В математике, изометрия (или конгруэнтность, или конгруэнтно преобразование) представляет собой расстояние -preserving преобразование между метрическими пространствами, как правило, предполагается, что биективно.
Композиция из два противоположных изометрии является прямой изометрией. Отражение в линии - это противоположная изометрия, как R 1 или R 2 на изображении. Трансляция T - это прямая изометрия: жесткое движение.Учитывая метрическое пространство (грубо говоря, набор и схему для присвоения расстояний между элементами набора), изометрия - это преобразование, которое отображает элементы в то же или другое метрическое пространство таким образом, что расстояние между элементами изображения в новом метрическом пространстве равно расстоянию между элементами в исходном метрическом пространстве. В двухмерном или трехмерном евклидовом пространстве две геометрические фигуры конгруэнтны, если они связаны изометрией; изометрии, что связывает их либо жесткое движение (перевод или вращение), или композиция из жесткого движения и отражения.
Изометрии часто используются в конструкциях, где одно пространство вложено в другое пространство. Например, пополнение метрического пространства М включает изометрию из М в М», а фактор - множество в пространстве последовательностей Коши на М. Таким образом, исходное пространство M изометрически изоморфно подпространству полного метрического пространства и обычно отождествляется с этим подпространством. Другие конструкции вложения показывают, что каждое метрическое пространство изометрически изоморфно замкнутому подмножеству некоторого нормированного векторного пространства и что каждое полное метрическое пространство изометрически изоморфно замкнутому подмножеству некоторого банахова пространства.
Изометрический сюръективный линейный оператор в гильбертовом пространстве называется унитарным оператором.
Пусть X и Y быть метрическими пространствами с метрикой (например, расстояние) d X и d Y. Отображение F : X → Y называется изометрией или расстояние сохранение, если для любого а, б ∈ X из них имеет
Изометрия автоматически вводится ; в противном случае две различные точки, a и b, могли бы быть отображены в одну и ту же точку, что противоречило бы аксиоме совпадения метрики d. Это доказательство аналогично доказательству инъективности упорядоченного вложения между частично упорядоченными множествами. Ясно, что любая изометрия между метрическими пространствами является топологическим вложением.
Глобальная изометрия, изометрический изоморфизм или отображение конгруэнтности является взаимно однозначной изометрией. Как и любая другая биекция, глобальная изометрия имеет обратную функцию. Обратное к глобальной изометрии также является глобальной изометрией.
Два метрических пространств X и Y называются изометрическими, если существует взаимно однозначная изометрия из X в Y. Множество биективных изометрии метрического пространства к себе образует группу относительно композиции функций, называется изометрия группы.
Существует также более слабое понятие изометрии пути или дугообразной изометрии:
Путь изометрия или дугообразно изометрия представляет собой карту, которая сохраняет длины кривых ; такое отображение не обязательно является изометрией в смысле сохранения расстояния, и оно не обязательно должно быть биективным или даже инъективным. Этот термин часто сокращают до просто изометрии, поэтому следует позаботиться о том, чтобы определить из контекста, какой тип предназначен.
Следующая теорема принадлежит Мазуру и Уламу.
Теорема - Пусть : X → Y -сюръективная изометрия между нормированными пространствами, переводящим 0 в 0 ( Стефан Баны называют такие картами севооборотов), где отмечают, что это не предполагается, являются линейной изометрия. Затем A отображает средние точки в средние точки и является линейным, как отображение действительных чисел ℝ. Если X и Y - комплексные векторные пространства, то A может не быть линейным как отображение над ℂ.
Учитывая два нормированных векторных пространств и, линейная изометрия является линейное отображение, сохраняющее нормы:
для всех. Линейные изометрии сохраняют расстояние в указанном выше смысле. Они являются глобальными изометриями тогда и только тогда, когда они сюръективны.
Во внутреннем пространстве продукта приведенное выше определение сводится к
для всех, что равносильно тому, чтобы сказать это. Это также означает, что изометрии сохраняют внутренние продукты, так как
Однако линейные изометрии не всегда являются унитарными операторами, поскольку для них дополнительно требуется и.
По теореме Мазура-Улама, любая изометрия нормированных векторных пространств над R является аффинным.
Изометрия многообразия - это любое (гладкое) отображение этого многообразия в себя или в другое многообразие, сохраняющее понятие расстояния между точками. Определение изометрии требует понятия метрики на многообразии; многообразие с (положительно определенной) метрикой является римановым многообразием, а многообразие с индефинитной метрикой - псевдоримановым многообразием. Таким образом, изометрии изучаются в римановой геометрии.
Локальная изометрия из одного ( псевдо -) риманово многообразие к другому представляет собой карту, которая отодвигается в метрическом тензоре на втором многообразии к метрическому тензору на первом. Когда такое отображение также является диффеоморфизмом, такое отображение называется изометрией (или изометрическим изоморфизмом) и дает понятие изоморфизма («тождества») в категории Rm римановых многообразий.
Пусть и - два (псевдо) риманова многообразия, и пусть - диффеоморфизм. Тогда называется изометрией (или изометрическим изоморфизмом), если
где обозначает возврат метрического тензора ранга (0, 2) через. Эквивалентно, с точки зрения продвижения вперед, у нас есть это для любых двух векторных полей на (то есть секций касательного расслоения ),
Если является локальным диффеоморфизмом такой, что, то называется локальной изометрией.
Набор изометрий обычно образует группу, группу изометрий. Когда группа является непрерывной группой, инфинитезимальные генераторы группы являются векторными полями Киллинга.
Теорема Майерса – Стинрода утверждает, что любая изометрия между двумя связными римановыми многообразиями является гладкой (дифференцируемой). Вторая форма этой теоремы утверждает, что группа изометрий риманова многообразия является группой Ли.
Римановы многообразия, изометрии которых определены в каждой точке, называются симметрическими пространствами.