Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп | ||||
---|---|---|---|---|
Основные понятия
| ||||
Конечные группы
| ||||
Модульные группы
| ||||
Топологические группы и группы Ли
| ||||
Алгебраические группы | ||||
|
В теории групп, теме абстрактной алгебры, группы Матье - это пять спорадических простых групп M 11, M 12, M 22, M 23 и M 24, введенные Матье ( 1861, 1873). Они представляют собой многократно транзитивные группы перестановок для 11, 12, 22, 23 или 24 объектов. Они были первыми обнаруженными спорадическими группами.
Иногда обозначения M 9, M 10, M 20 и M 21 используются для связанных групп (которые действуют на наборы из 9, 10, 20 и 21 точки соответственно), а именно для стабилизаторов точек в более крупных группах. Хотя это не спорадические простые группы, они являются подгруппами более крупных групп и могут использоваться для создания более крупных. Джон Конвей показал, что эту последовательность можно продолжить и вверх, получив группоид Матье M 13, действующий на 13 точек. M 21 проста, но не является спорадической группой, поскольку изоморфна PSL (3,4).
Матье (1861, с. 271) ввел группу M 12 как часть исследования кратно транзитивных групп перестановок и кратко упомянул (на стр. 274) группу M 24, указав ее порядок. В Mathieu (1873) он дал дополнительные подробности, в том числе явные порождающие множества для своих групп, но из его аргументов было нелегко увидеть, что порождаемые группы не являются просто альтернированными группами, и в течение нескольких лет существование его групп было спорным. Миллер (1898) даже опубликовал статью, в которой ошибочно утверждал, что доказывает, что M 24 не существует, хотя вскоре после этого в ( Miller 1900) он указал, что его доказательство неверно, и дал доказательство того, что группы Матье просты. Витт ( 1938a, 1938b) окончательно снял сомнения в существовании этих групп, построив их как последовательные транзитивные расширения групп перестановок, а также групп автоморфизмов систем Штейнера.
После групп Матье не было обнаружено никаких новых спорадических групп до 1965 г., когда была открыта группа J 1.
Матье интересовался поиском кратно транзитивных групп перестановок, которые теперь будут определены. Для натурального числа k группа перестановок G, действующая на n точек, является k -транзитивной, если для данных двух наборов точек a 1,... a k и b 1,... b k со свойством, что все a i различны и все b i различны, существует элемент группы g в G, который отображает a i в b i для каждого i между 1 и k. Такая группа называется резко K -транзитивным, если элемент г является уникальным (то есть действие на к -наборам является регулярным, а не просто транзитивным).
M 24 является 5-транзитивным, а M 12 строго 5-транзитивным, при этом другие группы Матье (простые или нет) являются подгруппами, соответствующими стабилизаторам m точек, и, соответственно, имеют более низкую транзитивность ( M 23 является 4-транзитивным и т. Д..). Это единственные две 5-транзитивные группы, которые не являются ни симметричными, ни знакопеременными группами.
Единственными 4-транзитивными группами являются симметрические группы S k для k не менее 4, знакопеременные группы A k для k не менее 6 и группы Матье M 24, M 23, M 12 и M 11. ( Cameron 1999, стр. 110). Полное доказательство требует классификации конечных простых групп, но некоторые частные случаи известны гораздо дольше.
Это классический результат Иордана, что симметричные и знакопеременные группы (степени к и к + 2, соответственно), и M 12 и M 11 являются единственными резко K -транзитивной группы перестановок для к, по меньшей мере 4.
Важными примерами кратно транзитивных групп являются 2-транзитивные группы и группы Цассенхауза. Группы Цассенхауза, в частности, включают проективную общую линейную группу проективной прямой над конечным полем, PGL (2, F q), которая является строго 3-транзитивной (см. Поперечное отношение ) на элементах.
Группа | порядок | Заказ (товар) | Факторизованный заказ | Транзитивность | Простой | Спорадический |
---|---|---|---|---|---|---|
M 24 | 244823040 | 3 16 20 21 22 23 24 | 2 10 3 3 5 7 11 23 | 5-переходный | да | спорадический |
П 23 | 10200960 | 3 16 20 21 22 23 | 2 7 3 2 5 7 11 23 | 4-переходный | да | спорадический |
П 22 | 443520 | 3 16 20 21 22 | 2 7 3 2 5 7 11 | 3-переходный | да | спорадический |
П 21 | 20160 | 3 16 20 21 | 2 6 3 2 5 7 | 2-переходный | да | ≈ PSL 3 (4) |
П 20 | 960 | 3 16 20 | 2 6 3 5 | 1-переходный | нет | ≈2 4: А 5 |
M 12 | 95040 | 8 9 10 11 12 | 2 6 3 3 5 11 | резко 5-переходный | да | спорадический |
П 11 | 7920 | 8 9 10 11 | 2 4 3 2 5 11 | резко 4-переходный | да | спорадический |
M 10 | 720 | 8,9,10 | 2 4 3 2 5 | резко 3-переходный | почти | M 10 '≈ Высота 6 |
M 9 | 72 | 8,9 | 2 3 3 2 | резко 2-транзитивный | нет | ≈ БП 3 (2) |
M 8 | 8 | 8 | 2 3 | точно 1-транзитивный (регулярный) | нет | ≈ Q |
Группы Матье можно строить по-разному.
M 12 имеет простую подгруппу порядка 660, максимальную подгруппу. Эта подгруппа изоморфна проективной специальной линейной группе PSL 2 ( F 11) над полем из 11 элементов. Если −1 записано как a, а бесконечность - как b, два стандартных генератора - это (0123456789a) и (0b) (1a) (25) (37) (48) (69). Третий генератор, дающий M 12, отправляет элемент x из F 11 в 4 x 2 - 3 x 7 ; как перестановка (26a7) (3945).
Эта группа оказывается не изоморфной какому-либо члену бесконечных семейств конечных простых групп и называется спорадической. M 11 является стабилизатором точки в M 12 и также оказывается спорадической простой группой. M 10, стабилизатор двух точек, не является спорадической, а представляет собой почти простую группу, коммутатор которой является знакопеременной группой A 6. Таким образом, он связан с исключительным внешним автоморфизмом A 6. Стабилизатором 3 точек является проективная специальная унитарная группа PSU (3,2 2), которая разрешима. Стабилизатором 4 баллов является группа кватернионов.
Аналогично, M 24 имеет максимальную простую подгруппу порядка 6072, изоморфную PSL 2 ( F 23). Один генератор добавляет 1 к каждому элементу поля (оставляя точку N на бесконечности фиксированной), то есть (0123456789ABCDEFGHIJKLM) ( N), а другой - перестановка с изменением порядка, (0N) (1M) (2B) (3F) ( 4H) (59) (6J) (7D) (8K) (AG) (CL) (EI). Третий генератор, дающий M 24, отправляет элемент x из F 23 в 4 x 4 - 3 x 15 (который отправляет точные квадраты через и несовершенные квадраты через); вычисления показывают, что в качестве перестановки это (2G968) (3CDI4) (7HABM) (EJLKF).
Стабилизаторы 1 и 2 точек, М 23 и М 22 также оказываются спорадическими простыми группами. Стабилизатор трех точек прост и изоморфен проективной специальной линейной группе PSL 3 (4).
Эти конструкции цитировал Кармайкл (1956, стр. 151, 164, 263). Диксон и Мортимер (1996, с. 209) приписывают перестановки Матье.
С точностью до эквивалентности существует единственная S (5,8,24) система Штейнера W 24 ( план Витта ). Группа M 24 является группой автоморфизмов этой системы Штейнера; то есть набор перестановок, которые отображают каждый блок в какой-то другой блок. Подгруппы M 23 и M 22 определены как стабилизаторы одной точки и двух точек соответственно.
Аналогично существует с точностью до эквивалентности единственная S (5,6,12) система Штейнера W 12, и группа M 12 является ее группой автоморфизмов. Подгруппа M 11 является стабилизатором точки.
W 12 может быть построен из аффинной геометрии на векторном пространстве F 3 × F 3, системе S (2,3,9).
Альтернативная конструкция W 12 - «Котенок» Кертиса (1984).
Введение в конструкцию W 24 с помощью Miracle Octad Generator от RT Curtis и аналог Конвея для W 12, miniMOG, можно найти в книге Конвея и Слоана.
Группа M 24 является перестановкой группа автоморфизмов из расширенного двоичного кода Голея W, то есть группа перестановок на 24 координат, отображение W к себе. Все группы Матье могут быть построены как группы перестановок двоичного кода Голея.
M 12 имеет индекс 2 в своей группе автоморфизмов, а M 12: 2 изоморфен подгруппе в M 24. M 12 - стабилизатор додекады, кодовое слово 12 единиц ; M 12: 2 стабилизирует разделение на 2 дополнительных додекады.
Между группами Матье и более крупными группами Конвея существует естественная связь, потому что решетка Пиявки была построена на двоичном коде Голея и фактически оба лежат в пространствах размерности 24. Группы Конвея, в свою очередь, находятся в группе Монстров. Роберт Грисс называет 20 спорадических групп, обнаруженных в «Монстре», « Счастливой семьей», а группы Матье - первым поколением.
Группы Матье могут быть построены с помощью детских рисунков, при этом рисунок, связанный с M 12, предположительно назван Ле Брюном (2007) «Monsieur Mathieu».