Групповой гомоморфизм

редактировать

Изображение группового гомоморфизма (h ) от G (слева) до H (справа). Меньший овал внутри H - это изображение h. N, являющееся ядром h, а aN - смежным классом N.

В математике даны две группы, (G, ∗) и (H, ·), групповой гомоморфизм из (G, ∗) в (H, ·) - это функция h: G → H такая, что для всех u и v в G выполняется

h (u ∗ v) = h (u) ⋅ h (v) {\ displaystyle h (u * v) = h (u) \ cdot h (v)}

h (u * v) = h (u) \ cdot h (v)

где групповая операция в левой части уравнения - это операция G, а в правой части - операция H.

Из этого свойства можно вывести, что h отображает элемент идентичности eGгруппы G в элемент идентичности e H элемента H,

h (e G) = e H {\ displaystyle h (e_ {G}) = e_ {H}}

{\ displaystyle h (e_ {G}) = e_ {H}}

и также отображает обратное на обратное в том смысле, что

h (u - 1) = h (u) - 1. {\ displaystyle h \ left (u ^ {- 1} \ right) = h (u) ^ {- 1}. \,}

h \ left (u ^ {- 1} \ right) = h (u) ^ {- 1}. \,

Следовательно, можно сказать, что h «совместим со структурой группы».

Старые обозначения для гомоморфизма h (x) могут быть x или x h, хотя их можно спутать с индексом или общим нижним индексом. Более поздняя тенденция состоит в том, чтобы писать гомоморфизмы групп справа от их аргументов, опуская скобки, так что h (x) становится просто x h. Этот подход особенно распространен в областях теории групп, где автоматы играют роль, поскольку он лучше согласуется с соглашением о том, что автоматы читают слова слева направо.

В областях математики, где рассматриваются группы, наделенные дополнительной структурой, гомоморфизм иногда означает карту, которая учитывает не только структуру группы (как указано выше), но также дополнительную структуру. Например, часто требуется, чтобы гомоморфизм топологических групп был непрерывным.

Содержание

1 Интуиция
2 Типы
3 Образ и ядро
4 Примеры
5 Категория групп
6 Гомоморфизмы абелевых групп
7 См. Также
8 Ссылки
9 Внешние ссылки

Интуиция

Целью определения группового гомоморфизма является создание функций, сохраняющих алгебраическую структуру. Эквивалентное определение гомоморфизма групп: функция h: G → H является гомоморфизмом группы, если всякий раз, когда

a ∗ b = c, мы имеем h (a) ⋅ h (b) = h (c).

Другими словами, группа H в некотором смысле имеет алгебраическую структуру, аналогичную G, и гомоморфизм h сохраняет ее.

Типы

Мономорфизм: Групповой гомоморфизм, который инъективен (или взаимно-однозначно); т.е. сохраняет различимость.
Эпиморфизм: Гомоморфизм группы, который сюръективен (или на); т.е. достигает каждой точки в кодобласти.
Изоморфизм: Групповой гомоморфизм, который биективен ; т.е. инъективно и сюръективно. Обратный к нему также является гомоморфизмом групп. В этом случае группы G и H называются изоморфными; они отличаются только обозначениями своих элементов и идентичны для всех практических целей.
Эндоморфизм: Гомоморфизм, h: G → G; домен и кодомен совпадают. Также называется эндоморфизмом G.
Автоморфизм: Эндоморфизм, который является биективным и, следовательно, изоморфизмом. Множество всех автоморфизмов группы G с функциональной композицией в качестве операции образует группу, группу автоморфизмов группы G. Обозначается Aut (G). Например, группа автоморфизмов (Z, +) содержит только два элемента, тождественное преобразование и умножение на −1; он изоморфен Z/2Z.

изображению и ядру

. Мы определяем ядро h как набор элементов в G, которые отображаются на идентичность в H

ker ⁡ ( з) ≡ {u ∈ G: h (u) = e H}. {\ displaystyle \ operatorname {ker} (h) \ Equiv \ left \ {u \ in G \ двоеточие h (u) = e_ {H} \ right \}.}

\ operatorname {ker} (h) \ Equiv \ left \ {u \ in G \ двоеточие h (u) = e_ {H} \ right \}.

и изображение h должно быть

im ⁡ (h) ≡ h (G) ≡ {h (u): u ∈ G}. {\ displaystyle \ operatorname {im} (h) \ Equiv h (G) \ Equiv \ left \ {h (u) \ двоеточие и \ in G \ right \}.}

\ operatorname {im} ( h) \ Equiv h (G) \ Equiv \ left \ {h (u) \ двоеточие u \ in G \ right \}.

Ядро и образ гомоморфизма могут можно интерпретировать как измерение того, насколько он близок к изоморфизму. первая теорема об изоморфизме утверждает, что образ группового гомоморфизма h (G) изоморфен фактор-группе G / ker h.

Ядро h является нормальной подгруппой группы G, а образ h является подгруппой группы H:

h (g - 1 ∘ u ∘ g) знак равно h (g) - 1 ⋅ h (u) ⋅ h (g) = h (g) - 1 ⋅ e H ⋅ h (g) = h (g) - 1 ⋅ h (g) = e H. {\ displaystyle {\ begin {align} h \ left (g ^ {- 1} \ circ u \ circ g \ right) = h (g) ^ {- 1} \ cdot h (u) \ cdot h (g) \\ = h (g) ^ {- 1} \ cdot e_ {H} \ cdot h (g) \\ = h (g) ^ {- 1} \ cdot h (g) = e_ {H}. \ end {align}}}

{\ begin {align} h \ left (g ^ {- 1} \ circ u \ circ g \ right) = h (g) ^ {- 1} \ cdot h (u) \ cdot h (g) \\ = h (g) ^ {- 1} \ cdot e_ {H} \ cdot h (g) \\ = h (g) ^ {- 1} \ cdot h (g) = e_ {H}. \ end {align}}

Если и только если ker (h) = {e G }, гомоморфизм h является мономорфизмом группы ; т.е. h инъективен (взаимно однозначно). Инъекция напрямую показывает, что в ядре есть уникальный элемент, а единственный элемент в ядре дает инъекцию:

h (g 1) = h (g 2) ⇔ h (g 1) ⋅ h (g 2) - 1 знак равно е ЧАС ⇔ час (г 1 ∘ г 2 - 1) = е Н, ker ⁡ (ч) = {е G} ⇒ г 1 ∘ г 2 - 1 = е г ⇔ г 1 = г 2 {\ Displaystyle { \ begin {align} h (g_ {1}) = h (g_ {2}) \\\ Leftrightarrow h (g_ {1}) \ cdot h (g_ {2}) ^ {- 1} = e_ { H} \\\ Leftrightarrow h \ left (g_ {1} \ circ g_ {2} ^ {- 1} \ right) = e_ {H}, \ \ operatorname {ker} (h) = \ {e_ {G } \} \\\ Rightarrow g_ {1} \ circ g_ {2} ^ {- 1} = e_ {G} \\\ Leftrightarrow g_ {1} = g_ {2} \ end {align}}}

{\ begin {align} h (g_ {1}) = h (g_ {2}) \\\ Leftrightarrow h (g_ {1}) \ cdot h (g_ {2}) ^ {- 1} = e_ {H} \\\ Leftrightarrow h \ left (g_ {1} \ circ g_ {2} ^ {- 1} \ right) = e_ {H}, \ \ operatorname {ker} (h) = \ {e_ {G} \} \\\ Rightarrow g_ {1} \ circ g_ {2} ^ {- 1} = e_ {G} \\\ Leftrightarrow g_ {1} = g_ {2} \ end {align}}

Примеры

Рассмотрим циклическую группу Z/3Z= {0, 1, 2} и группу целых чисел Z с добавлением. Отображение h: Z→ Z/3Zс h (u) = u mod 3 является гомоморфизмом группы. Это сюръективный, и его ядро состоит из всех целых чисел, делящихся на 3.

Рассмотрим группу
$G ≡ {(a b 0 1) | a>0, b ∈ R} {\ Displaystyle G \ Equiv \ left \ {{\ begin {pmatrix} a b \\ 0 1 \ end {pmatrix}} {\ bigg |} a>0, b \ in \ mathbf {R } \ right \}}$ $G\equiv \left\{{\begin{pmatrix}ab\\01\end{pmatrix}}{\bigg |}a>0, b \ in \ mathbf {R} \ right \}$
Для любого комплексного числа u функция f u : G → C определяется:
$(ab 0 1) ↦ au {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a b \\ 0 1 \ end {pmatrix}} \ mapsto a ^ {u}}$ ${\ begin {pmatrix} a b \\ 0 1 \ end {pmatrix}} \ mapsto a ^ {u}$
- гомоморфизм группы.
Рассмотрим мультипликативная группа положительных действительных чисел (R, ⋅) для любого комплексного числа u функция f u: R→ Cопределяется следующим образом:
$fu (a) = au {\ displaystyle f_ {u} (a) = a ^ {u}}$ $f_ {u} (a) = a ^ {u}$
- групповой гомоморфизм.

экспоненциальное отображение дает групповой гомоморфизм из группы действительных чисел Rс добавлением к группе ненулевых действительные числа R * с умножением. Ядро - {0}, а изображение состоит из положительных действительных чисел.
Экспоненциальная map также дает групповой гомоморфизм из группы комплексных чисел Cс добавлением к группе ненулевых комплексных чисел C * с умножением. Это отображение сюръективно и имеет ядро {2πki: k ∈ Z }, как видно из формулы Эйлера. Поля типа R и C, которые имеют гомоморфизмы из их аддитивной группы в их мультипликативную группу, поэтому называются экспоненциальными полями.

Категория групп

Если h: G → H и k: H → K являются гомоморфизмами групп, тогда также k ∘ h: G → K. Это показывает, что класс всех групп вместе с гомоморфизмами групп как морфизмами образует категорию.

Гомоморфизмы абелевых групп

Если G и H являются абелевыми (т. Е. Коммутативными) группами, то множество Hom (G, H) всех гомоморфизмов групп из G в H само является абелева группа: сумма h + k двух гомоморфизмов определяется как

(h + k) (u) = h (u) + k (u) для всех u в G.

Требуется коммутативность H чтобы доказать, что h + k снова гомоморфизм групп.

Сложение гомоморфизмов совместимо с композицией гомоморфизмов в следующем смысле: если f принадлежит Hom (K, G), h, k являются элементами Hom (G, H), а g находится в Hom (H, L), тогда

(h + k) ∘ f = (h ∘ f) + (k ∘ f) и g ∘ (h + k) = (g ∘ h) + (g ∘ k).

Поскольку композиция ассоциативна, это показывает, что множество End (G) всех эндоморфизмов абелевой группы образует кольцо, кольцо эндоморфизмов группы G. Например, кольцо эндоморфизмов абелевой группы, состоящей из прямой суммы m копий Z/nZ, изоморфно кольцу m-by-m матриц с записями в Z/nZ. Вышеупомянутая совместимость также показывает, что категория всех абелевых групп с гомоморфизмами групп образует преаддитивную категорию ; существование прямых сумм и корректных ядер делает эту категорию прототипом абелевой категории.

См. также

Ссылки

Dummit, DS ; Фут, Р. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Вайли. С. 71–72. ISBN 978-0-471-43334-7.
Лэнг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001

Внешние ссылки

«Групповой гомоморфизм». PlanetMath.
Роуленд, Тодд и Вайсштейн, Эрик У. «Групповой гомоморфизм». MathWorld. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )