Экзистенциальная количественная оценка

редактировать
Логическая количественная оценка, утверждающая, что утверждение справедливо как минимум для одного объекта

В логике предикатов, количественная оценка существования является типом квантификатора, логической константы, которая равна интерпретируется как «существует», «есть по крайней мере один» или «для некоторых». Обычно он обозначается символом логического оператора ∃, который при использовании вместе с переменной-предикатом называется квантификатором существования («∃x» или «∃ (x)»). Экзистенциальная количественная оценка отличается от универсальной количественной оценки («для всех»), которая утверждает, что свойство или отношение сохраняется для всех членов домена. Некоторые источники используют термин экзистенциализация для обозначения экзистенциальной количественной оценки.

Содержание

  • 1 Основы
  • 2 Свойства
    • 2.1 Отрицание
    • 2.2 Правила вывода
    • 2.3 Пустой установить
  • 3 в качестве присоединенного
  • 4 HTML-кодирование экзистенциальных кванторов
  • 5 См. также
  • 6 Примечания
  • 7 Ссылки

Основы

Рассмотрим формулу, которая утверждает, что некоторые натуральное число, умноженное на само себя, равно 25.

0 · 0 = 25, или 1 · 1 = 25, или 2 · 2 = 25, или 3 · 3 = 25 и т. д.

Это может показаться логической дизъюнкцией из-за многократного использования «или». Однако «и так далее» делает невозможным его интегрирование и интерпретацию как дизъюнкцию в формальной логике. Вместо этого утверждение можно было бы перефразировать более формально как

для некоторого натурального числа n, n · n = 25.

Это единичный оператор, использующий количественную оценку существования.

Это утверждение более точное, чем исходное, поскольку фраза «и так далее» не обязательно включает все натуральные числа и исключает все остальное. А поскольку домен не был указан явно, фразу нельзя было интерпретировать формально. Однако в количественном выражении натуральные числа упоминаются явно.

Этот конкретный пример верен, потому что 5 - натуральное число, и когда мы подставляем 5 вместо n, мы получаем «5 · 5 = 25», что верно. Не имеет значения, что «n · n = 25» верно только для одного натурального числа 5; даже существования единственного решения достаточно, чтобы доказать истинность этой экзистенциальной количественной оценки. Напротив, «Для некоторых четное число n, n · n = 25» неверно, потому что нет четных решений.

область дискурса, которая определяет значения, которые разрешено принимать переменной n, поэтому критична для истинности или ложности утверждения. Логические союзы используются для ограничения области дискурса для выполнения данного предиката. Например:

для некоторого положительного нечетного числа n, n · n = 25

логически эквивалентно и

. Для некоторого натурального числа n, n нечетно и n · n = 25.

Здесь «и» - логическое соединение.

В символической логике используется «∃» (обратная или перевернутая буква «E » в шрифте без засечек ) для обозначения экзистенциальной количественной оценки. Таким образом, если P (a, b, c) является предикатом «a · b = c», а N {\ displaystyle \ mathbb {N}}\ mathbb {N} является набором натуральных чисел, то

∃ n ∈ NP (n, n, 25) {\ displaystyle \ exists {n} {\ in} \ mathbb {N} \, P (n, n, 25)}\ exists {n} {\ in} \ mathbb {N} \, P ( n, n, 25)

является (истинным) утверждением

Для некоторого натурального числа n, n · n = 25.

Аналогично, если Q (n) является предикатом «n четно», то

∃ n ∈ N ( Q (n) ∧ п (n, n, 25)) {\ displaystyle \ exists {n} {\ in} \ mathbb {N} \, {\ big (} Q (n) \; \! \; \! {\ wedge} \; \! \; \! P (n, n, 25) {\ big)}}\ exists {n} {\ in} \ mathbb {N} \, {\ big ( } Q (n) \; \! \; \! {\ Wedge} \; \! \; \! P (n, n, 25) {\ big)}

является (ложным) утверждением

Для некоторого натурального числа n, n четно и n · n = 25.

В математике доказательство "некоторого" утверждения может быть достигнуто либо с помощью конструктивного доказательства, которое демонстрирует объект, удовлетворяющий "некоторому" утверждению, или неконструктивным доказательством, которое показывает, что такой объект должен существовать, но без его проявления.

Свойства

Отрицание

Количественная пропозициональная функция это заявление; таким образом, как и утверждения, количественные функции можно отрицать. Символ ¬ {\ displaystyle \ lnot \}\ lnot \ используется для обозначения отрицания.

Например, если P (x) - пропозициональная функция «x больше 0 и меньше 1», то для области дискурса X всех натуральных чисел экзистенциальная квантификация «Существует натуральное число x, которое больше 0 и меньше 1 ", можно символически обозначить как:

∃ x ∈ XP (x) {\ displaystyle \ exists {x} {\ in} \ mathbf {X} \, P ( x)}\ exists {x} {\ in} \ m athbf {X} \, P (x)

Это может быть продемонстрировано как ложное. По правде говоря, следует сказать: «Это не тот случай, когда существует натуральное число x, которое больше 0 и меньше 1», или, символически:

¬ ∃ x ∈ XP (x) {\ displaystyle \ lnot \ \ exists {x} {\ in} \ mathbf {X} \, P (x)}\ lnot \ \ exists {x} {\ in} \ mathbf {X} \, P (x) .

Если нет элемента области дискурса, для которого утверждение истинно, то оно должно быть ложным для всех этих элементов. То есть, отрицание

∃ x ∈ XP (x) {\ displaystyle \ exists {x} {\ in} \ mathbf {X} \, P (x)}\ exists {x} {\ in} \ m athbf {X} \, P (x)

логически эквивалентно выражению «Для любого натуральное число x, x не больше 0 и меньше 1 ", или:

∀ x ∈ X ¬ P (x) {\ displaystyle \ forall {x} {\ in} \ mathbf {X} \, \ lnot P (x)}\ forall {x} {\ in} \ mathbf {X} \, \ lnot P (x)

В общем, тогда отрицание экзистенциальной квантификации пропозициональной функции является универсальной квантификацией отрицания этой пропозициональной функции; символически

¬ ∃ x ∈ XP (x) ≡ ∀ x ∈ X ¬ P (x) {\ displaystyle \ lnot \ \ exists {x} {\ in} \ mathbf {X} \, P (x) \ Equiv \ \ forall {x} {\ in} \ mathbf {X} \, \ lnot P (x)}\ lnot \ \ exists {x} {\ in} \ mathbf {X} \, P (x) \ Equiv \ \ forall {x} {\ in} \ mathbf {X} \, \ lnot P (x)

(Это обобщение законов Де Моргана на логику предикатов.)

Распространенной ошибкой является утверждение, что «все люди не состоят в браке» (т. Е. «Не существует человека, который состоит в браке»), когда «не все люди состоят в браке» (т. ") предназначен:

¬ ∃ x ∈ XP (x) ≡ ∀ x ∈ X ¬ P (x) ≢ ¬ ∀ x ∈ XP (x) ≡ ∃ x ∈ X ¬ P (x) {\ displaystyle \ lnot \ \ exists {x} {\ in} \ mathbf {X} \, P (x) \ Equiv \ \ forall {x} {\ in} \ mathbf {X} \, \ lnot P (x) \ not \ Equiv \ \ lnot \ \ forall {x} {\ in} \ mathbf {X} \, P (x) \ Equiv \ \ exists {x} {\ in} \ mathbf {X} \, \ lnot P (x)}\ lnot \ \ exists {x} {\ in} \ mathbf {X} \, P (x) \ Equiv \ \ forall {x} {\ in} \ mathbf {X} \, \ lnot P (x) \ not \ Equiv \ \ lnot \ \ forall {x} {\ in} \ mathbf {X} \, P (x) \ Equiv \ \ exists {x} { \ in} \ mathbf {X} \, \ lnot P (x)

Отрицание также можно выразить выражением «для нет», в отличие от «для некоторых»:

∄ x ∈ XP (x) ≡ ¬ ∃ x ∈ XP (x) {\ displaystyle \ nexists {x } {\ in} \ mathbf {X} \, P (x) \ Equiv \ lnot \ \ exists {x} {\ in} \ mathbf {X} \, P (x)}\ nexists {x} {\ in} \ mathbf {X} \, P (x) \ Equiv \ lnot \ \ exists {x} {\ in} \ mathbf {X } \, P (x)

В отличие от универсального квантора, квантор существования распределяется по логическим дизъюнкциям:

∃ x ∈ XP (x) ∨ Q (x) → (∃ x ∈ XP (x) ∨ ∃ x ∈ XQ (x)) {\ displaystyle \ exists {x} {\ in} \ mathbf {X} \, P (x) \ lor Q (x) \ to \ (\ exists {x} {\ in} \ mathbf {X} \, P (x) \ lor \ exists {x} {\ in} \ mathbf {X} \, Q (x))}{\ displaystyle \ exists { x} {\ in} \ mathbf {X} \, P (x) \ lor Q (x) \ to \ (\ exists {x} {\ in} \ mathbf {X} \, P (x) \ lor \ существует {x} {\ in} \ mathbf {X} \, Q (x))}

Правила вывода

A правило вывода - это правило, оправдывающее логический шаг от гипотезы к вывод. Есть несколько правил вывода, которые используют квантор существования.

Экзистенциальное введение (∃I) заключает, что, если известно, что пропозициональная функция истинна для определенного элемента области дискурса, то должно быть истинно то, что существует элемент, для которого пропозициональная функция правда. Символически

P (a) → ∃ x ∈ XP (x) {\ displaystyle P (a) \ to \ \ exists {x} {\ in} \ mathbf {X} \, P (x)}P (a) \ to \ \ exists {x} {\ in} \ mathbf {X} \, P (x)

Экзистенциальное исключение, когда оно проводится по методике Fitch, осуществляется путем ввода новой суб-производной с заменой объекта экзистенциально количественно оцененной переменной, которая не появляется ни в одной активной суб-производной. Если можно прийти к заключению в рамках этого суб-производного, в котором замещенный субъект не появляется, то можно выйти из этого суб-производного с этим заключением. Обоснование экзистенциального исключения (∃E) таково: если дано, что существует элемент, для которого функция предложения истинна, и если вывод может быть сделан, дав этому элементу произвольное имя, этот вывод будет обязательно верно, если оно не содержит имени. Символически, для произвольного c и для предложения Q, в котором c не появляется:

∃ x ∈ XP (x) → ((P (c) → Q) → Q) {\ displaystyle \ exists {x} { \ in} \ mathbf {X} \, P (x) \ to \ ((P (c) \ to \ Q) \ to \ Q)}\ существует {x} {\ in} \ mathbf {X} \, P (x) \ to \ ((P (c) \ to \ Q) \ to \ Q)

P (c) → Q {\ displaystyle P (c) \ to \ Q}P (c) \ to \ Q должно быть истинным для всех значений c в одном домене X; в противном случае логика не следует: если c не является произвольным, а вместо этого является конкретным элементом предметной области, то утверждение P (c) может необоснованно дать больше информации об этом объекте.

Пустое множество

Формула ∃ x ∈ ∅ P (x) {\ displaystyle \ exists {x} {\ in} \ emptyset \, P (x)}\ существует {x} {\ in} \ emptyset \, P (x) всегда ложно, независимо от P (x). Это связано с тем, что ∅ {\ displaystyle \ emptyset}\ emptyset обозначает пустой набор, а не x любого описания, не говоря уже о x, удовлетворяющем заданному предикату P (x) - существуют в пустом множестве. См. Также Пустая правда для получения дополнительной информации.

как сопряженный

В теории категорий и теории элементарных топоев экзистенциальный квантор можно понимать как левое сопряженное функтора между наборами мощности, функтора обратного изображения функции между наборами; аналогично, универсальный квантор - это правый смежный.

HTML-кодирование экзистенциальных кванторов

. Символы закодированы U + 2203 ∃ ЕСТЬ ЕСТЬ (HTML ·∃, ∃·как математический символ) и U + 2204 ∄ НЕТ (HTML ·∄, ∄, ∄).

См. Также

Примечания

  1. ^ «Исчерпывающий список логических символов». Математическое хранилище. 2020-04-06. Проверено 4 сентября 2020 г.
  2. ^«Предикаты и квантификаторы». www.csm.ornl.gov. Проверено 4 сентября 2020 г.
  3. ^"1.2 Quantifiers". www.whitman.edu. Проверено 4 сентября 2020 г.
  4. ^Аллен, Колин; Рука, Майкл (2001). Учебник по логике. MIT Press. ISBN 0262303965.
  5. ^Этот символ также известен как экзистенциальный оператор. Иногда он обозначается буквой V.
  6. ^«Окончательный словарь высшего математического жаргона: конструктивное доказательство». Математическое хранилище. 2019-08-01. Проверено 4 сентября 2020 г.
  7. ^Сондерс Мак Лейн, Ике Мурдейк, (1992) Пучки в геометрии и логике, Springer-Verlag. ISBN 0-387-97710-4 См. Стр. 58

Ссылки

  • Hinman, P. (2005). Основы математической логики. А. К. Питерс. ISBN 1-56881-262-0.
Последняя правка сделана 2021-05-19 09:44:28
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте