 \\ - {\ sqrt {2}} \ \, \ \ 2 -1 \\\ \, \ \ 0 \ \, - 1 \ \, 2 \ end {smallmatrix}} \ right ]}{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,\ \ 2-{\sqrt {2}}\ \,0\\-{\sqrt {2}}\ \,\ \ 2-1\\\ \,\ \ 0\ \,-1\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}[2 - 1 0 0 - 1 2 - 1 - 1 0 - 1 2 0 0 - 1 0 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} \ \, 2 -1 \ \, 0 \ \, 0 \\ - 1 \ \, 2 -1 -1 \\\ \, 0 -1 \ \, 2 \ \, 0 \\\ \, 0 -1 \ \, 0 \ \, 2 \ конец {smallmatrix}} \ right]}{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2-1\ \,0\ \,0\\-1\ \,2-1-1\\\ \,0-1\ \,2\ \,0\\\ \,0-1\ \,0\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}[2 - 1 0 - 1 - 1 2 - 1 0 0 - 1 2 - 1 - 1 0 - 1 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} \ \, 2 -1 \ \, 0 -1 \\ - 1 \ \, 2 -1 \ \, 0 \\\ \, 0 -1 \ \, 2 -1 \\ - 1 \ \, 0 -1 \ \, 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2-1\ \,0-1\\-1\ \,2-1\ \,0\\\ \,0-1\ \,2-1\\-1\ \,0-1\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}
Пример

График A n {\ displaystyle A_ {n}}A_{n}, в котором вершины с с 1 по n размещаются в ряд, каждая вершина соединена неотмеченным ребром со своими ближайшими соседями, образуя симметрическую группу S n + 1 ; генераторы соответствуют транспозициям (1 2), (2 3),..., (n n + 1). Две непоследовательные транспозиции всегда коммутируют, а (k k + 1) (k + 1 k + 2) дает 3-цикл (k k + 2 k + 1). Конечно, это показывает только то, что S n + 1 является фактор-группой группы Кокстера, описанной графом, но нетрудно проверить, что равенство выполняется.

Связь с группами отражений

Группы Кокстера глубоко связаны с группами отражений. Проще говоря, группы Кокстера - это абстрактные группы (заданные через представление), а группы отражений - это конкретные группы (заданные как подгруппы в линейных группах или в различных обобщениях). Группы Кокстера выросли из изучения групп отражений - они представляют собой абстракцию: группа отражений - это подгруппа линейной группы, порожденной отражениями (которые имеют порядок 2), а группа Кокстера - это абстрактная группа, порожденная инволюциями (элементами порядок 2, абстрагируясь от отражений), и отношения которых имеют определенную форму ((rirj) k {\ displaystyle (r_ {i} r_ {j}) ^ {k}}(r_{i}r_{j})^{k}, соответствующий гиперплоскости встречаются под углом π / k {\ displaystyle \ pi / k}\pi /k, с rirj {\ displaystyle r_ {i} r_ {j}}r_{i}r_{j}имеет порядок k, абстрагируясь от поворота на 2 π / k {\ displaystyle 2 \ pi / k}2\pi /k).

Абстрактная группа группы отражений - это группа Кокстера, тогда как, наоборот, группа отражений может рассматриваться как линейное представление группы Кокстера. Для конечных групп отражений это дает точное соответствие: каждая конечная группа Кокстера допускает точное представление в виде конечной группы отражений некоторого евклидова пространства. Однако для бесконечных групп Кокстера группа Кокстера может не допускать представления в качестве группы отражений.

Исторически (Coxeter 1934) доказано, что каждая группа отражений является группой Кокстера (т.е. имеет представление, в котором все отношения имеют форму ri 2 {\ displaystyle r_ { i} ^ {2}}r_{i}^{2}или (rirj) k {\ displaystyle (r_ {i} r_ {j}) ^ {k}}(r_{i}r_{j})^{k}), и действительно, это В статье введено понятие группы Кокстера, а (Coxeter 1935) доказано, что каждая конечная группа Кокстера имеет представление как группа отражений, и классифицированы конечные группы Кокстера.

Конечные группы Кокстера
Графы Кокстера конечных групп Кокстера.

Классификация

Конечные группы Кокстера были классифицированы в (Coxeter 1935) в терминах диаграмм Кокстера – Дынкина ; все они представлены группами отражений конечномерных евклидовых пространств.

Конечные группы Кокстера состоят из трех однопараметрических семейств возрастающего ранга A n, B n, D n, {\ displaystyle A_ {n}, B_ {n}, D_ {n}, }A_{n},B_{n},D_{n},одно семейство с одним параметром размерности два, I 2 (p), {\ displaystyle I_ {2} (p),}I_{2}(p),и шесть исключительных группы: E 6, E 7, E 8, F 4, H 3, {\ displaystyle E_ {6}, E_ {7}, E_ {8}, F_ {4}, H_ {3}, }E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},H_{3},и H 4 {\ displaystyle H_ {4}}H_{4}. Произведение конечного числа групп Кокстера в этом списке снова является группой Кокстера, и все конечные группы Кокстера возникают таким образом.

Группы Вейля

Многие, но не все из них, являются группами Вейля, и каждая группа Вейля может быть реализована как группа Кокстера. Группы Вейля - это семейства A n, B n, {\ displaystyle A_ {n}, B_ {n},}A_{n},B_{n},и D n, {\ displaystyle D_ {n}, }D_{n},и исключения E 6, E 7, E 8, F 4, {\ displaystyle E_ {6}, E_ {7}, E_ {8}, F_ {4},}E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},и I 2 (6), {\ displaystyle I_ {2} (6),}I_{2}(6),, обозначенные в обозначении группы Вейля как G 2. {\ displaystyle G_ {2}.}G_{2}.Не-вейлевские группы являются исключением H 3 {\ displaystyle H_ {3}}H_{3}и H 4, { \ displaystyle H_ {4},}H_{4},и семейство I 2 (p) {\ displaystyle I_ {2} (p)}I_{2}(p), кроме случаев, когда это совпадает с одним из Группы Вейля (а именно I 2 (3) ≅ A 2, I 2 (4) ≅ B 2, {\ displaystyle I_ {2} (3) \ cong A_ {2}, I_ {2} (4) \ cong B_ {2},}I_{2}(3)\cong A_{2},I_{2}(4)\cong B_{2},и I 2 (6) ≅ G 2 {\ displaystyle I_ {2} (6) \ cong G_ {2}}I_{2}(6)\cong G_{2}).

Это можно доказать, сравнив ограничения на (неориентированные) диаграммы Дынкина с ограничениями на диаграммы Кокстера конечных групп: формально можно получить граф Кокстера из диаграммы Дынкина, отбрасывая направление ребер и заменяя каждое двойное ребро ребром с меткой 4 и каждое тройное ребро ребром с меткой 6. Также обратите внимание, что каждая конечно порожденная группа Кокстера является автоматическая группа. Диаграммы Дынкина имеют дополнительное ограничение, заключающееся в том, что разрешены только метки ребер 2, 3, 4 и 6, что дает указанное выше. Геометрически это соответствует теореме кристаллографического ограничения и тому факту, что исключенные многогранники не заполняют пространство или мозаику на плоскости - для H 3, {\ displaystyle H_ {3},}H_{3},додекаэдр (дуально, икосаэдр) не заполняет пространство; для H 4, {\ displaystyle H_ {4},}H_{4},120-ячеечная (двойная 600-ячеечная) не заполняет пространство; для I 2 (p) {\ displaystyle I_ {2} (p)}I_{2}(p)p-угольник не мозаицирует плоскость, за исключением p = 3, 4, {\ displaystyle p = 3,4,}p=3,4,или 6 {\ displaystyle 6}6(треугольные, квадратные и шестиугольные мозаики соответственно).

Отметим далее, что (направленные) диаграммы Дынкина B n и C n дают начало одной и той же группе Вейля (следовательно, группе Кокстера), потому что они различаются по назначению графы, но согласны как неориентированные графы - направление имеет значение для корневых систем, но не для группы Вейля; это соответствует тому, что гиперкуб и кросс-политоп являются разными правильными многогранниками, но имеют одинаковую группу симметрии.

Свойства

Некоторые свойства конечных неприводимых групп Кокстера приведены в следующей таблице. Порядок приводимых групп может быть вычислен произведением порядков их неприводимых подгрупп.

Ранг. nГруппа. символАльтернативный символ.Обозначение скобок. График Кокстера. Отражения. m = ⁄ 2nhЧисло Кокстера. hПорядок Структура группыСвязанные многогранники
1A1A1[]CDel node.png122S 2 {\ displaystyle S_ {2}}S_{2}{}
2A2A2[3]CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png336S 3 ≅ D 6 ≅ GO 2 - ⁡ (2) ≅ GO 2 + ⁡ (4) {\ displaystyle S_ {3} \ cong D_ {6} \ cong \ operatorname {GO} _ { 2} ^ {-} (2) \ cong \ operatorname {GO} _ {2} ^ {+} (4)}{\displaystyle S_{3}\cong D_{6}\cong \operatorname {GO} _{2}^{-}(2)\cong \operatorname {GO} _{2}^{+}(4)}{3}
3A3A3[3,3]CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png6424S 4 {\ displaystyle S_ {4}}S_{4}{3,3}
4A4A4[3,3,3]CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png105120S 5 {\ displaystyle S_ {5}}S_{5}{3,3,3}
5A5A5[3,3,3,3]CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png156720S 6 {\ displaystyle S_ {6}}S_{6}{3,3,3,3}
nAnAn[3]CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png... CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngn (n + 1) / 2n + 1(n + 1)!S n + 1 {\ displaystyle S_ {n + 1 }}S_{{n+1}}n-симплекс
2B2C2[4]CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png448C 2 ≀ S 2 ≅ D 8 ≅ GO 2 - ⁡ (3) ≅ GO 2 + ⁡ (5) {\ displaystyle C_ {2} \ wr S_ {2} \ cong D_ {8} \ cong \ operatorname {GO} _ {2} ^ {-} (3) \ cong \ operatorname {GO} _ {2} ^ {+} (5)}{\displaystyle C_{2}\wr S_{2}\cong D_{8}\cong \operatorname {GO} _{2}^{-}(3)\cong \operatorname {GO} _{2}^{+}(5)}{4}
3B3C3[4,3]CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png9648С 2 ≀ S 3 ≅ S 4 × 2 {\ displaystyle C_ {2} \ wr S_ {3} \ con g S_ {4} \ times 2}{\displaystyle C_{2}\wr S_{3}\cong S_{4}\times 2}{4,3} / {3,4}
4B4C4[4,3,3]CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png168384C 2 ≀ S 4 {\ displaystyle C_ {2} \ wr S_ {4}}{\displaystyle C_{2}\wr S_{4}}-{4,3,3} / {3,3,4}
5B5C5[4,3,3,3 ]CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png25103840C 2 ≀ S 5 {\ displaystyle C_ {2} \ wr S_ {5}}{\displaystyle C_{2}\wr S_{5}}{4,3,3,3} / {3,3, 3,4}
nBnCn[4,3]CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png... CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngn2n2 n!C 2 ≀ S n {\ displaystyle C_ {2} \ wr S_ {n}}{\displaystyle C_{2}\wr S_{n}}n-куб / n-ортоплекс
4D4B4[3]CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png126192C 2 3 S 4 ≅ 2 1 + 4: S 3 {\ displaystyle C_ {2} ^ {3} S_ {4} \ cong 2 ^ {1 + 4} \ двоеточие S_ {3}}{\displaystyle C_{2}^{3}S_{4}\cong 2^{1+4}\colon S_{3}}h {4,3,3} / {3,3}
5D5B5[3]CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png2081920C 2 4 S 5 {\ displaystyle C_ {2} ^ {4} S_ {5}}{\displaystyle C_{2}^{4}S_{5}}h {4,3,3,3} / {3, 3,3}
nDnBn[3]CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png... CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngn (n - 1)2 (n - 1)2 n!C 2 n - 1 S n {\ displaystyle C_ {2} ^ {n-1} S_ {n}}{\displaystyle C_{2}^{n-1}S_{n}}n-demicube / n-ортоплекс
6E6 E6[3]CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png361251840 (72x6!)

GO 6 - ⁡ (2) ≅ SO 5 ⁡ (3) ≅ PSp 4 ⁡ (3): 2 ≅ PSU 4 ⁡ (2): 2 {\ displaystyle \ operatorname {GO} _ {6 } ^ {-} (2) \ cong \ operatorname {SO} _ {5} (3) \ cong \ operatorname {PSp} _ {4} (3) \ двоеточие 2 \ cong \ operatorname {PSU} _ {4} (2) \ двоеточие 2}{\displaystyle \operatorname {GO} _{6}^{-}(2)\cong \operatorname {SO} _{5}(3)\cong \operatorname {PSp} _{4}(3)\colon 2\cong \operatorname {PSU} _{4}(2)\colon 2}

221, 122

7E7 E7[3]CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png63182903040 (72x8!)GO 7 ⁡ (2) × 2 ≅ Sp 6 ⁡ (2) × 2 {\ displaystyle \ operatorname {GO} _ {7 } (2) \ times 2 \ cong \ operatorname {Sp} _ {6} (2) \ times 2}{\displaystyle \operatorname {GO} _{7}(2)\times 2\cong \operatorname {Sp} _{6}(2)\times 2}321, 231, 132
8E8 E8[3]CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png12030696729600 (192x10!)2 ⋅ GO 8 + ⁡ (2) {\ displaystyle 2 \ cdot \ operatorname {GO} _ {8} ^ {+} (2)}{\displaystyle 2\cdot \operatorname {GO} _{8}^{+}(2)}421, 241, 142
4F4 F4[3,4,3]CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png24121152GO 4 + ⁡ ( 3) ≅ 2 1 + 4: (S 3 × S 3) {\ displaystyle \ operatorname {GO} _ {4} ^ {+} (3) \ cong 2 ^ {1 + 4} \ двоеточие (S_ {3} \ times S_ {3})}{\displaystyle \operatorname {GO} _{4}^{+}(3)\cong 2^{1+4}\colon (S_{3}\times S_{3})}{3,4,3}
2G2 - (D. 2)[6]CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png6612D 12 ≅ GO 2 - ⁡ (5) ≅ GO 2 + ⁡ (7) {\ displaystyle D_ {12} \ cong \ operatorname {GO} _ {2} ^ {-} (5) \ cong \ operatorname {GO} _ {2} ^ {+} (7)}{\displaystyle D_{12}\cong \operatorname {GO} _{2}^{-}(5)\cong \operatorname {GO} _{2}^{+}(7)}{6 }
2H2G2[5]CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png5510D 10 ≅ GO 2 - ⁡ (4) {\ displaystyle D_ {10} \ cong \ operatorname {GO} _ {2} ^ {-} (4)}{\displaystyle D_{10}\cong \operatorname {GO} _{2}^{-}(4)}{ 5}
3H3G3[3,5]CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png15101202 × A 5 {\ displaystyle 2 \ times A_ {5}}{\displaystyle 2\times A_{5}}{3,5} / {5, 3}
4H4G4[3,3,5]CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png6030144002 ⋅ (A 5 × A 5): 2 {\ displaystyle 2 \ cdot (A_ {5} \ times A_ {5}) \ двоеточие 2}{\displaystyle 2\cdot (A_{5}\times A_{5})\colon 2}{5,3,3} / {3,3,5}
2I2(n)D. 2[n]CDel node.pngCDel n.pngCDel node.pngnn2n

D 2 n {\ Displaysty le D_ {2n}}D_{{2n}}

≅ GO 2 - ⁡ (n - 1) {\ displaystyle \ cong \ operatorname {GO} _ {2} ^ {-} (n-1)}{\displaystyle \cong \operatorname {GO} _{2}^{-}(n-1)}когда п знак равно п + 1, п простое число ≅ GO 2 + ⁡ (n + 1) {\ displaystyle \ cong \ operatorname {GO} _ {2} ^ {+} (n + 1)}{\displaystyle \cong \operatorname {GO} _{2}^{+}(n+1)}когда n = p - 1, p простое число

{p}

Группы симметрии правильных многогранников

Все группы симметрии правильных многогранников конечны Группы Кокстера. Обратите внимание, что двойные многогранники имеют одну и ту же группу симметрии.

Есть три серии правильных многогранников во всех измерениях. Группа симметрии регулярного n- симплекса - это симметрическая группа S n + 1, также известная как группа Кокстера типа A n. Группа симметрии n- куба и его двойника, n- кросс-политопа, равна B n и известна как гипероктаэдр. группа.

Исключительные регулярные многогранники в размерностях два, три и четыре соответствуют другим группам Кокстера. В двух измерениях группы диэдра, которые являются группами симметрии правильных многоугольников, образуют серию I 2 (p). В трех измерениях группа симметрии правильного додекаэдра и его двойника, правильного икосаэдра, равна H 3, известная как полная группа икосаэдра.. В четырех измерениях есть три специальных регулярных многогранника: 24-элементный, 120-элементный и 600-элементный. Первый имеет группу симметрии F 4, а два других двойственны и имеют группу симметрии H 4.

Группы Кокстера типа D n, E 6, E 7 и E 8 - группы симметрии некоторых полуправильных многогранников.

Таблица семейств неприводимых многогранников
Семейство. n n-симплекс n-гиперкуб n-ортоплекс n-полукуб 1k2 2k1 k21 пятиугольный многогранник
Группа AnBn
I2(p)Dn
E6E7E8F4G2
Hn
2 2-simplex t0.svg. CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png

Треугольник

2-cube.svg. CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png

Квадрат

Regular polygon 7.svg. CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.png. p-угольник. (пример: p = 7 )Regular polygon 6.svg. CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.png. Шестиугольник Regular polygon 5.svg. CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png. Пентагон
3 3-simplex t0.svg. CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png. Тетраэдр 3-cube t0.svg. CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png. Куб 3-cube t2.svg. CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png. Октаэдр 3-demicube.svg. CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.png. Тетраэдр Dodecahedron H3 projection.svg. CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png. Додекаэдр Icosahedron H3 projection.svg. CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png. Икосаэдр
4 4-simplex t0.svg. CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png. 5-элементный 4-cube t0.svg. CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

Тессеракт

4-cube t3.svg. CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png. 16-элементный 4-demicube t0 D4.svg. CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

Demitesseract

24-cell t0 F4.svg. CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png. 24-элементный 120-cell graph H4.svg. CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png. 120-элементный 600-cell graph H4.svg. CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png. 600-элементный
5 5-simplex t0.svg. CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png. 5-симплексный 5-cube graph.svg. CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png. 5-кубовый 5-orthoplex.svg. CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png. 5-ортоплексный 5-demicube.svg. CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png. 5-полукубик
6 6-simplex t0.svg. CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png. 6 -симплекс 6-cube graph.svg. CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png. 6-куб 6-orthoplex.svg. CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png. 6-ортоплекс 6-demicube.svg. CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png. 6-полукуб Up 1 22 t0 E6.svg. CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png. 122 E6 graph.svg. CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png. 221
7 7-simplex t0.svg. CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png. 7-симплекс 7-cube graph.svg. CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png. 7-куб 7-orthoplex.svg. CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png. 7-ортоплекс 7-demicube.svg. CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png. 7-полукуб Gosset 1 32 petrie.svg. CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png. 132 Gosset 2 31 polytope.svg. CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png. 231 E7 graph.svg. CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png. 321
8 8-simplex t0.svg. CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png. 8-симплекс 8-cube.svg. CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png. 8-куб 8-orthoplex.svg. CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png. 8-ортоплекс 8-demicube.svg. CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png. 8-полукуб Gosset 1 42 polytope petrie.svg. CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png. 142 2 41 polytope petrie.svg. CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png. 241 Gosset 4 21 polytope petrie.svg. CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png. 421
9 9-simplex t0.svg. CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png. 9-симплекс 9-cube.svg. CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png. 9-куб 9-orthoplex.svg. CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png. 9-ортоплекс 9-demicube.svg. CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png. 9-полукуб
10 10-simplex t0.svg. CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png. 10-симплекс 10-cube.svg. CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png. 10-куб 10-orthoplex.svg. CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png. 10-ортоплекс 10-demicube.svg. CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png. 10-demicube

.

Аффинные группы Кокстера
Диаграммы Кокстера для аффинных групп Кокстера Диаграмма Штифеля для G 2 {\ displaystyle G_ {2}}G_{2}корневой системы

аффинные группы Кокстера образуют вторую важную серию групп Кокстера. Они сами по себе не конечны, но каждая содержит нормальную абелеву подгруппу такую, что соответствующая фактор-группа конечна. В каждом случае фактор-группа сама является группой Кокстера, а граф Кокстера аффинной группы Кокстера получается из графа Кокстера фактор-группы путем добавления еще одной вершины и одного или двух дополнительных ребер. Например, для n ≥ 2 граф, состоящий из n + 1 вершин в окружности, получается из A n таким образом, и соответствующая группа Кокстера является аффинной группой Вейля для A n. При n = 2 это можно представить как подгруппу группы симметрии стандартного замощения плоскости равносторонними треугольниками.

В общем, для данной корневой системы можно построить связанную диаграмму Штифеля, состоящую из гиперплоскостей, ортогональных корням, вместе с некоторыми сдвигами этих гиперплоскостей. Аффинная группа Кокстера (или аффинная группа Вейля) тогда является группой, порожденной (аффинными) отражениями обо всех гиперплоскостях на диаграмме. Диаграмма Штифеля делит плоскость на бесконечно много связных компонентов, называемых альковами, а аффинная группа Кокстера действует свободно и транзитивно на альковах, так же как обычная группа Вейля действует свободно и транзитивно на камеры Вейля. На рисунке справа показана диаграмма Штифеля для корневой системы G 2 {\ displaystyle G_ {2}}G_{2}.

Предположим, что R {\ displaystyle R}R- это несократимая корневая система ранга r>1 {\ displaystyle r>1}r>1 и пусть α 1,…, α r {\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {r}}{\displaystyle \alpha _{1},\ldots,\alpha _{r}}- набор простых корней. Пусть также α r + 1 {\ displaystyle \ alpha _ {r + 1}}{\displaystyle \alpha _{r+1}}обозначает наивысший корень. Тогда аффинная группа Кокстера порождается обычными (линейными) отражениями о гиперплоскостях, перпендикулярных α 1,…, α r {\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {r}}{\displaystyle \alpha _{1},\ldots,\alpha _{r}}вместе с аффинным отражением относительно сдвига гиперплоскости, перпендикулярной α r + 1 {\ displaystyle \ alpha _ {r + 1}}{\displaystyle \alpha _{r+1}}. Граф Кокстера для аффинной группы Вейля - это диаграмма Кокстера – Дынкина для R {\ displaystyle R}Rвместе с одним дополнительным узлом связанный с α r + 1 {\ Displaystyle \ alpha _ {r + 1}}{\displaystyle \alpha _{r+1}}. В этом случае одну нишу на диаграмме Штифеля можно получить, взяв фундаментальную камеру Вейля и разрезав ее путем сдвига гиперплоскости, перпендикулярной к α r + 1 {\ displaystyle \ alpha _ {r + 1}}{\displaystyle \alpha _{r+1}}.

Список аффинных групп Кокстера следующий:

Группа. символВитт. символНотация в скобках граф Кокстера. Связанная единообразная тесселяция ( s)
A ~ n {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {n}}{\tilde {A}}_{n}P n + 1 {\ displaystyle P_ {n + 1}}P_{n+1}[3]CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.png... CDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png. or. CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.png... CDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngПростые соты
B ~ n {\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {n}}{\tilde {B}}_{n}S n + 1 {\ displaystyle S_ {n + 1} }S_{{n+1}}[4,3,3]CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png... CDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngПолугиперкубические соты
C ~ n {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{n}}{\tilde {C}}_{n}R n + 1 {\ displaystyle R_ {n + 1}}R_{n+1}[4,3,4]CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png... CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngГиперкубические соты
D ~ n {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {n }}{\tilde {D}}_{n}Q n + 1 {\ displaystyle Q_ {n + 1}}{\displaystyle Q_{n+1}}[3,3,3]CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png... CDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngПолугиперкубические соты
E ~ 6 {\ displaystyle { \ tilde {E}} _ {6}}{\tilde {E}}_{6}T 7 {\ displaystyle T_ {7}}{\displaystyle T_{7}}[3]CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngили CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png222
E ~ 7 {\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {7}}{\tilde {E}}_{7}T 8 {\ displaystyle T_ {8}}{\displaystyle T_{8}}[3]CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngили CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png331, 133
E ~ 8 {\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {8}}{\tilde {E}}_{8}T 9 {\ displaystyle T_ {9}}{\displaystyle T_{9}}[3]CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png521, 251, 152
F ~ 4 {\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}{\tilde {F}}_{4}U 5 {\ displaystyle U_ {5}}{\displaystyle U_{5}}[3,4,3,3]CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png16-элементный сотовый. 24- сотовые соты
G ~ 2 {\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}{\tilde {G}}_{2}V 3 {\ displaystyle V_ {3}}{\displaystyle V_{3}}[6,3]CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngГексагональная мозаика и. Треугольная мозаика
I ~ 1 {\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}{\tilde {I}}_{1}W 2 {\ displaystyle W_ {2}}{\displaystyle W_{2}}[∞ ]CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngАпейрогон

Индекс символа группы на единицу меньше количества узлов в каждом случае, поскольку каждая из этих групп была получена путем добавления узла к графу конечной группы.

Гиперболические группы Кокстера

Существует бесконечно много гиперболических групп Кокстера, описывающих группы отражений в гиперболическом пространстве, в частности, включая группы гиперболических треугольников.

Частичные порядки

Выбор генераторов отражения приводит к функции длины ℓ для группы Кокстера, а именно минимальному количеству использований генераторов, необходимых для выражения группы элемент; это в точности длина метрики слов в графе Кэли. Выражение для v с использованием генераторов ℓ (v) является сокращенным словом. Например, перестановка (13) в S 3 имеет два сокращенных слова: (12) (23) (12) и (23) (12) (23). Функция v → (- 1) ℓ (v) {\ displaystyle v \ to (-1) ^ {\ ell (v)}}{\displaystyle v\to (-1)^{\ell (v)}}определяет карту G → {± 1}, {\ displaystyle G \ to \ {\ pm 1 \},}G\to \{\pm 1\},обобщение карты знаков для симметричной группы.

Используя сокращенные слова, можно определить три частичных порядка по группе Кокстера, (справа) слабый порядок, абсолютный приказ и приказ Брюа (названный в честь Франсуа Брюа ). Элемент v превосходит элемент u в порядке Брюа, если некоторое (или, что эквивалентно, любое) сокращенное слово для v содержит сокращенное слово для u в качестве подстроки, где некоторые буквы (в любой позиции) отбрасываются. В слабом порядке v ≥ u, если некоторое сокращенное слово для v содержит сокращенное слово для u в качестве начального сегмента. Действительно, длина слова превращает это в градуированный poset. диаграммы Хассе, соответствующие этим порядкам, являются объектами изучения и связаны с графом Кэли, определяемым генераторами. Абсолютный порядок определяется аналогично слабому порядку, но с порождающим набором / алфавитом, состоящим из всех сопряженных генераторов Кокстера.

Например, перестановка (1 2 3) в S 3 имеет только одно сокращенное слово (12) (23), поэтому покрывает (12) и (23) в слове Брюа порядка, но покрывает (12) только в слабом порядке.

Гомология

Поскольку группа Кокстера W {\ displaystyle W}Wпорождается конечным числом элементов порядка 2, ее абелианизация является элементарной абелевой 2-группой, то есть она изоморфна прямой сумме нескольких копий циклической группы Z 2 {\ displaystyle Z_ {2}}Z_{2}. Это можно переформулировать в терминах первой группы гомологии из W {\ displaystyle W}W.

множитель Шура M (W) {\ displaystyle M (W)}{\displaystyle M(W)}, равный второй группе гомологии W {\ displaystyle W}W, был вычислен в (Ihara Yokonuma 1965) для конечные группы отражений и в (Yokonuma 1965) для аффинных групп отражений, с более унифицированным описанием, приведенным в (Howlett 1988). Во всех случаях множитель Шура также является элементарной абелевой 2-группой. Для каждого бесконечного семейства {W n} {\ displaystyle \ {W_ {n} \}}{\displaystyle \{W_{n}\}}конечных или аффинных групп Вейля ранг M (W n) {\ displaystyle M (W_ {n})}{\displaystyle M(W_{n})}стабилизируется, поскольку n {\ displaystyle n}nуходит в бесконечность.

См. Также
Примечания
Ссылки
Дополнительная литература
  • Vinberg, Ernest B. (1984), "Absence of crystallographic groups of reflections in Lobachevski spaces of large dimension", Trudy Moskov. Мат. Obshch., 47
  • Yokonuma, Takeo (1965), "On the second cohomology groups (Schur-multipliers) of infinite discrete reflection groups", Jour. Фак. Sci. Univ. Tokyo, Sect. 1, 11: 173–186, hdl :2261/6049, Zbl 0136.28803

.

External links
Последняя правка сделана 2021-05-16 07:25:11
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте