E₆(математика)

редактировать

78-мерная исключительная простая группа Ли

В математике, E6- это имя некоторых близкородственные группы Ли, линейные алгебраические группы или их алгебры Ли $e 6 {\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {6}}$ ${\ mathfrak {e}} _ {6}$ , все из которых имеют размер 78; такое же обозначение E 6 используется для соответствующей корневой решетки, которая имеет ранг 6. Обозначение E 6 происходит от классификации Картана – Киллинга сложных простых алгебр Ли (см. Эли Картан § Работа ). Это классифицирует алгебры Ли на четыре бесконечные серии, обозначенные A n, B n, C n, D n и пять исключительные случаи, помеченные E 6, E7, E8, F4 и G2. Таким образом, алгебра E 6 является одним из пяти исключительных случаев.

Фундаментальной группой комплексной формы, компактной вещественной формы или любой алгебраической версии E 6 является циклическая группа Z/3Zи ее группа внешних автоморфизмов - циклическая группа Z/2Z. Его фундаментальное представление является 27-мерным (комплексным), и базис дается 27 линиями на кубической поверхности. Неэквивалентное двойственное представление также является 27-мерным.

В физике элементарных частиц E 6 играет роль в некоторых теориях великого объединения.

Содержание

1 Реальные и сложные формы
2 E 6 как алгебраическая группа
- 2.1 Автоморфизмы алгебры Альберта
3 Алгебра
- 3.1 Диаграмма Дынкина
- 3.2 Корни E 6
  - 3.2.1 Корни E6, полученные из корни E8
  - 3.2.2 Альтернативное описание
- 3.3 Группа Вейля
- 3.4 Матрица Картана
4 Важные подалгебры и представления
5 Многогранник E6
6 Группы Шевалле и Стейнберга типа E 6 и E 6
7 Важность в физике
8 См. Также
9 Ссылки

Реальные и сложные формы

Существует уникальная комплексная алгебра Ли типа E 6, соответствующая комплексной группе комплексной размерности 78. Комплексная присоединенная группа Ли E 6 комплексной размерности 78 может рассматриваться как простая действительная группа Ли вещественной размерности 156. Имеет фундаментальную группу Z/3Z, максимальную компактную подгруппу и компактную форму (см. ниже) E 6, и имеет группу внешних нециклических автоморфизмов порядка 4, порожденную комплексным сопряжением и внешним автоморфизмом, который уже существует как комплексный автоморфизм.

Помимо комплексной группы Ли типа E 6, существует пять действительных форм алгебры Ли и, соответственно, пять действительных форм группы с тривиальным центром (все из которых имеют алгебраическое двойное покрытие, три из которых имеют дополнительные неалгебраические покрытия, дающие дополнительные действительные формы), все действительной размерности 78, а именно:

Компактная форма (которая обычно подразумевается, если не дается никакая другая информация), которая имеет фундаментальную группу Z/3Zи группу внешних автоморфизмов Z/2Z.
. Расщепленная форма, EI (или E 6 (6)), которая имеет максимальную компактную подгруппу Sp (4) / (± 1), фундаментальная группа порядка 2 и группа внешних автоморфизмов порядка 2.
Квазирасщепленная форма EII (или E 6 (2)), имеющая максимальную компактную подгруппу SU (2) × SU (6) / (центр), фундаментальная циклическая группа порядка 6 и группа внешних автоморфизмов порядка 2.
EIII (или E 6 (-14)), имеющая максимальное компактная подгруппа SO (2) × Spin (10) / (центр), фундаментальная группа Z и тривиальная внешняя au группа томорфизмов.
EIV (или E 6 (-26)), которая имеет максимальную компактную подгруппу F 4, тривиальную фундаментальную группу циклических и группу внешних автоморфизмов порядка 2.

EIV-форма E 6 - это группа коллинеаций (преобразования, сохраняющие линию) октонионной проективной плоскости OP. Это также группа сохраняющих детерминант линейных преобразований исключительной йордановой алгебры. Исключительная йорданова алгебра 27-мерна, что объясняет, почему компактная вещественная форма E 6 имеет 27-мерное комплексное представление. Компактная действительная форма E 6 - это группа изометрий 32-мерного риманова многообразия, известного как «биоктонионная проективная плоскость»; аналогичные конструкции для E 7 и E 8 известны как проективные плоскости Розенфельда и являются частью магического квадрата Фрейденталя.

E6как алгебраическая группа

С помощью базиса Шевалле алгебры Ли можно определить E 6 как линейную алгебраическую группу над целыми числами и, следовательно, над любыми коммутативное кольцо и, в частности, над любым полем: это определяет так называемую расщепленную (иногда также известную как «раскрученную») присоединенную форму E 6. Над алгебраически замкнутым полем это и его тройное покрытие являются единственными формами; однако, помимо других областей, часто существует множество других форм или «поворотов» E 6, которые классифицируются в общих рамках когомологии Галуа (более совершенной поле k) набором H (k, Aut (E 6)), который, поскольку диаграмма Дынкина для E 6 (см. ниже) имеет группу автоморфизмов Z/2Z, отображается в H (k, Z/2Z) = Hom (Gal (k), Z/2Z) с ядром H (k, E 6, ad).

над полем действительных чисел, реальная составляющая идентичности этих алгебраически скрученных форм E 6 совпадает с тремя действительными группами Ли, упомянутыми выше, но с тонкостью, касающейся фундаментальной группы: все присоединенные формы из E 6 имеют фундаментальную группу Z/3Zв смысле алгебраической геометрии, с действием Галуа как на третьих корнях из единицы; это означает, что они допускают ровно одно тройное покрытие (которое может быть тривиальным на действительном точек); дальнейшие некомпактные вещественные групповые формы Ли E 6, следовательно, не являются алгебраическими и не допускают точных f бесконечномерные представления. Компактная вещественная форма E 6, а также некомпактные формы EI = E 6 (6) и EIV = E 6 (-26) считаются быть внутренним или иметь тип E 6, что означает, что их класс лежит в H (k, E 6, ad) или что комплексное сопряжение индуцирует тривиальный автоморфизм на диаграмме Дынкина, тогда как другие две вещественные формы называются внешними или имеют тип E 6.

Над конечными полями теорема Ланга – Стейнберга подразумевает, что H (k, E 6) = 0, что означает, что E 6 имеет ровно одну скрученную форму, известную как E 6 : см. ниже.

Автоморфизмы алгебры Альберта

Подобно тому, как алгебраическая группа G 2 - группа автоморфизмов октонионов, а алгебраическая группа F 4 - группа автоморфизмов алгебры Альберта, исключительной Йорданова алгебра, алгебраическая группа E 6 - это группа линейных автоморфизмов алгебры Альберта, сохраняющих некоторую кубическую форму, называемую «детерминантом».

Алгебра

Диаграмма Дынкина

Диаграмма Дынкина для E 6 дается как , которое также может быть нарисовано как .

Корни E 6 72 вершины многогранника 122 представляют корневые векторы E 6, как показано в этой проекции плоскости Кокстера. Оранжевые вершины в этой проекции удваиваются.. Диаграмма Кокстера-Дынкина :
Хотя они охватывают шестимерное пространство, гораздо более симметрично рассматривать их как векторы в шестимерном подпространстве девятимерного пространства. Тогда можно взять корни как
(1, −1,0; 0,0,0; 0,0,0), (−1,1,0; 0,0,0; 0,0, 0),
(−1,0,1; 0,0,0; 0,0,0), (1,0, −1; 0,0,0; 0,0,0),
(0,1, −1; 0,0,0; 0,0,0), (0, −1,1; 0,0,0; 0,0,0),
(0,0,0; 1, −1,0; 0,0,0), (0,0,0; −1,1,0; 0,0,0),
(0,0,0; -1,0,1; 0,0,0), (0,0,0; 1,0, -1; 0,0,0),
(0,0,0; 0,1, −1; 0,0,0), (0,0,0; 0, −1,1; 0,0,0),
( 0,0,0; 0,0,0; 1, −1,0), (0,0,0; 0,0,0; −1,1,0),
(0, 0,0; 0,0,0; −1,0,1), (0,0,0; 0,0,0; 1,0, −1),
(0,0, 0; 0,0,0; 0,1, −1), (0,0,0; 0,0,0; 0, −1,1),
плюс все 27 комбинаций $(3 ; 3; 3) {\ displaystyle (\ mathbf {3}; \ mathbf {3}; \ mathbf {3})}$ ${\ displ aystyle (\ mathbf {3}; \ mathbf {3}; \ mathbf {3})}$ где $3 {\ displaystyle \ mathbf {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {3}}$ является одним из $(2 3, - 1 3, - 1 3), (- 1 3, 2 3, - 1 3), (- 1 3, - 1 3, 2 3), { \ displaystyle \ left ({\ frac {2} {3}}, - {\ frac {1} {3}}, - {\ frac {1} {3}} \ right), \ \ left (- {\ frac {1} {3}}, {\ frac {2} {3}}, - {\ frac {1} {3}} \ right), \ \ left (- {\ frac {1} {3}}, - {\ frac {1} {3}}, {\ frac {2} {3}} \ right),}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {2} {3}}, - {\ frac {1} {3}}, - {\ frac {1} {3}} \ right), \ \ left (- {\ frac {1} {3}}, {\ frac {2} {3}}, - {\ frac {1} {3}} \ right), \ \ left (- {\ frac {1} {3}}, - {\ frac {1} {3}}, {\ frac {2} {3}} \ right),}$ плюс все 27 комбинаций из $(3 ¯; 3 ¯; 3 ¯) {\ displaystyle ({\ bar {\ mathbf {3}}}; {\ bar {\ mathbf {3}}}; {\ bar {\ mathbf {3}}})}$ ${\ displaystyle ({\ bar {\ mathbf {3}}}; {\ bar {\ mathbf {3}}}; {\ bar {\ mathbf {3}}})}$ где $3 ¯ {\ displaystyle {\ bar {\ mathbf {3}}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ mathbf {3}}}}$ - одно из $(- 2 3, 1 3, 1 3), (1 3, - 2 3, 1 3), (1 3, 1 3, - 2 3). {\ displaystyle \ left (- {\ frac {2} {3}}, {\ frac {1} {3}}, {\ frac {1} {3}} \ right), \ \ left ({\ frac {1} {3}}, - {\ frac {2} {3}}, {\ frac {1} {3}} \ right), \ \ left ({\ frac {1} {3}}, { \ frac {1} {3}}, - {\ frac {2} {3}} \ right).}$ ${\ displaystyle \ left (- {\ frac {2} {3}}, {\ frac {1} {3}}, {\ frac {1} {3}} \ right), \ \ left ({\ frac {1} {3}}, - {\ frac {2} {3}}, {\ frac {1} {3}} \ right), \ \ left ({\ frac {1} {3}}, {\ frac {1} {3}}, - {\ frac {2} {3}} \ right).}$

Простые корни

Один из возможных вариантов выбора простых корней E6:
(0, 0,0; 0,0,0; 0,1, −1)
(0,0,0; 0,0,0; 1, −1,0)
(0,0,0 ; 0,1, −1; 0,0,0)
(0,0,0; 1, −1,0; 0,0,0)
(0,1, −1; 0, 0,0; 0,0,0)
$(1 3, - 2 3, 1 3; - 2 3, 1 3, 1 3; - 2 3, 1 3, 1 3) {\ displaystyle \ left ( {\ frac {1} {3}}, - {\ frac {2} {3}}, {\ frac {1} {3}}; - {\ frac {2} {3}}, {\ frac { 1} {3}}, {\ frac {1} {3}}; - {\ frac {2} {3}}, {\ frac {1} {3}}, {\ frac {1} {3} } \ right)}$ $\ left ({\ frac {1} {3}}, - {\ frac {2} {3}}, {\ frac {1} {3}}; - {\ frac {2} {3}}, {\ frac {1} {3}}, {\ frac {1} {3}}; - {\ frac {2} {3}}, {\ frac {1} {3}}, {\ frac {1 } {3}} \ right)$
График E6 как подгруппа E8, спроецированный на плоскость Кокстера диаграмма Хассе из E6 корневой poset с метками краев, определяющими добавленную простую корневую позицию

Корни E6, полученные из корней E8

E6, являются подмножеством E 8, где согласованный набор трех координат равны (например, первая или последняя). Это облегчает явное определение E 7 и E 6 как:

E7= {α∈ Z∪ (Z + ½) : ∑αi+ α1= 2, ∑ αi+ α1∈ 2 Z},

E6= {α∈ Z∪ (Z + ½) : ∑αi+ 2 α1= 2, ∑ αi+ 2 α1∈ 2 Z}

Следующие 72 корня E6 получаются таким образом из разделенных действительных корней четных E8. Обратите внимание, что последние 3 измерения совпадают с необходимыми:

Альтернативное описание

Альтернативное (6-мерное) описание корневой системы, которое полезно при рассмотрении E 6 × SU (3) как подгруппа в E8выглядит следующим образом:

Все $4 × (5 2) {\ displaystyle 4 \ times {\ begin {pmatrix} 5 \\ 2 \ end {pmatrix}}}$ $4 \ times {\ begin {pmatrix} 5 \\ 2 \ end {pmatrix}}$ перестановки

(± 1, ± 1, 0, 0, 0, 0) {\ displaystyle (\ pm 1, \ pm 1,0,0, 0,0)}

(\ pm 1, \ pm 1,0,0,0,0)

с сохранением нуля в последней записи,

и всех последующих корней с нечетным числом знаков плюс

(± 1 2, ± 1 2, ± 1 2, ± 1 2, ± 1 2, ± 3 2). {\ displaystyle \ left (\ pm {1 \ over 2}, \ pm {1 \ over 2}, \ pm {1 \ over 2}, \ pm {1 \ over 2}, \ pm {1 \ over 2}, \ pm {{\ sqrt {3}} \ over 2} \ right).}

\ left (\ pm {1 \ over 2}, \ pm {1 \ over 2}, \ pm {1 \ over 2}, \ pm {1 \ over 2}, \ pm {1 \ over 2}, \ pm {{\ sqrt {3}} \ over 2} \ right).

Таким образом, 78 образующих состоят из следующих подалгебр:

45-мерная подалгебра SO (10), включая указанную выше

4 × (5 2) {\ displaystyle 4 \ times {\ begin {pmatrix} 5 \\ 2 \ end {pmatrix}}}

4 \ times {\ begin {pmatrix} 5 \\ 2 \ end {pmatrix}}

генераторов плюс пять генераторов Картана соответствующих к первым пяти элементам.

Две 16-мерные подалгебры, которые трансформируются как спинор Вейля

спина ⁡ (10) {\ displaystyle \ operatorname {spin} (10)}

\ operatorname {spin} (10)

и его комплексное сопряжение. Они имеют ненулевую последнюю запись.

1 генератор, который является их генератором хиральности и является шестым генератором Картана.

Один выбор из простых корней для E 6 задается строками следующей матрицы, индексированной в порядке :

[1 - 1 0 0 0 0 0 1 - 1 0 0 0 0 0 1 - 1 0 0 0 0 0 1 1 0 - 1 2 - 1 2 - 1 2 - 1 2 - 1 2 3 2 0 0 0 1 - 1 0] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 -1 0 0 0 0 \\ 0 1 -1 0 0 0 \\ 0 0 1 -1 0 0 \\ 0 0 0 1 1 0 \\ - {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {2 }} - {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \\ 0 0 0 1 -1 0 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}

\ left [{\ begin {smallmatrix} 1 -1 0 0 0 0 \\ 0 1 -1 0 0 0 \\ 0 0 1 -1 0 0 \\ 0 0 0 1 1 0 \\ - {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {2}} - { \ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {2}} {\ frac {{\ sqrt {3}}} {2}} \\ 0 0 0 0 1 -1 0 \\\ end {smallmatrix} } \ right]

Вейль группа

Группа Вейля E 6 имеет порядок 51840: это группа автоморфизмов единственной простой группы заказа 25920 (который может быть описан как любой из: PSU 4 (2), PSΩ 6 (2), PSp 4 (3) или PSΩ 5 (3)).

Матрица Картана

[2 - 1 0 0 0 0 - 1 2 - 1 0 0 0 0 - 1 2 - 1 0 - 1 0 0 - 1 2 - 1 0 0 0 0 - 1 2 0 0 0 - 1 0 0 2] {\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 -1 0 0 0 0 \\ - 1 2 -1 0 0 0 \\ 0 -1 2 -1 0 -1 \\ 0 0 -1 2 -1 0 \\ 0 0 0 -1 2 0 \\ 0 0 -1 0 0 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}

\ left [{\ begin {smallmatrix} 2 -1 0 0 0 0 \\ - 1 2 -1 0 0 0 \\ 0 -1 2 - 1 0 -1 \\ 0 0 -1 2 -1 0 \\ 0 0 0 -1 2 0 \\ 0 0 -1 0 0 2 \ end {smallmatrix}} \ right]

Важные подалгебры и представления

Алгебра Ли E 6 имеет подалгебру F 4, которая является фиксированная подалгебра внешнего автоморфизма и подалгебра SU (3) × SU (3) × SU (3). Другие максимальные подалгебры, которые имеют важное значение в физике (см. Ниже) и могут быть прочитаны с диаграммы Дынкина, - это алгебры SO (10) × U (1) и SU (6) × SU (2).

В дополнение к 78-мерному присоединенному представлению существуют два дуальных 27-мерных «векторных» представления.

Характерами конечномерных представлений вещественных и комплексных алгебр Ли и групп Ли являются все задаются формулой символа Вейля. Размеры наименьших неприводимых представлений (последовательность A121737 в OEIS ):

1, 27 (дважды), 78, 351 (четыре раза), 650, 1728 (дважды), 2430, 2925, 3003 (дважды), 5824 (дважды), 7371 (дважды), 7722 (дважды), 17550 (дважды), 19305 (четыре раза), 34398 (дважды), 34749, 43758, 46332 (дважды), 51975 (дважды), 54054 (дважды), 61425 (дважды), 70070, 78975 (дважды), 85293, 100386 (дважды), 105600, 112320 (дважды), 146432 (дважды), 252252 (дважды), 314496 (дважды), 359424 (четыре раза), 371800 (дважды), 386100 (дважды), 393822 (дважды), 412776 (дважды), 442442 (дважды) …

Подчеркнутые члены в приведенной выше последовательности являются размерностями тех неприводимых представлений, которыми обладает присоединенная форма E 6 (эквивалентно, те, чьи веса принадлежат решетке корней E 6), тогда как полная последовательность дает d размерности неприводимых представлений односвязной формы E 6.

Симметрия диаграммы Дынкина E 6 объясняет, почему многие измерения встречаются дважды, причем соответствующие представления связаны нетривиальным внешним автоморфизмом; тем не менее, иногда существует даже больше представлений, чем это, например, четыре размера 351, два из которых являются фундаментальными, а два - нет.

фундаментальные представления имеют размерности 27, 351, 2925, 351, 27 и 78 (соответствуют шести узлам на диаграмме Дынкина в порядке, выбранном для матрица Картана выше, т. Е. Сначала считываются узлы в цепочке из пяти узлов, причем последний узел подключается к среднему).

Многогранник E6

Многогранник E6 - это выпуклая оболочка корней E 6. Следовательно, он существует в шести измерениях; его группа симметрии содержит группу Кокстера для E 6 в качестве подгруппы индекса 2.

Группы Шевалле и Стейнберга типа E 6 и E 6

Группы типа E 6 над произвольными полями (в частности, конечными полями) были введены Диксоном (1901, 1908).

Точки над конечным полем с q элементами (расщепленной) алгебраической группы E 6 (см. выше), независимо от того, присоединенная (бесцентровая) или односвязная форма (ее алгебраическое универсальное покрытие) дают конечную группу Шевалле. Это тесно связано с группой, написанной E 6 (q), однако в этой записи есть двусмысленность, которая может означать несколько вещей:

конечная группа, состоящая из точек более Fqодносвязная форма E 6 (для ясности это может быть написано E 6, sc (q) или реже $E ~ 6 (q) {\ displaystyle { \ tilde {E}} _ {6} (q)}$ ${\ tilde E} _ {6} (q)$ и известна как «универсальная» группа Шевалле типа E 6 над Fq),
(редко) конечной группой состоящий из точек над Fqприсоединенной формы E 6 (для ясности это может быть написано E 6, ad (q) и известен как «присоединенный "Группа Шевалле типа E 6 над Fq), или
конечная группа, которая является изображением естественного отображения от первого ко второму: это то, что будет обозначаться на E 6 (q) в дальнейшем, как это наиболее часто встречается в текстах, касающихся конечных групп.

С точки зрения конечных групп, отношения между этими тремя группами, которые являются довольно анальными То же, что и между SL (n, q), PGL (n, q) и PSL (n, q), можно резюмировать следующим образом: E 6 (q) просто для любого q, E 6, sc (q) - его покрытие Шура, а E 6, ad (q) лежит в его группе автоморфизмов; кроме того, когда q − 1 не делится на 3, все три совпадают, а в противном случае (когда q сравнимо с 1 по модулю 3) множитель Шура для E 6 (q) равен 3 и E 6 (q) имеет индекс 3 в E 6, ad (q), что объясняет, почему E 6, sc (q) и E 6, ad (q) часто записывается как 3 · E 6 (q) и E 6 (q) · 3. С точки зрения алгебраической группы, E 6 (q) реже относится к конечной простой группе, поскольку последняя не является естественным образом набором точек алгебраической группы над Fqв отличие от E 6, sc (q) и E 6, ad (q).

Помимо этой «разделенной» (или «раскрученной») формы E 6, существует еще одна форма E 6 над конечным полем Fq, известное как E 6, которое получается скручиванием нетривиальным автоморфизмом диаграммы Дынкина E 6. Конкретно, E 6 (q), которая известна как группа Стейнберга, может рассматриваться как подгруппа E 6 (q), фиксированная композицией нетривиальной диаграммы автоморфизм и нетривиальный полевой автоморфизм Fq. Скручивание не меняет того факта, что алгебраическая фундаментальная группа E 6, ad равна Z/3Z, но изменяет те q, для которых покрытие E 6, ad на E 6, sc нетривиально на Fq-точках. А именно: E 6, sc (q) является покрытием E 6 (q), а E 6, ad (q) лежит в своей группе автоморфизмов. ; когда q + 1 не делится на 3, все три совпадают, в противном случае (когда q сравнимо с 2 mod 3) степень E 6, sc (q) над E 6 (q) равно 3, а E 6 (q) имеет индекс 3 в E 6, ad (q), что объясняет, почему E 6, sc (q) и E 6, ad (q) часто записываются как 3 · E 6 (q) и E 6 (q) · 3.

В отношении групп E 6 (q) следует поднять две проблемы с обозначениями. Во-первых, это иногда пишется E 6 (q), то есть преимущество, заключающееся в том, что его легче переносить в группы Сузуки и Ри, но недостатком является отклонение от записи для Fq- точки алгебраической группы. Другой заключается в том, что в то время как E 6, sc (q) и E 6, ad (q) являются Fq-точками алгебраической группы, рассматриваемая группа также зависит от q (например, точки над Fqодной и той же группы представляют собой раскрученные E 6, sc (q) и E 6, ad (q)).

Группы E 6 (q) и E 6 (q) просты для любого q и составляют два из бесконечных семейств в классификации конечных простых групп. Их порядок определяется по следующей формуле (последовательность A008872 в OEIS ):

| E 6 (q) | = 1 НОД (3, q - 1) q 36 (q 12 - 1) (q 9 - 1) (q 8 - 1) (q 6 - 1) (q 5 - 1) (q 2 - 1) {\ displaystyle | E_ {6} (q) | = {\ frac {1} {\ mathrm {gcd} (3, q-1)}} q ^ {36} (q ^ {12} -1) (q ^ { 9} -1) (q ^ {8} -1) (q ^ {6} -1) (q ^ {5} -1) (q ^ {2} -1)}

| E_ {6} (q) | = {\ frac {1} {{\ mathrm {gcd} } (3, q-1)}} q ^ {{36}} (q ^ {{12}} - 1) (q ^ {9} -1) (q ^ {8} -1) (q ^ { 6} -1) (q ^ {5} -1) (q ^ {2} -1)

| 2 E 6 (q) | = 1 НОД (3, q + 1) q 36 (q 12 - 1) (q 9 + 1) (q 8 - 1) (q 6 - 1) (q 5 + 1) (q 2 - 1) {\ displaystyle | {} ^ {2} \! E_ {6} (q) | = {\ frac {1} {\ mathrm {gcd} (3, q + 1)}} q ^ {36} (q ^ {12 } -1) (q ^ {9} +1) (q ^ {8} -1) (q ^ {6} -1) (q ^ {5} +1) (q ^ {2} -1)}

| {} ^ {2} \! E_ {6} (q) | = {\ гидроразрыв {1} {{\ mathrm {gcd}} (3, q + 1)}} q ^ {{36}} (q ^ {{12}} - 1) (q ^ {9} +1) (q ^ {8} -1) (q ^ {6} -1) (q ^ {5} +1) (q ^ {2} -1)

(последовательность A008916 в OEIS ). Порядок E 6, sc (q) или E 6, ad (q) (оба равны) можно получить, удалив коэффициент деления gcd (3, q − 1) из первой формулы (последовательность A008871 в OEIS ) и порядок E 6, sc (q) или E 6, ad (q) (оба равны) можно получить, удалив коэффициент деления gcd (3, q + 1) из второго (последовательность A008915 в OEIS ).

Множитель Шура E 6 (q) всегда равен gcd (3, q − 1) (т. Е. E 6, sc (q) - это его Шура покрытие). Множитель Шура для E 6 (q) равен gcd (3, q + 1) (т.е. E 6, sc (q) - его покрытие Шура) вне исключительного случая. q = 2, где 2 · 3 (т. е. имеется дополнительная 2-кратная крышка). Группа внешних автоморфизмов E 6 (q) является произведением группы диагональных автоморфизмов Z / gcd (3, q − 1) Z (заданной формулой действие E 6, ad (q)), группа Z/2Zдиаграммных автоморфизмов и группа полевых автоморфизмов (т. е. циклических порядка f, если q = p, где p простое число). Группа внешних автоморфизмов E 6 (q) является произведением группы диагональных автоморфизмов Z / gcd (3, q + 1) Z (заданной формулой действие E 6, ad (q)) и группа полевых автоморфизмов (т. е. циклических порядка f, если q = p, где p простое число).

Важность в физике

Структура слабого изоспина, W, более слабого изоспина, W ′, сильного g3 и g8, и барионного минус лептона, B, зарядов для частиц в SO (10) Теория Великого Объединения, повернута, чтобы показать вложение в E 6.

N = 8 супергравитацию в пяти измерениях, что является мерным редукция из 11-мерной супергравитации допускает бозонную глобальную симметрию E 6 и бозонную локальную симметрию Sp (8). Фермионы находятся в представлении Sp (8), калибровочные поля находятся в представлении E 6, а скаляры находятся в представлении обоих (гравитоны являются синглетами по отношению к и то и другое). Физические состояния представлены в виде смежного класса E 6 / Sp (8).

В теориях великого объединения E 6 появляется как возможная калибровочная группа, которая после нарушения дает начало SU (3) × SU (2) × U (1) группа датчиков стандартной модели . Одним из способов достижения этого является переход к SO (10) × U (1). Присоединенное представление 78 разбивается, как объяснено выше, на присоединенное 45, спинор 16 и 16, а также на синглет Подалгебра SO (10). С учетом заряда U (1) имеем