Войти
Полом Эрдёшем в 1992 г. Число Эрдёша (венгерский: ) описывает «совместное расстояние» между математиком Полом Эрдёшем и другим человеком, измеренное по авторству математические статьи. Тот же принцип применялся и в других областях, где конкретное лицо сотрудничало с большим и широким кругом коллег.
Пауль Эрдеш (1913–1996) был влиятельным венгерским математиком, который в последние годы своей жизни провел много времени писать статьи с большим количеством коллег, работая над решениями нерешенных математических задач. За свою жизнь он опубликовал больше работ (не менее 1525), чем любой другой математик в истории. (Леонард Эйлер опубликовал больше страниц математики, но меньше отдельных статей: около 800.) Эрдёш провел большую часть своей дальнейшей жизни, живя в чемодане, посещая своих более 500 сотрудников по всему миру.
Идея числа Эрдеша была первоначально придумана друзьями математика как дань уважения его огромным результатам. Позже он получил известность как инструмент для изучения того, как математики сотрудничают, чтобы найти ответы на нерешенные проблемы. Несколько проектов посвящены изучению возможности взаимодействия между исследователями с использованием числа Эрдеша в качестве прокси. Например, графики сотрудничества Эрдеша могут рассказать нам о том, как авторы группируются, как число соавторов на статью меняется с течением времени или как распространяются новые теории.
Некоторые исследования показали, что ведущие математики, как правило, имеют особенно низкие числа Эрдеша. Среднее число Эрдеша среди медалистов Филдса равно 3. Только 7 097 (около 5% математиков с опытом сотрудничества) имеют число Эрдеша 2 или меньше. По прошествии времени наименьшее число Эрдеша, которое еще может быть достигнуто, обязательно будет увеличиваться, поскольку математики с низкими числами Эрдеша умирают и становятся недоступными для сотрудничества. Тем не менее, исторические личности могут иметь низкие числа Эрдеша. Например, у известного индийского математика Шриниваса Рамануджана число Эрдеша составляет всего 3 (через Г.Х. Харди, число Эрдеша 2), хотя Полу Эрдешу было всего 7 лет, когда Рамануджан умер.
Если Алиса сотрудничает с Полом Эрдёшем в одной статье, а с Бобом - в другой, но Боб никогда не сотрудничает с самим Эрдёшем, то Алисе дается Эрдёш. число 1, а Бобу дается число Эрдёша, равное 2, поскольку он находится в двух шагах от Эрдеша. Чтобы получить номер Эрдёша, кто-то должен быть соавтором исследовательской статьи с другим человеком, у которого есть конечное число Эрдёша. У Пола Эрдеша нулевое число Эрдеша. Число Эрдеша любого другого человека равно k + 1, где k - наименьшее число Эрдеша любого соавтора. Американское математическое общество предоставляет бесплатный онлайн-инструмент для определения числа Эрдеша каждого математического автора, указанного в каталоге Mathematical Reviews.
Эрдеш написал около 1500 математических статей в при его жизни, в основном в соавторстве. У него было 512 непосредственных сотрудников; это люди с номером 1 Эрдёша. Люди, которые сотрудничали с ними (но не с самим Эрдёшем), имеют число Эрдёш, равное 2 (12 600 человек по состоянию на 7 августа 2020 г.), те, кто сотрудничал с людьми, у которых есть Эрдёш. число 2 (но не с Erds или кем-либо с числом Erds 1) имеют число Erds 3, и так далее. Человек без такой цепочки соавторства, соединяющийся с Эрдёшем, имеет число Эрдёша бесконечность (или неопределённое одно). После смерти Пола Эрдёша наименьшее число Эрдёша, которое может получить новый исследователь, равно 2.
Есть место для двусмысленности в том, что составляет связь между двумя авторами. Калькулятор дистанции сотрудничества Американского математического общества использует данные из Mathematical Reviews, который включает в себя большинство математических журналов, но лишь ограниченно охватывает другие темы, а также включает некоторые публикации, не связанные с исследованиями. На веб-сайте проекта чисел Эрдеша говорится:
... Нашим критерием включения ребра между вершинами u и v является некоторое совместное исследование между ними, в результате которого была опубликована работа. Допускается любое количество дополнительных соавторов,...
, но они не включают публикации, не относящиеся к исследованиям, такие как учебники для начинающих, совместные редакции, некрологи и т.п. «Число Эрдёша второго типа» ограничивает присвоение чисел Эрдёша работам, в которых участвуют только два сотрудника.
Число Эрдёша, скорее всего, было впервые определено в печати Каспером Гоффманом, аналитиком, чей собственное число Эрдеша - 2. Гоффман опубликовал свои наблюдения о плодотворном сотрудничестве Эрдеша в статье 1969 года, озаглавленной «А каково ваше число Эрдеша?» См. Также некоторые комментарии в некрологе Майкла Голомба.
Среднее число Эрдёша среди медалистов Филдса всего 3. Среди медалистов Филдса с номером 2 Эрдёша Атле Сельберг, Кунихико Кодаира, Клаус Рот, Алан Бейкер, Энрико Бомбьери, Дэвид Мамфорд, Чарльз Фефферман, Уильям Терстон, Шинг-Тунг Яу, Жан Бургейн, Ричард Борчердс, Манджул Бхаргава, Жан-Пьер Серр и Теренс Тао. Медалистов Филдса с номером Эрдёша 1 нет; однако Эндре Семереди является лауреатом премии Абеля с номером Эрдёша 1.
В то время как Эрдёш сотрудничал с сотнями соавторов. авторов, были некоторые люди, с которыми он был соавтором десятков статей. Это список из десяти человек, которые наиболее часто были соавторами с Эрдёшем, и количество их статей, написанных в соавторстве с Эрдёшем (т.е. количество их совместных работ).
| Соавтор | Количество. сотрудничество |
|---|---|
| Андраш Саркози | 62 |
| Андраш Хайнал | 56 |
| Ральф Фодри | 50 |
| Ричард Шелп | 42 |
| Сесил К. Руссо | 35 |
| Вера Т. Сос | 35 |
| Альфред Реньи | 32 |
| Пал Туран | 30 |
| Эндре Семереди | 29 |
| Рональд Грэм | 28 |
По состоянию на 2016 год все Fields Medalists имели конечное число Эрдеша со значениями в диапазоне от 2 до 6 и медианное значение 3. Напротив, среднее число Эрдеша по всем математиков (с конечным числом Эрдёша) - 5, а крайним значением - 13. В таблице ниже приведены статистические данные о числе Эрдёша для лауреатов Нобелевской премии по физике, химии, медицине и экономике. В первом столбце указано количество лауреатов. Во втором столбце подсчитывается количество победителей с конечным числом Эрдеша. Третий столбец - это процент победителей с конечным числом Эрдеша. В остальных столбцах указаны минимальное, максимальное, среднее и среднее число Эрдеша среди этих лауреатов.
| #Laureates | # Erds | % Erds | Min | Max | Среднее значение | Медиана | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Медаль Филдса | 56 | 56 | 100,0% | 2 | 6 | 3,36 | 3 |
| Нобелевская Экономика | 76 | 47 | 61,84% | 2 | 8 | 4,11 | 4 |
| Nobel Chemistry | 172 | 42 | 24,42% | 3 | 10 | 5,48 | 5 |
| Nobel Medicine | 210 | 58 | 27,62% | 3 | 12 | 5,50 | 5 |
| Нобелевская физика | 200 | 159 | 79,50% | 2 | 12 | 5,63 | 5 |
Среди лауреатов Нобелевской премии лауреаты по физике Альберт Эйнштейн и Шелдон Ли Глэшоу имеют число Эрдёша 2. Нобелевские лауреаты с числом Эрдёша 3 включают Энрико Ферми, Отто Стерн, Вольфганг Паули, Макс Борн, Уиллис Э. Лэмб, Юджин Вигнер, Ричард П. Фейнман, Ханс А. Бете, Мюррей Гелл-Манн, Абдус Салам, Стивен Вайнберг, Норман Ф. Рэмси, Фрэнк Вильчек и Дэвид Вайнленд. У физика, удостоенного медали Филдса Эд Виттена, число Эрдеша равно 3.
Вычислительный биолог Лиор Пахтер имеет число Эрдёша 2. Эволюционный биолог Ричард Ленски имеет число Эрдеша 3, он является соавтором публикации с Лиором Пахтером и математиком Берндом Штурмфельсом, у каждого из которых есть Эрдёш. число 2.
Есть как минимум два лауреата Нобелевской премии по экономике с числом Эрдёша 2: Гарри М. Марковиц (1990) и Леонид Канторович (1975). К другим финансовым математикам с числом Эрдеша 2 относятся Дэвид Донохо, Марк Йор, Генри Маккин, Дэниел Строок и Джозеф. Келлер.
Лауреаты Нобелевской премии по экономике с числом Эрдеша 3 включают Кеннета Дж. Эрроу (1972), Милтона Фридмана (1976), Герберта А. Саймона (1978), Джерард Дебре (1983), Джон Форбс Нэш младший (1994), Джеймс Миррлис (1996), Дэниел Макфадден (2000), Дэниел Канеман (2002), Роберт Дж. Ауманн (2005), Леонид Гурвич (2007), Роджер Майерсон (2007), Элвин Э. Рот (2012) и Ллойд С. Шепли (2012) и Жан Тироль (2014).
Некоторые инвестиционные фирмы были основаны математиками с низкими числами Эрдеша, среди них Джеймс Б. Акс из Axcom Technologies и Джеймс Х. Саймонс из Renaissance Technologies, оба с числом Эрдёша 3.
Поскольку более формальные версии философии разделяют рассуждения с основами математики, эти области значительно перекрываются, и числа Эрдеша доступны для многих философов. Философ Джон П. Берджесс имеет число Эрдёша 2. Джон Барвайз и Джоэл Дэвид Хэмкинс, оба с числом Эрдёша 2, также внесли большой вклад в философию, но в первую очередь описываются как математики.
Судья Ричард Познер, в соавторстве с Элвином Э. Ротом, имеет число Эрдёша не более 4. Роберто Мангабейра Унгер, политик, философ и теоретик права, преподающий в Гарвардской юридической школе, имеет число Эрдёша не более 4, будучи соавтором Ли Смолина.
Ангелы Меркель, Канцлер Германии с 2005 г. по настоящее время имеет число Эрдеша не более 5.
Некоторые области инженерии, в частности теория коммуникации и криптография, напрямую используют дискретную математику, отстаиваемую Эрдёшем. Поэтому неудивительно, что у практикующих в этих областях низкие числа Эрдеша. Например, Роберт МакЭлис, профессор электротехники из Калифорнийского технологического института, имел число Эрдёша, равное 1, поскольку он сотрудничал с самим Эрдёшем. Криптографы Рон Ривест, Ади Шамир и Леонард Адлеман, изобретатели криптосистемы RSA, все имеют число Эрдёша 2.
Антрополог Дуглас Р. Уайт получил число Эрдёша 2 по данным теоретика графов Фрэнка Харари. Социолог Барри Веллман получил число Эрдёша 3 через аналитика социальной сети и статистика Ове Франк, еще одного сотрудника Harary's.
Румынский математик и компьютерный лингвист Соломон Маркус имел число Эрдёша, равное 1, для статьи в Acta Mathematica Hungarica, которую он написал в соавторстве с Эрдёшем в 1957 году.
Пол Эрдёш в 1985 году в Университете Аделаиды преподавал Теренс Тао, которому тогда было 10 лет. Тао стал профессором математики в UCLA, получил медаль Филдса в 2006 году и был избран членом Королевского общества в 2007 году. Его число Эрдёша - 2. Числа Эрдеша уже много лет являются частью фольклора математиков всего мира. Среди всех работающих математиков на рубеже тысячелетий, у которых есть конечное число Эрдеша, оно достигает 15, медиана равна 5, а среднее - 4,65; почти каждый с конечным числом Эрдеша имеет число меньше 8. Из-за очень высокой частоты междисциплинарного сотрудничества в современной науке, очень большое количество нематематиков во многих других областях науки также имеет конечные числа Эрдеша. Например, политолог Стивен Брамс имеет число Эрдёша, равное 2. В биомедицинских исследованиях статистики обычно входят в число авторов публикаций, и многие статистики могут быть связаны с Эрдёшем через Джона. Тьюки, у которого число Эрдёша равно 2. Точно так же выдающийся генетик Эрик Ландер и математик Даниэль Клейтман сотрудничали в работе над статьями, и поскольку у Клейтмана число Эрдёша составляет 1, большая часть сообщества генетиков и геномиков может быть связана через Лендера и его многочисленных сотрудников. Точно так же сотрудничество с Густавом Симмонсом открыло двери для чисел Эрдеша в криптографическом исследовательском сообществе, и многие лингвисты имеют конечные числа Эрдеша, многие из-за цепочек сотрудничества с такими известными учеными, как Ноам Хомский (число Эрдёша 4), Уильям Лабов (3), Марк Либерман (3), Джеффри Пуллум (3) или Иван Саг (4). Есть также связи с arts полями.
По словам Алекса Лопес-Ортиса, все обладатели призов Fields и Неванлинна в течение трех циклов в 1986–1994 годах число Эрдеша не превышало 9.
Ранее математики публиковали меньше статей, чем современные, и реже публиковали совместно написанные статьи. Самым ранним человеком, имеющим конечное число Эрдёша, является либо Антуан Лавуазье (родился в 1743 году, число Эрдёша 13), Ричард Дедекинд (родился в 1831 году, число Эрдёша 7), либо Фердинанд Георг Фробениус (родился в 1849 году, число Эрдеша 3), в зависимости от стандарта права на публикацию.
Мартин Томпа предложил ориентированный граф версию проблемы числа Эрдеша, ориентируясь на ребра графа сотрудничества от автора по алфавиту к более позднему автору и определение монотонного числа Эрдёша автора как длины самого длинного пути от Эрдёша к автору в этом ориентированном графе. Он находит путь такого типа длиной 12.
Кроме того, Майкл Барр предлагает «рациональные числа Эрдеша», обобщая идею о том, что человек, написавший p совместных работ с Эрдешем, должен быть присвоил номер Эрдеша 1 / п. Из кооперативного мультиграфа второго типа (хотя у него также есть способ справиться со случаем первого типа) - с одним ребром между двумя математиками для каждой совместной работы, которую они подготовили - сформируйте электрическую сеть с резистором в один ом. на каждом краю. Общее сопротивление между двумя узлами говорит о том, насколько эти два узла «близки».
Утверждалось, что «для отдельного исследователя такая мера, как число Эрдеша, отражает структурные свойства [сети], тогда как h-индекс отражает влияние цитирования публикаций, "и что" Можно легко убедиться, что ранжирование в сетях соавторства должно учитывать обе меры для создания реалистичного и приемлемого ранжирования ".
В 2004 году Уильям Тозьер, математик с числом Эрдёша 4, выставлен на аукцион соавторства на eBay, тем самым предоставив покупателю число Эрдёша, равное 5. Победившая ставка в размере 1031 долл. США была объявлена испанским математиком, который, однако, не собирался платить, а просто разместил ставку чтобы прекратить то, что он считал издевательством.
Было предложено несколько вариаций концепции для применения в других областях.
Самым известным является число Бэкона (как в игре Six Degrees of Kevin Bacon ), соединяющее актеров, появившихся в фильме, вместе с актером Кевин Бэкон. Он был создан в 1994 году, через 25 лет после статьи Гоффмана о числе Эрдёша.
Небольшое количество людей связано как с Эрдёшем, так и с Бэконом и, таким образом, имеет число Эрдёша-Бэкона, которое объединяет два числа, беря их сумму. Одним из примеров является актриса-математик Даника МакКеллар, наиболее известная по роли Винни Купера в сериале The Wonder Years. Ее число Эрдеша - 4, а число Бэкона - 2.
Возможно дальнейшее продление. Например, «число Эрдёша-Бэкона-Саббата» - это сумма числа Эрдёша-Бэкона и общего расстояния до группы Black Sabbath с точки зрения публичного пения. У физика Стивена Хокинга число Эрдёша-Бэкона-Саббата равно 8, а у актрисы Натали Портман - одно из 11 (ее число Эрдёша 5).
