Войти
Биективная функция f: X → Y от множества X к множеству Y демонстрирует, что множества имеют одинаковую мощность, в данном случае равную количественному числу 4. 
Алеф нуль, наименьшее бесконечное количество элементов В математике, количественные числа или кардиналы для краткости - это обобщение натуральных чисел, используемых для измерения мощности (размера) наборов. Мощность конечного множества - это натуральное число: количество элементов в наборе. трансфинитные кардинальные числа, часто обозначаемые с помощью еврейского символа 
Мощность определяется в терминах биективных функций. Два набора имеют одинаковую мощность тогда и только тогда, когда существует взаимно однозначное соответствие (биекция) между элементами этих двух наборов. В случае конечных множеств это согласуется с интуитивным понятием размера. В случае бесконечных множеств поведение более сложное. Фундаментальная теорема, принадлежащая Георгу Кантору, показывает, что бесконечные множества могут иметь разную мощность, и в частности мощность множества действительных чисел больше, чем мощность множества набор натуральных чисел. Также возможно, что собственное подмножество бесконечного множества будет иметь ту же мощность, что и исходный набор, - то, что не может случиться с собственными подмножествами конечных множеств.
Существует трансфинитная последовательность количественных чисел:
Эта последовательность начинается с натуральных чисел, включая ноль (конечные кардиналы), за которыми следуют числа алеф (бесконечные кардиналы колодца -упорядоченные наборы ). Номера алеф индексируются порядковыми номерами. В предположении аксиомы выбора эта трансфинитная последовательность включает в себя все количественные числа. Если отвергает эту аксиому, ситуация усложняется с дополнительными бесконечными кардиналами, которые не являются алефами.
Мощность изучается сама по себе как часть теории множеств. Это также инструмент, используемый в таких областях математики, как теория моделей, комбинаторика, абстрактная алгебра и математический анализ. В теории категорий количественные числа образуют скелет из категории множеств.
Понятие Кардинальность, как теперь понимается, была сформулирована Георгом Кантором, создателем теории множеств, в 1874–1884 годах. Мощность может использоваться для сравнения аспекта конечных множеств. Например, наборы {1,2,3} и {4,5,6} не равны, но имеют одинаковую мощность, а именно три. Это установлено существованием биекции (т. Е. Взаимно однозначного соответствия) между двумя наборами, такого как соответствие {1 → 4, 2 → 5, 3 → 6}.
Кантор применил свою концепцию биекции к бесконечным множествам (например, к множеству натуральных чисел N = {0, 1, 2, 3,...}). Таким образом, он назвал все множества, имеющие взаимно однозначное соответствие с Nсчетными (счетно бесконечными) множествами,, которые все имеют одно и то же кардинальное число. Это кардинальное число называется 
. Кантор доказал, что любое неограниченное подмножество из N имеет ту же мощность, что и N, даже если это может показаться противоречащим интуиции. Он также доказал, что множество всех упорядоченных пар натуральных чисел счетно; это означает, что множество всех рациональных чисел также счетно, так как каждое рациональное число может быть представлено парой целых чисел. Позже он доказал, что множество всех действительных алгебраических чисел также счетно. Каждое действительное алгебраическое число z может быть закодировано как конечная последовательность целых чисел, которые являются коэффициентами в полиномиальном уравнении, решением которого оно является, то есть упорядоченный набор из n (a 0, a 1,..., a n), a i∈ Zвместе с парой рациональных чисел (b 0, b 1) таких, что z - единственный корень многочлена с коэффициентами (a 0, a 1,..., a n), который лежит в интервале (b 0, b 1).
В своей статье 1874 года "Об одном свойстве набора всех действительных алгебраических чисел " Кантор доказал, что существуют кардинальные числа более высокого порядка, показав, что набор действительных чисел имеет мощность больше, чем у N . В его доказательстве использовался аргумент с вложенными интервалами, но в статье 1891 года он доказал тот же результат, используя свой гениальный, но более простой диагональный аргумент . Новое кардинальное число набора действительных чисел называется мощностью континуума, и Кантор использовал символ 
Кантор также разработал большую часть общей теории количественных чисел; он доказал, что существует наименьшее трансфинитное кардинальное число (
Его гипотеза континуума - это утверждение, что 
В неформальном использовании кардинальное число - это то, что обычно называется счетным числом, при условии, что включен 0: 0, 1, 2,.... Их можно отождествить с натуральными числами, начинающимися с 0. Счетные числа - это именно то, что формально можно определить как конечные кардинальные числа. Бесконечные кардиналы встречаются только в математике более высокого уровня и логике.
Более формально ненулевое число может использоваться для двух целей: для описания размера набора или для описания положения элемента в последовательность. Для конечных наборов и последовательностей легко видеть, что эти два понятия совпадают, поскольку для каждого числа, описывающего позицию в последовательности, мы можем построить набор, который имеет точно правильный размер. Например, 3 описывает позицию 'c' в последовательности <'a','b','c','d',...>, и мы можем построить набор {a, b, c}, который имеет 3 элемента.
Однако, имея дело с бесконечными множествами, важно проводить различие между ними, поскольку эти два понятия фактически различны для бесконечных множеств. Рассмотрение аспекта положения приводит к порядковым числам, тогда как аспект размера обобщается описанными здесь количественными числами.
Интуиция, лежащая в основе формального определения кардинала, заключается в построении понятия относительного размера или «размера» множества, безотносительно к типу членов, которые у него есть. Для конечных множеств это легко; просто подсчитывается количество элементов в наборе. Чтобы сравнить размеры более крупных наборов, необходимо обратиться к более утонченным представлениям.
Множество Y, по крайней мере, такое же большое, как множество X, если существует инъективное отображение из элементов X в элементы Y. Инъективное отображение идентифицирует каждый элемент множества X с уникальным элементом множества Y. Это легче всего понять на примере; предположим, что у нас есть множества X = {1,2,3} и Y = {a, b, c, d}, тогда, используя это понятие размера, мы заметим, что существует отображение:
, что является инъективным, и, следовательно, делаем вывод, что Y имеет мощность больше или равную X. Элемент d не имеет отображения элемента на него, но это разрешено, поскольку нам требуется только инъективное отображение, а не обязательно инъективное отображение и на. Преимущество этого понятия в том, что его можно распространить на бесконечные множества.
Затем мы можем расширить это до отношения в стиле равенства. Говорят, что два множества X и Y имеют одинаковую мощность, если существует биекция между X и Y. По теореме Шредера – Бернштейна это эквивалентно чтобы было и инъективное отображение из X в Y, и инъективное отображение из Y в X. Затем мы пишем | X | = | Y |. Кардинальное число самого X часто определяется как наименьший порядковый номер a с | a | = | X |. Это называется кардинальным назначением фон Неймана ; чтобы это определение имело смысл, необходимо доказать, что каждое множество имеет ту же мощность, что и некоторый ординал; это утверждение является принципом правильного порядка. Однако можно обсудить относительную мощность множеств без явного присвоения имен объектам.
Классический пример - парадокс бесконечного отеля, также называемый парадоксом Гильберта Гранд-отеля. Предположим, что в отеле есть трактирщик с бесконечным количеством комнат. Отель полон, а потом приезжает новый гость. Можно разместить дополнительного гостя, попросив гостя, который находился в комнате 1, перейти в комнату 2, гостя из комнаты 2 - в комнату 3 и так далее, оставив комнату 1 свободной. Мы можем явно записать сегмент этого отображения:
С этим присваиванием мы видим, что множество {1,2,3,...} имеет ту же мощность, что и множество {2,3,4,...}, поскольку было показано взаимное соответствие между первым и вторым. Это мотивирует определение бесконечного множества как любого множества, которое имеет собственное подмножество той же мощности (т.е. бесконечное множество Дедекинда ); в этом случае {2,3,4,...} является собственным подмножеством {1,2,3,...}.
При рассмотрении этих больших объектов можно также захотеть увидеть, совпадает ли понятие порядка подсчета с понятием кардинала, определенным выше для этих бесконечных множеств. Бывает, что нет; рассмотрев приведенный выше пример, мы можем увидеть, что если существует некий объект, «один больше бесконечности», то он должен иметь ту же мощность, что и бесконечное множество, с которого мы начали. Можно использовать другое формальное понятие для числа, называемое ординалами, основанное на идеях подсчета и рассмотрения каждого числа по очереди, и мы обнаруживаем, что понятия мощности и ординальности расходятся, как только мы переходим. конечных чисел.
Можно доказать, что мощность действительных чисел больше, чем мощность только что описанных натуральных чисел. Это можно визуализировать с помощью диагонального аргумента Кантора ; классические вопросы мощности (например, гипотеза континуума ) связаны с обнаружением, есть ли какой-то кардинал между некоторой парой других бесконечных кардиналов. В последнее время математики описывают свойства все больших и больших кардиналов.
Поскольку количество элементов является очень распространенным в математике понятием, используется множество имен. Сходство мощности иногда называют равносильностью, равноправием или равнодоступностью. Таким образом, говорится, что два множества с одинаковой мощностью являются, соответственно, равноправными, равными или равными по количеству.
Формально, исходя из аксиомы выбора , мощность множества X - это наименьшее порядковое число α, такое, что существует биекция между X и α. Это определение известно как кардинальное присвоение фон Неймана. Если аксиома выбора не предполагается, то нужен другой подход. Самое старое определение мощности множества X (неявное в Канторе и явное в Фреге и Principia Mathematica ) - это класс [X] всех множеств, равных множеству X. Это не работает в ZFC или другие связанные системы аксиоматической теории множеств, потому что, если X непусто, эта коллекция слишком велика, чтобы быть множеством. Фактически, для X ≠ ∅ существует инъекция из вселенной в [X] путем отображения множества m в {m} × X, и поэтому по аксиоме ограничения размера, [X] есть правильный класс. Однако это определение работает в теории типов и в New Foundations и связанных системах. Однако, если мы ограничим этот класс равным числом X, имеющим наименьшее ранг, тогда он будет работать (это уловка из-за Даны Скотт : это работает, потому что коллекция объектов с любым заданным рангом - это множество).
Формально порядок количественных чисел определяется следующим образом: | X | ≤ | Y | означает, что существует инъективная функция от X до Y. Теорема Кантора – Бернштейна – Шредера утверждает, что если | X | ≤ | Y | и | Y | ≤ | X | тогда | X | = | Y |. Выбранная аксиома эквивалентна утверждению, в котором даны два множества X и Y, либо | X | ≤ | Y | или | Y | ≤ | X |.
Множество X является бесконечным по Дедекинду, если существует собственное подмножество Y из X с | X | = | Y |, и Дедекиндово-конечное, если такого подмножества не существует. конечные кардиналы - это просто натуральные числа в том смысле, что множество X конечно тогда и только тогда, когда | X | = | n | = n для некоторого натурального числа n. Любой другой набор бесконечен.
Принимая аксиому выбора, можно доказать, что понятия Дедекинда соответствуют стандартным. Также можно доказать, что кардинал 
Мы можем определить арифметические операции с кардинальными числами, которые обобщают обычные операции для натуральных чисел. Можно показать, что для конечных кардиналов эти операции совпадают с обычными операциями для натуральных чисел. Кроме того, эти операции имеют много общих свойств с обычной арифметикой.
Если аксиома выбора верна, то у каждого кардинала κ есть преемник, обозначаемый κ, где κ>κ, и между κ и его преемником нет кардиналов. (Без аксиомы выбора, используя теорему Хартогса, можно показать, что для любого кардинального числа κ существует минимальный кардинал κ такой, что 
Если X и Y не пересекаются, сложение дается объединением X и Y. Если два набора еще не являются непересекающимися, то они могут быть заменены на непересекающиеся множества одинаковой мощности (например, заменить X на X × {0} и Y на Y × {1}).
Ноль - это аддитивное тождество κ + 0 = 0 + κ = κ.
Сложение ассоциативно (κ + μ) + ν = κ + (μ + ν).
Сложение коммутативно κ + μ = μ + κ.
Сложение неубывает в обоих аргументах:
Если исходить из выбранной аксиомы, сложение бесконечных количественных чисел несложно. Если либо κ, либо μ бесконечно, то
Предполагая аксиому выбора и, учитывая бесконечный кардинал σ и кардинал μ существует такой кардинал κ, что μ + κ = σ тогда и только тогда, когда μ ≤ σ. Оно будет уникальным (и равным σ) тогда и только тогда, когда μ < σ.
Произведение кардиналов получается из декартова произведения.
κ · 0 = 0 · κ = 0.
κ · μ = 0 → (κ = 0 или μ = 0).
Один является мультипликативным тождеством κ · 1 = 1 · κ = κ.
Умножение ассоциативно (κ · μ) · ν = κ · (μ · ν).
Умножение коммутативное κ · μ = μ · κ.
Умножение не убывает по обоим аргументам: κ ≤ μ → (κ · ν ≤ μ · ν и ν · κ ≤ ν · μ).
Умножение распределяет поверх сложения: κ · (μ + ν) = κ · μ + κ · ν и (μ + ν) · κ = μ · κ + ν · κ.
Принимая аксиому выбора, умножение бесконечных количественных чисел также легко. Если либо κ, либо μ бесконечно и оба отличны от нуля, то
Предполагая аксиому выбора и, учитывая бесконечное кардинальное число π и ненулевое значение cardinal μ, существует такой кардинал κ, что μ · κ = π тогда и только тогда, когда μ ≤ π. Он будет уникальным (и равным π) тогда и только тогда, когда μ < π.
Возведение в степень задается как
где X - набор всех функций от Y до X.
Возведение в степень не убывает в обоих аргументах:
2 - мощность набор мощности набора X и диагональный аргумент Кантора показывает, что 2>| X | для любого множества X. Это доказывает, что не существует наибольшего кардинала (потому что для любого кардинала κ мы всегда можем найти больший кардинал 2). Фактически, класс кардиналов - это правильный класс. (Это доказательство терпит неудачу в некоторых теориях множеств, в частности в New Foundations.)
Все остальные предложения в этом разделе предполагают аксиому выбора:
Если 2 ≤ κ и 1 ≤ μ и хотя бы один из них бесконечен, тогда:
Используя теорему Кёнига, можно доказать κ < κ and κ < cf(2) for any infinite cardinal κ, where cf(κ) is the конфинальность из κ.
Принимая аксиому выбора и, учитывая бесконечный кардинал κ и конечный кардинал μ больше 0, кардинал ν удовлетворяет 
Предполагая аксиому выбора и, учитывая бесконечный кардинал κ и конечный кардинал μ больше 1, может быть или не быть кардинала λ, удовлетворяющего 
Логарифм бесконечного кардинального числа κ определяется как наименьшее кардинальное число μ такое, что κ ≤ 2. Логарифмы бесконечных кардиналов полезны в некоторых областях математики, например, при изучении кардинальных инвариантов топологические пространства, хотя им не хватает некоторых свойств, которыми обладают логарифмы положительных действительных чисел.
Гипотеза континуума (CH) заявляет, что нет кардиналов строго между 
Портал математики Примечания
Библиография
