Войти
Теорема Пифагора имеет не менее 370 известных доказательств В математике, теорема - это не самоочевидное утверждение, которое было доказано либо на на основе общепринятых утверждений, таких как аксиомы, или на основе ранее установленных утверждений, таких как другие теоремы. Следовательно, теорема является логическим следствием аксиом, причем доказательством теоремы является логический аргумент, который устанавливает свою истинность через правила вывода дедуктивной системы. В результате доказательство теоремы часто интерпретируется как подтверждение истинности утверждения теоремы. В свете требования доказательства теорем, концепция теоремы по своей сути дедуктивна, в отличие от понятия научного закона, который экспериментален.
Многие математические теоремы являются условными утверждениями, доказательство которых выводит вывод из условий, известных как гипотез или предпосылок. В свете интерпретации доказательства как оправдания истины заключение часто рассматривается как необходимое следствие гипотез. А именно, что вывод верен в случае, если гипотезы верны - без каких-либо дополнительных предположений. Однако условное выражение может также интерпретироваться по-разному в определенных дедуктивных системах, в зависимости от значений, присвоенных правилам вывода и условному символу (например, неклассическая логика ).
Хотя теоремы могут быть записаны в полностью символической форме (например, как предложения в исчислении высказываний ), они часто неформально выражаются на естественном языке, таком как английский, для лучшей читаемости. То же самое и с доказательствами, которые часто выражаются в виде логически организованных и четко сформулированных неформальных аргументов, призванных убедить читателей в истинности утверждения теоремы вне всяких сомнений и на основе которых в принципе может быть построено формальное символическое доказательство.
В дополнение к лучшей читаемости, неформальные аргументы обычно легче проверять, чем чисто символические - действительно, многие математики отдали бы предпочтение доказательству, которое не только демонстрирует справедливость теоремы, но и объясняет в каким-то образом, почему это очевидно верно. В некоторых случаях можно даже доказать теорему, используя картинку в качестве доказательства.
Поскольку теоремы лежат в основе математики, они также занимают центральное место в ее эстетике. Теоремы часто называют «тривиальными», «сложными», «глубокими» или даже «красивыми». Эти субъективные суждения меняются не только от человека к человеку, но также со временем и культурой: например, когда доказательство получено, упрощено или лучше понято, теорема, которая когда-то была трудной, может стать тривиальной. С другой стороны, глубокая теорема может быть сформулирована просто, но ее доказательство может включать удивительные и тонкие связи между разрозненными областями математики. Последняя теорема Ферма является особенно известным примером такой теоремы.
Логически многие теоремы имеют форму ориентировочного условное : если A, то B. Такая теорема не утверждает B - только то, что B является необходимым следствием A. В этом случае A называется гипотезой теоремы («гипотеза "здесь означает нечто очень отличное от гипотезы ), а B - заключение теоремы. В качестве альтернативы, A и B также могут быть названы антецедентом и следствием соответственно. Теорема «Если n - четное натуральное число, тогда n / 2 - натуральное число» является типичным примером, в котором гипотеза «n - четное натуральное число», а вывод - «n / 2 также является натуральным числом ".
Чтобы теорема была доказана, она должна быть в принципе выражена в виде точного формального утверждения. Однако теоремы обычно выражаются на естественном языке, а не в полностью символической форме - с предположением, что формальное утверждение может быть получено из неформального.
В математике принято выбирать несколько гипотез в рамках данного языка и заявлять, что теория состоит из всех утверждений, которые можно доказать на основе этих гипотез. Эти гипотезы составляют фундаментальную основу теории и называются аксиомами или постулатами. Область математики, известная как теория доказательств, изучает формальные языки, аксиомы и структуру доказательств.
A планарная карта с пятью цветами, так что никакие две области с одинаковым цветом не пересекаются. На самом деле его можно раскрасить таким образом только четырьмя цветами. Теорема о четырех цветах утверждает, что такие раскраски возможны для любой плоской карты, но каждое известное доказательство включает в себя вычислительный поиск, который слишком длинный, чтобы проверить его вручную. Некоторые теоремы «тривиальны »в том смысле, что они очевидным образом вытекают из определений, аксиом и других теорем и не содержат каких-либо удивительных идей. Некоторые, с другой стороны, могут быть названы «глубокими», потому что их доказательства могут быть длинными и трудными, затрагивать области математики, внешне отличные от формулировки самой теоремы, или показывать удивительные связи между разрозненными областями математики. Теорема может быть простой и глубокой. Прекрасным примером является Великая теорема Ферма, и есть много других примеров простых, но глубоких теорем в теории чисел и комбинаторике, среди других областей.
Другие теоремы имеют известное доказательство, которое нелегко записать. Наиболее яркими примерами являются теорема о четырех цветах и гипотеза Кеплера. Обе эти теоремы становятся истинными только в результате сведения их к вычислительному поиску, который затем проверяется компьютерной программой. Первоначально многие математики не принимали эту форму доказательства, но она стала более широко распространенной. Математик Дорон Зейлбергер зашел так далеко, что заявил, что это, возможно, единственные нетривиальные результаты, которые когда-либо доказали математики. Многие математические теоремы могут быть сведены к более простым вычислениям, включая полиномиальные тождества, тригонометрические тождества и гипергеометрические тождества.
Для утверждения математического утверждения как теоремы требуется доказательство. То есть должна быть продемонстрирована правильная линия рассуждений от аксиом и других уже установленных теорем к данному утверждению. В общем, доказательство считается отделенным от самой формулировки теоремы. Отчасти это связано с тем, что хотя для одной теоремы может быть известно более одного доказательства, требуется только одно доказательство, чтобы установить статус утверждения как теоремы. Теорема Пифагора и закон квадратичной взаимности претендуют на звание теоремы с наибольшим количеством различных доказательств.
Теоремы в математике и теории в науке принципиально различаются по своей эпистемологии. Научная теория не может быть доказана; его ключевым атрибутом является то, что он поддается опровержению, то есть он делает прогнозы о мире природы, которые можно проверить с помощью экспериментов. Любое несогласие между предсказанием и экспериментом демонстрирует неправильность научной теории или, по крайней мере, ограничивает ее точность или область действия. Математические теоремы, с другой стороны, представляют собой чисто абстрактные формальные утверждения: доказательство теоремы не может включать эксперименты или другие эмпирические данные таким же образом, как эти доказательства используются для поддержки научных теорий.
Гипотеза Коллатца : один из способов проиллюстрировать его сложность - расширить итерацию с натуральных чисел до комплексных. Результатом является фрактал, который (в соответствии с универсальностью ) напоминает множество Мандельброта.Тем не менее, в открытии присутствует некоторая степень эмпиризма и сбора данных. математических теорем. Создавая шаблон, иногда с использованием мощного компьютера, математики могут иметь представление о том, что доказывать, а в некоторых случаях даже план того, как приступить к доказательству. Например, гипотеза Коллатца была проверена для начальных значений примерно до 2,88 × 10. Гипотеза Римана была проверена для первых 10 триллионов нулей дзета-функции .. Ни одно из этих утверждений не считается доказанным.
Такие доказательства не являются доказательством. Например, гипотеза Мертенса - это утверждение о натуральных числах, которое теперь известно как ложное, но не является явным контрпримером (т.е. натуральным числом n, для которого функция Мертенса M (n) равна или превышает квадратный корень из n) известен: все числа меньше 10 обладают свойством Мертенса, а наименьшее число, которое не имеет этого свойства, известно только как меньше, чем экспонента 1,59 × 10, что составляет приблизительно 10 в степени 4,3 × 10. Поскольку число частиц во Вселенной обычно считается меньше 10 в степени 100 (a гугол ), нет никакой надежды найти явный контрпример при исчерпывающий поиск.
Слово «теория» также существует в математике для обозначения совокупности математических аксиом, определений и теорем, как, например, в теории групп (см. математическая теория ). Существуют также «теоремы» в науке, особенно в физике, и в инженерии, но они часто содержат утверждения и доказательства, в которых важную роль играют физические предположения и интуиция; физические аксиомы, на которых основаны такие «теоремы», сами по себе опровергаются.
Существует ряд различных терминов для математических утверждений; эти термины указывают на роль, которую утверждения играют в конкретном предмете. Иногда различие между разными терминами бывает довольно произвольным, и использование некоторых терминов со временем эволюционировало.
Существуют и другие термины, менее часто используемые, которые условно прилагаются к доказанным утверждениям, так что некоторые теоремы упоминаются историческими или привычные имена. Например:
Несколько известных теорем имеют еще более своеобразные названия. Алгоритм деления (см. Евклидово деление ) - это теорема, выражающая результат деления на натуральные числа и более общие кольца. Тождество Безу - это теорема, утверждающая, что наибольший общий делитель двух чисел может быть записан как линейная комбинация этих чисел. Парадокс Банаха – Тарского - это теорема из теории меры, которая парадоксальна в том смысле, что она противоречит общепринятым интуитивным представлениям о томе в трех -мерное пространство.
Теорема и ее доказательство обычно излагаются следующим образом:
Об окончании доказательства может свидетельствовать буквами QED (quod erat manifestrandum) или одним из знаков надгробия, таких как «□» или «∎», означающих «Конец доказательства», введенный Полом Halmos после их использования в журналах для обозначения конца статьи.
Точный стиль зависит от автора или публикации. Многие публикации предоставляют инструкции или макросы для набора в домашнем стиле.
Обычно теореме предшествуют определения, описывающие точное значение терминов, используемых в теорема. Также обычно теореме предшествует ряд предложений или лемм, которые затем используются в доказательстве. Однако леммы иногда вкладываются в доказательство теоремы либо с вложенными доказательствами, либо с их доказательствами, представленными после доказательства теоремы.
Следствия теоремы приводятся либо между теоремой и доказательством, либо сразу после доказательства. Иногда следствия имеют собственные доказательства, объясняющие, почему они следуют из теоремы.
По оценкам, ежегодно доказывается более четверти миллиона теорем.
Хорошо известный афоризм, «Математик - это средство для превращения кофе в теоремы», вероятно, это связано с Альфредом Реньи, хотя его часто приписывают коллеге Реньи Полю Эрдёшу (и Реньи может думали об Эрдёше), который был известен своими многочисленными теоремами, числом его совместных работ и употреблением кофе.
классификация конечных простых групп рассматривается некоторыми как самое длинное доказательство теоремы. Он включает десятки тысяч страниц в 500 журнальных статьях примерно 100 авторов. Считается, что вместе эти статьи дают полное доказательство, и несколько текущих проектов надеются сократить и упростить это доказательство. Другой теоремой этого типа является теорема о четырех цветах, доказательство которой сгенерировано компьютером, слишком длинно для чтения человеком. Это одно из самых длинных известных доказательств теоремы, утверждение которой может легко понять неспециалист.
Логика, особенно в области теории доказательств, рассматривает теоремы как утверждения (называемые формулами или правильно сформированными формулами ) формального языка. Утверждения языка представляют собой цепочки символов и могут быть в общих чертах разделены на бессмыслицу и правильно построенные формулы. Должен быть предоставлен набор правил вывода, также называемых правилами преобразования или правилами вывода. Эти правила вывода точно указывают, когда формула может быть получена из набора предпосылок. Набор правильно построенных формул можно в общих чертах разделить на теоремы и нетеоремы. Однако, согласно Хофштадтеру, формальная система часто просто определяет все свои правильно сформированные формулы как теоремы.
Различные наборы правил вывода порождают разные интерпретации того, что это означает для выражения быть теоремой. Некоторые правила вывода и формальные языки предназначены для улавливания математических рассуждений; наиболее распространенные примеры используют логику первого порядка. Другие дедуктивные системы описывают переписывание терминов, например, правила редукции для λ-исчисления.
Определение теорем как элементов формального языка позволяет получать результаты в теории доказательств, изучающие структуру формальных доказательств. и структура доказуемых формул. Самый известный результат - теоремы Гёделя о неполноте ; Представляя теоремы об основной теории чисел в виде выражений на формальном языке, а затем представляя этот язык внутри самой теории чисел, Гёдель построил примеры утверждений, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть с помощью аксиоматизаций теории чисел.
На этой схеме показаны синтаксические сущности, которые могут быть построены из формальных языков. Строки символов и символов могут быть в целом разделены на бессмысленные и правильно сформированные формулы. Формальный язык можно рассматривать как идентичный набору его хорошо сформированных формул. Набор правильно сформированных формул можно в общих чертах разделить на теоремы и нетеоремы. Теорема может быть выражена на формальном языке (или «формализованном»). Формальная теорема - это чисто формальный аналог теоремы. В общем, формальная теорема - это тип правильно сформированной формулы, которая удовлетворяет определенным логическим и синтаксическим условиям. Обозначение 
Формальные теоремы состоят из формул формального языка и правил преобразования формальной системы. В частности, формальная теорема всегда является последней формулой вывода в некоторой формальной системе, каждая формула которой является логическим следствием формул, предшествующих ей при выводе. Первоначально принятые формулы при выводе называются его аксиомами и являются основой вывода теоремы. набор теорем называется теорией .
Что делает формальные теоремы полезными и интересными, так это то, что их можно интерпретировать как истинные утверждения и их выводы могут быть истолкованы как доказательство истинности результирующего выражения. Набор формальных теорем можно назвать формальной теорией. Теорема, интерпретация которой является истинным утверждением о формальной системе (в отличие от формальной системы), называется метатеоремой.
Концепция формальной теоремы - это в основном синтаксический, в отличие от понятия истинного предложения, которое вводит семантику. Различные дедуктивные системы могут давать другие интерпретации в зависимости от презумпций правил вывода (например, убеждение, обоснование или другие модальности ). надежность формальной системы зависит от того, все ли ее теоремы также верны. Валидность - это формула, которая истинна при любой возможной интерпретации (например, в классической логике высказываний валидность - это тавтологии ). Формальная система считается семантически полной, если все ее теоремы также являются тавтологиями.
Понятие теоремы очень тесно связано с ее формальным доказательством (также называемым «выводом»). В качестве иллюстрации рассмотрим очень упрощенную формальную систему 
длиной не менее трех символов и не бесконечно длинной является формулой. Все остальное не является формулой.Единственная аксиома
Единственное правило вывод (правило преобразования) для
Теоремы в
является производным. Следовательно, «ABBBAB » является теоремой 
Две метатеоремы
Философский портал 
Математический портал  | Найдите theorem в Wiktionary, бесплатном словаре. |
СМИ, связанные с теоремой на Викискладе.
