Декартово произведение

Декартово произведение $A\; \times \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; A\; \backslash \; times\; B\}$наборов $A\; =\; \{x,\; y,\; z\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; A\; =\; \backslash \; \{x,\; y,\; z\; \backslash \}\}$и $B\; =\; \{1,\; 2,\; 3\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; B\; =\; \backslash \; \{1,2,3\; \backslash \}\}$

В математике, особенно теории множеств, декартово произведение двух наборы A и B, обозначенные A × B, являются набором всех упорядоченных пар (a, b), где a находится в A, а b находится в B. В терминах set -билдер, то есть

$A\; \times \; B\; =\; \{(a,\; b)\; \mid \; a\; \in \; A\; и\; b\; \in \; B\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; times\; B\; =\; \backslash \; \{\backslash ,\; (a,\; b)\; \backslash \; mid\; a\; \backslash \; in\; A\; \backslash \; \{\backslash \; t\_dv\; \{and\}\}\; \backslash \; b\; \backslash \; in\; B\; \backslash ,\; \backslash \}.\}$

Таблица может быть создана взяв декартово произведение набора строк и набора столбцов. Если берется декартово произведение строк × столбцы, ячейки таблицы содержат упорядоченные пары формы (значение строки, значение столбца).

Аналогичным образом можно определить декартово произведение n наборов, также известное как n-кратное декартово произведение, которое может быть представлено n-мерным массивом, где каждый элемент представляет собой n- кортеж. Упорядоченная пара - это 2-кортеж или пара. В более общем плане можно определить декартово произведение индексированного семейства наборов.

Декартово произведение названо в честь Рене Декарта, чья формулировка аналитической геометрии породила концепцию, которая далее обобщается в терминах прямого произведения.

• 1 Примеры
  • 1.1 Колода карт
  • 1.2 Двумерная система координат
• 2 Наиболее распространенная реализация (теория множеств)
  • 2.1 Некоммутативность и неассоциативность
  • 2.2 Пересечения, объединения и подмножества
  • 2.3 Мощность
• 3 Декартовы произведения нескольких множеств
  • 3.1 Декартово произведение n-мерного
  • 3,2 Декартово n-мерное значение
  • 3.3 Бесконечное декартово произведение
• 4 Другие формы
  • 4.1 Сокращенная форма
  • 4.2 Декартово произведение функций
  • 4.3 Цилиндр
• 5 Определения вне теории множеств
  • 5.1 Теория категорий
  • 5.2 Теория графов
• 6 См. Также
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Колода карт

Стандартная колода из 52 карт

Наглядным примером является стандартная колода из 52 карт. Стандартная игральная карта рангов {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} образуют набор из 13 элементов. Масти карт {♠, ♥, ♦, ♣} образуют набор из четырех элементов. Декартово произведение этих наборов возвращает набор из 52 элементов, состоящий из 52 упорядоченных пар, которые соответствуют всем 52 возможным игральным картам.

Ranks × Suits возвращает набор вида {(A, ♠), (A, ♥), (A, ♦), (A, ♣), (K, ♠),..., (3, ♣), (2, ♠), (2, ♥), (2, ♦), (2, ♣)}.

Suits × Ranks возвращает набор вида {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10),..., (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}.

Эти два набора различны, даже не пересекаются.

Двумерная система координат

Декартовы координаты примерных точек

Основным историческим примером является декартова плоскость в аналитической геометрии. Чтобы представить геометрические формы числовым способом и извлечь числовую информацию из числовых представлений форм, Рене Декарт присвоил каждой точке на плоскости пару действительных чисел, названных ее координаты. Обычно первую и вторую компоненты такой пары называют ее координатами x и y соответственно (см. Рисунок). Таким образом, набор всех таких пар (т.е. декартово произведение ℝ × ℝ, где ℝ обозначает действительные числа) присваивается набору всех точек на плоскости.

Формальное определение декартова произведения из теоретико-множественных принципов следует из определения упорядоченной пары. Наиболее распространенное определение упорядоченных пар, определение Куратовского, это $(x,\; y)\; =\; \{\{x\},\; \{x,\; y\}\}\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; \{\; \backslash \; \{x\; \backslash \},\; \backslash \; \{x,\; y\; \backslash \}\; \backslash \}\}$. Согласно этому определению $(x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y)\}$является элементом $P\; (P\; (X\; \cup \; Y))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{\; P\}\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; (X\; \backslash \; cup\; Y))\}$, а $X\; \times \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; times\; Y\}$является подмножеством этого набора, где $P\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\}$представляет оператор набора мощности. Следовательно, существование декартова произведения любых двух множеств в ZFC следует из аксиом спаривания, union, power set, и спецификация. Поскольку функции обычно определяются как частный случай отношений, а отношения обычно определяются как подмножества декартова произведения, определение декартова произведения из двух множеств обязательно предшествует большинству другие определения.

Некоммутативность и неассоциативность

Пусть A, B, C и D - множества.

Декартово произведение A × B не является коммутативным,

$A\; \times \; B\; \ne \; B\; \times \; A,\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; times\; B\; \backslash \; neq\; B\; \backslash \; times\; A,\}$

потому что упорядоченные пары меняются местами, если не выполняется хотя бы одно из следующих условий:

• A равно B, или
• A или B является пустым набором.

Для пример:

A = {1,2}; B = {3,4}

A × B = {1,2} × {3,4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2, 4)}

B × A = {3,4} × {1,2} = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2) }

A = B = {1,2}

A × B = B × A = {1,2} × {1,2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

A = {1,2}; B = ∅

A × B = {1,2} × ∅ = ∅

B × A = ∅ × {1,2} = ∅

. Строго говоря, декартово произведение не является ассоциативным (если один из задействованных наборов не пуст).

$(A\; \times \; B)\; \times \; C\; \ne \; A\; \times \; (B\; \times \; C)\; \{\backslash \; displaystyle\; (A\; \backslash \; times\; B)\; \backslash \; times\; C\; \backslash \; neq\; A\; \backslash \; times\; (B\; \backslash \; times\; C)\}$

Если, например, A = {1}, тогда (A × A) × A = {((1,1), 1)} ≠ {(1, (1,1))} = A × (A × A).

Пересечения, объединения и подмножества

Примеры наборов.

A = {y∈ ℝ : 1≤y≤4},. B = {x ∈ℝ: 2≤x≤5} и C = {x∈ℝ: 4≤x≤7}, демонстрируя. A × (B∩C) = (A × B) ∩ (A × C),. A × (B∪C) = (A × B) ∪ (A × C) и.

A × (B \ C) = (A × B) \ (A × C) Примеры наборов.

A = {x∈ℝ: 2≤x≤5}, B = {x∈ℝ: 3≤x≤7},. C = {y∈ℝ: 1≤y ≤3}, D = {y∈ℝ: 2≤y≤4}, демонстрируя.

(A∩B) × (C∩D) = (A × C) ∩ (B × D). (A∪B) × (C∪D) ≠ (A × C) ∪ (B × D) можно увидеть из того же примера.

Декартово произведение удовлетворяет следующему свойству относительно пересечений (см. Средний рисунок).

$(A\; \cap \; B)\; \times \; (C\; \cap \; D)\; знак\; равно\; (A\; \times \; C)\; \cap \; (B\; \times \; D)\; \{\backslash \; displaystyle\; (A\; \backslash \; cap\; B)\; \backslash \; times\; (C\; \backslash \; cap\; D)\; =\; (A\; \backslash \; times\; C)\; \backslash \; cap\; (B\; \backslash \; times\; D)\}$

В большинстве случаев приведенное выше утверждение неверно, если мы заменим пересечение на union (см. крайний правый рисунок).

$(A\; \cup \; B)\; \times \; (C\; \cup \; D)\; \ne \; (A\; \times \; C)\; \cup \; (B\; \times \; D)\; \{\backslash \; displaystyle\; (A\; \backslash \; cup\; B)\; \backslash \; times\; (C\; \backslash \; cup\; D)\; \backslash \; neq\; (A\; \backslash \; times\; C)\; \backslash \; cup\; (B\; \backslash \; times\; D)\}$

На самом деле, мы имеем:

$(A\; \times \; C)\; \cup \; (B\; \times \; D)\; =\; [(A\; \setminus \; B)\; \times \; C]\; \cup \; [(A\; \cap \; B)\; \times \; (C\; \cup \; D)]\; \cup \; [(B\; \setminus \; A)\; \times \; D]\; \{\backslash \; displaystyle\; (A\; \backslash \; times\; C)\; \backslash \; cup\; (B\; \backslash \; times\; D)\; =\; [(A\; \backslash \; setminus\; B)\; \backslash \; times\; C]\; \backslash \; cup\; [\; (A\; \backslash \; cap\; B)\; \backslash \; times\; (C\; \backslash \; cup\; D)]\; \backslash \; cup\; [(B\; \backslash \; setminus\; A)\; \backslash \; times\; D]\}$

Для разницы множеств мы также имеем следующую идентичность:

$(A\; \times \; C)\; \setminus \; (B\; \times \; D)\; знак\; равно\; [A\; \times \; (C\; \setminus \; D)]\; \cup \; [(A\; \setminus \; B)\; \times \; C]\; \{\backslash \; displaystyle\; (A\; \backslash \; times\; C)\; \backslash \; setminus\; (B\; \backslash \; times\; D)\; =\; [A\; \backslash \; times\; (C\; \backslash \; setminus\; D)]\; \backslash \; cup\; [(A\; \backslash \; setminus\; B)\; \backslash \; times\; C]\}$

Вот несколько правил, демонстрирующих дистрибутивность с другими операторами (см. Крайний левый рисунок):

$A\; \times \; (B\; \cap \; C)\; =\; (A\; \times \; B)\; \cap \; (A\; \times \; C),\; A\; \times \; (B\; \cup \; C)\; =\; (A\; \times \; B)\; \cup \; (A\; \times \; C),\; A\; \times \; (B\; \setminus \; C)\; =\; (A\; \times \; B)\; \setminus \; (A\; \times \; C),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; A\; \backslash \; times\; (B\; \backslash \; cap\; C)\; =\; (A\; \backslash \; times\; B)\; \backslash \; cap\; (A\; \backslash \; times\; C),\; \backslash \backslash \; A\; \backslash \; times\; (B\; \backslash \; cup\; C)\; =\; (A\; \backslash \; times\; B)\; \backslash \; чашка\; (A\; \backslash \; times\; C),\; \backslash \backslash \; A\; \backslash \; times\; (B\; \backslash \; setminus\; C)\; =\; (A\; \backslash \; times\; B)\; \backslash \; setminus\; (A\; \backslash \; times\; C),\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

$(A\; \times \; B)\; \complement \; =\; (A\; \complement \; \times \; B\; \complement )\; \cup \; (A\; \complement \; \times \; B)\; \cup \; (A\; \times \; B\; \complement ),\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; (A\; \backslash \; times\; B)\; ^\; \{\backslash \; complement\}\; =\; \backslash \; left\; (A\; ^\; \{\backslash \; complement\}\; \backslash \; times\; B\; ^\; \{\backslash \; complement\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cup\; \backslash \; left\; (A\; ^\; \{\backslash \; complement\}\; \backslash \; times\; B\; \backslash \; right)\; \backslash \; чашка\; \backslash \; влево\; (A\; \backslash \; times\; B\; ^\; \{\backslash \; complement\}\; \backslash \; right),\}$

где $A\; \complement \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{\backslash \; complement\}\}$обозначает абсолютное дополнение к A.

Другие свойства, связанные с подмножествами :

$Если\; A\; \subseteq \; B,\; то\; A\; \times \; C\; \subseteq \; B\; \times \; C;\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{If\}\}\; A\; \backslash \; substeq\; B\; \{\backslash \; text\; \{,\; then\}\}\; A\; \backslash \; times\; C\; \backslash \; substeq\; B\; \backslash \; times\; C;\}$

$если\; оба\; A,\; B\; \ne \; \varnothing ,\; то\; A\; \times \; B\; \subseteq \; C\; \times \; D\; ⟺\; A\; \subseteq \; C\; и\; B\; \subseteq \; D.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{если\; оба\}\}\; A,\; B\; \backslash \; neq\; \backslash \; emptyset\; \{\backslash \; text\; \{,\; then\}\}\; A\; \backslash \; times\; B\; \backslash \; substeq\; C\; \backslash \; times\; D\; \backslash \; iff\; A\; \backslash \; substeq\; C\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; B\; \backslash \; substeq\; D.\}$

Мощность

Мощность набора - это количество элементов набора. Например, определение двух наборов: A = {a, b} и B = {5, 6}. Оба набора A и B состоят из двух элементов каждый. Их декартово произведение, записанное как A × B, приводит к новому набору, который имеет следующие элементы:

A × B = {(a, 5), (a, 6), (b, 5), (b, 6)}.

где каждый элемент A связан с каждым элементом B, и где каждая пара составляет один элемент выходного набора. Количество значений в каждом элементе результирующего набора равно количеству наборов, декартово произведение которых берется; 2 в данном случае. Мощность выходного набора равна произведению мощностей всех входных наборов. То есть

| A × B | = | A | · | B |.

В этом случае | A × B | = 4

Аналогично

| A × B × C | = | A | · | B | · | C |

и так далее.

Набор A × B является бесконечным, если A или B бесконечны, а другой набор не является пустым набором.

n-арное декартово произведение

Декартово произведение может быть обобщено до n-арного декартова произведения по n множествам X 1,..., X n как множество

$X\; 1\; \times \; \cdots \; \times \; X\; n\; =\; \{(x\; 1,\dots ,\; xn)\; \mid \; xi\; \in \; X\; i\; для\; любого\; i\; \in \; \{1,\dots ,\; n\}\}.\; \{\backslash \; Displaystyle\; X\_\; \{1\}\; \backslash \; times\; \backslash \; cdots\; \backslash \; times\; X\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; \{(x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\})\; \backslash \; mid\; x\_\; \{i\}\; \backslash \; in\; X\_\; \{i\}\; \backslash \; \{\backslash \; text\; \{для\; каждого\}\}\; \backslash \; i\; \backslash \; in\; \backslash \; \{1,\; \backslash \; ldots,\; n\; \backslash \}\; \backslash \}.\}$

из n-кортежей. Если кортежи определены как вложенные упорядоченные пары, они могут быть идентифицированы как (X 1 ×... × X n − 1) × X n. Если кортеж определен как функция на {1, 2,..., n}, которая принимает свое значение в i как i-й элемент кортежа, то декартово произведение X 1 ×... × X n - это набор функций

$\{x:\; \{1,\dots ,\; n\}\; \to \; X\; 1\; \cup \dots \; \cup \; X\; n\; |\; x\; (i)\; \in \; X\; i\; для\; любого\; i\; \in \; \{1,\dots ,\; n\}\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{x:\; \backslash \; \{1,\; \backslash \; ldots,\; n\; \backslash \}\; \backslash \; к\; X\_\; \{1\}\; \backslash \; cup\; \backslash \; ldots\; \backslash \; cup\; X\_\; \{n\}\; \backslash \; |\; \backslash \; x\; (i)\; \backslash \; in\; X\_\; \{i\}\; \backslash \; \{\backslash \; text\; \{для\; каждого\}\}\; \backslash \; i\; \backslash \; in\; \backslash \; \{1,\; \backslash \; ldots,\; n\; \backslash \}\; \backslash \}.\}$

n-арная декартова степень

Декартов квадрат множества X равен декартово произведение X = X × X. Примером является двумерная плоскость R= R× R, где R - это набор действительных чисел, :R- это набор всех точек ( x, y), где x и y - действительные числа (см. декартова система координат ).

n-арная декартова степень множества X, обозначенная $X\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{n\}\}$, может быть определена как

$X\; n\; =\; X\; \times \; X\; \times \; \cdots \; \times \; X\; ⏟\; n\; =\; \{(x\; 1,\dots ,\; xn)\; |\; x\; i\; \in \; X\; для\; любого\; i\; \in \; \{1,\dots ,\; n\}\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; underbrace\; \{X\; \backslash \; times\; X\; \backslash \; times\; \backslash \; cdots\; \backslash \; times\; X\}\; \_\; \{n\}\; =\; \backslash \; \{(x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\})\; \backslash \; |\; \backslash \; x\_\; \{\; i\}\; \backslash \; in\; X\; \backslash \; \{\backslash \; text\; \{для\; каждого\}\}\; \backslash \; i\; \backslash \; in\; \backslash \; \{1,\; \backslash \; ldots,\; n\; \backslash \}\; \backslash \}.\}$

Примером этого является R= R× R× R, с R снова набор действительных чисел, и в более общем смысле R.

n-арная декартова степень множества X изоморфна пространству функций из n-элементного множества в X. В качестве специального В этом случае 0-арная декартова степень X может быть взята как одноэлементный набор, соответствующий пустой функции с codomain X.

Бесконечные декартовы произведения

Можно определить декартово произведение произвольного (возможно, бесконечного ) индексированного семейства наборов. Если I - любой набор индексов, и $\{X\; i\}\; i\; \in \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{X\_\; \{i\}\; \backslash \}\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; I\}\}$- семейство наборов, индексированных I, затем декартово произведение наборов в $\{X\; i\}\; i\; \in \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{X\_\; \{i\}\; \backslash \}\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; I\}\}$определяется как

$\prod \; i\; \in \; IX\; i\; =\; \{f:\; I\; \to \; \bigcup \; i\; \in \; IX\; i\; |\; (\forall \; я)\; (е\; (я)\; \in \; Икс\; я)\},\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; prod\; \_\; \{я\; \backslash \; в\; I\}\; X\_\; \{я\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; left.f:\; я\; \backslash \; к\; \backslash \; bigcup\; \_\; \{я\; \backslash \; в\; I\}\; X\_\; \{i\}\; \backslash \; \backslash \; right\; |\; \backslash \; (\backslash \; forall\; i)\; (f\; (i)\; \backslash \; in\; X\_\; \{i\})\; \backslash \; right\; \backslash \},\}$

то есть, набор всех функций, определенных в набор индексов таким образом, что значение функции по конкретному индексу i является элементом X i. Даже если каждое из X i непусто, декартово произведение может быть пустым, если аксиома выбора, которая эквивалентна утверждению о том, что каждое такое произведение непусто, не предполагается.

Для каждого j в I функция

$\pi \; j:\; \prod \; i\; \in \; IX\; i\; \to \; X\; j,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{j\}:\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; I\}\; X\_\; \{\; i\}\; \backslash \; to\; X\_\; \{j\},\}$

определяется как $\pi \; j\; (f)\; =\; f\; (j)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{j\}\; (f)\; =\; f\; (j)\}$называется jth карта проекции.

Декартова степень - это декартово произведение, где все множители X i являются одним и тем же набором X. В этом случае

$\prod \; i\; \in \; IX\; i\; =\; \prod \; i\; \in \; IX\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; I\}\; X\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; I\}\; X\}$

- это набор всех функций из I к X и часто обозначается X. Этот случай важен при изучении кардинального возведения в степень. Важным частным случаем является случай, когда набор индексов равен $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$, натуральные числа : это декартово произведение представляет собой набор всех бесконечных последовательностей. с i-м членом в соответствующем наборе X i. Например, каждый элемент

$\prod \; n\; =\; 1\; \infty \; R\; =\; R\; \times \; R\; \times \; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; prod\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; =\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; times\; \backslash \; cdots\}$

можно визуализировать как вектор со счетно бесконечными компонентами действительного числа. Этот набор часто обозначается как $R\; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{\backslash \; omega\}\}$или $RN\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{\backslash \; mathbb\; \{N\; \}\}\}$.

Сокращенная форма

Если несколько наборов умножаются вместе (например, X 1, X 2, X 3,…), то некоторые авторы предпочитают сокращать декартово произведение как просто ×Xi.

декартово произведение функций

Если f - функция от A до B, а g - функция от X до Y, то их декартово произведение f × g является функцией от A × X до B × Y с

$(f\; \times \; g)\; (a,\; x)\; =\; (f\; (a),\; g\; (x)).\; \{\backslash \; displaystyle\; (f\; \backslash \; times\; g)\; (a,\; x)\; =\; (f\; (a),\; g\; (x)).\}$

Это можно расширить до кортежей и бесконечных наборов функций. Это отличается от стандартного декартова произведения функций, рассматриваемых как множества.

Цилиндр

Пусть $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$будет набором, а $B\; \subseteq \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; \backslash \; substeq\; A\}$. Тогда цилиндр $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$относительно $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$является декартовым произведением $B\; \times \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; \backslash \; times\; A\}$из $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$и $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$.

Обычно $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \}$считается юниверсом контекста и не учитывается. Например, если $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$является подмножеством натуральных чисел $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$, то цилиндр $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$is $B\; \times \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$.

Теория категорий

Хотя декартово произведение традиционно применяется к множествам, теория категорий обеспечивает более общую интерпретацию произведения математических структур. Это отличается, хотя и связано с понятием декартова квадрата в теории категорий, которое является обобщением продукта волокна.

Возведение в степень является правым присоединенным декартова произведения; таким образом, любая категория с декартовым произведением (и конечным объектом ) является декартовой замкнутой категорией.

Теория графов

В теории графов Декартово произведение двух графов G и H - это граф, обозначенный G × H, чье множество вершин представляет собой (обычное) декартово произведение V (G) × V (H) и такое, что две вершины (u, v) и (u ′, v ′) смежны в G × H, если и только если u = u ′ и v смежна с v ′ в H, или v = v ′ и u смежна с u ′ в G. Декартово произведение графов не является произведением в смысле теории категорий. Вместо этого категориальный продукт известен как тензорное произведение графов.

• Бинарное отношение
• Конкатенация наборов строк
• Копродукт
• Перекрестное произведение
• Прямое произведение групп
• Пустое произведение
• Евклидово пространство
• Экспоненциальный объект
• Конечное отношение
• Соединение (SQL) § Кросс-соединение
• Порядки декартового произведения полностью упорядоченных множеств
• Аксиома множества степеней (для доказательства существования декартового произведения)
• Продукт (теория категорий)
• Топология продукта
• Тип продукта
• Ultraproduct

• декартово Продукт в ProvenMath
• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Как найти декартово произведение, Education Portal Academy