Изометрия

редактировать

Эта статья о функциях сохранения расстояния. Чтобы узнать о других математических значениях, см изометрия (значения). Для нематематических целей см. Изометрия. Не путать с изометрической проекцией.

В математике, изометрия (или конгруэнтность, или конгруэнтно преобразование) представляет собой расстояние -preserving преобразование между метрическими пространствами, как правило, предполагается, что биективно.

Композиция из два противоположных изометрии является прямой изометрией. Отражение в линии - это противоположная изометрия, как R 1 или R 2 на изображении. Трансляция T - это прямая изометрия: жесткое движение.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Введение
2 Определение изометрии
3 Изометрии между нормированными пространствами
- 3.1 Линейная изометрия
4 коллектора
- 4.1 Определение
- 4.2 Свойства
5 Обобщения
6 См. Также
7 ссылки
8 Библиография
9 Библиография

Вступление

Учитывая метрическое пространство (грубо говоря, набор и схему для присвоения расстояний между элементами набора), изометрия - это преобразование, которое отображает элементы в то же или другое метрическое пространство таким образом, что расстояние между элементами изображения в новом метрическом пространстве равно расстоянию между элементами в исходном метрическом пространстве. В двухмерном или трехмерном евклидовом пространстве две геометрические фигуры конгруэнтны, если они связаны изометрией; изометрии, что связывает их либо жесткое движение (перевод или вращение), или композиция из жесткого движения и отражения.

Изометрии часто используются в конструкциях, где одно пространство вложено в другое пространство. Например, пополнение метрического пространства М включает изометрию из М в М», а фактор - множество в пространстве последовательностей Коши на М. Таким образом, исходное пространство M изометрически изоморфно подпространству полного метрического пространства и обычно отождествляется с этим подпространством. Другие конструкции вложения показывают, что каждое метрическое пространство изометрически изоморфно замкнутому подмножеству некоторого нормированного векторного пространства и что каждое полное метрическое пространство изометрически изоморфно замкнутому подмножеству некоторого банахова пространства.

Изометрический сюръективный линейный оператор в гильбертовом пространстве называется унитарным оператором.

Определение изометрии

Пусть X и Y быть метрическими пространствами с метрикой (например, расстояние) d X и d Y. Отображение F : X → Y называется изометрией или расстояние сохранение, если для любого а, б ∈ X из них имеет

{\ displaystyle d_ {Y} \! \ left (f (a), f (b) \ right) = d_ {X} (a, b).}

{\ displaystyle d_ {Y} \! \ left (f (a), f (b) \ right) = d_ {X} (a, b).}

Изометрия автоматически вводится ; в противном случае две различные точки, a и b, могли бы быть отображены в одну и ту же точку, что противоречило бы аксиоме совпадения метрики d. Это доказательство аналогично доказательству инъективности упорядоченного вложения между частично упорядоченными множествами. Ясно, что любая изометрия между метрическими пространствами является топологическим вложением.

Глобальная изометрия, изометрический изоморфизм или отображение конгруэнтности является взаимно однозначной изометрией. Как и любая другая биекция, глобальная изометрия имеет обратную функцию. Обратное к глобальной изометрии также является глобальной изометрией.

Два метрических пространств X и Y называются изометрическими, если существует взаимно однозначная изометрия из X в Y. Множество биективных изометрии метрического пространства к себе образует группу относительно композиции функций, называется изометрия группы.

Существует также более слабое понятие изометрии пути или дугообразной изометрии:

Путь изометрия или дугообразно изометрия представляет собой карту, которая сохраняет длины кривых ; такое отображение не обязательно является изометрией в смысле сохранения расстояния, и оно не обязательно должно быть биективным или даже инъективным. Этот термин часто сокращают до просто изометрии, поэтому следует позаботиться о том, чтобы определить из контекста, какой тип предназначен.

Примеры

Любое отражение, перенос и вращение - это глобальная изометрия на евклидовых пространствах. См. Также Евклидова группа и Евклидово пространство § Изометрии.
Карта в это путь изометрия, но не изометрия. Обратите внимание, что в отличие от изометрии, это не инъективно. ${\ Displaystyle х \ mapsto | х |}$ $х \ mapsto | х |$ ${\ Displaystyle {\ mathbb {R}}}$ ${\ mathbb R}$

Изометрии между нормированными пространствами

Следующая теорема принадлежит Мазуру и Уламу.

Определение: середина двух элементов x и y в векторном пространстве - это вектор 1/2( х + у).

Теорема - Пусть : X → Y -сюръективная изометрия между нормированными пространствами, переводящим 0 в 0 ( Стефан Баны называют такие картами севооборотов), где отмечают, что это не предполагается, являются линейной изометрия. Затем A отображает средние точки в средние точки и является линейным, как отображение действительных чисел ℝ. Если X и Y - комплексные векторные пространства, то A может не быть линейным как отображение над ℂ.

Линейная изометрия

Учитывая два нормированных векторных пространств и, линейная изометрия является линейное отображение, сохраняющее нормы: ${\ displaystyle V}$ $V$ ${\ displaystyle W}$ $W$ ${\ displaystyle A: V \ to W}$ ${\ displaystyle A: V \ to W}$

${\ Displaystyle \ | Av \ | = \ | v \ |}$ ${\ Displaystyle \ | Av \ | = \ | v \ |}$

для всех. Линейные изометрии сохраняют расстояние в указанном выше смысле. Они являются глобальными изометриями тогда и только тогда, когда они сюръективны. ${\ displaystyle v \ in V}$ $v \ in V$

Во внутреннем пространстве продукта приведенное выше определение сводится к

${\ Displaystyle \ langle v, v \ rangle = \ langle Av, Av \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ langle v, v \ rangle = \ langle Av, Av \ rangle}$

для всех, что равносильно тому, чтобы сказать это. Это также означает, что изометрии сохраняют внутренние продукты, так как ${\ displaystyle v \ in V}$ $v \ in V$ ${\ displaystyle A ^ {\ dagger} A = \ operatorname {I} _ {V}}$ ${\ displaystyle A ^ {\ dagger} A = \ operatorname {I} _ {V}}$

${\ displaystyle \ langle Au, Av \ rangle = \ langle u, A ^ {\ dagger} Av \ rangle = \ langle u, v \ rangle.}$ ${\ displaystyle \ langle Au, Av \ rangle = \ langle u, A ^ {\ dagger} Av \ rangle = \ langle u, v \ rangle.}$

Однако линейные изометрии не всегда являются унитарными операторами, поскольку для них дополнительно требуется и. ${\ Displaystyle V = W}$ ${\ Displaystyle V = W}$ ${\ displaystyle AA ^ {\ dagger} = \ operatorname {I} _ {V}}$ ${\ displaystyle AA ^ {\ dagger} = \ operatorname {I} _ {V}}$

По теореме Мазура-Улама, любая изометрия нормированных векторных пространств над R является аффинным.

Примеры

Изометрические линейные отображения из C ⁿ в себя задаются унитарными матрицами.

Коллекторы

Изометрия многообразия - это любое (гладкое) отображение этого многообразия в себя или в другое многообразие, сохраняющее понятие расстояния между точками. Определение изометрии требует понятия метрики на многообразии; многообразие с (положительно определенной) метрикой является римановым многообразием, а многообразие с индефинитной метрикой - псевдоримановым многообразием. Таким образом, изометрии изучаются в римановой геометрии.

Локальная изометрия из одного ( псевдо -) риманово многообразие к другому представляет собой карту, которая отодвигается в метрическом тензоре на втором многообразии к метрическому тензору на первом. Когда такое отображение также является диффеоморфизмом, такое отображение называется изометрией (или изометрическим изоморфизмом) и дает понятие изоморфизма («тождества») в категории Rm римановых многообразий.

Определение

Пусть и - два (псевдо) риманова многообразия, и пусть - диффеоморфизм. Тогда называется изометрией (или изометрическим изоморфизмом), если ${\ Displaystyle R = (М, г)}$ ${\ Displaystyle R = (М, г)}$ ${\ Displaystyle R '= (М', г ')}$ ${\ Displaystyle R '= (М', г ')}$ ${\ displaystyle f: R \ to R '}$ ${\ displaystyle f: R \ to R '}$ ${\ displaystyle f}$ $ж$

${\ Displaystyle г = е ^ {*} г ', \,}$ $g = f ^ {{*}} g ', \,$

где обозначает возврат метрического тензора ранга (0, 2) через. Эквивалентно, с точки зрения продвижения вперед, у нас есть это для любых двух векторных полей на (то есть секций касательного расслоения ), ${\ displaystyle f ^ {*} g '}$ $f ^ {{*}} g '$ ${\ displaystyle g '}$ $грамм'$ ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle f _ {*}}$ $f _ {{*}}$ ${\ displaystyle v, w}$ $v, w$ ${\ displaystyle M}$ $M$ ${\ displaystyle \ mathrm {T} M}$ ${\ mathrm {T}} М$

${\ displaystyle g (v, w) = g '\ left (f _ {*} v, f _ {*} w \ right). \,}$ $g (v, w) = g '\ left (f _ {{*}} v, f _ {{*}} w \ right). \,$

Если является локальным диффеоморфизмом такой, что, то называется локальной изометрией. ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle g = f ^ {*} g '}$ $g = f ^ {{*}} g '$ ${\ displaystyle f}$ $ж$

Характеристики

Набор изометрий обычно образует группу, группу изометрий. Когда группа является непрерывной группой, инфинитезимальные генераторы группы являются векторными полями Киллинга.

Теорема Майерса – Стинрода утверждает, что любая изометрия между двумя связными римановыми многообразиями является гладкой (дифференцируемой). Вторая форма этой теоремы утверждает, что группа изометрий риманова многообразия является группой Ли.

Римановы многообразия, изометрии которых определены в каждой точке, называются симметрическими пространствами.

Обобщения

Для положительного действительного числа ε ε-изометрия или почти изометрия (также называемая приближением Хаусдорфа ) - это отображение между метрическими пространствами, такое что ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$ $е: от X \ до Y$

для x, x ′ ∈ X | d Y (ƒ ( x), ƒ ( x ′)) - d X ( x, x ′) | lt;ε, и

для любой точки у ∈ Y существует точка х ∈ Х с д У ( у, ƒ ( х)) lt;е

То есть ε-изометрия сохраняет расстояния с точностью до ε и не оставляет никаких элементов содомена дальше, чем ε от изображения элемента области. Обратите внимание, что ε-изометрии не считаются непрерывными.

Свойство ограниченной изометрии характеризует почти изометрические матрицы для разреженных векторов.

Квазиизометрия - еще одно полезное обобщение.

Можно также определить элемент абстрактной унитальной C * -алгебры как изометрию:
${\ displaystyle a \ in {\ mathfrak {A}}}$ $а \ in \ mathfrak {A}$ является изометрией тогда и только тогда, когда. ${\ Displaystyle а ^ {*} \ cdot а = 1}$ $а ^ * \ cdot а = 1$

Обратите внимание, что, как упоминалось во введении, это не обязательно унитарный элемент, потому что, как правило, левый обратный не является правым обратным.

В псевдоевклидовом пространстве термин изометрия означает линейную биекцию, сохраняющую величину. См. Также Квадратичные пространства.

Смотрите также

Теорема Бекмана – Куорлза

Второе двойственное банахово пространство как изометрический изоморфизм

Изометрия евклидовой плоскости

Плоский (геометрия)

Группа гомеоморфизмов

Инволюция

Группа изометрии

Движение (геометрия)

Теорема Майерса – Стинрода.

Трехмерные изометрии, оставляющие фиксированное начало координат

Частичная изометрия

Полуопределенное вложение

Космическая группа

Симметрия в математике

Рекомендации

Библиография

Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.

Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.

Шефер, Гельмут Х. ; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.

Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.

Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах. Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.

Библиография

Кокстер, HSM (1969). Введение в геометрию, второе издание. Вайли. ISBN 9780471504580.

Ли, Джеффри М. (2009). Многообразия и дифференциальная геометрия. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4815-9.