Войти
Геометрическое доказательство существования иррационального числа: если равнобедренный прямоугольный треугольник ABC имел целое число длины сторон, поэтому имел строго меньший треугольник A'B'C. Повторение этой конструкции приведет к бесконечно убывающей последовательности целочисленных длин сторон. В математике теорема существования - это теорема, которая утверждает существование определенный объект. Это может быть утверждение, которое начинается с фразы «существует (а) », или это может быть универсальный оператор, последний квантор которого является экзистенциальным (например, "для всех x, y,... существует (а)..."). С формальной точки зрения символической логики теорема существования - это теорема с предваренной нормальной формой, включающей квантор существования, хотя на практике такие теоремы обычно излагается стандартным математическим языком. Например, утверждение о том, что функция sine непрерывна везде, или любая теорема, записанная в нотации большого O, может рассматриваться как теоремы, которые по своей природе являются экзистенциальными. - поскольку количественную оценку можно найти в определениях используемых понятий.
Споры, уходящие корнями в начало двадцатого века, касаются вопроса чисто теоретических теорем существования, то есть теорем, которые зависят от неконструктивного основополагающего материала, такого как аксиома бесконечности, аксиома выбора или закон исключенного третьего. Такие теоремы не дают никаких указаний на то, как построить (или показать) объект, существование которого утверждается. С конструктивистской точки зрения, такие подходы нежизнеспособны, поскольку они приводят к утрате конкретной применимости математики, в то время как противоположная точка зрения состоит в том, что абстрактные методы имеют далеко идущие последствия (что означает что?) Таким образом, что численного анализа быть не может.
В математике теорема существования является чисто теоретическим, если приведенное для него доказательство не указывает на конструкцию объекта, существование которого утверждается. Такое доказательство неконструктивно, поскольку весь подход может не подойти для построения. В терминах алгоритмов чисто теоретические теоремы существования обходят все алгоритмы поиска того, что, как утверждается, существует. Им следует противопоставить так называемые «конструктивные» теоремы существования, которые многие математики-конструктивисты, работающие в области расширенной логики (такие как интуиционистская логика ), считают внутренне более сильным, чем их неконструктивные аналоги.
Несмотря на это, чисто теоретические результаты существования, тем не менее, повсеместны в современной математике. Например, первоначальное доказательство Джона Нэша существования равновесия по Нэшу в 1951 году было такой теоремой существования. Позже, в 1962 году, был найден конструктивный подход.
С другой стороны, было значительно прояснено, что такое конструктивная математика - без появление «основной теории». Например, согласно определениям Эрретта Бишопа, непрерывность функции, такой как 
