Классификация конечных простых групп

Даниэль Горенштейн объявил в 1983 году, что все конечные простые группы были классифицированы, но это было преждевременно, поскольку он был дезинформирован о доказательстве классификации квазитинских групп. Завершенное доказательство классификации было объявлено Ашбахером (2004) после того, как Ашбахер и Смит опубликовали 1221-страничное доказательство пропавшего квазитонкого случая.

Горенштейн (1982, 1983) написал два тома, в которых излагаются низкий ранг и нечетные характеристики доказательство, и Майкл Ашбахер, Ричард Лайонс и Стивен Д. Смит и др. (2011) написал 3-й том, посвященный оставшейся характеристике 2 случая. Доказательство можно разбить на несколько основных частей следующим образом:

Группы малых 2-ранговых

Простые группы низкого 2-ранга в основном являются группами Ли. тип малого ранга над полями нечетной характеристики, вместе с пятью знакопеременными и семью характеристическими типами 2 и девятью спорадическими группами.

Простые группы малых 2-х рангов включают:

• Группы 2-х рангов 0, другими словами группы нечетного порядка, которые все разрешимы с помощью Feit –Теорема Томпсона.
• Группы 2-ранга 1. Силовские 2-подгруппы являются либо циклическими, что легко обрабатывается с помощью карты переноса, либо обобщенным кватернионом , которые обрабатываются с помощью Теорема Брауэра – Судзуки : в частности, не существует простых групп 2-го ранга 1.
• Группы 2-го ранга 2. Альперин показал, что силовская подгруппа должна быть двугранной, квазидиэдральной, сплетенной или Силовская 2-подгруппа в U 3 (4). Первый случай был рассмотрен с помощью теоремы Горенштейна – Вальтера, которая показала, что единственные простые группы изоморфны L 2 (q) для q нечетного или A 7, второй и третий случаи были выполнены с помощью теоремы Альперина – Брауэра – Горенштейна, из которой следует, что единственные простые группы изоморфны L 3 (q) или U 3 (q) для нечетного q или M 11, и последний случай был рассмотрен Лайонсом, который показал, что U 3 (4) - единственная простая возможность.
• Группы секционного 2-ранга не более 4, классифицируемые по теореме Горенштейна – Харада.

Классификация групп малых 2-ранга, особенно рангов не более 2, интенсивно использует обычную и модульную теорию характеров, который почти никогда напрямую не используется в других разделах классификации.

Все группы не малого 2 ранга можно разделить на два основных класса: группы компонентного типа и группы типа характеристики 2. Это связано с тем, что если группа имеет секционный 2-ранг не менее 5, то Мак-Вильямс показал, что ее силовские 2-подгруппы связны, а теорема баланса означает, что любая простая группа со связными силовскими 2-подгруппами является одной из тип компонента или тип характеристики 2. (Для групп с низким 2-рангом доказательство этого не работает, потому что теоремы, такие как теорема о функторе сигнализатора, работают только для групп с элементарными абелевыми подгруппами ранга не ниже 3.)

Группы компонентного типа

Группа называется компонентной, если для некоторого централизатора C инволюции C / O (C) имеет компонент (где O (C) - ядро ​​C, максимальная нормальная подгруппа нечетного порядка). Это более или менее группы лиева типа нечетной характеристики большого ранга и знакопеременные группы вместе с некоторыми спорадическими группами. Важным шагом в этом случае является устранение обструкции сердцевины инволюции. Это достигается с помощью B-теоремы, которая утверждает, что каждый компонент C / O (C) является образом компонента C.

Идея состоит в том, что эти группы имеют централизатор инволюции с компонентом, который является меньшей квазипростой группой, которую можно считать уже известной по индукции. Итак, чтобы классифицировать эти группы, нужно взять каждое центральное расширение каждой известной конечной простой группы и найти все простые группы с централизатором инволюции с этим в качестве компонента. Это дает довольно большое количество различных случаев для проверки: существует не только 26 спорадических групп и 16 семейств групп лиева типа и альтернирующих групп, но также многие группы малого ранга или над малыми полями ведут себя иначе, чем обычные группы. случай и должны рассматриваться отдельно, причем группы лиева типа четной и нечетной характеристики также весьма различны.

Группы типа характеристики 2

Группа имеет тип характеристики 2, если обобщенная подгруппа Фиттинга F * (Y) каждой 2-локальной подгруппы Y является 2 -группа. Как следует из названия, это примерно группы лиева типа над полями характеристики 2, а также горстка других, которые являются переменными, спорадическими или нечетными. Их классификация делится на случаи малого и большого ранга, где ранг - это наибольший ранг нечетной абелевой подгруппы, нормализующей нетривиальную 2-подгруппу, которая часто (но не всегда) совпадает с рангом подалгебры Картана, когда группа является группой лиева типа в характеристике 2.

Группы ранга 1 - это тонкие группы, классифицированные Ашбахером, а группы ранга 2 - это пресловутые квазитиновые группы, классифицированные Ашбахером. и Смит. Они примерно соответствуют группам лиева типа ранга 1 или 2 над полями характеристики 2.

Группы ранга не менее 3 подразделяются на 3 класса по теореме о трихотомии, доказанной Ашбахера для ранга 3 и Горенштейном и Лайонсом для ранга не ниже 4. Эти три класса представляют собой группы типа GF (2) (классифицируются в основном Тиммесфельдом), группы «стандартного типа» для некоторого нечетного простого числа (классифицируются Гилманом – Гриссом теорема и работы нескольких других), а также группы типа единственности, где результат Ашбахера подразумевает, что не существует простых групп. Общий случай более высокого ранга состоит в основном из групп лиева типа над полями характеристики 2 ранга не менее 3 или 4.

Существование и единственность простых групп

Основная часть Классификация дает характеристику каждой простой группы. Затем необходимо проверить, существует ли простая группа для каждой характеристики и что она уникальна. Это дает большое количество отдельных проблем; например, первоначальные доказательства существования и уникальности группы монстров насчитывали около 200 страниц, и идентификация групп Ри Томпсоном и Бомбьери была одной из самых сложных частей классификация. Многие доказательства существования и некоторые доказательства уникальности спорадических групп первоначально использовали компьютерные вычисления, большинство из которых с тех пор было заменено более короткими ручными доказательствами.

Программа Горенштейна

В 1972 году Горенштейн (1979, Приложение) объявил о программе завершения классификации конечных простых групп, состоящий из следующих 16 шагов:

1. Группы младших 2-х рангов. По сути, это было сделано Горенстайном и Харадой, которые классифицировали группы с групповым значением не более 2-го ранга. Большинство случаев 2-го ранга не более 2 было выполнено к тому времени, когда Горенштейн объявил о своей программе.
2. Полупростота 2-х слоев. Задача состоит в том, чтобы доказать, что 2-слой централизатора инволюции в простой группе полупростой.
3. Стандартная форма в нечетной характеристике. Если группа имеет инволюцию с 2-компонентами, которая является группой лиева типа с нечетной характеристикой, цель состоит в том, чтобы показать, что у нее есть централизатор инволюции в "стандартной форме", что означает, что централизатор инволюции имеет компонент, который является лиева типа в нечетной характеристике и также имеет централизатор 2-го ранга 1.
4. Классификация групп нечетного типа. Задача состоит в том, чтобы показать, что если группа имеет централизатор инволюции в «стандартной форме», то это группа лиева типа нечетной характеристики. Это было решено с помощью классической теоремы об инволюции.
5. Квазистандартная форма
6. Центральные инволюции
7. Классификация чередующихся групп.
8. Некоторые спорадические группы
9. Тонкие группы. Простые тонкие конечные группы, имеющие 2-локальный p-ранг не более 1 для нечетных простых чисел p, были классифицированы Ашбахером в 1978 г.
10. Группы с сильно p-вложенной подгруппой для p odd
11. Метод функтора сигнализатора для нечетных простых чисел. Основная проблема состоит в том, чтобы доказать теорему о функторе сигнализатора для неразрешимых функторов сигнализатора. Это было решено Макбрайдом в 1982 году.
12. Группы характеристического p-типа. Это проблема групп с сильно p-вложенной 2-локальной подгруппой с нечетным p, которой занимался Ашбахер.
13. Квазитиновые группы. Квазитинкой группой называется группа, 2-локальные подгруппы которой имеют p-ранг не более 2 для всех нечетных простых чисел p, и проблема состоит в том, чтобы классифицировать простые группы характеристики 2 типа. Это было завершено Ашбахером и Смитом в 2004 году.
14. Группы низкого 2-местного 3-ранга. Это было по существу решено теоремой Ашбахера о трихотомии для групп с e (G) = 3. Основное изменение состоит в том, что 2-локальный 3-ранг заменен 2-локальным p-рангом для нечетных простых чисел.
15. Централизаторы 3-элементов в стандартной форме. По сути, это было сделано с помощью теоремы о трихотомии.
16. Классификация простых групп типа характеристики 2. Это было обработано теоремой Гилмана – Грисса с заменой трех элементов на p-элементы для нечетных простых чисел.

Хронология доказательства

Многие из пунктов в списке ниже взяты из Solomon (2001). Приведенная дата обычно является датой публикации полного доказательства результата, которое иногда на несколько лет позже, чем доказательство или первое объявление результата, поэтому некоторые из пунктов появляются в «неправильном» порядке.

Доказательство теоремы в том виде, в каком оно было примерно в 1985 году, можно назвать первым поколением. Из-за чрезвычайной длины доказательства первого поколения было потрачено много усилий на поиск более простого доказательства, называемого классификационным доказательством второго поколения . Эту работу, получившую название «ревизионизм», первоначально возглавил Даниэль Горенштейн.

. По состоянию на 2019 год было опубликовано восемь томов доказательств второго поколения (Gorenstein, Lyons Solomon 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005, 2018а, 2018б). В 2012 году Соломон подсчитал, что для проекта потребуются еще 5 томов, но сказал, что работа над ними идет медленно. Предполагается, что новое доказательство в конечном итоге заполнит примерно 5000 страниц. (Эта длина частично связана с тем, что доказательство второго поколения написано в более расслабленном стиле.) Ашбахер и Смит написали свои два тома, посвященные квазитонкому случаю, таким образом, чтобы эти тома могли быть частью доказательства второго поколения.

Горенштейн и его сотрудники привели несколько причин, по которым возможно более простое доказательство.

• Самое главное, что теперь известно правильное окончательное утверждение теоремы. Могут применяться более простые методы, которые, как известно, подходят для типов групп, которые, как мы знаем, являются конечными простыми. Напротив, те, кто работал над доказательством первого поколения, не знали, сколько было спорадических групп, и на самом деле некоторые из спорадических групп (например, группы Янко ) были обнаружены при доказательстве других случаев классификационная теорема. В результате многие части теоремы были доказаны с использованием слишком общих методов.
• Поскольку вывод был неизвестен, доказательство первого поколения состоит из множества отдельных теорем, касающихся важных частных случаев. Значительная часть работы по доказательству этих теорем была посвящена анализу множества частных случаев. Учитывая более масштабное, организованное доказательство, рассмотрение многих из этих частных случаев может быть отложено до тех пор, пока не будут применены самые убедительные предположения. Цена, уплаченная за эту пересмотренную стратегию, состоит в том, что эти теоремы первого поколения больше не имеют сравнительно коротких доказательств, а вместо этого полагаются на полную классификацию.
• Многие теоремы первого поколения пересекаются и поэтому неэффективно разделяют возможные случаи. В результате семейства и подсемейства конечных простых групп идентифицировались несколько раз. Пересмотренное доказательство устраняет эти избыточности, полагаясь на другое подразделение случаев.
• Теоретики конечных групп имеют больше опыта в такого рода упражнениях и имеют в своем распоряжении новые методы.

Aschbacher (2004) назвал работу Ульриха Мейерфранкенфельда, Бернда Штельмахера, Гернота Штрота и некоторых других по проблеме классификации программой третьего поколения . Одна из целей этого состоит в том, чтобы одинаково обработать все группы характеристики 2 с помощью метода амальгамы.

Почему доказательства такие длинные?

Горенштейн обсудил некоторые из причин, по которым может не быть краткого доказательства классификации, аналогичной классификации компактных групп Ли.

• Наиболее очевидной причиной является то, что список простых групп довольно сложно: с 26 спорадическими группами, вероятно, будет много частных случаев, которые необходимо будет рассмотреть в любом доказательстве. До сих пор никто еще не нашел четкого единообразного описания конечных простых групп, аналогичного параметризации компактных групп Ли с помощью диаграмм Дынкина.
• Атья и другие предположили, что классификацию следует упростить, построив некоторые геометрические формы. объект, на который действуют группы, а затем классифицирует эти геометрические структуры. Проблема в том, что никто не смог предложить простого способа найти такую ​​геометрическую структуру, связанную с простой группой. В некотором смысле классификация действительно работает, обнаруживая геометрические структуры, такие как BN-пары, но это происходит только в конце очень долгого и сложного анализа структуры конечной простой группы.
• Еще одно предложение для упрощения доказательства - шире использовать теорию представлений. Проблема здесь в том, что теория представлений требует очень жесткого контроля над подгруппами группы, чтобы работать хорошо. Для групп малого ранга есть такое управление, и теория представлений работает очень хорошо, но для групп более высокого ранга никому не удавалось использовать ее для упрощения классификации. На заре классификации были предприняты значительные усилия по использованию теории представлений, но это никогда не приводило к большим успехам в случае более высокого ранга.

В этом разделе перечислены некоторые результаты, которые были получены. доказано с помощью классификации конечных простых групп.

• Гипотеза Шрайера
• Теорема о функторе сигнализатора
• Гипотеза B
• Теорема Шура – ​​Цассенхауза для всех групп (хотя здесь используется только теорема Фейта – Томпсона ).
• Транзитивная группа перестановок на конечном множестве с более чем одним элементом имеет элемент без неподвижной точки порядка степени простого числа.
• Классификация 2 -транзитивные группы перестановок.
• Классификация групп перестановок 3-го ранга.
• Гипотеза Симса
• Гипотеза Фробениуса о числе решений x = 1.

• Теорема О'Нана – Скотта

1. ^ Бесконечное семейство групп Ри типа F 4 (2) содержит только конечные группы лиева типа. простая при n≥1; при n = 0 группа F 4 (2) не простая, но содержит простую коммутаторную подгруппу F4(2) ′. Итак, если бесконечное семейство коммутаторных групп типа F 4 (2) ′ считается систематическим бесконечным семейством (все лиева типа, кроме n = 0) группа Титса T: = F 4 (2) ′ (как член этого бесконечного семейства) не является спорадической.

• Ашбахер, Майкл (2004). «Статус классификации конечных простых групп» (PDF). Уведомления Американского математического общества. 51(7). стр. 736–740. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Майкл Ашбахер ; Лайонс, Ричард; Смит, Стивен Д.; Соломон, Рональд (2011), Классификация конечных простых групп: группы характеристики 2 типа, Математические обзоры и монографии, 172, ISBN 978-0-8218-5336-8
• Конвей, Джон Хортон ; Кертис, Роберт Тернер; Нортон, Саймон Филлипс ; Паркер, Ричард А. ; Уилсон, Роберт Арнотт (1985), Атлас конечных групп: максимальные подгруппы и обычные характеры для простых групп, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853199-9
• Горенштейн, Д. (1979), «Классификация конечных простых групп. I. Простые группы и локальный анализ», Американское математическое общество. Бюллетень. Новая серия, 1 (1): 43–199, doi : 10.1090 / S0273-0979-1979-14551-8, ISSN 0002-9904, MR 0513750
• Горенштейн, Д. (1982), Конечные простые группы, University Series in Mathematic s, Нью-Йорк: Plenum Publishing Corp., ISBN 978-0-306-40779-6, MR 0698782
• Gorenstein, D. (1983), Классификация конечные простые группы. Vol. 1. Группы нехарактерного типа 2, The University Series in Mathematics, Plenum Press, ISBN 978-0-306-41305-6, MR 0746470
• Daniel Gorenstein (1985), "Теорема огромных размеров", журнал Scientific American, 1 декабря 1985 г., т. 253, нет. 6, стр. 104–115.
• Горенштейн Д. (1986), «Классификация конечных простых групп», Американское математическое общество. Бюллетень. Новая серия, 14 (1): 1–98, doi : 10.1090 / S0273-0979-1986-15392-9, ISSN 0002-9904, MR 0818060
• Горенштейн, Д. ; Лайонс, Ричард; Solomon, Ronald (1994), The classification of the finite simple groups, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0334-9, MR 1303592
• Gorenstein, D. ; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1996), The classification of the finite simple groups, Number 2, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0390-5, MR 1358135
• Gorenstein, D. ; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1998), The classification of the finite simple groups, Number 3, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0391-2, MR 1490581
• Gorenstein, D. ; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1999), The classification of the finite simple groups, Number 4. Part II, Chapters 1-4: Uniqueness Theorems, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1379-9, MR 1675976
• Gorenstein, D. ; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2002), The classification of the finite simple groups, Number 5, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2776-5, MR 1923000
• Gorenstein, D. ; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2005), The classification of the finite simple groups, Number 6: Part IV: The Special Odd Case, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2777-2, MR 2104668
• Gorenstein, D. ; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2018), The classification of the finite simple groups, Number 7: Part III, Chapters 7–11: The Generic Case, Stages 3b and 4a, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4069-6, MR 3752626
• Gorenstein, D. ; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2018), The Classification of the Finite Simple Groups, Number 8: Part III, Chapters 12–17: The Generic Case, Completed, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-4189-0
• Mark Ronan, Symmetry and the Monster, ISBN 978-0-19-280723-6, Oxford University Press, 2006. (Concise introduction for lay reader)
• Marcus du Sautoy, Finding Moonshine, Fourth Estate, 2008, ISBN 978-0-00-721461-7 (another introduction for the lay reader)
• Ron Solomon (1995) "On Finite Simple Groups and their Classification," Notices of the American Mathematical Society. (Not too technical and good on history)
• Solomon, Ronald (2001), "A brief history of the classification of the finite simple groups" (PDF), American Mathematical Society. Бюллетень. New Series, 38(3): 315–352, doi :10.1090/S0273-0979-01-00909-0, ISSN 0002-9904, MR 1824893 – article won Levi L. Conant prize for exposition
• Thompson, John G. (1984), "Finite nonsolvable groups", in Gruenberg, K. W.; Roseblade, J. E. (eds.), Group theory. Essays for Philip Hall, Boston, MA: Academic Press, pp. 1–12, ISBN 978-0-12-304880-6, MR 0780566
• Wilson, Robert A. (2009), The finite simple groups, Graduate Texts in Mathematics 251, 251, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl 1203.20012

• ATLAS of Finite Group Representations. Searchable database of representations and other data for many finite simple groups.
• Elwes, Richard, "An enormous theorem: the classification of finite simple groups," Plus Magazine, Issue 41, December 2006. For laypeople.
• Madore, David (2003) Orders of nonabelian simple groups. Includes a list of all nonabelian simple groups up to order 10.
• In what sense is the classification of all finite groups “impossible”?