Группа Ли

редактировать

Группа, которая также является дифференцируемым множеством с гладкими групповыми операциями

В математике, группа Ли (которая произносится «Ли») - это группа, элементы организованы непрерывно и плавно, в отличие от дискретных групп, где элементы разделены - это делает группы Ли дифференцируемым множеством. Грубо говоря, группа Ли - это непрерывная группа : это группа, элементы которой описываются используемыми реальными условиями. Таким образом, группы обеспечения естественной модели концепции непрерывной симметрии, такой как вращательная система в трех измерениях (заданная специальная ортогональной группой $SO (3) {\ displaystyle {\ text { SO}} (3)}$ ${\ displaystyle {\ text {SO}} (3)}$ ). Группы Ли широко используются во многих областях современной математики и физики.

Классически группы Ли были обнаружены путем изучения матричных подгрупп $G {\ displaystyle G}$ $G$ , используютсяся в $GL n ( R) {\ displaystyle {\ text {GL}} _ {n} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle {\ text {GL} } _ {п} (\ mathbb {R})}$ или $GL n (C) {\ displaystyle {\ text {GL}} _ {n} (\ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle {\ text {GL}} _ {n} (\ mathbb {C})}$ , группа $n × n {\ displaystyle n \ times n}$ $п \ раз n$ обратимых матриц над $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ или $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ . Группы Ли названы в честь норвежского математика Софуса Ли (1842–1899), заложившего основы теории непрерывных групп преобразований. Первоначальная мотивация Ли для введения групп Ли заключалась в моделировании непрерывных симметрий дифференциальных уравнений, почти таким же образом, как конечные группы используются в теории Галуа для моделирования дискретных симметрий алгебраические уравнения.

Содержание

1 Обзор
2 Определения и примеры
- 2.1 Первые примеры
- 2.2 Не пример
- 2.3 Матричные группы Ли
- 2.4 Понятия, связанные с данными
- 2.5 Топологические определения
3 Дополнительные примеры групп Ли
- 3.1 Измерения один и два
- 3.2 Дополнительные примеры
- 3.3 Конструкции
- 3.4 Связанные понятия
4 Основные концепции
- 4.1 Алгебра Ли, связанная с группой Ли
- 4.2 Гомоморфизмы и изоморфизмы
- 4.3 Группа Ли против изоморфизмов алгебры Ли
- 4.4 Односвязные группы Ли
- 4.5 Экспоненциальное отображение
- 4.6 Подгруппа Ли
5 Представления
6 Ранняя история
7 Понятие группы Ли и возможности классификации
8 Бесконечные номерные группы Ли
9 См. Также
10 Примечания
- 10.1 Пояснительные примечания
- 10.2 Ссылки
11 Ссылки

Обзор

Набор всех комплексных чисел с абсолютным значением 1 ( соответствующими точными на окружности с 0 и радиусом 1 в комплексной плоскости ) группой Ли при комплексном умножении: круговая группа .

группы Ли гладких дифференцируемых разнообразий и как таковые могут быть изучены с помощью дифференциального исчисления, в отличие от случая более общих топологических групп. Одна из ключевых идей теории групп состоит в том, чтобы заменить глобальный объект, его локальной или линеаризованной версией, которую сам Ли назвал ее «бесконечно малой группой» и которая с тех пор стала известна как ее алгебра Ли..

Группы Ли огромную роль в современной геометрии на различных уровнях. Феликс Клейн утверждал в своей программе на Эрлангене, что можно рассматривать различные «геометрии», задав соответствующую группу преобразований, которая оставляет геометрические свойства неизменными. Таким образом, евклидова геометрия соответствует выбору группы E (3) сохраняющих расстояние преобразований евклидова пространства R, конформная геометрия соответствует увеличению группы до конформная группа, тогда как в проективной геометрии интересуются свойствами, инвариантными относительно проективной группы. Эта идея позже привела к понятию G-структуры, где G - группа Ли «локальных» симметрий многообразия.

Группы Ли (и связанные с ними алгебры Ли) играют важную роль в современной физике, при этом Ли обычно играет роль симметрии физической системы. Здесь особенно важны представления группы Ли (или ее алгебры Ли ). Теория представлений широко используется в физике элементарных частиц. Группы, представления имеют особое значение, включая группу вращений SO (3) (или ее двойное покрытие SU (2) ), специальную унитарную группу SU (3) и группа Пуанкаре.

На «глобальном» уровне всякий раз, когда группа Ли действует на геометрический объект, такой как риманов или симплектическое многообразие, это действие обеспечивает меру жесткости и дает богатую алгебраическую структуру. Наличие множества симметрий, накладываемых через действие группы на непрерывии, накладывает сильные ограничения на его геометрию и облегчает анализ разнообразия. Линейные действия групп Ли особенно важны и изучаются в теории представлений.

В 1940–1950 годах Эллис Колчин, Арманд Борель и Клод Шевалле понял, что многие основополагающие результаты, указанные групп Ли, можно развить полностью алгебраически, что привело к теории алгебраических групп, определенных над произвольным полем. Это понимание открыло новые возможности в чистой алгебре, предоставив единообразную конструкцию для сообщества конечных простых, а также в алгебраической геометрии. Теория автоморфных форм, важный раздел современной теории чисел, широко занимается аналогами групп Ли над кольцами аделей ; p-адические Группы Ли играет важную роль благодаря их связи сми представлений Галуа в теории чисел.

Определения и примеры

A вещественная группа Ли - это группа, которая также является конечным вещественным гладким разнообразием, в которой групповые операции умножение и инверсия - это гладкие карты. Гладкость группового умножения

μ: G × G → G μ (x, y) = xy {\ displaystyle \ mu: G \ times G \ to G \ quad \ mu (x, y) = xy}

\ mu: G \ times G \ to G \ quad \ mu (x, y) = xy

означает, что μ является гладким отображением множество произведений G × G в G. Эти два требования можно объединить с единственным требованием, что отображение

(x, y) ↦ x - 1 y {\ displaystyle (x, y) \ mapsto x ^ {- 1} y}

(x, y) \ mapsto x ^ {- 1} y

- гладкое многообразие произведений в G.

Первые примеры

2 × 2 веще обратимые матрицы образуют группу при умножении, обозначаемую GL (2, R) или GL 2(R):

GL ⁡ (2, R) = {A = (abcd): det A = ad - bc ≠ 0}. {\ displaystyle \ operatorname {GL} (2, \ mathbf {R}) = \ left \ {A = {\ begin {pmatrix} a b \\ c d \ end {pmatrix}}: \ det A = ad -bc \ neq 0 \ right \}.}

\ operatorname {GL} ( 2, \ mathbf {R}) = \ left \ {A = {\ begin {pmatrix} a b \\ c d \ end {pmatrix}}: \ det A = ad-bc \ neq 0 \ right \}.

Это четырехмерная некомпактная вещественная группа Ли; это открытое подмножество

R 4 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}

{\ mathbb R} ^ {4}

. Эта группа отключена ; она имеет два связанных компонента, соответствующие положительные и отрицательные значения детерминанта .

Матрицы поворота образуют подгруппу группы GL (2, R ), обозначаемую SO (2, R ). Это группа Ли сама по себе: в частности, одномерная компактная связная группа Ли, которая диффеоморфна кругу окружности. Используя угол поворота $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ в качестве параметра, эту группу можно параметризовать следующим образом:

SO ⁡ (2, R) = {(cos Φ - sin ⁡ φ sin ⁡ φ cos ⁡ φ): φ ∈ R / 2 π Z}. {\ displaystyle \ operatorname {SO} (2, \ mathbf {R}) = \ left \ {{\ begin {pmatrix} \ cos \ varphi - \ sin \ varphi \\\ sin \ varphi \ cos \ varphi \ end {pmatrix}}: \ varphi \ in \ mathbf {R} / 2 \ pi \ mathbf {Z} \ right \}.}

\ operatorname {SO} (2, \ mathbf {R}) = \ left \ {{\ begin { pmatrix} \ cos \ varphi - \ sin \ varphi \\\ sin \ varphi \ cos \ varphi \ end {pmatrix}}: \ varphi \ in \ mathbf {R} / 2 \ pi \ mathbf {Z} \ right \}.

Сложение углов соответствует умножению элементов SO (2, R ), а выбор противоположного угла соответствует инверсии. Таким образом, как умножение, так и инверсия являются дифференцируемыми отображаемыми данными.

Аффинная группа одного измерения представляет собой двумерную матричную группу Ли, состоящую из $2 × 2 {\ displaystyle 2 \ times 2}$ $2 \ times 2$ вещественные верхнетреугольные матрицы, где первая диагональная запись положительна, а вторая диагональная запись равна 1. Таким образом, группа состоит из матриц вида

A = (ab 0 1), a>0, b ∈ R. {\ displaystyle A = \ left ({\ begin {array} {cc} a b \\ 0 1 \ end {array}} \ right), \ quad a>0, \, b \ in \ mathbb {R}.}

A=\left({\begin{array}{cc}ab\\01\end{array}}\right),\quad a>0, \, b \ in \ mathbb {R}.

Не пример

Теперь мы представляем пример группы с несчетным числом элементов, которая не является группой Ли в определенной топологии. По

H = {(e 2 π i θ 0 0 e 2 π ia θ) | θ ∈ R} ⊂ T 2 = {(e 2 π i θ 0 0 e 2 π i ϕ) | θ, ϕ ∈ R}, {\ displaystyle H = \ left \ {\ left. \ Left ({ \ begin {matrix} e ^ { 2 \ pi i \ theta} 0 \\ 0 e ^ {2 \ pi ia \ theta} \ end {matrix}} \ right) \ right | \ theta \ in \ mathbb {R} \ right \} \ subset \ mathbb {T} ^ {2} = \ left \ {\ left. \ left ({\ begin {matrix} e ^ {2 \ pi i \ theta} 0 \\ 0 e ^ {2 \ pi i \ phi} \ end {matrix}} \ right) \ right | \ theta, \ phi \ in \ mathbb {R} \ right \},}

{\ displaystyle H = \ left \ {\ left. \ Left ({\ begin {матрица} e ^ {2 \ pi i \ theta} 0 \\ 0 e ^ {2 \ pi ia \ theta} \ end {matrix}} \ right) \ right | \ theta \ in \ m athbb {R} \ right \} \ subset \ mathbb {T} ^ {2} = \ left \ {\ left. \ left ({\ begin {matrix} e ^ {2 \ pi i \ theta} 0 \\ 0 e ^ {2 \ pi i \ phi} \ end {matrix}} \ right) \ right | \ theta, \ phi \ in \ mathbb {R} \ right \},}

с $a ∈ R ∖ Q {\ displaystyle a \ in \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q}}$ фиксированным иррациональным числом, является подгруппа torus $T 2 {\ displaystyle \ mathbb {T} ^ {2}}$ ${\ mathbb T} ^ {2}$ , которая не является группой, если задана топология подпространства . Если мы возьмем любую маленькую имя $U {\ displaystyle U}$ $U$ point $h {\ displaystyle h}$ $h$ в $H {\ displaystyle H}$ $H$ , например, часть $H {\ displaystyle H}$ $H$ в $U {\ displaystyle U}$ $U$ отключена. Группа $H {\ displaystyle H}$ $H$ многократно наматывается вокруг тора, никогда не достигая предыдущей точки спирали, и, таким образом, образует плотную подгруппу $T 2 {\ displaystyle \ mathbb {T} ^ {2}}$ ${\ mathbb T} ^ {2}$ .

Часть группы

H {\ displaystyle H}

H

внутри

T 2 {\ displaystyle \ mathbb {T} ^ {2}}

{\ mathbb T} ^ {2}

. Небольшие окрестности элемента

h ∈ H {\ displaystyle h \ in H}

час \ дюйм H

отключены в топологии подмножества на

H {\ displaystyle H}

H

Группа $H Однако {\ displaystyle H }$ $H$ может иметь другую топологию, в которой расстояние между двумя точками $h 1, h 2 ∈ H {\ displaystyle h_ {1}, h_ {2} \ in H}$ ${\ displaystyle h_ {1}, h_ {2} \ in H}$ определяется как длина кратчайшего пути в группе $H {\ displaystyle H}$ $H$ , соединяющей $h 1 {\ displaystyle h_ {1}}$ $h_ {1}$ до $h 2 { \ displaystyle h_ {2}}$ $h_ {2}$ . В этой топологии $H {\ displaystyle H}$ $H$ гомеоморфно идентифицируется с действительной линией путем идентификации каждого элемента с номером $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ в определении $Н {\ Displaystyle H}$ $H$ . В этой топологии $H {\ displaystyle H}$ $H$ - это просто группа действительных чисел при сложении и, следовательно, группа Ли.

Группа $H {\ displaystyle H}$ $H$ является примером «подгруппы Ли » группы Ли, которая не замкнута. См. Обсуждение подгрупп Ли ниже в разделе об основных понятиях.

Матричные группы Ли

Пусть $GL ⁡ (n, C) {\ displaystyle \ operatorname {GL} (n, \ mathbb {C})}$ $\ operatorname {GL} (n, {\ mathbb {C}})$ обозначает группу $n × n {\ displaystyle n \ times n}$ $п \ раз n$ обратимых матриц с характеристиками в $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ . Любая закрытая подгруппа из $GL ⁡ (n, C) {\ displaystyle \ operatorname {GL} (n, \ mathbb {C})}$ $\ operatorname {GL} (n, {\ mathbb {C}})$ является группой Ли; Группы Ли такого типа называются матричными группами Ли. Некоторые учебники ограничивают внимание к этому классу, в том числе Холла и Россмана. Ограничение внимания матричными группами Ли упрощает определение алгебры Ли и экспоненциального отображения. Ниже приведены стандартные примеры матричных групп Ли.

основные линейные группы на $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ и $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ , $SL ⁡ (N, R) {\ displaystyle \ operatorname {SL} (n, \ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle \ operatorname {SL} (n, \ mathbb { R})}$ и $SL ⁡ (n, C) {\ displaystyle \ operatorname {SL} ( n, \ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle \ operatorname {SL} (n, \ mathbb {C})}$ , состоящий из $n × n {\ displaystyle n \ times n}$ $п \ раз n$ матриц с определителем единица и записей в $R { \ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ или $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$
унитарные группы и специальные унитарные группы, $U (п) {\ displaystyle {\ text {U}} (n)}$ ${\ displaystyle {\ text {U}} (n)}$ и $SU (n) {\ displaystyle {\ text {SU}} (n)}$ ${\ displaystyle {\ text {SU}} (n)}$ , состоит из $n × n {\ displaystyle n \ times n}$ $п \ раз n$ комплексных матриц, удовлетворяющих $U ∗ = U - 1 {\ displaystyle U ^ {*} = U ^ {- 1} }$ ${\ displaystyle U ^ {*} = U ^ {- 1}}$ (а также $det (U) = 1 {\ displaystyle \ det (U) = 1}$ ${\ displaystyle \ det (U) = 1}$ в случае $SU (n) {\ displaystyle {\ text {SU}} (n)}$ ${\ displaystyle {\ text {SU}} (n)}$ )
Ортогональные группы и специальные ортогональные группы пс, $О (n) {\ displaystyle {\ text {O}} (n)}$ ${\ displaystyle {\ text {O}} (n)}$ и $SO (n) {\ displaystyle {\ text {SO}} (n)}$ ${\ displaystyle {\ text {SO}} (n)}$ , состоящий из $n × n {\ displaystyle n \ times n}$ $п \ раз n$ материальных матриц, удовлетворяющих $RT = R - 1 {\ displaystyle R ^ {\ mathrm {T}} = R ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle R ^ {\ mathrm {T}} = R ^ {- 1}}$ (а также $det (R) = 1 {\ displaystyle \ det (R) = 1}$ $\ det (R) = 1$ в случае $SO (n) {\ displaystyle {\ text {SO}} (n)}$ ${\ displaystyle {\ text {SO}} (n)}$ )

Все предыдущие примеры подпадают под заголовок классических групп.

Понятия, связанные с данной

A сложной Ли группа определена таким же образом с использованием комплексных множеств, а не реального (пример: $SL ⁡ (2, C) {\ displaystyle \ operatorname {SL} (2, \ mathbb {C})}$ $\ operatorname {SL} (2, \ mathbb {C})$ ), и аналогично, используя альтернативное завершение метрики из $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ , можно определить p-адическую группу Ли над p-адическими числами, топологи ческую группу, в которой каждая точка имеет p-адическую добавку.

Пятая проблема Гильберта спрашивала, может ли замена дифференцируемых разнообразий на топологические или аналитические дать новые примеры. Ответ на этот вопрос оказался отрицательным: в 1952 г. Глисон, Монтгомери и Зиппин показал, что если G - топологическое многообразие с непрерывными групповыми операциями, тогда существует ровно одна аналитическая структура на G, превращающая ее в группу Ли (см. также гипотезу Гильберта - Смита ). Если базовое многообразие может быть бесконечным числом (например, гильбертово многообразие ), то мы приходим к понятию бесконечной группы Ли. Можно определить аналоги групп над конечными полями, и они дают большинство типов конечных простых групп.

Язык теории категорий предоставляет Краткое определение групп Ли: группа Ли - это групповой объект в категории гладких разнообразий. Это важно, поскольку позволяет обобщить понятие группы на супергруппы Ли.

Топологическое определение

Группа Ли может быть определена как (Хаусдорф) топологическая группа, которая рядом с системой идентичности выглядит как группа преобразований без ссылок на дифференцируемые многообразия. Сначала мы определяем иммерслинейную группу Ли как подгруппу G общей линейной группы $GL ⁡ (n, C) {\ displaystyle \ operatorname {GL} (n, \ mathbb {C})}$ $\ operatorname {GL} (n, {\ mathbb {C}})$ такой, что

для некоторой окрестности V единичного элемента в G топология на V является топологией подпространства $GL ⁡ (n, C) {\ displaystyle \ operatorname {GL} (n, \ mathbb {C}) }$ $\ operatorname {GL} (n, {\ mathbb {C}})$ и V закрывается в $GL ⁡ (n, C) {\ displaystyle \ operatorname {GL} (n, \ mathbb {C})}$ $\ operatorname {GL} (n, {\ mathbb {C}})$ .
G имеет не более чем счетное количество компонента связности.

(Например, замкнутая подгруппа $GL ⁡ (n, C) {\ displaystyle \ operatorname {GL} (n, \ mathbb {C})}$ $\ operatorname {GL} (n, {\ mathbb {C}})$ ; то есть матричная группа Ли удовлетворяет указанным выше условиях.)

Тогда группа Ли определяет как топологическая группа, которая (1) локально изоморфна вблизи тождеств с погруженно линейная группа Ли и (2) имеет не более чем счетное число компонент связности. Отображение топологического определения, эквивалентного обычному, является техническим (и начинающим читателям следует пропустить следующее), но выполняется следующим образом:

Для группы Ли G в обычном смысле разнообразия группа Ли– Соответствие алгебры Ли (или версия третья теоремы Ли ) строит погруженную подгруппу Ли $G ′ ⊂ GL ⁡ (n, C) {\ displaystyle G '\ subset \ operatorname {GL} (n, \ mathbb {C})}$ $G'\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C})$ такие, что $G, G ′ {\ displaystyle G, G '}$ $G,G'$ использовать одну и ту же алгебру Ли; таким образом, они локально изоморфны. Следовательно, G удовлетворяет приведенному выше топологическому определению.
Наоборот, пусть G - топологическая группа, которая является группой в указанном выше топологическом смысле, и выберем иммерслинейную группу Ли $G ′ {\ displaystyle G '}$ $G'$ , который локально изоморфен G. Тогда, согласно версии теоремы о замкнутой подгруппе, $G ′ {\ displaystyle G '}$ $G'$ является вещественно-аналитическое многообразие, а посредством локального изоморфизма G приобретает размерия крупия единицы. Затем показано, что групповой закон на G может быть задан формальными степенными рядами; поэтому групповые операции вещественно-аналитическими, а сама является вещественно-аналитическим разнообразием.

Из топологического определения Ли следует утверждение, что если две группы изоморфны как топологические группы, то они изоморфны как группы Ли. Фактически, он устанавливает общий принцип, согласно которому в рейтинге топологии группы вместе с групповым законом определяет геометрию группы.

Еще примеры групп Ли

Группы Ли встречаются в изобилии в математике и физике. Матричные группы или алгебраические группы представляют собой (примерно) группы матриц (например, ортогональные и симплектические группы ), и они дают наибольшее количество из более общих групп Ли.

Измерения один и два

Единственные связанные группы Ли с измерением один - это вещественная линия $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ (с групповая операция сложения) и группа круга $S 1 {\ displaystyle S ^ {1}}$ $S ^ {1}$ комплексных чисел с абсолютным значением один (с групповой операцией, являющейся умножением). Группа $S 1 {\ displaystyle S ^ {1}}$ $S ^ {1}$ часто обозначается как $U (1) {\ displaystyle U (1)}$ $U (1)$ , группа из $1 × 1 {\ displaystyle 1 \ times 1}$ $1 \ times 1$ унитарных матриц.

В двух измерениях, если мы ограничим внимание односвязными группами, они классифицируются по их алгебрам Ли. Есть (с точностью до изоморфизма) только алгебры Ли размерности два. Ассоциированные односвязные группы Ли - это $R 2 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ mathbb {R} ^ {2}$ (с групповой операцией сложения события) и аффинная группа в измерении один, описанная в предыдущий подраздел в разделе «Первые примеры».

Дополнительные примеры

Группа SU (2) - это группа $2 × 2 {\ displaystyle 2 \ times 2}$ $2 \ times 2$ унитарных матриц с определитель $1 {\ displaystyle 1}$ $1$ . Топологически $SU (2) {\ displaystyle {\ text {SU}} (2)}$ ${\ displaystyle {\ text {SU}} (2)}$ - это $3 {\ displaystyle 3}$ $3$ -сфера $S 3 {\ Displaystyle S ^ {3}}$ $S^{3}$ ; в группу, ее можно отождествить с группой кватернионов.
Группа Гейзенберга являетсяной нильпотентной группой Ли измерения $3 {\ displaystyle 3}$ $3$ , играющая ключевую роль в квантовой механике.
Группа Лоренца - это 6-мерная группа Ли линейных изометрий пространство Минковского.
группа Пуанкаре является 10-мерной группой Ли аффинных изометрий пространства Минковского.
исключительные группы Ли типов G2, F4, E6, E7, E8 имеют размерности 14, 52, 78, 133 и 248. Наряду с серией ABCD простые группы Ли исключительные группы завершают список простых групп Ли.
симплектическая группа $Sp (2 n, R) {\ displaystyle {\ text {Sp}} (2n, \ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle {\ text {Sp}} (2n, \ mathbb {R})}$ состоит из всех $2 n × 2 n {\ displaystyle 2n \ times 2n}$ ${\ displaystyle 2n \ times 2n}$ матриц, сохраняющих симплектическую формулу на $R 2 n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$ ${\ mathbb {R}} ^ {{2n}}$ . Это связная группа Ли размерности $2 n 2 + n {\ displaystyle 2n ^ {2} + n}$ ${\ displaystyle 2n ^ {2} + n }$ .

Конструкции

Существует несколько стандартных способов формирования новых групп Ли из старых. :

Произведение двух групп Ли является группой Ли.
Любая топологически замкнутая подгруппа группы Ли является группой Ли. Это известно как теорема о замкнутой подгруппе или теорема Картана .
Фактор группы Ли по замкнутой нормальной подгруппе является группой Ли.
Универсальная покрытие связной группы Ли является группой Ли. Например, группа $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ является универсальным покрытием группы кругов $S 1 {\ displaystyle S ^ {1}}$ $S ^ {1}$ . Фактически разнообразное универсальное покрытие, которое может быть разнообразным, но используемое универсальное покрытие, совместимое с другими ее структурами.

Связанные понятия

некоторые примеры групп, которые являются не группы Ли (кроме того, что любая группа, имеющая не более чем счетное число элементов, может рассматриваться как 0-мерная группа Ли с дискретной топологией ), это:

Бесконечные группы, например, аддитивная группа бесконечного реального пространства или пространство гладких функций от разнообразия $X {\ displaystyle X}$ $X$ до группы Ли $G { \ Displaystyle G}$ $G$ , $C ∞ (X, G) {\ displaystyle C ^ {\ infty} (X, G)}$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty} (X, G)}$ . Это не группы, поскольку они не являются конечными разнообразными существами.
Некоторые полностью несвязные группы, такие как группа Галуа бесконечного расширения полей, или аддитивная группа p-адических чисел. Это не большие группы Ли, потому что лежащие в их основе пространства не являются обширными. (Некоторые из этих групп являются «p-адическими Ли группами».) В общем, только топологические группы, обладающие локальными свойствами, R для некоторого положительного целого числа n, могут быть совокупно Ли (конечно, они также должны иметь дифференцируемую структуру).

Основные понятия

Алгебра Ли, связанная группа Ли

С каждой группой Ли мы можем связать алгебру Ли, лежащее в основе пространства касательное пространство группы Ли в единичном элементе, которое полностью соответствует локальная структура группы. Неформально мы можем думать об элементах алгебры как элементы группы, которые «бесконечно близки» к единице, а скобка Ли алгебры Ли связ с коммутатором двух таких бесконечно малых элементов. Прежде всего абстрактное определение, приведем несколько примеров:

Алгебра дать свободу пространства R - это просто R со скобкой Ли, заданной как. [A, B] = 0.. (В общем случае скобка Ли связной группы Ли всегда равна 0 тогда и только тогда, когда группа Ли абелева.)
Алгебра Ли общей линейной группы GL (n, C ) обратимых матриц - это квадратное пространство M (n, C ) квадратный матриц со скобкой Ли, заданной как. [A, B] = AB - BA.
Если G - замкнутая подгруппа группы GL (n, C ), то алгебру Ли группы G можно неформально рассматривать как матрицы m группы M (n, R ) такое, что 1 + εm находится в G, где ε - бесконечно малое положительное число с ε = 0 (конечно, такое действительное число не существует). Например, ортогональная группа O (n, R ) состоит из матриц A с AA = 1, поэтому алгебра Ли из матриц m с (1 + εm) (1 + εm) = 1, что эквивалентно m + m = 0, поскольку ε = 0.
Предыдущее описание можно сделать более строгим следующим образом. Алгебра Ли замкнутой подгруппы G группы GL (n, C ) может быть вычислена как

Lie ⁡ (G) = {X ∈ M (n; C) | ехр ⁡ (t X) ∈ G для всех t в R}, {\ displaystyle \ operatorname {Lie} (G) = \ {X \ in M ​​(n; \ mathbb {C}) | \ operatorname {exp} (tX) \ in G {\ text {для всех}} t {\ text {in}} \ mathbb {\ mathbb {R}} \},}

{ \ displaystyle \ operatorname {Lie} (G) = \ {X \ in M ​​(n; \ mathbb {C}) | \ operatorname {exp} (tX) \ in G {\ text {для всех}} t {\ text {in}} \ mathbb {\ mathbb {R}} \},}

где exp (tX) использование с использованием матрица экспоненциальная. Затем можно показать, что алгебра Ли группы G является вещественным векторным пространством, закрытым операцией скобок,

[X, Y] = XY - YX {\ displaystyle [X, Y] = XY-YX}

{\ displaystyle [X, Y] = XY-YX}

С конкретным определением, Данные выше для группы матриц, легко работать, но с ним связаны некоторые незначительные проблемы: чтобы использовать его, сначала нужно представить группу как группу матриц, но не все группы могут быть представлены таким образом, и даже не очевидно, что алгебра Ли не зависит от используемого представления. Чтобы обойти эти проблемы, мы даем общие определения алгебры Ли группы Ли (в 4 шага):

Векторные поля на любом гладком множестве M можно рассматривать как дифференцирования X кольца гладких функций на многообразии и, следовательно, образуют алгебру Ли под скобкой Ли [X, Y] = XY - YX, поскольку скобка Ли любых двух дифференцирований является дифференцированием.
Если G - любая группа, гладко действующая на множестве M, то она действует на вектор поля, и пространствоных полей, фиксируемых групп, замкнуто относительно скобки Ли и, следовательно, также образует алгебру Ли.
Применим эту конструкцию к случаю, когда широкое пространство является основным пространством группы Ли G, причем G действует на G = M левыми сдвигами L g (h) = gh. Это показывает, что пространство левоинвариантных векторных полей (векторных полей, удовлетворяющих L g*Xh= X gh для каждого h в G, где L g*обозначает дифференциал L g) в группе Ли является алгеброй Ли под скобкой Ли векторных полей.
Любой касательный вектор в единой группе Ли может быть расширен до левоинвариантного вектора поля, переводя касательный вектор на другие поля. точки разнообразия. В частности, левое инвариантное расширение элемента в касательном пространстве является векторным полем, определенным как v ^ g = L g*v. Это отождествляет касательное пространство TeG в единице с пространством левоинвариантных векторных полей и, следовательно, превращает касательное пространство в единицу в алгебру Ли, называемую алгеброй Ли группы G, обычно обозначаемой Фрактур $г. {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}.}$ ${\ mathfrak {g}}.$ Таким образом, скобка Ли в $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ явно задается [v, w] = [v ^, w ^] e.

Эта алгебра Ли $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ конечная и имеет ту же размерность, что и многообразие G. Алгебра Ли группы локального изоморфизма определяет G с точностью до «локального изоморфизма», где две группы Ли называются локально изоморфными, если они выглядят одинаково около единицы. Проблемы о группах обычно часто решаются путем решения проблемы методом первого вызова для алгебр Ли, и затем результат для групп легко следует. Например, простые группы Ли обычно классифицируют, сначала классифицируя соответствующие алгебры Ли.

Мы также могли бы определить преобразованные алгебры Ли на T e, используя правые инвариантные настройки поля вместо левоинвариантных векторных полей. Это приводит к той же алгебре Ли, поскольку обратное отображение на G может быть обозначением левоинвариантных векторных полей с правыми инвариантными векторными полями и действует как −1 в касательном пространстве T e.

можно описать следующим образом: операция коммутатора

(x, y) → xyxy

на G × G переводит (e, e) в e, поэтому ее производная дает билинейную операцию на T д Г. Эта билинейная операция на самом деле является нулевым отображением, но вторая производная при надлежащей идентификации касательных пространств показывает операцию, которая удовлетворяет аксиомам Ли, и она соответствует удвоенному значению, определенному через левоинвариантные поля.

Гомоморфизмы и изоморфизмы

Если G и H группы Ли, то гомоморфизм групп Ли f: G → H является гладким гомоморфизмом групп . В случае комплексных групп Ли требуется, чтобы такой гомоморфизм был голоморфным отображением. Однако эти требования немного жесткие; каждый непрерывный гомоморфизм между действительными группами Ли оказывается (действительным) аналитическим.

Композиция двух гомоморфизмов Ли снова является гомоморфизмом, и класс всех групп Ли вместе с этим морфизмами образует категорию. Более того, каждый гомоморфизм групп Ли индуцирует гомоморфизм между новыми алгебрами Ли. Пусть $ϕ: G → H {\ displaystyle \ phi \ двоеточие G \ to H}$ $\ phi \ двоеточие G \ в H$ - гомоморфизм группы Ли, и пусть $ϕ ∗ {\ displaystyle \ phi _ {*}}$ $\ phi _ {*}$ быть его производной в идентичности. Если мы отождествляем алгебры групп G и H с их касательными пространствами в единичных элементах, то $ϕ ∗ {\ displaystyle \ phi _ {*}}$ $\ phi _ {*}$ является отображением между соответствующими алгебрами Ли:

ϕ ∗: g → h {\ displaystyle \ phi _ {*} \ двоеточие {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {h}}}

\ phi _ {*} \ двоеточие {\ mathfrak {g}} \ в {\ mathfrak {h}}

Можно показать, что $ϕ ∗ {\ displaystyle \ phi _ {*}}$ $\ phi _ {*}$ на самом деле является гомоморфизмом алгебр Ли (что означает, что это линейное отображение, которое поддерживает скобка Ли ). На языке теории категорий тогда у нас есть ковариантный функтор из категорий групп Ли в категории алгебр Ли, который переводит группу Ли в ее алгебру Ли и группу Ли гомоморфизм своей производной в единице.

Две группы Ли называются изоморфными, если между ними существует биективный гомоморфизм, обратный также выделенный гомоморфизм групп Ли. Эквивалентно, это диффеоморфизм, который также является гомоморфизмом групп.

Изоморфизмы группы Ли и алгебры Ли

Изоморфные группы Ли обязательно изоморфные алгебры Ли; тогда разумно спросить, как классы изоморфизма связаны с классами изоморфизма алгебр Ли.

Первым результатом в этом направлении является третья теорема Ли, которая утверждает, что любая конкретная вещественная алгебра Ли является алгеброй Ли некоторой (линейной) группы Ли. Один из способов доказать третью теорему Ли - использовать теорему Адо, в которой говорится, что всякая конечная вещественная алгебра Ли изоморфна матричной алгебре Ли. Между тем, для каждой конечной матричной алгебры Ли существует линейная группа (матричная группа Ли) с этой алгеброй в качестве алгебры Ли.

С другой стороны, группы Ли с изоморфными алгебрами Ли не обязательно должны быть изоморфными. Более того, этот результат остается верным, даже если мы предполагаем, что группы связаны. Иными словами, глобальная структура группы Ли не определяется ее алгеброй Ли; например, если Z - любая дискретная подгруппа центра группы G, то G и G / Z имеют одну и ту же алгебру Ли (см. таблицу групп Ли для примеров). Примером важности в физике являются группы SU (2) и SO (3). Эти две группы имеют изоморфные алгебры Ли, но сами группы не изоморфны, потому что SU (2) односвязна, а SO (3) нет.

С другой стороны, если мы потребуем, чтобы группа Ли быть односвязным, то глобальная структура определяет ее алгеброй Ли: две односвязные группы Ли с изоморфными алгебрами Ли изоморфны. (Дополнительную информацию об односвязных группах Ли см. Следующим следующим образом). односвязные группы Ли.

Односвязные группы Ли

Группа Ли $G {\ displaystyle G}$ $G$ называется односвязной если каждый цикл в $G {\ displaystyle G}$ $G$ можно непрерывно сжимать до точки в $G {\ displaystyle G}$ $G$ . Это понятие важно из-за следующего результата, который имеет простую связность в качестве гипотезы:

Теорема : Предположим,

G {\ displaystyle G}

G

H {\ displaystyle H }

H

- это группы Ли с алгебрами Ли

g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

{\ mathfrak {g}}

h {\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}

{\ mathfrak {h}}

и что

f: g → h {\ displaystyle f: {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {h}}}

{\ displaystyle f: {\ mathfrak {g }} \ rightarrow {\ mathfrak {h}}}

является гомоморфизмом алгебры Ли. Если

G {\ displaystyle G}

G

односвязен, то существует уникальный гомоморфизм группы Ли

ϕ: G → H {\ displaystyle \ phi: G \ rightarrow H}

{\ displaystyle \ phi: G \ rightarrow H}

такой, что

ϕ ∗ = f {\ displaystyle \ phi _ {*} = f}

{\ displaystyle \ phi _ {*} = f}

, где

ϕ ∗ {\ displaystyle \ phi _ {*}}

{\ displaystyle \ phi _ {*}}

является дифференциалом

ϕ {\ displaystyle \ phi}

\ phi

в тождестве.

Третья теорема Ли гласит, что всякая конечномерная вещественная алгебра Ли является алгеброй Ли группа Ли. Из третьей теоремы Ли и предыдущего результата следует, что всякая конечная вещественная алгебра Ли является алгеброй единственной односвязной группы Ли.

Примером односвязной группы является специальная унитарная группа SU (2), которая как многообразие является 3-сферой. Группа вращения SO (3), с другой стороны, не является односвязной. (См. Топология SO (3).) Неспособность SO (3) быть односвязной тесно связана с различием между целочисленным спином и полуцелым вращением в квантовой механике. Другие примеры односвязных групп Ли включают специальную унитарную группу SU (n), спиновую группу (двойное покрытие группы вращения) Spin (n) для $n ≥ 3 {\ displaystyle n \ geq 3}$ $n \ geq 3$ и компактной симплектической группы Sp (n).

Методы определения односвязности группы Ли или нет обсуждаются в статье о фундаментальных групп групп Ли.

Экспоненциальное отображение

экспоненциальное отображение из алгебры Ли $M (n; C) {\ displaystyle M (n; \ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle M (n; \ mathbb {C})}$ из общей линейной группы $GL (n; C) {\ displaystyle GL (n; \ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle GL (n; \ mathbb {C})}$ до $GL (n; C) {\ displaystyle GL (n; \ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle GL (n; \ mathbb {C})}$ установлен экспоненциальной матрицей , задаваемый обычным степенным рядом:

exp ⁡ (X) = 1 + X + X 2 2! + Х 3 3! + ⋯ {\ displaystyle \ exp (X) = 1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {2!}} + {\ Frac {X ^ {3}} {3!}} + \ Cdots}

{\ displaystyle \ exp (X) = 1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {2!}} + {\ frac {X ^ {3}} {3!}} + \ cdots}

для матриц $X {\ displaystyle X}$ $X$ . Если $G {\ displaystyle G}$ $G$ является закрытой подгруппой $GL (n; C) {\ displaystyle GL (n; \ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle GL (n; \ mathbb {C})}$ , тогда экспоненциальное отображение переводитру алгебру Ли $G {\ displaystyle G}$ $G$ в $G {\ displaystyle G}$ $G$ ; таким образом, у нас есть экспоненциальное отображение для всех групп матриц. Каждый элемент $G {\ displaystyle G}$ $G$ , который достаточно близок к единице, является экспонентой матрицы в алгебре Ли.

Приведенное выше определение легко использовать, но он не определен для групп, которые не являются матричными группами, и не ясно, что экспоненциальное представление группы не зависит от ее представления в виде матричной группы. Мы можем решить обе проблемы, используя более абстрактное определение экспоненциального представления, которое работает для всех групп Ли, следующим образом.

Для каждого объекта $X {\ displaystyle X}$ $X$ в алгебре Ли $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ из $G {\ displaystyle G}$ $G$ (т.е. касательное пространство к $G {\ displaystyle G}$ $G$ в идентичности), доказывается, что существует уникальная -параметрическая подгруппа $c: R → G {\ displaystyle c: \ mathbb {R} \ rightarrow G}$ ${\ displaystyle c: \ mathbb {R} \ rightarrow G}$ такая, что $c '(0) = X {\ displaystyle c' (0) = X }$ $c'(0)=X$ . Утверждение, что $c {\ displaystyle c}$ $c$ представляет собой подгруппу с одним параметром, просто означает, что $c {\ displaystyle c}$ $c$ является плавным отображением в $G {\ displaystyle G}$ $G$ и что

c (s + t) = c (s) c (t) {\ displaystyle c (s + t) = c (s) c (t) \}

c (s + t) = c (s) c (t) \

для всех $s {\ displaystyle s}$ $s$ и $t {\ displaystyle t}$ $t$ . Операция справа - это групповое умножение в $G {\ displaystyle G}$ $G$ . Формальное сходство этой формулы с той, которая действительна для экспоненциальной функции , оправдывает определение

exp ⁡ (X) = c (1). {\ Displaystyle \ ехр (Х) = с (1). \}

{\ displaystyle \ exp (X) = c (1). \}

Это называется экспоненциальным отображением, и оно отображает алгебру Ли $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ в группе Ли $G { \ Displaystyle G}$ $G$ . Он обеспечивает диффеоморфизм между набросками нуля в $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ и сменностью $е {\ displaystyle e }$ $e$ в $G {\ displaystyle G}$ $G$ . Это экспоненциальное отображение является обобщением экспоненциальной функции для действительных чисел (что $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ является алгеброй Ли Ли положительных действительных чисел с умножением), для комплексных чисел (поскольку $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ - это алгебра Ли группы Ли ненулевых комплексных чисел с умножением) и для матрицы (поскольку $M (n, R) {\ displaystyle M (n, \ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle M (n, \ mathbb {R})}$ с регулярным коммутатором - это алгебра Ли группы Ли $GL (n, R) {\ displaystyle GL (n, \ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle GL (n, \ mathbb {R})}$ всех обратимых матриц).

экспоненциальная карта сюръективна в некоторой окрестности $N {\ displaystyle N}$ $N$ из $e {\ displaystyle e}$ $e$ , это обычное дело для вызова элементов алгебры Ли инфинитезимальных образующих группы $G {\ displaystyle G}$ $G$ . Подгруппа $G {\ displaystyle G}$ $G$ , сгенерированная $N {\ displaystyle N}$ $N$ , является компонентом идентификации $G {\ displaystyle G}$ $G$ .

Экспоненциальное форма и алгебра Ли определяют структуру каждой группы связной группы из-за формулы Бейкера - Кэмпбелла - Хаусдорфа : существует модность $U {\ displaystyle U}$ $U$ нулевого элемента $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ , так что для $X, Y ∈ U {\ displaystyle X, Y \ в U}$ ${ \ displaystyle X, Y \ in U}$ имеет

ехр ⁡ (X) ехр ⁡ (Y) = ехр ⁡ (X + Y + 1 2 [X, Y] + 1 12 [[X, Y], Y]] - 1 12 [[X, Y], X] - ⋯), {\ Displaystyle \ ехр (X) \, \ ехр (Y) = \ ехр \ влево (X + Y + {\ tfrac {1} {2}} [X, Y] + {\ tfrac {1} {12}} [\, [X, Y], Y] - {\ tfrac {1} {12}} [\, [X, Y], X] - \ cdots \ right),}

{\ displaystyle \ ехр (Икс) \, \ ехр (Y) = \ ехр \ влево (X + Y + {\ tfrac {1} {2}} [X, Y] + {\ tfrac {1} {12}} [\, [X, Y], Y] - {\ tfrac {1} {12}} [\, [X, Y], X] - \ cdots \ right),}

где пропущенные термины включают и квадратные скобки Ли из четырех или более элементов. В случае коммутации $X {\ displaystyle X}$ $X$ и $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ эта формула сводится к знакомому экспоненциальному закону $exp ⁡ (X) ехр ⁡ (Y) знак равно ехр ⁡ (Икс + Y) {\ Displaystyle \ ехр (X) \ ехр (Y) = \ ехр (X + Y)}$ ${\ displaystyle \ exp (X) \ exp (Y) = \ exp (X + Y)}$

Экспоненциальное отображение связывает гомоморфизмы групп Ли. То есть, если $ϕ: G → H {\ displaystyle \ ph i: G \ to H}$ $\ phi: G \ к H$ является гомоморфизмом группы Ли и $ϕ ∗: g → h {\ displaystyle \ phi _ { *}: {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {h}}}$ $\ phi _ {*}: {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {h}}$ индуцированное отображение на соответствующих алгебрах Ли, для всех $x ∈ g {\ displaystyle x \ в {\ mathfrak {g}}}$ $x \ in {\ mathfrak {g}}$ мы имеем

ϕ (exp ⁡ (x)) = exp ⁡ (ϕ ∗ (x)). {\ Displaystyle \ фи (\ ехр (х)) = \ ехр (\ фи _ {*} (х)). \,}

\ phi (\ exp (x)) = \ exp (\ phi _ {*} (x)). \,

Другими словами, следующая диаграмма коммутирует,

(короче, exp является естественным преобразованием функтора Ли в тождественный функтор на категории групп Ли.)

Экспоненциальное отображение из алгебры Ли в группу Ли не всегда на, даже если группа связна (хотя она действительно отображается в группе Ли для связных групп, которые либо компактны, либо нильпотентны). Например, экспоненциальное отображение SL (2, R) не сюръективно. Кроме того, экспоненциальное отображение не является ни сюръективным, ни инъективным для бесконечномерных (см. Ниже) групп Ли, смоделированных на C пространстве Фреше, даже из произвольной малой окрестности 0 в названии 1.

подгруппа Ли

A подгруппа Ли $H {\ displaystyle H}$ $H$ группы Ли $G {\ displaystyle G}$ $G$ - группа Ли, которая является подмножеством из $G {\ displaystyle G}$ $G$ и такая, что карта включения от $H {\ displaystyle H}$ $H$ до $G {\ displaystyle G}$ $G$ - это инъективное погружение и гомоморфизм групп. Согласно теореме Картана, замкнутая подгруппа из $G {\ displaystyle G}$ $G$ допускает уникальную гладкую структуру, которая делает ее вложенной подгруппой Ли в $G {\ displaystyle G}$ $G$ , т. Е. Такой подг руппой Ли, что параметр включения является гладким вложением.

Примеры незамкнутых подгрупп многочисленны; например, возьмем $G {\ displaystyle G}$ $G$ как тор размерности 2 или больше, и пусть $H {\ displaystyle H}$ $H$ будет однопараметрическая подгруппа иррационального наклона, то есть та, которая вьется в G. Тогда существует группа Ли гомоморфизм $φ: R → G {\ displaystyle \ varphi: \ mathbb {R} \ to G}$ ${\ displaystyle \ varphi: \ mathbb {R} \ to G}$ с $им (φ) = H {\ displaystyle \ mathrm {im} (\ varphi) = H}$ ${\ displaystyle \ mathrm {im} (\ varphi) = H}$ . закрытие $H {\ displaystyle H}$ $H$ будет подтором в $G {\ displaystyle G}$ $G$ .

экспоненциальное отображение дает взаимно однозначное соответствие между связными подгруппами Ли связной группы Ли $G {\ displaystyle G}$ $G$ и подалгебрами алгебры Ли $G {\ Displaystyle G}$ $G$ . Обычно подгруппа, соответствующая подалгебре, не является замкнутой подгруппой. Не существует критерия, основанного исключительно на структуре $G {\ displaystyle G}$ $G$ , который определяет, какие подалгебры соответствуют замкнутым подгруппам.

Представления

Одним из важных аспектов изучения являются их представления, то есть то, как они могут действовать (линейно) в векторных пространствах. В физике группы Ли часто кодируют симметрии физической системы. Эта симметрия используется для анализа системы часто с помощью теории представлений. Рассмотрим, например, не зависящее от времени уравнение Шредингера в квантовой механике, $H ^ ψ = E ψ {\ displaystyle {\ hat {H}} \ psi = E \ psi}$ ${\ displaystyle {\ hat {H}} \ psi = E \ psi}$ . Предположим, что рассматриваемая система имеет группу вращения SO (3) в качестве симметрии, что означает оператор Гамильтона $H ^ {\ displaystyle {\ hat {H}}}$ ${\ hat {H}}$ коммутирует с помощью SO (3) на волновую функцию $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ . (Одним из важных примеров такой системы является атом водорода.) Это предположение не обязательно означает решения $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ являются вращательно-инвариантными функциями. Скорее, это означает, что пространство решений $H ^ ψ = E ψ {\ displaystyle {\ hat {H}} \ psi = E \ psi}$ ${\ displaystyle {\ hat {H}} \ psi = E \ psi}$ инвариантно относительно вращений (для каждого фиксированного значения $E {\ displaystyle E}$ $E$ ). Это пространство, следовательно, представляет собой представление SO (3). Эти представления были классифицированы, и эта классификация приводит к существенному упрощению задачи, по существу, к преобразованию трехмерного уравнения в частных в одномерное обыкновенное дифференциальное уравнение.

Случай связной компактной группы Ли K (включая только упомянутый случай SO (3)) особенно разрешим. В этом случае каждое представленное представление распадается как прямая сумма неприводимых представлений. Неприводимые представления, в свою очередь, были классифицированы Германом Вейлем. Классификация основана на «наивысшем весе» представления. Классификация объединений с классификацией представлений полупростой алгебры Ли.

Также можно изучать (в общем случае бесконечномерные) унитарные представления произвольной группы Ли (не обязательно компактной). Например, можно дать относительно простое явное описание представлений группы SL (2, R) и представлений группы Пуанкаре.

Ранняя история

Согласно наиболее авторитетному источнику по ранней истории групп Ли ( Хокинс, стр. 1), Софус Ли сам считал зиму 1873–1874 годов датой рождения своей теории непрерывных групп. Хокинс, однако, предполагает, что именно «колоссальная исследовательская деятельность в течение четырехлетнего периода с осени 1869 года по осень 1873 года» привела к созданию теории (там же). Были разработаны некоторые из ранних идей Ли в тесном сотрудничестве с Феликсом Кляйном. Ли встречался с Кляйном каждый день с октября 1869 по 1872 год: в Берлине с конца октября 1869 года до конца февраля 1870 года, и в последующие два года в Париже, Геттингене и Эрлангене (там же, стр. 2). Ли заявлено, что все основные результаты были получены к 1884 году. В течение 1870-х годов все его статьи были признаны в норвежских журналах, что препятствовало признанию работы во всей остальной Европе (там же, с. 76).). В 1884 году молодой немецкий математик Фридрих Энгель пришел вместе с Ли над систематическим трактатом, раскрывающим его теорию непрерывных групп. Результатом этих усилий стал трехтомник Theorie der Transformationsgruppen, опубликованный в 1888, 1890 и 1893 годах. Термин группы де Ли появился впервые на французском языке в 1893 году в диссертации ученика Ли Артура Тресса.

Идеи Ли действительно верны. не стоять в отрыве от остальной математики. Фактически, его интерес к теории дифференциальных уравнений сначала мотивирован работой Карла Густава Якоби по теории первого порядка и по уравнениям частных производных классическая механика. Большая часть работ Якоби была опубликована посмертно в 1860-х годах, огромный интерес во Франции и Германии (Хокинс, стр. 43). Фикс идея Ли заключалась в том, чтобы их создать теорию симметрий дифференциальных уравнений, которая осуществила бы для них то, что Эварист Галуа сделал для алгебраических уравнений: а именно, классифицировать в терминах теории групп. Ли и другие математики показали, что наиболее важные уравнения для специальных функций и ортогональных многочленов, как правило, возникает из теоретико-групповых симметрий. В ранних работах Ли идея состояла в том, чтобы построить теорию непрерывных групп, чтобы дополнить теорию дискретных групп, которая была создана в теории модулярных форм в руках Феликс Кляйн и Анри Пуанкаре. Первоначальное приложение имеет в виду Ли, было к теории дифференциальных уравнений. На модели теории Галуа и полиномиальных соотношений движущейся концепцией была теория, способная объединить посредством изучения симметрии всю область обыкновенные дифференциальные уравнения. Однако надежда на то, что теория объединяет всю область обыкновенных дифференциальных уравнений, не оправдалась. Методы симметрии для ОДУ продолжают изучаться, но не доминируют в этой теме. Существует дифференциальная теория Галуа, но она поддерживает другими, такими как Пикард и Вессио, и она поддерживает теорию квадратур, требуемых неопределенных интегралов, чтобы выразить решения.

Дополнительным стимулом к рассмотрению непрерывных материалов послужили идеи Бернхарда Римана об основах геометрии и их дальнейшее развитие в руках Кляйна. Таким образом, три основные темы математики 19 века были объединены при создании своей новой теории: идея проиллюстрировал Галуа через алгебраическое понятие группы ; геометрическая теория и явные решения дифференциальных уравнений механики, разработанные Пуассоном и Якоби; и новое понимание геометрии, которое проявилось в работах Плюккера, Мёбиуса, Грассмана и других, и завершилось революционным видением Римана предмета.

Хотя сегодня Софус Ли по праву создателем непрерывных групп, большой шаг в развитии их структур, оказавший глубокое влияние на последующее развитие математики, был сделан Вильгельм Киллинг, последний в 1888 году первым статью из серии под названием Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen (Состав непрерывных групп конечных преобразований) (Хокинс, стр. 100). Работа Киллинга, позже уточненная и обобщенная Элилем, привела к классификации полупростых алгебр Ли, теории Картана симметрических пространств и Германа Вейлем Описание представлений компактных и полупростых групп Ли с использованием старших весов.

В 1900 году Дэвид Гильберт бросил вызов теоретикам Ли своей Пятой проблемой. представлен на Международный конгрессе математиков в Париже.

Вейль положил начало раннему периоду развития теории групп Ли, поскольку он не только классифицировал неприводимые представления полупростых групп и связал теорию групп с кван механикой, но поставил точку зрения Ли. сама теория более прочную основу, четко обозначив различие между инфинитезимальными группами Ли (т. е. алгебрами Ли) и собственно группами Ли, и начала исследования топологии групп Ли. Теория групп Ли систематически переработана новым математическим языком в монографии Клода Шевалле.

Концепция группы Ли и возможности классификации

Группы Ли можно рассматривать как плавно меняющиеся семейства симметрий. Примеры симметрии включают вращение вокруг оси. Необходимо понимать близкие преобразования, например, поворотов на крошечные углы, которые связывают близлежащие преобразования. Математический объект, фиксирующий эту структуру, называется алгеброй Ли (Ли сам называл их «бесконечно малыми группами»). Его можно определить, поэтому в каждой точке должны быть касательные пространства.

Алгебра Ли любой компактной группы Ли (очень грубо: та, для которой симметрии образуют ограниченное множество) может быть разложена как прямая сумма абелевой алгебры Ли и некоторое количество простых. Структура абелевой алгебры Ли математически неинтересна (поскольку скобка Ли тождественно равна нулю); интерес к простому слагаемым. Отсюда возникает вопрос: что такое простые алгебры Ли компактных групп? Оказывается, они в основном делятся на четыре бесконечных семейства: «классические алгебры Ли» A n, B n, C n и D n., которые имеют простое описание в терминах симметрии евклидова пространства. Но есть также всего пять «исключительных алгебр Ли», которые не попадают ни в одно из этих семейств. E 8 - самый крупный из них.

Группы Ли классифицируются в соответствии с их алгебраическими свойствами (простые, полупростые, разрешимые, нильпотентные, абелева ), их связности (связного или односвязного ) и их компактности.

Первым ключевым результатом является Разложение Леви, которое утверждает, что каждая односвязная группа Ли полупрямым произведением разрешимой нормальной подгруппы и полупростой подгруппы.

Связные компактные группы Ли всем известные: они являются конечными центральными факторами произведения копий круговой группы S и простые компактные группы Ли (которые соответствуют связным Диаграммы Дынкина ).
Любая односвязная разрешимая группа Ли изоморфна замкнутой подгруппе группы обратимыхнетреугольных матриц некоторого ранга, и любое новое неприводимое представление такой группы одномерно.Разрешаемые группы тоже беспорядок для классификации, за исключением нескольких измерений.
Простые группы
Простые группы из группы обратимых верхнетреугольных матриц с единицами на диагонали некоторого ранга и любой конечной неприводимо такой группы одномерным.>иногда опас как п ростые группы, такие как абстрактные группы, d иногда определяют как связные группы Ли с простой алгеброй Ли. Например, SL (2, R) является простым согласно второму определению, но не согласно первому. Все они были классифицированы (для любого определения).
Полупростой Группы Ли - это

Компонент тождества любой группы Ли открытый любой группы Ли открытый нормальная подгруппа, фактор-группа - это дискретная группа. Универсальное покрытие любой связной группы Ли односвязной группой Ли, и наоборот, любая связная группа Ли Фактор односвязной группы Ли по дискретной нормальной подгруппе центра. G можно разложить на дискретные, простые и абелевы группы каноническим следующим образом. Напишите

Gcon для компонентов связной тождества

Gsol для наибольшей связной нормальной разрешимой подгруппы

Gnil для наибольшей связной связной нормальная нильп отентной подгруппы

, поэтому у нас есть последовательность нормальных подгрупп

1 ⊆ G nil ⊆ G sol ⊆ G con ⊆ G.

Тогда

G / G con дискретно

Gcon / G sol является центральным расширением произведения простых связных групп Ли.

Gsol / G nil абелев. Связная абелева группа Ли изоморфна произведению копий R, круговая группа S.

Gnil / 1 нильпотентна, и поэтому ее восходящая центральная У ряда есть все фактор-абелевы.

Это можно использовать, чтобы свести некоторые проблемы, связанные с группой Ли (например, нахождение их унитарных представлений), к тем же проблемам для связанных групп и нильпотентных и разрешимых подгрупп уменьшения размерности.

Группа диффеоморфизмов группы Ли действует транзитивно на группе Ли
Каждая группа Ли распараллеливаема и, следовательно, ориентируемое многообразие (существует изоморфизм расслоения между его касательным расслоением и произведением самого себя с касательным пространством в единице)

Бесконечные группы Ли

Группы Ли часто определяют как конечные, но есть много групп, напоминают группы Ли, за исключением того, что они бесконечномерны. Самый простой способ определить бесконечномерные группы Ли - это моделировать их локально на банаховых пространствах (в отличие от евклидова пространства в конечномерном случае), и в этом случае большая часть основная теория аналогична теории конечномерных групп Ли. Однако для многих приложений этого недостаточно, поскольку многие естественные примеры бесконечномерных групп Ли не являются банаховыми многообразиями. Вместо этого нужно определить группы Ли, смоделированные на более общих локально выпуклых топологических векторных пространствах. В этом случае связь между алгеброй Ли и группой Ли становится довольно тонкой, и некоторые результаты о конечномерных группах Ли теряют силу.

Литература не совсем едина в своей терминологии относительно того, какие именно свойства бесконечномерных групп квалифицируют группу для префикса Ли в группе Ли. Со стороны алгебры Ли дела обстоят проще, поскольку квалификационные критерии для префикса Ли в алгебре Ли являются чисто алгебраическими. Например, бесконечномерная алгебра Ли может иметь или не иметь соответствующую группу Ли. То есть может существовать группа, соответствующая алгебре Ли, но она может быть недостаточно хорошей, чтобы называться группой Ли, или связь между группой и алгеброй Ли может быть недостаточно хорошей (например, отказ экспоненциальное отображение на окрестность единицы). Это «достаточно хорошее», которое не определяется универсально.

Некоторые из изученных примеров включают:

Группа диффеоморфизмов многообразия. О группе диффеоморфизмов окружности известно довольно много. Ее алгебра Ли (более или менее) является алгеброй Витта, чье центральное расширение алгебра Вирасоро (см. алгебра Вирасоро из алгебры Витта для вывода этого факта) является алгеброй симметрий двумерной конформной теории поля. Группы диффеоморфизмов компактных многообразий большей размерности - это регулярные группы Фреше ; об их структуре известно очень мало.
Группа диффеоморфизмов пространства-времени иногда появляется при попытках квантовать гравитацию.
Группа гладких отображений из многообразия в конечное -мерная группа Ли является примером калибровочной группы (с операцией точечного умножения ) и используется в квантовой теории поля и теории Дональдсона.. Если многообразие является окружностью, они называются группами петель и имеют центральные расширения, алгебры Ли которых (более или менее) являются алгебрами Каца – Муди.
Существуют бесконечномерные аналоги общих линейных группы, ортогональные группы и т. д. Одним из важных аспектов является то, что они могут иметь более простые топологические свойства: см., Например, теорему Койпера. В M-теории, например, 10-мерная калибровочная теория SU (N) становится 11-мерной теорией, когда N становится бесконечным.

См. Также

Примечания

Пояснительный примечания

Цитаты

Ссылки

Адамс, Джон Франк (1969), Лекции по группам Ли, Чикагские лекции по математике, Чикаго: Univ. of Chicago Press, ISBN 978-0-226-00527-0, MR 0252560.
Bäuerle, G.G.A; de Kerf, E.A.; тен Кроуд, А. П. Э. (1997). А. ван Грезен; Э.М. де Ягер (ред.). Конечномерные и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике. Исследования по математической физике. 7 . Северная Голландия. ISBN 978-0-444-82836-1 - через ScienceDirect. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Borel, Armand (2001), Очерки истории групп Ли и алгебраических групп, History of Mathematics, 21, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0288-5, MR 1847105
Бурбаки, Николас, Элементы математики: группы Ли и алгебры Ли. Главы 1–3 ISBN 3-540-64242-0, главы 4-6 ISBN 3-540- 42650-7, главы 7–9 ISBN 3-540-43405-4
Шевалле, Клод (1946), Теория групп Ли, Принстон: Принстонский университет Press, ISBN 978-0-691-04990-8.
PM Cohn (1957) Группы Ли, Кембриджские трактаты по математической физике.
Дж. Л. Кулидж ( 1940) История геометрических методов, стр. 304–17, Oxford University Press (Dover Publications 2003).
Фултон, Уильям ; Харрис, Дж. oe (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускнико в по математике, Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
Роберт Гилмор (2008) Группы Ли, физика и геометрия: введение для физиков, инженеров и химиков, Cambridge University Press ISBN 9780521884006 doi : 10.1017 / CBO9780511791390.
Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, doi : 10.1007 / 978-3-319-13467-3, ISBN 978-3319134666.
Ф. Риз Харви (1990) Спиноры и калибровки, Academic Press, ISBN 0-12-329650-1.
Хокинс, Томас (2000), Возникновение теории лжи группы, Источники и исследования по истории математики и физических наук, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-4612 -1202-7, ISBN 978-0-387-98963-1, MR 1771134 Обзор Бореля
Хелгасон, Сигурдур (2001), Дифференциальный геометрия, группы Ли и симметричные пространства, Graduate Studies in Mathematics, 34, Providence, RI: American Mathematical Society, doi : 10,1090 / г / м2 / 034, ISBN 978-0-8218-2848-9, MR 1834454
Кнапп, Энтони У. (2002), Группы лжи после введения, Progress in Mathematics, 140 (2-е изд.), Бостон: Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4259-4.
T. Кобаяси и Т. Осима, Группы Ли и алгебры Ли, I, Иванами, 1999 (на японском языке)
Нидженхейс, Альберт (1959). "Рецензия: группы Ли, П. М. Кон". Бюллетень Американского математического общества. 65(6): 338–341. doi : 10.1090 / s0002-9904-1959-10358-x.
Россманн, Вульф (2001), Группы Ли: Введение через линейные группы, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-859683-7. Переиздание 2003 года исправляет несколько типографских ошибок.
Sattinger, David H.; Уивер, О. Л. (1986). Группы и алгебры Ли с приложениями к физике, геометрии и механике. Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4757-1910-9. ISBN 978-3-540-96240-3. MR 0835009.
Серр, Жан-Пьер (1965), Алгебры Ли и группы Ли: 1964 Лекции, прочитанные в Гарвардском университете, Конспекты лекций по математике, 1500, Springer, ISBN 978-3-540-55008-2.
Стиллвелл, Джон (2008). Теория наивной лжи. Тексты для бакалавриата по математике. Springer. DOI : 10.1007 / 978-0-387-78214-0. ISBN 978-0387782140.
Heldermann Verlag Журнал теории Ли
Уорнер, Франк В. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли, Тексты для выпускников по математике 94, Нью-Йорк Берлин Гейдельберг: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-4757-1799-0, ISBN 978-0-387-90894-6, MR 0722297
Стиб, Вилли-Ханс (2007), Непрерывные симметрии, алгебры Ли, дифференциальные уравнения и компьютерная алгебра: второе издание, World Scientific Publishing, doi : 10.1142 / 6515, ISBN 978-981-270-809-0, MR 2382250.
Группы лжи. Теория представлений и симметричные пространства Wolfgang Ziller, Vorlesung 2010