В аксиоматической теории множеств аксиома объединения является одной из аксиом теории множеств Цермело – Френкеля. Эта аксиома была введена Эрнстом Цермело (1908).
Аксиома утверждает, что для каждого набора x существует набор y, элементы которого в точности являются элементами элементов x.
Содержание
- 1 Формальное заявление
- 2 Отношение к объединению
- 3 Отношение к замене
- 4 Отношение к разделению
- 5 Отношение к пересечению
- 6 Ссылки
- 7 Внешние ссылки
Формальное утверждение
В формальном языке аксиом Цермело – Френкеля аксиома читается так:
или словами:
- Для любого множества A, существует такой набор B, что для любого элемента c, c является членом of B тогда и только тогда, когда существует такое множество D, что c является членом D , а D является членом A.
или, проще:
- Для любого набора существует набор , который состоит только из элементов элементы этого набора .
Связь с парой
Аксиома объединения позволяет распаковать набор множеств и, таким образом, создать более плоский задавать. Вместе с аксиомой спаривания это означает, что для любых двух наборов существует набор (называемый их union ), который содержит в точности элементы этих двух наборов.
Отношение к замене
Аксиома замещения позволяет образовывать множество объединений, таких как объединение двух множеств.
Однако в своей полной общности аксиома объединения не зависит от остальных аксиом ZFC: замена не доказывает существование объединения набора множеств, если результат содержит неограниченное количество мощности.
Вместе со схемой аксиомы замены аксиома объединения подразумевает, что можно сформировать объединение семейства множеств, индексированных множеством.
Связь с разделением
В контексте теорий множеств, которые включают аксиому разделения, аксиома объединения иногда формулируется в более слабой форме, которая дает только надмножество объединения набора. Например, Кунен (1980) формулирует аксиому как
что эквивалентно
По сравнению с аксиомой, изложенной в верхней части этого раздела, этот вариант утверждает только одно направление импликации, а не оба направления.
Связь с пересечением
Нет соответствующей аксиомы для пересечения. Если - непустое множество, содержащее , можно сформировать пересечение с использованием схемы аксиом спецификации как
- ,
, поэтому отдельная аксиома пересечения не требуется. (Если A является пустым множеством, то попытка сформировать пересечение A как
- {c: для всех D в A, c находится в D}
не допускается аксиомами. Более того, если бы такой набор существовал, то он содержал бы каждый набор во «вселенной», но понятие универсального набора противоречит теории множеств Цермело – Френкеля.)
Ссылки
- Пол Халмос, Наивная теория множеств. Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostrand Company, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag).
- Jech, Thomas, 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
- Кунен, Кеннет, 1980. Теория множеств: введение в доказательства независимости. Эльзевир. ISBN 0-444-86839-9.
- Эрнст Цермело, 1908, "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I", Mathematische Annalen 65 (2), стр. 261–281.
- Английский перевод: Жан ван Хейенорт, 1967, 1967, От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, стр. 199–215 ISBN 978-0-674-32449-7
Внешние ссылки