Алеф числа

редактировать
бесконечное кардинальное число Алеф-ноль или алеф-ноль, наименьшее бесконечное кардинальное число

В математике, в частности в теории множеств, числа алеф представляют собой последовательность чисел, используемых для представления мощности (или размера) бесконечных множеств, которые могут быть хорошо упорядоченными. Они названы в честь символа, используемого для их обозначения, иврита буквы алеф (ℵ {\ displaystyle \ aleph}\ aleph ).

(Хотя в старых книгах по математике буква aleph часто печатается вверх ногами случайно, отчасти потому, что матрица монотипа для aleph была ошибочно построена неверно).

Мощность натуральных чисел равна ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}\ aleph _ {0} (читайте aleph-naught или aleph-zero; иногда используется термин aleph-null), следующая большая мощность - алеф-один ℵ 1 {\ displaystyle \ aleph _ {1}}\ алеф _ {1} , затем ℵ 2 {\ displaystyle \ aleph _ {2}}\ aleph _ {2} и т. Д. Продолжение в таким образом можно определить кардинальное число ℵ α {\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}\ aleph _ {\ alpha} для каждого порядкового числа α {\ displaystyle \ alpha}\ alpha , как описано ниже.

Концепция и обозначения принадлежат Георгу Кантору, который определил понятие мощности и понял, что бесконечные множества могут иметь разную мощность.

Числа алефа отличаются от бесконечности (∞ {\ displaystyle \ infty}\ infty ), обычно встречающейся в алгебре и исчисление, в котором алефы измеряют размеры множеств, в то время как бесконечность обычно определяется либо как крайний предел строки действительных чисел (применяется к функции или последовательность, которая «расходится до бесконечности» или «неограниченно увеличивается»), или как крайняя точка строки расширенного действительного числа.

Содержание

  • 1 Алеф-ноль
  • 2 Алеф-он
  • 3 Гипотеза континуума
  • 4 Алеф-омега
  • 5 Алеф- α {\ displaystyle \ alpha}\ alpha для общего α {\ displaystyle \ alpha}\ alpha
  • 6 Фиксированные точки омеги
  • 7 Роль аксиомы выбора
  • 8 См. также
  • 9 Примечания
  • 10 Цитаты
  • 11 Ссылки
  • 12 Внешние ссылки

Aleph-naught

ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}\ aleph _ {0} (aleph-naught, также aleph-zero или aleph-null) - количество элементов множества всех натуральных чисел, и является бесконечным кардиналом. Набор всех конечных порядковых номеров, называемых ω {\ displaystyle \ omega}\ omega или ω 0 {\ displaystyle \ omega _ {0}}\ omega _ {0} (где ω {\ displaystyle \ omega}\ omega - строчная греческая буква omega ), имеет мощность ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0} }\ aleph _ {0} . Набор имеет мощность ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}\ aleph _ {0} тогда и только тогда, когда он счетно бесконечен, то есть существует биекция (взаимно однозначное соответствие) между ним и натуральными числами. Примерами таких наборов являются

Эти бесконечные порядковые числа: ω {\ displaystyle \ omega}\ omega , ω + 1 {\ displaystyle \ omega +1}\ omega +1 , ω ⋅ 2 {\ displaystyle \ omega \ cdot 2}\ omega \ cdot 2 , ω 2 {\ displaystyle \ omega ^ {2}}\ omega ^ {2} , ω ω {\ displaystyle \ omega ^ {\ omega}}\ omega ^ {\ omega} и ε 0 {\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}\ varepsilon_ {0} входят в число счетно бесконечных множеств. Например, последовательность (с порядком ω · 2) всех положительных нечетных целых чисел, за которыми следуют все положительные четные целые числа

{1, 3, 5, 7, 9,..., 2, 4, 6, 8, 10,... } {\ displaystyle \ {1,3,5,7,9,..., 2,4,6,8,10,... \}}{\ displaystyle \ {1,3,5,7,9,..., 2,4,6,8,10,... \}}

- это порядок набора (с мощностью ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}\ aleph _ {0} ) натуральных чисел.

Если выполняется аксиома счетного выбора (более слабая версия аксиомы выбора ), то ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0 }}\ aleph _ {0} меньше любого другого бесконечного кардинала.

Алеф-один

ℵ 1 {\ displaystyle \ aleph _ {1}}\ алеф _ {1} - мощность множества всех счетных порядковых чисел, называемых ω 1 {\ displaystyle \ omega _ {1}}\ omega _ {{1}} или иногда Ω {\ displaystyle \ Omega}\ Omega . Этот ω 1 {\ displaystyle \ omega _ {1}}\ omega _ {{1}} сам по себе является порядковым числом, большим, чем все счетные единицы, поэтому это несчетное множество. Следовательно, ℵ 1 {\ displaystyle \ aleph _ {1}}\ алеф _ {1} отличается от ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}\ aleph _ {0} . Из определения ℵ 1 {\ displaystyle \ aleph _ {1}}\ алеф _ {1} следует (в ZF теория множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора), что кардинальное число находится между ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}\ aleph _ {0} и ℵ 1 {\ displaystyle \ aleph _ {1}}\ алеф _ {1} . Если использовать аксиому выбора , можно дополнительно доказать, что класс кардинальных чисел полностью упорядочен, и, следовательно, ℵ 1 {\ displaystyle \ aleph _ {1 }}\ алеф _ {1} - второе по величине бесконечное кардинальное число. Используя выбранную аксиому, можно показать одно из наиболее полезных свойств множества ω 1 {\ displaystyle \ omega _ {1}}\ omega _ {{1}} : любое счетное подмножество ω 1 { \ displaystyle \ omega _ {1}}\ omega _ {{1}} имеет верхнюю границу в ω 1. {\ displaystyle \ omega _ {1}.}{\ displaystyle \ omega _ {1}.} (Это следует из того факта, что объединение счетного числа счетных множеств само является счетным - одно из наиболее распространенных приложений аксиомы выбора.) Этот факт аналогичен ситуации в ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}\ aleph _ {0} : каждый конечный набор натуральных чисел имеет максимум, который также является натуральным числом, и конечные объединения конечных множеств конечны.

ω 1 {\ displaystyle \ omega _ {1}}\ omega _ {{1}} на самом деле полезная концепция, хотя звучит несколько экзотично. Примерное приложение «закрывается» по отношению к счетным операциям; например, попытка явно описать σ {\ displaystyle \ sigma}\ sigma -алгебру, созданную произвольным набором подмножеств (см., например, иерархия Бореля ). Это сложнее, чем большинство явных описаний «генерации» в алгебре (векторные пространства, группы и т. Д.), Потому что в этих случаях нам нужно закрыть только относительно конечных операций - сумм, продукты и т.п. Процесс включает определение для каждого счетного ординала с помощью трансфинитной индукции набора путем "добавления" всех возможных счетных объединений и дополнений и взятия объединения всего этого по всему ω 1 { \ displaystyle \ omega _ {1}}\ omega _ {{1}} .

Каждое несчетное коаналитическое подмножество польского пространства X {\ displaystyle X}X имеет мощность ℵ 1 {\ displaystyle \ aleph _ {1}}\ алеф _ {1} или 2 ℵ 0 {\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}2 ^ {\ aleph _ {0}} .

Гипотеза континуума

мощность набора действительных чисел (мощность континуума ) составляет 2 ℵ 0 {\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}2 ^ {\ aleph _ {0}} . Невозможно определить из ZFC (теория множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора ), где это число точно соответствует иерархии чисел алеф, но из ZFC следует, что гипотеза континуума, CH, эквивалентно тождеству

2 ℵ 0 = ℵ 1 {\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}} = \ aleph _ {1}}2 ^ {{\ aleph _ {0}}} = \ aleph _ {1}

Состояние CH что не существует множества, мощность которого строго находится между целыми и действительными числами. CH не зависит от ZFC: его нельзя ни доказать, ни опровергнуть в контексте этой системы аксиом (при условии, что ZFC согласован ). То, что CH согласуется с ZFC, было продемонстрировано Куртом Гёделем в 1940 году, когда он показал, что его отрицание не является теоремой ZFC. То, что она не зависит от ZFC, было продемонстрировано Полом Коэном в 1963 году, когда он, наоборот, показал, что сама CH не является теоремой ZFC - с помощью (тогда нового) метода принуждения.

Алеф-омега

Алеф-омега - это

ℵ ω = sup {ℵ n: n ∈ ω} = sup {ℵ n: n ∈ {0, 1, 2,…}} {\ displaystyle \ алеф _ {\ omega} = \ sup \ {\ aleph _ {n}: n \ in \ omega \} = \ sup \ {\ aleph _ {n}: n \ in \ left \ {\, 0,1, 2, \ dots \, \ right \} \, \}}{\ displaystyle \ aleph _ {\ omega} = \ sup \ {\ aleph _ {n}: n \ in \ omega \} = \ sup \ {\ aleph _ {n}: n \ in \ left \ {\, 0,1, 2, \ точки \, \ right \} \, \}}

где наименьший бесконечный порядковый номер обозначается ω. То есть кардинальное число ℵ ω {\ displaystyle \ aleph _ {\ omega}}\ алеф _ {\ omega} является наименьшей верхней границей

{ℵ n: n ∈ {0, 1, 2, …}} {\ Displaystyle \ left \ {\, \ aleph _ {n}: п \ in \ left \ {\, 0,1,2, \ dots \, \ right \} \, \ right \}}\ left \ {\, \ aleph _ {n}: n \ in \ left \ {\, 0,1,2, \ dots \, \ right \} \, \ right \} .

ℵ ω {\ displaystyle \ aleph _ {\ omega}}\ алеф _ {\ omega} - первое несчетное кардинальное число, которое может быть продемонстрировано в рамках теории множеств Цермело – Френкеля не равным мощности множества всех вещественные числа ; для любого натурального числа n мы можем последовательно предположить, что 2 ℵ 0 = ℵ n {\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}} = \ aleph _ {n}}2 ^ {\ aleph _ {0}} = \ алеф _ {п} , и более того можно предположить, что 2 ℵ 0 {\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}2 ^ {\ aleph _ {0}} настолько велик, насколько нам нравится. Мы только вынуждены избегать установки его для определенных специальных кардиналов с cofinality ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}\ aleph _ {0} , что означает, что существует неограниченная функция из ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}\ aleph _ {0} к нему (см. теорему Истона ).

Алеф- α {\ displaystyle \ alpha}\ alpha для общего значения α {\ displaystyle \ alpha}\ alpha

Чтобы определить ℵ α {\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}\ aleph _ {\ alpha} для произвольного порядкового номера α {\ displaystyle \ alpha}\ alpha , мы должны определить кардинальную операцию преемника, которая присваивает к любому количественному числу ρ {\ displaystyle \ rho}\ rho следующее большее хорошо упорядоченное кардинальное число ρ + {\ displaystyle \ rho ^ {+}}{\ displaystyle \ rho ^ {+}} (если выполняется аксиома выбора, это следующий по величине кардинал).

Затем мы можем определить числа алеф следующим образом:

ℵ 0 = ω {\ displaystyle \ aleph _ {0} = \ omega}\ алеф _ {0} = \ omega ℵ α + 1 = ℵ α + {\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha +1} = \ aleph _ {\ alpha} ^ {+}}\ aleph _ {\ alpha +1} = \ aleph _ {\ alpha} ^ {+}

и для λ бесконечный предельный порядковый номер,

ℵ λ = ⋃ β < λ ℵ β. {\displaystyle \aleph _{\lambda }=\bigcup _{\beta <\lambda }\aleph _{\beta }.}\ aleph _ {\ lambda} = \ bigcup _ {\ beta <\ lambda} \ aleph _ {\ beta}.

α- -й бесконечный начальный порядковый номер записывается как ω α {\ displaystyle \ omega _ {\ alpha}}\ omega _ {\ alpha} . Его количество элементов записывается как ℵ α {\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}\ aleph _ {\ alpha} . В ZFC функция алеф ℵ {\ displaystyle \ aleph}\ aleph является взаимно однозначным отображением порядковых чисел в бесконечные кардиналы.

Фиксированные точки омега

Для любого ординала α имеем

α ≤ ω α. {\ displaystyle \ alpha \ leq \ omega _ {\ alpha}.}\ alpha \ leq \ omega _ {\ alpha}.

Во многих случаях ω α {\ displaystyle \ omega _ {\ alpha}}\ omega _ {\ alpha} строго больше, чем α. Например, для любого последующего ординала α это верно. Однако существуют некоторые предельные ординалы, которые являются фиксированными точками омега-функции из-за леммы о фиксированной точке для нормальных функций. Первый из них - это предел последовательности

ω, ω ω, ω ω ω,…. {\ displaystyle \ omega, \ \ omega _ {\ omega}, \ \ omega _ {\ omega _ {\ omega}}, \ \ ldots.}\ omega, \ \ omega _ {\ omega}, \ \ omega _ {\ omega _ {\ omega}}, \ \ ldots.

Любой слабо недоступный кардинал также является фиксированная точка функции алеф. Это можно показать в ZFC следующим образом. Предположим, что κ = ℵ λ {\ displaystyle \ kappa = \ aleph _ {\ lambda}}\ kappa = \ aleph _ {\ lambda} - слабо недоступный кардинал. Если λ {\ displaystyle \ lambda}\ lambda был порядковым номером преемника, то ℵ λ {\ displaystyle \ aleph _ {\ lambda}}\ aleph _ {\ lambda} был бы кардиналом-преемником и, следовательно, не был бы слабо недоступным. Если λ {\ displaystyle \ lambda}\ lambda было предельным порядковым номером меньше, чем κ {\ displaystyle \ kappa}\ kappa , то его cofinality (и, следовательно, cofinality ℵ λ {\ displaystyle \ aleph _ {\ lambda}}\ aleph _ {\ lambda} ) будет меньше, чем κ {\ displaystyle \ kappa}\ kappa и поэтому κ {\ displaystyle \ kappa}\ kappa не будет обычным и, следовательно, не будет слабо недоступным. Таким образом, λ ≥ κ {\ displaystyle \ lambda \ geq \ kappa}\ lambda \ geq \ kappa и, следовательно, λ = κ {\ displaystyle \ lambda = \ kappa}\ lambda = \ kappa , что делает его фиксированная точка.

Роль аксиомы выбора

Мощность любого бесконечного порядкового числа является числом алеф. Каждый алеф - это мощность некоторого ординала. Меньшим из них является его начальный порядковый номер. Любой набор, мощность которого является алефом, равнозначен с порядковым номером и, таким образом, хорошо упорядочивается.

Каждый конечный набор хорошо упорядочивается, но не имеет алеф как его мощность.

Предположение, что мощность каждого бесконечного множества является числом алеф, эквивалентно по ZF существованию хорошего упорядочения каждого набора, что, в свою очередь, эквивалентно аксиома выбора. Теория множеств ZFC, которая включает аксиому выбора, подразумевает, что каждое бесконечное множество имеет число алефа в качестве его мощности (т.е. равнозначно своему начальному порядковому номеру), и, таким образом, начальные порядковые числа чисел алефа служат классом представителей для всех возможные бесконечные кардинальные числа.

Когда мощность изучается в ZF без аксиомы выбора, больше невозможно доказать, что каждое бесконечное множество имеет некоторое число алеф в качестве мощности; множества, мощность которых является алеф-числом, являются в точности бесконечными множествами, которые можно упорядочить. Метод трюка Скотта иногда используется как альтернативный способ построения представителей для количественных чисел в настройке ZF. Например, можно определить карту (S) как набор множеств с той же мощностью, что и S, минимально возможного ранга. Это свойство имеет свойство card (S) = card (T) тогда и только тогда, когда S и T имеют одинаковую мощность. (У установленной карты (S) в целом не такая же мощность, как у S, но все ее элементы имеют.)

См. Также

Примечания

Цитаты

Ссылки

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-10 20:25:35
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте