Изометрия

редактировать
Эта статья о функциях сохранения расстояния. Чтобы узнать о других математических значениях, см изометрия (значения). Для нематематических целей см. Изометрия. Не путать с изометрической проекцией.

В математике, изометрия (или конгруэнтность, или конгруэнтно преобразование) представляет собой расстояние -preserving преобразование между метрическими пространствами, как правило, предполагается, что биективно.

Композиция из два противоположных изометрии является прямой изометрией. Отражение в линии - это противоположная изометрия, как R 1 или R 2 на изображении. Трансляция T - это прямая изометрия: жесткое движение.
СОДЕРЖАНИЕ
  • 1 Введение
  • 2 Определение изометрии
  • 3 Изометрии между нормированными пространствами
    • 3.1 Линейная изометрия
  • 4 коллектора
    • 4.1 Определение
    • 4.2 Свойства
  • 5 Обобщения
  • 6 См. Также
  • 7 ссылки
  • 8 Библиография
  • 9 Библиография
Вступление

Учитывая метрическое пространство (грубо говоря, набор и схему для присвоения расстояний между элементами набора), изометрия - это преобразование, которое отображает элементы в то же или другое метрическое пространство таким образом, что расстояние между элементами изображения в новом метрическом пространстве равно расстоянию между элементами в исходном метрическом пространстве. В двухмерном или трехмерном евклидовом пространстве две геометрические фигуры конгруэнтны, если они связаны изометрией; изометрии, что связывает их либо жесткое движение (перевод или вращение), или композиция из жесткого движения и отражения.

Изометрии часто используются в конструкциях, где одно пространство вложено в другое пространство. Например, пополнение метрического пространства М включает изометрию из М в М», а фактор - множество в пространстве последовательностей Коши на М. Таким образом, исходное пространство M изометрически изоморфно подпространству полного метрического пространства и обычно отождествляется с этим подпространством. Другие конструкции вложения показывают, что каждое метрическое пространство изометрически изоморфно замкнутому подмножеству некоторого нормированного векторного пространства и что каждое полное метрическое пространство изометрически изоморфно замкнутому подмножеству некоторого банахова пространства.

Изометрический сюръективный линейный оператор в гильбертовом пространстве называется унитарным оператором.

Определение изометрии

Пусть X и Y быть метрическими пространствами с метрикой (например, расстояние) d X и d Y. Отображение F  : X → Y называется изометрией или расстояние сохранение, если для любого а, б ∈ X из них имеет

d Y ( ж ( а ) , ж ( б ) ) знак равно d Икс ( а , б ) . {\ displaystyle d_ {Y} \! \ left (f (a), f (b) \ right) = d_ {X} (a, b).}

Изометрия автоматически вводится ; в противном случае две различные точки, a и b, могли бы быть отображены в одну и ту же точку, что противоречило бы аксиоме совпадения метрики d. Это доказательство аналогично доказательству инъективности упорядоченного вложения между частично упорядоченными множествами. Ясно, что любая изометрия между метрическими пространствами является топологическим вложением.

Глобальная изометрия, изометрический изоморфизм или отображение конгруэнтности является взаимно однозначной изометрией. Как и любая другая биекция, глобальная изометрия имеет обратную функцию. Обратное к глобальной изометрии также является глобальной изометрией.

Два метрических пространств X и Y называются изометрическими, если существует взаимно однозначная изометрия из X в Y. Множество биективных изометрии метрического пространства к себе образует группу относительно композиции функций, называется изометрия группы.

Существует также более слабое понятие изометрии пути или дугообразной изометрии:

Путь изометрия или дугообразно изометрия представляет собой карту, которая сохраняет длины кривых ; такое отображение не обязательно является изометрией в смысле сохранения расстояния, и оно не обязательно должно быть биективным или даже инъективным. Этот термин часто сокращают до просто изометрии, поэтому следует позаботиться о том, чтобы определить из контекста, какой тип предназначен.

Примеры
Изометрии между нормированными пространствами

Следующая теорема принадлежит Мазуру и Уламу.

Определение: середина двух элементов x и y в векторном пространстве - это вектор 1/2( х + у).

Теорема  -  Пусть  : X → Y -сюръективная изометрия между нормированными пространствами, переводящим 0 в 0 ( Стефан Баны называют такие картами севооборотов), где отмечают, что это не предполагается, являются линейной изометрия. Затем A отображает средние точки в средние точки и является линейным, как отображение действительных чисел ℝ. Если X и Y - комплексные векторные пространства, то A может не быть линейным как отображение над ℂ.

Линейная изометрия

Учитывая два нормированных векторных пространств и, линейная изометрия является линейное отображение, сохраняющее нормы: V {\ displaystyle V} W {\ displaystyle W} А : V W {\ displaystyle A: V \ to W}

А v знак равно v {\ Displaystyle \ | Av \ | = \ | v \ |}

для всех. Линейные изометрии сохраняют расстояние в указанном выше смысле. Они являются глобальными изометриями тогда и только тогда, когда они сюръективны. v V {\ displaystyle v \ in V}

Во внутреннем пространстве продукта приведенное выше определение сводится к

v , v знак равно А v , А v {\ Displaystyle \ langle v, v \ rangle = \ langle Av, Av \ rangle}

для всех, что равносильно тому, чтобы сказать это. Это также означает, что изометрии сохраняют внутренние продукты, так как v V {\ displaystyle v \ in V} А А знак равно я V {\ displaystyle A ^ {\ dagger} A = \ operatorname {I} _ {V}}

А ты , А v знак равно ты , А А v знак равно ты , v . {\ displaystyle \ langle Au, Av \ rangle = \ langle u, A ^ {\ dagger} Av \ rangle = \ langle u, v \ rangle.}

Однако линейные изометрии не всегда являются унитарными операторами, поскольку для них дополнительно требуется и. V знак равно W {\ Displaystyle V = W} А А знак равно я V {\ displaystyle AA ^ {\ dagger} = \ operatorname {I} _ {V}}

По теореме Мазура-Улама, любая изометрия нормированных векторных пространств над R является аффинным.

Примеры
Коллекторы

Изометрия многообразия - это любое (гладкое) отображение этого многообразия в себя или в другое многообразие, сохраняющее понятие расстояния между точками. Определение изометрии требует понятия метрики на многообразии; многообразие с (положительно определенной) метрикой является римановым многообразием, а многообразие с индефинитной метрикой - псевдоримановым многообразием. Таким образом, изометрии изучаются в римановой геометрии.

Локальная изометрия из одного ( псевдо -) риманово многообразие к другому представляет собой карту, которая отодвигается в метрическом тензоре на втором многообразии к метрическому тензору на первом. Когда такое отображение также является диффеоморфизмом, такое отображение называется изометрией (или изометрическим изоморфизмом) и дает понятие изоморфизма («тождества») в категории Rm римановых многообразий.

Определение

Пусть и - два (псевдо) риманова многообразия, и пусть - диффеоморфизм. Тогда называется изометрией (или изометрическим изоморфизмом), если р знак равно ( M , грамм ) {\ Displaystyle R = (М, г)} р знак равно ( M , грамм ) {\ Displaystyle R '= (М', г ')} ж : р р {\ displaystyle f: R \ to R '} ж {\ displaystyle f}

грамм знак равно ж * грамм , {\ Displaystyle г = е ^ {*} г ', \,}

где обозначает возврат метрического тензора ранга (0, 2) через. Эквивалентно, с точки зрения продвижения вперед, у нас есть это для любых двух векторных полей на (то есть секций касательного расслоения ), ж * грамм {\ displaystyle f ^ {*} g '} грамм {\ displaystyle g '} ж {\ displaystyle f} ж * {\ displaystyle f _ {*}} v , ш {\ displaystyle v, w} M {\ displaystyle M} Т M {\ displaystyle \ mathrm {T} M}

грамм ( v , ш ) знак равно грамм ( ж * v , ж * ш ) . {\ displaystyle g (v, w) = g '\ left (f _ {*} v, f _ {*} w \ right). \,}

Если является локальным диффеоморфизмом такой, что, то называется локальной изометрией. ж {\ displaystyle f} грамм знак равно ж * грамм {\ displaystyle g = f ^ {*} g '} ж {\ displaystyle f}

Характеристики

Набор изометрий обычно образует группу, группу изометрий. Когда группа является непрерывной группой, инфинитезимальные генераторы группы являются векторными полями Киллинга.

Теорема Майерса – Стинрода утверждает, что любая изометрия между двумя связными римановыми многообразиями является гладкой (дифференцируемой). Вторая форма этой теоремы утверждает, что группа изометрий риманова многообразия является группой Ли.

Римановы многообразия, изометрии которых определены в каждой точке, называются симметрическими пространствами.

Обобщения
  • Для положительного действительного числа ε ε-изометрия или почти изометрия (также называемая приближением Хаусдорфа ) - это отображение между метрическими пространствами, такое что ж : Икс Y {\ displaystyle f: от X \ до Y}
    1. для x, x ′ ∈ X | d Y (ƒ ( x), ƒ ( x ′)) - d X ( x, x ′) | lt;ε, и
    2. для любой точки у ∈ Y существует точка х ∈ Х с д У ( у, ƒ ( х)) lt;е
То есть ε-изометрия сохраняет расстояния с точностью до ε и не оставляет никаких элементов содомена дальше, чем ε от изображения элемента области. Обратите внимание, что ε-изометрии не считаются непрерывными.
  • Свойство ограниченной изометрии характеризует почти изометрические матрицы для разреженных векторов.
  • Квазиизометрия - еще одно полезное обобщение.
  • Можно также определить элемент абстрактной унитальной C * -алгебры как изометрию:
    а А {\ displaystyle a \ in {\ mathfrak {A}}}является изометрией тогда и только тогда, когда. а * а знак равно 1 {\ Displaystyle а ^ {*} \ cdot а = 1}
Обратите внимание, что, как упоминалось во введении, это не обязательно унитарный элемент, потому что, как правило, левый обратный не является правым обратным.
Смотрите также
Рекомендации
Библиография
  • Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN   978-0-07-054236-5. OCLC   21163277.
  • Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN   978-1584888666. OCLC   144216834.
  • Шефер, Гельмут Х. ; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN   978-1-4612-7155-0. OCLC   840278135.
  • Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN   978-0-486-45352-1. OCLC   853623322.
  • Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах. Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.   978-0-486-49353-4. OCLC   849801114.
Библиография
Последняя правка сделана 2023-04-13 01:40:49
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте