2₄₁многогранник - 2 41 polytope

. 421.	. 142.	. 241.
. Выпрямленный 4 21.	. Выпрямленный 1 42.	. Выпрямленный 2 41.
. Двунаправленный 4 21.	. Триректифицированный 4 21.
Ортогональные проекции в E 6плоскости Кокстера

В 8-мерной геометрии 241является однородным 8-многогранником, построенным в пределах симметрии E8 группа.

Его символом Кокстера является 241, описывающий его раздваивающуюся диаграмму Кокстера-Дынкина с одним кольцом на конце последовательностей с двумя узлами.

Выпрямленный 2 41состоит из точек на средних краях 241. двунаправленный 2 41состоит из точек в центрах граней треугольника 241и совпадает с выпрямленным 1 42.

. Эти многогранники являются частью семейства 255 (2 - 1) выпуклые однородные многогранники в 8-мерном пространстве, составленные из граней однородного многогранника и вершинных фигур, определяемых всеми перестановками колец в этом Coxeter- Диаграмма Дынкина : .

• 1 2 41 многогранник
  • 1.1 Альтернативные имена
  • 1.2 Координаты
  • 1.3 Конструкция
  • 1.4 Изображения
  • 1.5 Связанные многогранники и соты
• 2 Ректифицированный многогранник 2_41
  • 2.1 Альтернативные имена
  • 2.2 Построение
  • 2.3 Визуализации
• 3 См. Также
• 4 Примечания
• 5 Ссылки

241многогранник
Тип	Равномерное 8-многогранник
Семейство	2k1многогранник
символ Шлефли	{3,3,3}
символ Кокстера	241
диаграмма Кокстера
7- лица	17520:. 240 231 . 17280 {3}
6- лица	144960:. 6720 221 . 138240 {3 }
5-гранный	544320:. 60480 211 . 483840 {3}
4-face	1209600:. 241920 {201 . 967680 {3}
Ячейки	1209600 {3}
Лица	483840 {3}
Края	69120
Вершины	2160
Вершинная фигура	141
многоугольник Петри	30-угольник
группа Кокстера	E8, [3]
Свойства	выпуклый

241состоит из 17,520 граней (240 231 многогранников и 17,280 7-симплексов ), 144,960 6-граней (6,720 221 многогранников и 138,240 6-симплексов ), 544,320 5-граней (60,480 211 и 483,840 5-симплексов ), 1,209,600 4-граней (4-симплексов ), 1,209,600 ячеек (тетраэдров ), 483,840 граней (треугольников ), 69 120 ребер и 2160 вершин. Его фигура вершины представляет собой 7-полукуб.

Этот многогранник является фасетом в однородной тесселяции , 2 51 с диаграммой Кокстера-Дынкина :

Альтернативные имена

• Э. Л. Элте назвал его V 2160 (для 2160 вершин) в своем списке полуправильных многогранников 1912 года.
• Он назван 241от Кокстера за его раздвоенную диаграмму Кокстера-Дынкина с одним кольцом на конце последовательности из 2 узлов.
• Diacositetracont-myriaheptachiliadiacosioctaconta-zetton (Acronym Bay) - 240-17280 фасеточный полизеттон (Jonathan Bowers)

Координаты

2160 вершин можно определить следующим образом:

16 перестановок (± 4,0,0,0,0,0,0,0) из (8-ортоплекс )

1120 перестановок (± 2, ± 2, ± 2, ± 2,0,0,0,0) из (триректифицированного 8-ортоплекса )

1024 перестановок (± 3, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1) с нечетным числом знаков минус

Конструкция

Создается с помощью конструкции Wythoff на множестве 8 гиперплоскость отражает в 8-мерном пространстве.

Информация о фасетах может быть извлечена из его диаграммы Кокстера-Дынкина : .

Удаление узла на короткой ветви оставляет 7-симплекс : . Имеется 17280 из эти фасеты

При удалении узла на конце 4-й ветви остается 231, . Всего таких граней 240. Они центрированы в положениях 240 вершин многогранника 421.

Число вершин определяется путем удаления окруженного узла и звонка соседнему узлу. Это делает 7-demicube, 1 41, .

. Видимый в матрице конфигурации, количество элементов может быть получено путем удаления зеркала и соотношений групп Кокстера порядков.

E8		k-грань	fk	f0	f1	f2	f3	f4		f5		f6		f7		k-цифра	примечания
D7		()	f0	2160	64	672	2240	560	2240	280	1344	84	448	14	64	h {4,3,3,3,3,3}	E8/D7= 192 * 10! / 64/7! = 2160
A6A1		{}	f1	2	69120	21	105	35	140	35	105	21	42	7	7	r {3,3,3,3,3}	E8/A6A1= 192 * 10! / 7! / 2 = 69120
A4A2A1		{3}	f2	3	3	483840	10	5	20	10	20	10	10	5	2	{} x {3,3,3}	E8/A4A2A1= 192 * 10! / 5! / 3! / 2 = 483840
A3A3		{3, 3}	f3	4	6	4	1209600	1	4	4	6	6	4	4	1	{3,3} V ()	E8/A3A3= 192 * 10! / 4! / 4! = 1209600
A4A3		{3,3,3}	f4	5	10	10	5	241920	*	4	0	6	0	4	0	{3,3}	E8/A4A3= 192 * 10! / 5! / 4! = 241920
A4A2				5	10	10	5	*	967680	1	3	3	3	3	1	{3} V ()	E8/A4A2= 192 * 10! / 5! / 3! = 967680
D5A2		{3,3,3}	f5	10	40	80	80	16	16	60480	*	3	0	3	0	{3}	E8/D5A2= 192 * 10! / 16/5! / 2 = 40480
A5A1		{3,3,3,3 }		6	15	20	15	0	6	*	483840	1	2	2	1	{} V ()	E8/A5A1= 192 * 10! / 6! / 2 = 483840
E6A1		{3,3,3}	f6	27	216	720	1080	216	432	27	72	6720	*	2	0	{}	E8/E6A1= 192 * 10! / 72/6! = 6720
A6		{3,3,3,3,3}		7	21	35	35	0	21	0	7	*	138240	1	1		E8/A6= 192 * 10! / 7! = 138240
E7		{3,3,3}	f7	126	2016	10080	20160	4032	12096	756	4032	56	576	240	*	()	E8/E7= 192 * 10! / 72! / 8! = 240
A7		{3,3,3,3,3,3}		8	28	56	70	0	56	0	28	0	8	*	17280		E8/A7= 192 * 10! / 8! = 17280

Изображения

Показано в трехмерной проекции с использованием базисных векторов [u, v, w], задающих симметрию H3:

• u = (1, φ, 0, −1, φ, 0,0,0)
• v = (φ, 0, 1, φ, 0, −1,0,0)
• w = (0, 1, φ, 0, −1, φ, 0, 0)

2160 спроецированных вершин многогранника 241 сортируются и вычисляются по их трехмерной норме, создавая все более прозрачные оболочки для каждого набора установленных норм. Перекрывающиеся вершины имеют цветовую кодировку по количеству перекрытий. Также показан список каждой группы корпусов, нормальное расстояние от начала координат и количество вершин в группе. 2160 спроецированный многогранник 241 проецируется в 3D (как указано выше) с каждым Группа Norm'd корпуса перечислена индивидуально с подсчетом вершин. Обратите внимание, что последние две внешние оболочки представляют собой комбинацию двух перекрывающихся икосаэдров (24) и икосододекаэдра (30).

Многоугольник Петри может быть 12-, 18- или 30-сторонним в зависимости от E6, E7 и E8 симметрии. Отображаются все 2160 вершин, но формы с более низкой симметрией имеют перекрывающиеся проецируемые позиции, показанные в виде вершин разного цвета. Для сравнения также показана группа коксетера B6.

E8. [30]	[20]	[24]
. (1)
E7. [18]	E6. [12]	[6 ]
	. (1,8,24,32)

D3 / B2 / A3. [4]	D4 / B3 / A2. [6]	D5 / B4. [8]
D6 / B5 / A4. [10]	D7 / B6. [12]	D8 / B7 / A6. [14]
	. (1,3,9,12,18,21,36)
B8. [16/2]	A5. [6]	A7. [8]

Родственные многогранники и соты

2k1цифры в n измерениях
Пространство	Конечное						Евклидово	Гиперболическое
n	3	4	5	6	7	8	9	10
Кокстера. группа	E3=A2A1	E4=A4	E5=D5	E6	E7	E8	E9= $E\; ~\; 8\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{E\}\}\; \_\; \{8\}\}$= E 8	E10= $T\; ¯\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{T\}\}\; \_\; \{8\}\}$= E 8
Диаграмма Кокстера.
Симметрия	[3]	[3]	[[3]]	[3]	[3]	[3]	[3]	[3]
Порядок	12	120	384	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
График							-	-
Имя	2−1,1	201	211	221	231	241	251	261

Выпрямленный 2 41 многогранник
Тип	Унифицированный 8-многогранник
Шлефли символ	t1{3,3,3}
символ Кокстера	t1(241)
диаграмма Кокстера
7-граней	19680 всего: 240 t1(221). 17280 t1{3}. 2160 141
6- лиц	313440
5-face	1693440
4-face	4717440
Ячейки	7257600
Лица	5322240
Ребра	19680
Вершины	69120
Вершина	исправлена ​​6 -симплекс призма
многоугольник Петри	30-угольник
группа Кокстера	E8, [3]
Свойства	выпуклый

выпрямленный 2 41ректификация многогранника 2 41, с вершинами, расположенными по центру 2 41.

альтернативных имен

• Rectified Diacositetracont-myriaheptachiliadiacosioctaconta-zetton для rectified 240-17280 фасетный многоугольник (сокращенно robay)

Конструкция

Создается с помощью конструкции Wythoff на наборе из 8 гиперплоскостей зеркал в 8-мерном пространстве., определяемых корневыми векторами группы E8 Кокстера.

Информация о фасете может быть извлеченным из его диаграммы Кокстера-Дынкина : .

Удаление узла на короткой ветви оставляет выпрямленный 7-симплекс : .

Удаление узла на конце 4-длины ветви оставляет rectified 2 31, .

Удаление узла на конце 2-длины ветви оставляет 7-полукуб, 1 41.

фигура вершины определяется путем удаления окруженного кольцом узла и звонит соседний узел. Это делает выпрямленную 6-симплексную призму, .

Визуализации

многоугольник Петри проекции могут быть 12, 18 или 30-сторонними в зависимости от симметрий E6, E7 и E8. Отображаются все 2160 вершин, но формы с более низкой симметрией имеют перекрывающиеся проецируемые позиции, показанные в виде вершин разного цвета. Для сравнения также показана группа коксетера B6.

E8. [30]	[20]	[24]
. (1)
E7. [18]	E6. [12]	[6 ]
	. (1,8,24,32)

D3 / B2 / A3. [4]	D4 / B3 / A2. [6]	D5 / B4. [8]
D6 / B5 / A4. [10]	D7 / B6. [12]	D8 / B7 / A6. [14]
	. (1,3,9,12,18,21,36)
B8. [16/2]	A5. [6]	A7. [8]

• Список многогранников E8

• Elte, EL (1912), The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces, Groningen: University of Groningen
• H. С. М. Коксетер, Регулярные многогранники, 3-е издание, Довер, Нью-Йорк, 1973
• Калейдоскопы: Избранные труды Х.С.М. Коксетер, под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Асии Ивика Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471- 01003-6 [1]
  • (Бумага 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Клитцинг, Ричард. "8D Uniform polyzetta".x3o3o3o * c3o3o3o3o - bay, o3x3o3o * c3o3o3o3o - robay

v t Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники в размерах 2–10
An	Bn	I2(p) / Dn	E6 / E7 / E8 / F4 / G2	Hn
Треугольник	Квадрат	p-угольник	Шестиугольник	Пентагон
Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
5-элементный	16-элементный • Тессеракт	Демитессеракт	24-элементный	120-элементный • 600 ячеек
5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-полукуб
6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-полукуб	122 • 221
7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-полукуб	132 • 231 • 321
8-симплекс	8- ортоплекс • 8-куб	8-полукуб	142 • 241 • 421
9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-полукуб
10- симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-полукруг
n-симплекс	n-ортоплекс • n- куб	n-полукуб	1k2 • 2k1 • k21	n-пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список рег. Улярные многогранники и соединения