Алгебраическая группа

редактировать

В алгебраической геометрии - алгебраическая группа (или разнообразие групп ) является группой, которая является алгебраическим многообразием, такая, что операции умножения и инверсии задаются регулярными отображениями на многообразии.

В терминах теории категорий алгебраическая группа - это групповой объект в категории алгебраических разновидностей.

Содержание

1 Классы
2 Алгебраическая подгруппа
3 Группы Кокстера
4 Глоссарий алгебраических групп
5 См. Также
6 Ссылки
7 Дополнительная литература

Классы

Несколько важных классов групп представляют собой алгебраические группы, в том числе:

Конечные группы
GL (n, C ), общая линейная группа группы обратимые матрицы над C
группой струй
Эллиптические кривые.

Возникают два важных класса алгебраических групп, которые по большей части изучаются отдельно: абелевы многообразия ('проективные 'теория) и линейные алгебраические группы ("аффинная" теория). Конечно, есть примеры, которые не являются ни тем, ни другим - они встречаются, например, в современной теории интегралов второго и третьего рода, таких как дзета-функция Вейерштрасса, или в теории обобщенных якобианов. Но согласно структурной теореме Шевалле любая алгебраическая группа является расширением абелевого многообразия с помощью линейной алгебраической группы. Это результат Клода Шевалле : если K - совершенное поле, а G - алгебраическая группа над K, существует единственная нормальная замкнутая подгруппа H в G такая, что H является линейная группа и G / H абелево многообразие.

Согласно другой основной теореме, любая группа в категории аффинных многообразий имеет точное конечномерное линейное представление : мы можем рассматривать это должна быть группа матриц над K, определенная полиномами над K и с умножением матриц в качестве групповой операции. По этой причине понятие аффинной алгебраической группы избыточно над полем - мы также можем использовать очень конкретное определение. Обратите внимание, что это означает, что алгебраическая группа уже, чем группа Ли, при работе с полем действительных чисел: есть такие примеры, как универсальное покрытие специальной линейной группы 2 × 2. которые являются группами Ли, но не имеют точного линейного представления. Более очевидное различие между двумя концепциями возникает из-за того, что компонент тождества аффинной алгебраической группы G обязательно имеет конечный индекс в G.

Когда кто-то хочет работать над базовым кольцом R (коммутативным) существует концепция групповой схемы : то есть групповой объект в категории схем над R. Аффинная группа Схема - это понятие, двойственное типу алгебры Хопфа. Существует довольно тонкая теория групповых схем, которая входит, например, в современную теорию абелевых многообразий.

Алгебраическая подгруппа

алгебраическая подгруппа алгебраической группы - это замкнутая подгруппа Зарисского. Обычно они считаются связанными (или несводимыми как разновидность).

Другой способ выражения условия - это подгруппа, которая также является подмножеством.

. Это также можно обобщить, допустив схемы вместо разновидности. Основным результатом этого на практике, помимо разрешения подгрупп, в которых компонент связности имеет конечный индекс>1, является допуск не- редуцированных схем в характеристике p.

Группы Кокстера

Существует ряд аналогичных результатов между алгебраическими группами и группами Кокстера - например, количество элементов симметричной группы равно $n ! {\ displaystyle n!}$ $n!$ , а количество элементов общей линейной группы над конечным полем равно q-factorial $[n] q! {\ displaystyle [n] _ {q}!}$ $[n] _ {q}!$ ; таким образом, симметричная группа ведет себя так, как если бы она была линейной группой над «полем с одним элементом». Это формализуется полем с одним элементом, которое рассматривает группы Кокстера как простые алгебраические группы над полем с одним элементом.

Глоссарий алгебраических групп

Существует ряд математических понятий для изучения и классификации алгебраических групп.

В дальнейшем G обозначает алгебраическую группу над полем k.

примечание	объяснение	пример	примечания
линейная алгебраическая группа	Замкнутая подгруппа Зарисского в $GL n {\ displaystyle {\ rm {GL}} _ {n}}$ ${{\ rm {GL}}} _ {n}$ для некоторого n	$SL n {\ displaystyle {\ rm {SL}} _ {n}}$ ${{\ rm {SL}}} _ {n}$	Каждая аффинная алгебраическая группа изоморфна линейной алгебраическая группа, и наоборот
аффинная алгебраическая группа	Алгебраическая группа, которая является аффинным многообразием	$GL n {\ displaystyle {\ rm {GL}} _ {n}}$ ${{\ rm {GL}}} _ {n}$ , не пример : эллиптическая кривая	Понятие аффинной алгебраической группы подчеркивает независимость от любого вложения в $GL n {\ displaystyle {\ rm {GL}} _ {n}}$ ${{\ rm {GL}}} _ {n}$
коммутативный	Основная (абстрактная) группа - это абелева.	$G a {\ displaystyle {\ mathbb {G}} _ {a}}$ ${ {\ mathbb G}} _ {a}$ (аддитивная группа ), $G m {\ displaystyle {\ mathbb {G}} _ {m}}$ ${{\ mathbb G}} _ {m}$ (мультипликативная группа ), любая полная алгебраическая группа ( см. абелево многообразие )
диагонализуемая группа	Замкнутая подгруппа в $(G m) n {\ displaystyl e (\ mathbb {G} _ {m}) ^ {n}}$ $({\ mathbb {G}} _ {m}) ^ {n}$ , группа диагональных матриц (размера n × n)
простая алгебраическая группа	Связная группа, не имеющая нетривиальных связных нормальных подгрупп	$SL n {\ displaystyle {\ rm {SL}} _ {n}}$ ${{\ rm {SL}}} _ {n}$
полупростая группа	Аффинная алгебраическая группа с тривиальным радикальным	$SL n {\ displaystyle {\ rm {SL}} _ {n}}$ ${{\ rm {SL}}} _ {n}$ , $SO n {\ displaystyle {\ rm {SO}} _ {n}}$ ${{\ rm {SO}}} _ {n}$	в с нулевой характеристикой алгебра Ли полупростой группы является полупростой алгеброй Ли
редуктивной группой	Аффинной алгебраической группой с тривиальным унипотентным радикалом	Любая конечная группа, $GL n {\ displaystyle { \ rm {GL}} _ {n}}$ ${{\ rm {GL}}} _ {n}$	Любая полупростая группа редуктивна
унипотентная группа	Аффинная алгебраическая группа такая, что все элементы унипотентны	Группа верхнетреугольных n -by-n матриц со всеми диагональными элементами, равными 1	Любая унипотентная группа является нильпотентной
тором	группой, которая становится изоморфной $(G m) n {\ displaystyle (\ mathbb {G} _ {m}) ^ {n}}$ $({\ mathbb {G}} _ {m}) ^ {n}$ при переходе к алгебраическому замыканию k.	$SO 2 {\ displaystyle {\ rm {SO}} _ {2}}$ ${{\ rm {SO}}} _ {2}$	Говорят, что G разделена некоторым большим полем k ', если G становится изоморфным G m как алгебраическая группа над k '.
группа символов X (G)	Группа символов, т. Е. Групповые гомоморфизмы $G → G m {\ displaystyle G \ rightarrow {\ mathbb {G}} _ {m }}$ $G \ rightarrow {{\ mathbb G }} _ {m}$	$X ∗ (G m) ≅ Z {\ displaystyle X ^ {} (\ mathbb {G} _ {m}) \ cong \ mathbb {Z}}$ $X ^ {} ({\ mathbb {G}} _ {m}) \ cong {\ mathbb {Z}}$
алгебра Ли Ли ( G)	касательное пространство группы G в единичном элементе.	$L ie (GL n) {\ displaystyle {\ rm {Lie}} ({\ rm {GL}} _ {n})}$ ${ {\ rm {Lie}}} ({{\ rm {GL}}} _ {n})$ - пространство всех матриц размера n на n	Эквивалентно, пространство всех левоинвариантных производных.

См. Также

Литература

Chevalley, Claude, ed. (1958), Séminaire C. Chevalley, 1956-1958. Classification des groupes de Lie algébriques, 2 vols, Paris: Secrétariat Mathématique, MR 0106966, перепечатано как том 3 собрания сочинений Шевалле., Заархивировано из оригинала за 2013-08 гг. -30, получено 25 июня 2012 г.
Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Linear Algebraic Groups, Graduate Texts in Mathematics, 21, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90108-4, MR 0396773
Ланг, Серж (1983), Абелевы разновидности, Берлин, Нью-Йорк: Спрингер- Verlag, ISBN 978-0-387-90875-5
Milne, JS, Схемы аффинных групп; Алгебры Ли; Группы Ли; Редуктивные группы; Арифметические подгруппы
Мамфорд, Дэвид (1970), Абелевы разновидности, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-560528-0, OCLC 138290
Спрингер, Тонни А. (1998), Линейные алгебраические группы, Progress in Mathematics, 9 (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Бостон, ISBN 978-0-8176-4021-7, MR 1642713
Уотерхаус, Уильям К. (1979), Введение в схемы аффинных групп, Тексты для выпускников по математике, 66, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90421-4
Weil, André (1971), Courbes algébriques et varétés abéliennes, Paris: Hermann, OCLC 322901

Дополнительная литература

Алгебраические группы и их алгебры Ли Дэниел Миллер