Инъективная функция

Функция, сохраняющая различимость

В математике инъективная функция (также известная как инъекция или однозначная функция ) - это функция, которая отображает отдельные элементы своего домен на отдельные элементы его кодомена. Другими словами, каждый элемент кодомена функции является изображением не более одного элемента его домена. Термин «функция один-к-одному» не следует путать с взаимно-однозначным соответствием, которое относится к биективным функциям, которые являются такими функциями, что каждый элемент в кодомене является изображением ровно одного элемента в домен.

• 

  Инъективная не сюръективная функция (инъекция, а не биекция )

• 

  инъективная сюръективная функция (биекция )

• 

  Неинъективная сюръективная функция (сюръекция, а не биекция )

• 

  Неинъективная несюръективная функция (также не биекция )

A гомоморфизм между алгебраическими структурами - это функция, которая совместимы с операциями структур. Для всех обычных алгебраических структур, и, в частности, для векторных пространств, инъективный гомоморфизм также называется мономорфизмом. Однако в более общем контексте теории категорий, определение мономорфизма отличается от определения инъективного гомоморфизма. Таким образом, это теорема, что они эквивалентны для алгебраических структур; см. Гомоморфизм § Мономорфизм для более подробной информации.

Не инъективную функцию f иногда называют многие-к-одному.

• 1 Определение
• 2 Примеры
• 3 Инъекции можно отменить
• 4 Inj функции можно сделать обратимыми
• 5 Другие свойства
• 6 Доказательство инъективности функций
• 7 См. также
• 8 Примечания
• 9 Ссылки
• 10 Внешние ссылки

Пусть f будет функцией , домен которой является множеством X. Функция f называется инъективной при условии, что для всех a и b в X, если f (a) = f (b), то a = b; то есть из f (a) = f (b) следует a = b. Эквивалентно, если a ≠ b, то f (a) ≠ f (b).

Символически

$\forall \; a,\; b\; \in \; X,\; f\; (a)\; =\; f\; (b)\; \Rightarrow \; a\; =\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; forall\; a,\; b\; \backslash \; in\; X,\; \backslash ;\; \backslash ;\; f\; (a)\; =\; f\; (b)\; \backslash \; Rightarrow\; a\; =\; b\}$

, что логически эквивалентно контрапозитиву,

$\forall \; a,\; b\; \in \; X,\; a\; \ne \; b\; \Rightarrow \; f\; (a)\; \ne \; f\; (b)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; forall\; a,\; b\; \backslash \; in\; X,\; \backslash ;\; \backslash ;\; a\; \backslash \; neq\; b\; \backslash \; Rightarrow\; f\; (a)\; \backslash \; neq\; f\; (b)\}$

• Для любого набора X и любого подмножества S из X Отображение включения S → X (которое отправляет любой элемент s из S самому себе) инъективно. В частности, функция идентичности X → X всегда инъективна (и фактически биективна).
• Если область определения X = ∅ или X имеет только один элемент, тогда функция X → Y всегда инъективна.
• Функция f: R→ R, определенная как f (x) = 2x + 1, инъективна.
• Функция g: R→ Rопределена by g (x) = x не инъективен, потому что (например) g (1) = 1 = g (−1). Однако, если g переопределен так, что его доменом являются неотрицательные действительные числа [0, + ∞), тогда g является инъективным.
• экспоненциальная функция exp: R→ Rопределена by exp (x) = e является инъективным (но не сюръективным, поскольку никакое действительное значение не отображается в отрицательное число).
• натуральный логарифм функция ln: ( 0, ∞) → R, определенное как x ↦ ln x, инъективно.
• Функция g: R→ R, определенная как g (x) = x - x, не инъективна, поскольку например, g (0) = g (1) = 0.

В более общем смысле, когда X и Y являются действительной линией R, тогда инъективная функция f: R→ R- это функция, график которой никогда не пересекается какой-либо горизонтальной линией более одного раза. Этот принцип называется тестом горизонтальной линии.

Инъективными функциями. Схематическая интерпретация в декартовой плоскости, определяемая отображением f: X → Y, где y = f (x), X = область функции, Y = диапазон функции, а im (f) обозначает изображение f. Каждый x в X отображается ровно на один уникальный y в Y. Части осей в кружках представляют наборы областей и диапазонов - в соответствии со стандартными диаграммами выше. Не инъективная функция. Здесь X 1 и X 2 - это подмножества X, Y 1 и Y 2 - подмножества Y: для двух регионов, где функция не является инъективной, потому что более одного элемента домена могут отображаться в один элемент диапазона. Таким образом, более одного x в X может отображаться в один и тот же y в Y. Создание функций инъективными. Предыдущая функция f: X → Y может быть сведена к одной или нескольким инъективным функциям (скажем) f: X 1 → Y 1 и f: X 2 → Y 2, показано сплошными кривыми (части исходной кривой с длинными штрихами больше не отображаются). Обратите внимание, что правило f не изменилось - только домен и диапазон. X 1 и X 2 являются подмножествами X, Y 1 и Y 2 являются подмножествами Y: для двух регионов, где начальное функцию можно сделать инъективной, чтобы один элемент домена мог отображаться в один элемент диапазона. То есть только один x в X отображается на один y в Y.

Функции с левыми инверсиями всегда являются инъекциями. То есть, если f: X → Y, если существует функция g: Y → X такая, что для любого x ∈ X

g (f (x)) = x (f может быть отменено с помощью g), то f инъективен. В этом случае g называется ретракцией f. И наоборот, f называется section g.

И наоборот, каждая инъекция f с непустой областью имеет левый обратный g, который можно определить, зафиксировав элемент a в области f, поэтому что g (x) равно уникальному прообразу x под f, если он существует, и g (x) = a в противном случае.

Левый обратный g не обязательно является обратным f, потому что композиция в другом порядке, f ∘ g, может отличаться от идентичности на Y. Другими словами, инъективная функция может быть "обращена" левой обратной, но не обязательно обратимой, что требует что функция биективная.

Фактически, чтобы превратить инъективную функцию f: X → Y в биективную (следовательно, обратимую ), достаточно заменить его область значений Y фактическим диапазоном J = f (X). То есть, пусть g: X → J такой, что g (x) = f (x) для всех x в X; тогда g биективен. Действительно, f можно разложить на множители как incl J, Y ∘ g, где incl J, Y - это функция включения из J в Y.

В более общем смысле инъективные частичные функции называются частичными биекциями.

• Если f и g инъективны, то f ∘ g инъективно.

Состав две инъективные функции инъективны.

• Если g ∘ f инъективен, то f инъективен (но g не обязательно должен быть).
• f: X → Y инъективен тогда и только тогда, когда для любых функций g, h: W → X, если f ∘ g = f ∘ h, то g = h. Другими словами, инъективные функции - это в точности мономорфизмы в категории наборе множеств.
• Если f: X → Y инъективно и A является подмножеством X, тогда f (f (A)) = A. Таким образом, A можно восстановить из его изображения f(A).
• Если f: X → Y инъективно, а A и B являются подмножествами X, то f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).
• Любая функция h: W → Y может разложить как h = f ∘ g для подходящей инъекции f и сюръекции g. Это разложение является уникальным до изоморфизма, и f можно рассматривать как функцию включения диапазона h (W) h как подмножества кодомена Y элемента h.
• Если f: X → Y - инъективная функция, то Y имеет по крайней мере столько же элементов, сколько X, в смысле кардинальных чисел. В частности, если, кроме того, происходит инъекция от Y до X, то X и Y имеют одинаковый кардинальный номер. (Это известно как теорема Кантора – Бернштейна – Шредера.)
• Если и X, и Y конечны с одинаковым числом элементов, то f: X → Y инъективно тогда и только тогда, когда f является сюръективным (в этом случае f является биективным ).
• Инъективная функция, которая является гомоморфизмом между двумя алгебраическими структурами, является вложением.
• В отличие от сюръективности, который является отношением между графиком функции и ее областью, инъективность является свойством только графика функции; то есть, является ли функция f инъективной, можно решить, рассматривая только график (а не область области) of f.

Доказательство инъективности функции f зависит от того, как функция представлена ​​и какие свойства она имеет. Для функций, которые задаются некоторой формулой, существует основная идея. Мы используем определение инъективности, а именно, что если f (x) = f (y), то x = y.

Вот пример:

f = 2x + 3

Доказательство: Пусть f: X → Y. Предположим, что f (x) = f (y). Итак, 2x + 3 = 2y + 3 ⇒ 2x = 2y ⇒ x = y. Следовательно, из определения следует инъективность f.

Есть несколько других методов доказательства инъективности функции. Например, в исчислении, если f - дифференцируемая функция, определенная на некотором интервале, тогда достаточно показать, что производная всегда положительна или всегда отрицательна на этом интервале. В линейной алгебре, если f - линейное преобразование, достаточно показать, что ядро ​​f содержит только нулевой вектор. Если f - функция с конечным доменом, достаточно просмотреть список изображений каждого элемента домена и убедиться, что ни одно изображение не встречается дважды в списке.

Графический подход к действительнозначной функции f действительной переменной x - это проверка горизонтальной линии. Если каждая горизонтальная линия пересекает кривую f (x) не более чем в одной точке, то f инъективна или взаимно однозначна.

• Биекция, инъекция и сюръекция
• Инъективное метрическое пространство
• Монотонная функция
• Однолистная функция

• Бартл, Роберт Дж.. (1976), The Elements of Real Analysis (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley Sons, ISBN 978-0-471-05464-1, стр. 17 и сл.
• Halmos, Paul R. (1974), Naive Set Theory, New York: Springer, ISBN 978-0-387-90092 -6, с. 38 и далее.

Викискладе есть материалы, связанные с Инъективностью.

Найдите injective в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Самые ранние способы использования некоторых математических слов: статья о инъекции, сюръекции и биекции имеет историю инъекции и связанных с ней терминов.
• Академия Хана - Сюръективные (на) и инъективные (один к одному) функции: Введение к сюръективным и инъективным функциям